陕西省西安市长安区第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

长安第一中学26-27学年上学期第一次月考 高二数学试题 一、单选题（8小题，每小题5分，合计40分） 1．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知圆被直线平分，则的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：（，）的左、右两个焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路，，三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往站，已知该市民在圆锥曲线左侧时去站到达站更快，反之则去站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且，两站等候时间期望相同，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，点，到棱所在直线的距离均为1，点为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（每小题6分，共计3小题，合计18分） 9．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆：相切，且与的左、右两支分别交于，两点，若，则（ ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 10．已知的三个顶点都在抛物线（）上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为2时，直线的斜率等于，则（ ） A． B．是定值 C．任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D．可能是直角三角形 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，若曲线是由曲线和共同构成的，则下列结论不正确的是（ ） A．曲线围成的图形面积为 B．若点在曲线上，则的取值范围是 C．若圆（）能覆盖曲线，则的最小值为2 D．若曲线与直线有公共点，则的取值范围为 三、填空题（3小题，每小题5分，合计15分） 12．若对任意，圆与椭圆（）至多有3个公共点，则的取值范围为________． 13．已知点在抛物线上，点，点在圆：上，当取得最小值时，________． 14．如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比．已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为0，则直线的斜率与直线的斜率之积为________． 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，合计77分） 15．已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点（），求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 16．已知直线与抛物线相交于两点，且． （1）求证：直线必过一定点； （2）求面积的最小值． 17．已知抛物线：的焦点为．过的直线交于，两点，其中在轴上方，在轴下方．过，分别作的切线，两切线交于点． （1）证明：点在一条定直线上，且． （2）记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 18．已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 19．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为3，求证：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $《长安第一中学26-27学年上学期第一次月考高二数学试题》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 10 答案 C B D B A B D D AD ABC 题号 11 答案 ABD 12.(2 13.1614.2/-0.5 15.(1)焦点F(L0),准线x=-1 t 0<t≤2 (2) PRlnin2-1 t>2 (3)32或1568 【详解】1)己知抛物线y=4x,则2p=4,所以p=2, 焦点坐标为F(L,0),准线方程为x=-1. (2)设P(x)在抛物线上，则少=4x,且x≥0，点R(,0), 则PR=(c-+y2=(x-}+4x=2+(4-2I)x+2 这是关于x之0的二次函数，开口向上，对称轴为x=t-2, 当0<t≤2时，对称轴t-2≤0，函数在x≥0上单调递增， 最小值在x=0处取得，即PRmn=t, 当t>2时，对称轴t-2>0,最小值在x=t-2处取得， 此时lPR=4(-),所PRn=2 0<t≤2 综上， (3)已知正方形ABCD中，A,B在抛物线上，C,D在直线X-y+8=0上， 由-y+8=0得：y=x+8,斜率为1，所以CD的斜率为1， 正方形中ABIICD,因此AB的斜率也为1， 设直线AB的方程为y=x+m, 与抛物线广=4r联立：（x+m=4x→+(2m-4)x+m2=0 设交点4(x,),B(x,乃)，则x+为=4-2m,5=m,△=16(1-m)>0台m<1, 所以lAB=V2-=V2VG+x}'-4x5=V2,V(4-2m)}-4m2=42V=m d=8-m 又AB与CD平行，CD在直线y=x+8上，两平行线之间的距离为√2， 正方形中AB与CD是对边，所以边长等于这个距离，即AB=d, 4V21-m=8-叫 于 V2,两边乘以V2,得8W1-m=8-m, 平方得64(1-m）-=(8-m→64-64m=64-16m+m2→m(m+48)=0 所以m=0或m=-48, 当m=0时，直线AB为y=x,与抛物线交于4(0,0)，B(4,4), 8-0=42 S= 此时边长 nS=s2=(42=32 ，面积 当m=-48时，直线AB为y=X-48,与抛物线交于A(36,-12),B(64,16), 此时边长 --若-w5.5=可-w 22 所以正方形ABCD的面积为32或1568. D 16.(1)证明：设直线AB方程：x=my+a,A(x,),B(x,) x=my+a, 由y=2x.消去x并整理得y-2m-2a=0, :乃+y2=2m.M2=-2a,由∠A0B=90°得 Oi.0丽=5+3=5+%=a2-2a=0 4 解得a=2或a=0(舍去).∴直线AB过定点P(2,0) (2)4 【详解】(1)略 (2)由(1)得-=V-}=V+}-45=V4m2+16=2√m2+4 Sas=×or州x+0=0n-为=x2x2m+4=2m+4 当m=0时，△AOB的面积取得最小值为4. 17.(1)证明：因为F(L,0),设过点F的直线1的解析式为x=m心+1,1(：，)，B(,), 「y2=4x 联立(x=my+1 得y2-4my-4=0 由韦达定理得乃+乃=4m,少=-4， 则+5=m0g+5)+2=4m+2.5=菩×星-0-4-1 441616 设抛物线C:y=4x过点A的切线为LA:y=k(x-)+乃，过点B的切线为g: y=k2(x-x2)+2. y2=4x 联立y=k(-x)+y 得ky2-4y+(4y-4kx)=0,且A=(4-4(4%-4k)=0 因为点A在抛物线上，所以4， 代A将号1-（学-可矿-0 =2 解得 y=2-)%2-2军+=2x 则4： y乃4 2 2x+ J= y= 联立(2 2 y=+业=4m=2m 2 x=业= 得 4八 4 即点T坐标为(-L,2m) 所以，点T在定直线x=一1上. 当m≠0时， 11 y=一X一 ,= 因为过点F的直线1的解析式为x=心y+1,所以mm,即直线！的斜率 m k,=-4=0-2m-m -x1-(-1) 1 rrk=-m. -=-1 所以 m 即FT⊥I; 当m=0时， 直线：x=1,T(-1,0) 则pm:y=0. 即FT⊥I, 综上所述FT⊥1. 30 3 (2)点P的轨迹是以21 )为圆心，2为半径，在x轴上方的半圆. 【详解】(1)略. 2×24 =-1 (2)因为 yy2-4 所以AT⊥BT, 所以△ABT外接圆的圆心为斜边AB的中点M, 则M的坐标为 直径AB=++p=(2m2+1x2+2=4m2+4 则半径R=2m2+2, 圆「的方程为： (-2m2-°+(0y-2m=(2m2+2 设P(o,%)在第一象限， 由题可知，(。-1-2m2+0-2m}=(2m2+2月 化简得：4，m2+4m-(:,-1-听+4=0 ,m+0m+1-+8-0 4 恰有一个实数m意味着该二次方程有唯一解， 由于>0，故判别式△=0，即 -小0 化简得6+1兮-3x+)=0,即名=-1欧坊=3%-云， 因为点P在第一象限，所以，=一1不符题意，舍去， -说--0引i- 又因为点P在第一象限，所以0<6<3.0<片 2 2 .3 X 2 +29 即点P的轨迹方程为 4(0<x<3, 0<ys3 ), 所以点P的轨迹是以 为圆心，2为半径，在x轴上方的半圆. B 18.(1)2 +2y= (x≠士V2) 12 (2)(i) F气510 (i)25 【详解】(1)设M(x),由题意有 x +2y2=1 化简得：x+4少=2，即2 ,x≠士V2」 +2y2=1 故所求动点M的轨迹方程为2 (x≠tV2): (2)设直线TP的倾斜角为Q, 直线TP、TQ与x轴交于点L、K, 由题意得∠QKL=元-，∠KLT=a,则∠IKL=a, 所以2a+∠PT0=元，又 ∠PT= 2a+ Q= 2,所以2，得 4, 故km=1,k0=-1 - 所以直线TP:+2x-1ny=x- 1 3 ，即 2, y=x-3 2 1)联立(2+2y2=1 x2 化简得5x2-12x+7=0,解得5或x=1(舍去)， 2」 2 联立2+22-1 得2 X三 化简得5x2-4x-1=0,解得5或x=1(舍去)， 所y ㎡-居j0-2 @-gj品-图9-o 因为 Pm0-所 wmm-2g5是 12 故△PT巴的面积是25， B 19.(1)x2+y2=4 (2)证明：由1)可知A(2,0),B(0,2),设P(,)(≠0，%≠0)，则+片=4， 由题意知≠2，直线P的方程为名-2x2引 -2y 、M0,-2% 令x=0,得-2，所以（-2) =~2 x+2 由≠0，得直线BP的方程为 x-2 0得-2，所以2 所以 -中+， -2x。-2%-2 =4 ++4+2-4,-4=42x-4(x,+%)+8=8 x-2(x+%)+4 x%-2(,+%)+4,所以4NBM为定值. (3)证明：设直线I的方程为y=c+m,D(:,),E(x,), x2+y2=4, 已c(-20,取文-+有+安)F+2bm-4=0 △=4k2m2-40+k2)(m2-4）>0.即m2<42+4。 所以5+书= m2-4 E-1+K2X,1+k2 写g5 所以 所以K-3列x5+(m-60+x)+m2-12=0 所以 -+(m-6或)m-12=0 整理得（m-2k)(m-4k)=0,所以m=2k或m=4k. 当m=2k时，直线1的方程为y=+2k=k(x+2),恒过点C(-2,0),不符合题意； 当m=4k时，直线1的方程为y=c+4=k(x+4),恒过点(4,0)，符合题意 所以直线过定点（4,0) 【详解】1)由已知得烟O的半径VP+(V可=2 所以圆0的标准方程为x+y=4 (2)略 (3)略