精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高一上学期数学周练6

江苏省赣榆高级中学2024级高一第一学期数学周练6 命题：张怀富 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 3. 已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设为奇函数且在内是减函数，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数f(x)中，满足对任意有的是（ ） A. B. C. D. f(x)=|x-1| 11. 已知，若正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________． 13. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 14. 已知若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是_____________． 四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为，解不等式. 16. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值. 17. 已知函数． （1）若，求的值域； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. （1）若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; （2）求不等式的解集. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省赣榆高级中学2024级高一第一学期数学周练6 命题：张怀富 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义计算判断象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 故选：C. 2. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 3. 已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使不等式恒成立，只需，将乘以，然后利用基本不等式即可求出的最小值，解关于的不等式即可. 【详解】要使不等式恒成立，只需， ， ， ， ， ， ， 令，且，则不等式化为， 解得，即， . 故选：B. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立、以及基本不等式的应用，属于中档题. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5. 设为奇函数且在内是减函数，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性和单调性作出图像，再求解即可； 【详解】因为为奇函数且在内是减函数，所以在上单调递减， 又，所以， 作出的大致图像 或，解得或， 所以的解集为， 故选：C. 6. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数（为实数）为偶函数可知，则；分析可知在上是单调增函数；根据偶函数的性质可判断出，，的大小关系. 【详解】（为实数）为偶函数，在上是单调增函数， ，，，且 故选：C 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8. 设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，根据题意，由零点，可以得方程，然后常变量分离，构造函数，利用新构造函数的对称性，得到之间的关系，再根据对数的运算性质，得到之间的关系，这样可以把化简成关于的代数式，最后利用换元法，基本不等式以及函数的单调性求出值域即可. 【详解】当时，所以有，因此有，所以函数的解析式为：，由题意可知：有四个不同的实数解，因此有：，设函数，因此由可知：函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，函数的图象如下图所示： 要想函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，必须有，此时有，再由，结合图象可知：函数是关于直线对称，因此有 ，所以，令，令，显然函数在上单调递减， 在上单调递增， 故，. 故选：A 【点睛】本题考查了根据函数零点的性质求代数式的取值范围，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力，考查了函数单调性的应用. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由给定条件结合各选项构造函数，借助函数的单调性或值域即可作答. 【详解】对于A，函数在上单调递增，因，则，即，A正确； 对于B，函数在上单调递减，因，则，即，B不正确； 对于C，函数在上单调递增，因，则，即，于是得，C正确； 对于D，函数F(x)=lgx(x>0)的值是R，因，则，可取任意实数，D不正确. 故选：AC 10. 下列函数f(x)中，满足对任意有的是（ ） A. B. C. D. f(x)=|x-1| 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由题意可得只需满足函数在区间上单调递增即可. 【详解】对任意有， 则函数在区间上为增函数， 对于A，，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选； 对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B可选； 对于C，，函数在区间上为减函数，故C不选； 对于D， ，显然函数在区间上为增函数，故D可选； 故选：ABD 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 11. 已知，若正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，结合已知条件求出，利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 且，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上单调递增， 由得， 所以，，即，且、都为正数， 对于A选项，由基本不等式可得，得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A错； 对于B选项，因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，B对； 对于C选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但为正数，故等号不成立，即，C错； 对于D选项，因为，则，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为；故填． 考点：扇形的面积公式． 13. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递增，不满足题意， 当时，在上单调递减，满足题意. 故． 故答案为： 14. 已知若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】令，问题转换成有两个零点，结合图像得到零点分布区间，即可求解； 【详解】令，画出的图象，如图，要使函数有5个不同的零点，即函数有两个零点，或， 当时，即，所以有两根-1和1，符合题意； 当时，又因为，所以解得． 综上所述，的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为，解不等式. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）当时，显然成立； 当时，需满足，得. 综上可得，a的取值范围是. （2）即. 根据题意，和是方程的两个实根， 所以，解得，经检验，符合题意. ，解得， 所以不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题. 16. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，对其平方即可得到结果. （2）由题意得到的表达式，再写出函数的解析式，利用换元求解即可得到最小值. 【小问1详解】 因为，所以，对其两边平方得，即 【小问2详解】 ，， 设，则，当且仅当时取等号；所以，所以，因为函数在时单调递增， 所以当即时，取最小值为 17. 已知函数． （1）若，求的值域； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出分段函数的解析式，然后分类讨论求解函数的值域即可； （2）若对恒成立，即对恒成立，分类讨论分离参数求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 若，则 当时，； 当时，； 所以的值域为． 【小问2详解】 若对恒成立，即对恒成立； 当时，成立，； 当时，恒成立，则恒成立， 所以恒成立，所以； 当时，恒成立，则恒成立， 所以恒成立，所以； 综上可得．故的取值范围为． 18. 已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. （1）若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; （2）求不等式的解集. 【答案】（1）①∵是定义在上的奇函数，∴. ∴， ∴函数是偶函数. ②单调减区间是；单调增区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）①由，根据偶函数的定义判断为偶函数； ②根据及，利用单调性的定义证明在上是减函数；再根据为偶函数，得到在上是增函数. （2）由，故可转化为或，再根据的单调性，可得不等式的解集. 【小问1详解】 ①略 ②设且，则， 由，得， ∴，即， 所以函数在上是减函数； 又∵函数是偶函数，∴在上是增函数； 所以的单调减区间是；单调增区间是. 【小问2详解】 ∵，是偶函数 ∴， 由，故可转化为或， 当时，由得，即， 因为在上是减函数，∴； 当时，由得，即， 因为在上是增函数，∴. 即不等式的解集为. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 【答案】（1）， （2）对称中心为，证明如下： 由，则有，解得且， ， 故函数的对称中心为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得； （2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得； （3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，就对称中心分类讨论后可得数组的个数. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故， 令，则有， 又当时，，故， 故， 即，； 【小问2详解】 对称中心为，证明略； 【小问3详解】 设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、， 又、、， 若对称中心为，则必有，且， 故，，共有2022个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而就对称中心分类讨论即可 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $