第1章 三角形的证明-【7分钟优化课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步小练习（北师大版·新教材）

满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 第一章 三角形的证明及其应用 精练1三角形内角和定理 一、核心知识巩固(1-6题，每题2分，共12分) 知识点1三角形内角和证明 1.在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证 明“三角形内角和是180°”的是( A.过点C作EF∥AB B.作CD⊥AB于点D C.过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC D.延长AC到F,过点C作CE∥AB 知识点2三角形内角和定理 2.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=50°，则∠C=() A.50 B.45° C.40° D.35° 3.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠AED=60°，∠A=75°，则∠B=( A.30° B.35o C.40° D.45 C 3题图 4题图 6题图 4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶 点，并测得∠1=40°.则∠2的度数为( A.45° B.55° C.65 D.75 5.在△ABC中，∠C=50°，∠B-∠A=10°，则∠B= 6.如图，在△ABC中，∠A=65°，∠1=105°，则∠2= 二、综合知识运用(7-10题，每题3分；11-12题，每题8分，共28分) 7.在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=64°，∠DAE=10°，则∠C的 度数是( A.36° B.42° C.44° D.54° DE 7题图 8.【生活应用】某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确 保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q, 然后在左边定出开挖的方向线AP,为了准确定出右边开挖的方向线BQ,测量人员取一个可 以同时看到点A、P、Q的点0，测得∠A=28°，∠0=100°，为确保BQ与AP在同一条直线上， ∠QB0应等于() A.52° B.100° C.28° D.任意度数 8题图 9题图 10题图 9.如图，在△ABC中，若∠A=50°，点O是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BOC 10.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AC,AB上的任意点，连接DE,∠A=40°，则∠B+∠C+ ∠ADE+∠AED的值是度 11.【教材拓展】下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180. 已知：如图1，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180° B∠ 图1 图2 图3 11题图 方法一证明：如图2，过点C作CE∥AB,并延长BC到D.（教材中已给出证明过程) 方法二证明：如图3，过点A作DE∥BC.请你完成此证明过程. 12.证明三角形全等的基本事实有SAS,ASA,SSS等.你利用以上基本事实和三角形内角和定 理，结合下列图形，证明：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D 12题图 三、拓广实践探索(10分) 13.【规律探索】当三角形中一个内角α是另一个内角B的2倍时，我们称此三角形为“倍角三 角形”，α为倍角.如果一个“倍角三角形”中有一个内角为40°，那么这个“倍角三角形”的倍 角ax(<90°)的度数是 2 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练2三角形的外角 一、核心知识巩固(1-5题，每题2分，共10分)】 知识点1外角相等关系 1.如图，在△ABC中，若∠A=20°，∠B=30°，则∠ACD等于() A.10° B.50° C.60° D.25° 45 209 30 B30° △r+10)° (r+70)° C R C ① 1题图 2题图 3题图 4题图 2.如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于() A.60 B.65 C.75 D.85 3.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠A=75°，∠ACD=135°，则∠B的度数为( A.60° B.50 C.45 D.40 4.如图，点D为BC的延长线上一点，图中x的值为 知识点2外角不等关系 5.如图，已知AD<AB<AC,下列说法正确的是() A.∠ADB<∠B B.∠C<∠B<∠ADB C.∠C<∠ADB<∠B D.∠B<∠C<∠ADB 5题图 二、综合知识运用(6-10题，每题3分；11题15分，共30分) 6.如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=70°，则∠2的度数为() A.35° B.37 C.70° D.74° 03 B D 2地面 6题图 7题图 8题图 7.如图是A,B两片木片放在地面上的情形，若∠3=100°，则∠2-∠1等于( A.55° B.80 C.90° D.100° 8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是() A.180° B.360° C.540° D.不确定 3 9.【生活应用】如图是一台起重机的工作简图，吊杆前后两次位置OP,,OP2与线绳的夹角分别 是36°和70°，则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2= 369 P 70 起重机 9题图 10题图 10.如图，∠1+∠2+∠3= 11.【教村拓展】已知：如图1，P是△ABC内一点，连接PB,PC.求证：∠BPC>∠A. 证明：如图2，延长BP,交AC于点D. .∠BPC是△PCD的一个外角（外角的定义）， ∴.∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) :∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴.∠PDC>∠A. ∴∠BPC>∠A. 【知识迁移】如图3，求证： (1)∠FHG>∠E; 图2 (2)∠FHG=∠E+∠F+∠G. 【生产应用】(3)一个零件的形状如图4，按规定∠A=90°，∠B=∠D= 25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得 ∠BCD=150°，这个零件 （填“合格”或“不合格”). 图3 图4 11题图 三、拓广实践探索(10分) 12.【规律探索】如图，在△ABC中，∠A=m,延长BC到点 A D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1· (1)∠A1的大小是 (2)若∠ABC与LA,CD的平分线相交于点A2,依此类 ---- B D 推，∠A2025BC与∠A025CD的平分线相交于点A2026, 12题图 则∠A22s的大小是 4 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练3 多边形的内角和 一、核心知识巩固(1-9题，每题2分，共18分)】 知识点1多边形的内角和定理 1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是() A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.六边形的内角和为() A.360° B.540° C.720° D.900° 3.如果五边形的三个内角是直角，另两个内角相等，则这两个角均为( A.10° B.120° C.125° D.135° 4.一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是 边形 D 5.如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且 ∠B+∠D=140°，则∠1+∠2等于 度 知识点2正多边形 5题图 6.【生活应用】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个 正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.如图是一个正八边形窗户的示意 图，这个正八边形的每一个内角的度数是( A.105 B.1209 C.135° D.150° D B M 6题图 7题图 8题图 9题图 7.【跨学科·化学】石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的 应用前景.它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为() A.135° B.120° C.105° D.60° 8.如图，在正五边形ABCDE,以AB为一边，在内部作正方形ABMN,则∠EAN= 9.如图，AB、BC、CD是正十二边形的三条边，四边形BCMN是正方形，则∠ABW的度数 为 二、综合知识运用(10-15题，每题2分；16题4分，17题8分，共24分)】 10.将一个n边形变成(n+1)边形，内角和将() A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.增加360 11.剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是() A.540° B.360 C.270 D.180° 5 12.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,∠E=130°，∠C=128°，则∠D= 12题图 15题图 13.在五边形ABCDE中，∠A+∠B=210°，∠C=∠D=∠E=2∠B,则∠B的度数为 14.若用三个完全相同的正多边形可以拼成无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是 正 边形 15.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 16.小新同学在进行多边形内角和的计算时，求得一多边形的内角和为1460°，当她发现错了之 后，重新检查，发现少加了一个内角，你知道她少加的这个内角是多少度吗？她求的这个多 边形是几边形？ 17.【教材拓展】我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索n边 形的内角和. (1)探索：在图1中探索∠1+∠2与∠A的关系，并证明； (2)应用：在图2中运用(1)所得的结论， 证明四边形的内角和为360°； (3)推广：在图3中将(2)的思路延伸，说 明n边形的内角和为(n-2)·180°. 图 图2 图3 17题图 三、拓广实践探索(8分) 18.【规律探索】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题. 18题图 (1)将表格补充完整.（每空1分） 正多边形的边数 3 4 a的度数 (2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 .（2分) (3)根据规律，当α=18时，多边形边数n=_ ,(2分) 6 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练4多边形的外角和 一、核心知识巩固(1-9题，每题2分，共18分) 知识点1多边形的外角和 1.多边形的外角和等于() A.180° B.360° C.720° D.(n-2)·180° 2.如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，那么∠5的度数为( A.70° B.80° C.90° D.100 3.一个多边形的每个外角都是30°，则它的边数是 4.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻内角的4，则这个多边形是正 2题图 边形 知识点2多边形的内角和与外角和的综合 5.若一个正多边形的每一个外角都是36°，则该正多边形的内角和的度数是() A.1440° B.360° C.1800° D.2160° 6.内角和与外角和相等的图形是( A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 7.某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边CD,将点A向下推，使点B, A,E共线，形成四边形，如图所示，则此变化过程中(） A.内角和减少了360° B.内角和增加了180° C.外角和减少了180° D.外角和不变 7题图 9题图 8.若多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是 9.如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D= 二、综合知识运用(10-13题，每题3分；14题10分，共22分】 10.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD,则∠1+∠2+∠3的度数为( A.180° B.1509 C.120° 3入 D D.90° 10题图 7 11.如图，小华从点A出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m,又向左转24°.…照 这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是 () A.140m B.150m C.160m D.240m ✉J24° 11题图 12题图 13题图 12.两个完全相同的正五边形都是一边在直线1上，且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所 示，则∠AOB= 13.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC= 度 14.已知一个多边形的边数为n. (1)若这个多边形的内角和的4比一个四边形的外角和多90°，求n的值。 (2)若这个多边形是正n边形，且一个内角与一个外角的比是13：2，求n的值. 三、拓广实践探索(10分】 15.【规律探索】我们遇到过如图的五角星，得出了∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°这个结 论.英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相 交，形成如图的“六角星”“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和， 请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和 是 15题图 8 满分：50分限时：20分钟 数学·八年级·下册BS班级： 姓名： 得分： 精练5等腰三角形的性质 一、核心知识巩固(1-12题，每题2分，共24分】 知识点1等边对等角 1.等腰三角形的底角为40°，则顶角的度数为() A.30° B.70° C.100° D.140° 2.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是BC延长线上的一点，∠ACD=110°，则∠B的度 数为( A.70° B.55° C.40° D.35° 2题图 4题图 5题图 6题图 3.等腰三角形的一个内角为70°，则其底角的度数为 4.如图，AB∥CD,AB=AC,∠ABC=70°，则∠ACD= 知识点2等腰三角形的“三线合一” 5.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC中点，下列结论中不正确的是( A.∠B=∠C B.AD平分∠BAC C.AD⊥BC D.AB=2BD 6.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两 条长度相等的固定绳AB和AC,当点B、E、C在同一直线上且固定点B、C到杆脚E的距离相 等时，电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是() A.等边对等角 B.垂线段最短 C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 B D 第7题图 第8题图 9题图 8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD是底边上的高.若AB=5cm,BC=6cm,则BD=cm. 知识点3等边三角形的性质 9.如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的度数为() A.90° B.120 C.125° D.130° 9 10.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F,DE⊥BC交 AB于点E,则∠EDF的度数为() A.50° B.60° C.65° D.75 D B4 10题图 11题图 12题图 11.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD,则∠EDC= 12.如图，△ABC和△DCE都是边长为1的等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，连接BD,则 ∠DBC的度数为 二、综合知识运用(13-17题，每题2分；18题6分，共16分) 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，点P是△ABC内部一点，且∠PBC=∠ACP,则∠BPC 的度数为() A.115 B.100o C.130 D.140 B 13题图 14题图 15题图 16题图 14.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC,则∠PED 的度数是( A.40° B.45° C.50 D.55 15.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,E是AD上一点，DE=BD,则∠ACE的度数为() A.15° B.30° C.20° D.25° 16.如图，在△ABC中，D,E为BC边上两点，且满足AB=BE,AC=CD,连接AD,AE.若∠BAC= a,∠DAE=B,则a与B之间的数量关系为() A.+B=180° B.a+2B=180° C.a-B=90° D.a-2B=90° 17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的度数为 18.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，以AC为边，在△ABC的外部作等边三角形ACD: E是AC的中点，连接DE并延长交BC于F.求∠DFC的度数. D 18题图 三、拓广实践探索(10分) 19.【规律探索】如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,…在射线 ON上，点B1,B2,B3,…在射线OM上，△A1B1A2,△A2B2A3, B △A3B3A4,…均为等边三角形，若0A1=2,则△A6B。A7的边长 为() A.16 B.32 C.64 D.128 A1 A A3 A4 N 19题图 10参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1460°=160° 精练1三角形内角和定理 答：她少加的的这个内角是160°，这个多边形是十 1.B2.C3.D4.C5.70°6.140°7.C8.A 一边形 9.115°10.280 17.(1)解：∠1+∠2=180°+∠A,理由如下： 11.证明：DE∥BC,∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAE, .'∠1=∠A+∠ACB,∠2=∠A+∠ABC .∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°， ∴.∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180° .∴.∠B+∠BAC+∠C=180° +∠A. 12.解：已知：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E,∠C= (2)证明：延长BA,CD交于点N 由(1)可得，∠BAD+∠ADC=180°+∠N, ∠F,AB=DE, :∠N+∠B+∠C=180°，.∠B+∠C=180° 求证：△ABC≌△DEF. -∠N, 证明：.∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F .∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=180°+∠N+180° =180°，而∠B=∠E,∠C=∠F, -∠N=360°. .∴.∠A=∠D,.∴.△ABC≌△DEF(ASA) (3)由前面的结论可知，三角形剪去一个角变为四 13.40°或80° 边形，内角和变为(4-2)×180°；四边形剪去一个 精练2：三角形的外角 内角变为五边形，内角和变为(5-2)·180°，以此 1.B2.C3.A4.605.B6.C7.B8.A 类推，(n-1)边形剪去一个内角变为n边形，其内 9.3410.360 角和为(n-2)·180. 11.(1)延长FH交EG于M,如图. 18.(1)60°45°36°30°(2)a=180 (3)10 精练4多边形的外角和 H M 1.B2.B3.124.十5.A6.B7.D8.6 G 9.425°10.A11.B12.10813.30 .∠FHG>∠HMG,∠HMG>∠E, ∴.∠FHG>∠E; 14.解：()由题意，得4×(n-2)×180°-360°= (2),∠FHG=∠HMG+∠G,∠HMG=∠E+∠F, 90°，解得n=12; .·.∠FHG=∠E+∠F+∠G. (2)设外角的度数为2x,则内角的度数为13x (3)不合格 2x+13x=180°，解得x=12°. 12.(1)空(2)2 .2x=24°，∴.n=360°÷24°=15. 15.(n-4)×180° 精练3多边形的内角和 精练5等腰三角形的性质 1.D2.C3.D4.七5.1406.C7.B8.18 1.C2.A3.70°或55°4.40°5.D6.D7.55° 9.120°10.C11.C12.10213.55°14.六 8.39.B10.B11.15°12.30°13.A14.B 15.540 15.A16.B17.70°或20° 16.解：1460÷180=8号，这个多边形的边数n= 18.解：AB=AC,∠BAC=100°， ∠ABC=∠ACB=180°，100°=40°， 8+2+1=11,则少加的内角是(11-2)×180°- 2 109 .△ACD是等边三角形，E是AC的中点， 9.610.D11.B12.D13.2514.6 ∴.DE⊥AC,.∠CEF=90°， 15.证明：∠C=90°，∠A=30°，.∠B=60°， ∴.∠DFC=180°-∠CEF-∠ACB=180°-90°- BC=BD,△BCD是等边三角形， 40°=50° .∠BDC=60°，CD=BD, 19.c ∴.∠DCA=60°-∠A=30°=∠A, 精练6等腰三角形的判定与反证法 AD =CD-DB-BCBC-7 AB. 1.C2.503.54.55.A 16.(1)证明：：DE是边AC的垂直平分线， 6.等腰三角形的底角都是直角或钝角 .OA=OC,.∠OAC=∠OCA, 7.D8.B9.910.22 ∠OAB=∠OBA,∴.OA=OB,∴.OC=OB, 11.解：△OEF是等腰三角形 .∴.∠OBC=∠OCB, 理由：BE=CF,∴.BE+EF=CF+FE, :∠ACB=30°=∠OCA+∠OCB, .BF=CE,又∠A=∠D,∠B=∠C, .∠OAC+∠OBC=30°， .△ABF≌△DCE, ∴.∠OEF=∠OFE,∴.OE=OF ∠01B=L0BA=2(180-2×30)=60, 12.证明：：∠A=40°，∠ACB=70°，∴.∠ABC=70°. ·△OAB是等边三角形； BD是△ABC的角平分线， (2)解：过点O作OF⊥BC于点F. ∴.∠ABD=∠CBD=35°. …0D=2,0E=4, .CE=CD,.∠E=∠CDE=35°，.∠CBD=∠E. .DE=OD+0E=6, ∴.△BDE是等腰三角形 ∠ACB=30°，∠CDE=90°， DF⊥BC,∴.BF=EF. .CE=2DE=12,∠CED=60°， 13.证明：假设三角形的三个外角（每个顶点处取一个 .∠E0F=30°， 外角)中有2个或3个锐角，则3个外角的和小于 360°，这与三角形的外角和为360°矛盾，故原结论 EF=20E=2CF=10, 成立 OC=OB,0F⊥BC, 14.(1)证明：，AC=BC,∠CDE=∠A, ∴.BC=2CF=20,∴.BE=BC-CE=20-12=8. ∴.∠A=∠B=∠CDE,∴.∠ACD=∠BDE, 17.30°或90°或150° 又，BC=BD,∴.BD=AC, 精练8直角三角形 ∴.△ADC≌△BED(ASA),∴.CD=DE; 1.A2.C3.404.B5.B6.A7.D8.84 (2)解：CD=BD,∴.∠B=∠DCB, 9.B 又：∠CDE=∠A=∠B, 10.三个角都相等的三角形是等边三角形真 ∴.LDCB=∠CDE,∴.CE=DE. 11.A12.C13.C14.2115.3或1216.22.5 在DE上取点F,使得FD=BE,连接CF,易证 17.解：△PQC是直角三角形，理由如下：由PA:PB:PC △CDF≌△DBE(SAS),.CF=DE=CE, =3:4:5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a. 又，CH⊥EF,∴.FH=EH, 在△PBQ中，由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°， :DE-BE=DE-DF=EF=2EH,:.DE BE =2. ∴.△PBQ为等边三角形，∴.PQ=4a. EH ·△ABC和△PBQ均为等边三角形 精练7等边三角形的判定与含30°角的 ∴.AB=CB,∠ABC=∠PBQ=60°，PB=QB. 直角三角形 ∴.∠ABP=∠CBQ,∴.△ABP≌△CBQ(SAS), 1.B2.C3.604.C5.1206.C7.A8.4 .∴.OC=PA=3a. 110 在△PQC中，有PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2= PC2,.△PQC是直角三角形. 18.(1)180181(2)2n(n+1)2n(n+1)+1 ⊙ 精练9直角三角形全等的判定 1.D2.A3.C4.7 5.(1)AAS (2)AAS (3)HL (4)HL 图2 6.507.C8.5cm或10cm9.6 如图3，AC=√12+1下=√2，BC=√22+2=22， 10.证明：(1)DM⊥AC,DW⊥BC,DM=DN, ..SAABC=2 ×√2×22=2. 又.点D是AB中点，AD=BD ∴.Rt△DAM≌Rt△DBN(HL),∴.AM=BN; 图3 B 精练10线段的垂直平分线的定理 (2)连接CD,证Rt△CDM≌Rt△CDN(HL), 1.D2.C3.34.185.B6.127.A8.3 ..CM=CN,..AC=BC. 9.115o 11.(1)证明：：∠ABD+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC 10.证明：∠C=90°，∠A=30°，.∠CBA=60°， =90°，.∠ABD=∠EAC, 又：BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=30°， ∴.∠ABD=∠A=30°，∴.AD=BD, BD1AE,CE⊥AE, ∴.点D在线段AB的垂直平分线上 .∴.∠ADB=∠CEA=90°， 11.证明：连接AM.MW是AB的垂直平分线， 'AB=AC,.△ABD≌△CAE(AAS); ..AM=BM,∴.∠MAB=∠B. (2)解：.△ABD≌△CAE, 又.AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=30°， ∴.BD=AE=9,AD=CE=4, ∴.∠MAB=30°，∴.∠MAC=90°， ..DE=AE-AD=9-4=5 ∠C=30°，.CM=2AM,∴.CM=2BM. 12.解：如图1，S6ac=2 1 ×1x3= 2 B C B 12.（1)证明：①连接CD,AD,过点D作DG⊥BA交BA 延长线于点G, :点D在AC的垂直平分线上，.DC=DA. 图1 BD平分∠ABC,∴.DF=DG,BF=BG. 如图2，AC=√+2=√5，BC=√+2=√5， .△DCF≌△DAG(HL),·.CF=AG,.BC-AB= (BF+CF)-(BG-AG)=CF+AG=2CF; 5所=分x5x5=多 2BC+AB=(BF CF)+(BG-AG)=BF BG 111 =2BF; =10. B 4.D5.C6.120° 7.存储仓库0在AC垂直平分线和BD垂直平分线的 交点 G D (2)解：①由(1)得∠ADC=∠GDF=90°， .LDAC LDCA =45; ②∠ADC=∠GDF=180°-a,∴.∠DAC=∠DCA= 180-980-0=7a 8.解：(1)如图，AD即为所求 2 精练11三角形三边的垂直平分线 1.解：作法：(1)作线段AD=a; (2)过点D作直线MN⊥AD于点D: Dh B (3)以点A为圆心、b为半径画弧，交MN于B,C两 (2)如图，分别作线段AB,BC的垂直平分线，相交于 点，连接AB,AC,则△ABC即为所求，如图所示 点E,则点E即为所求. 2.解：如图△ABC即为所求作的三角形 9.解：(1)如图 D 3.解：(1)如图所示为所求： E (2)连接PA,PB,PC.由线段的垂直平分线性质，得 PA=PB=PC. ,.∠PAB=∠PAB,∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB. ·∠BAC=66°，∴.∠PAB+∠PAC=66°. .∠PBA+∠PCA=66. (2)如图，连接AD. 而∠ABC+∠ACB=180°-66°=114°， CAAGD =AC CD AD AC CD BD AC+BC .ㄥPBC+∠PCB=114°-66°=48°， 112 ∠BPC=180°-48°=132° 由(1)知AC平分∠BAD,.∠DAC=∠FAC, 10.解：(1)：AC=150m,BC=200m,AB=250m, .AD=AF,AC=AC, .AC2+BC2 =AB2, .△ADC≌△AFC(SAS),CD=CF=5. △ABC是直角三角形，.∠ACB=90°； 13.(1)证明：过点E作EF⊥CD于A D (2)学校C会受噪声影响.理由如下： 点F 如图，过点C作CD⊥AB于D. :∠A=90°，DE平分∠ADC, E .AC·BC=CD·AB, .AE=EF. .150×200=250×CD, 点E为AB中点，AE=BE, B .CD=120(m), EF=BE,∴.CE平分∠BCD; ,环卫车周围130m以内为受 (2)证明：证△ADE≌△FDE（AAS),△BEC≌ 噪声影响区域， △FEC(HL),∴.AD=DF,BC=CF,∴.AD+BC=CD; 学校C会受噪声影响； (3)解：△ADE≌△FDE,△BEC≌△FEC,∴.SACDE= (3)当EC=130m,FC=130m 2a=子(MD+BC)·AB=子·CD:AB=9 时，正好影响C学校， 精练13三角形三个内角的平分线 :ED=√EC2-CD2=√1302-1202=50(m), 1.C2.D3.104.C5.D6.A7.110 .EF=100(m), 8.39.5° .环卫车的行驶速度为每分钟40m, 9.解：如图，点P为所作， .100÷40=2.5(分钟)， 答：环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有 2.5分钟. 精练12角平分线的定理 1.C2.C3.54.25.35°6.90°7.A8.B 9.310.55°11.5 12.(1)证明：过C作CH⊥AD交AD的延长线于H. y5m=4D.CH=14,AD=7, 10.解：(1)OF=CF.理由：BE=E0, ∴.∠EBO=∠EOB. ∴.CH=4,.CH=CE=4, :△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O, :CE⊥AB,CH⊥AD,∴AC是∠BAD的平分线； .∠EB0=∠OBC,∴.∠EOB=∠OBC, (2)在AE上截取AF=AD,连接CF ∴.EF∥BC,.LFOC=∠OCB=LOCF, AB AD=2BE,..AB-AF =2BE, ∴.OF=CF; .BF =2BE,..EF =BE, BF=AB-AF=AB-AD =13-7=6, (2)过点O作OM⊥BC于点M,作ON⊥AB于点 N.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点 EF=7 BF-3, 0,点0到AB的距离为4cm,∴.0N=OM=4cm, .CF=√CE2+EF=√32+42=5， ÷Sax=2BC.0M=7×12x4=24em H D 113 11.解：(1)0D与0E相等.理由如下： .BE-7AB,CF-ZAC, :O为∠ABC,∠ACB的平分线的交点， .0D=0F,OE=0F,∴.0D=0E; :AB=AC,.BE=CF,∠B=∠C, (2)连接OA,如图所示. 又D是BC的中点，BD=CD, ∴.△BDE≌△CDF(SAS),∴DE=DF; 选择②证明：AB=AC,D是BC的中点，∴.∠B= ∠C,BD=CD,AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°， 又DE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分线， .∠BDE=∠CDF=45°， 0F=3,由(1)得0D=0E=0F=3, ∴.△BDE≌△CDF(ASA),∴.DE=DF, SAARC=S△oaB+S△OBc+SA0CA, 难点专题等腰三角形分类讨论 S=Bx3+28Cx3+2C4×3, 1.122.11或133.20°或80°4.110 5.45°或72°6.30°或150 3 即SAARC=2×(AB+BC+CA), 7.解：①当∠ACB为锐角时，∠B=70°； ②当∠ACB为钝角时，∠B=20°. △ABC的周长是30， AB+BC+CA=30Sc=2×30=45. 12.解：(1)作BD的垂直平分线，作∠ABC的平分线， 相交于点P,如图，△PBD即为所求 B B 8.解：证△BDF≌△ADC,①∠ABC为锐角时，∠ABC= 45°；②∠ABC为钝角时，∠ABC=135 (2)P到LABC两边的距离相等， .BP平分∠ABC, ∠PBD=2∠ABC=3×60=30, D ∴.等腰△PBD顶角的度数=180°-2∠PBD=180° 9.100或130或160 -2×30°=120. 10.解：①如图1，DF=CE=24B=分AD,∠DMF= 问题解决策略：反思 30°，∴.∠CAD=15°； 解：(1)①等边对等角（答案不唯一）AAS ②如图2，连接AD, A 'AB=AC,D是BC的中点， A .AD是∠BAC的平分线， E F B 图1 DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF; (2)CG=2DE B (3)选择①证明：.·DE,DF是△ABD和 D 图2 △ACD的中线， A E R 图2 114 ②如图2，同理有∠DAF=30°，.∠CAD=105. 接DF 技巧专题1构造等腰三角形 CD平分∠ACB,.∠ACD=∠FCD 1.证明：方法一：过点A作AF∥CE交BC于点F, .△ACD≌△FCD(SAS), ∴.∠AFD=∠ECD,∠B+∠DCE=180°，∠AFB+ .AD=DF,∠CFD=∠BAC=100° ∠AFD=180°，∠B=∠AFB,AB=AF ∠BAC=100°，AB=AC,.∠B=∠ACB=40° :AB=CE,AB=AF=CE,△ADF≌△EDC(AAS), BE=DE,∴.∠B=∠BDE=40° .AD =ED. ∴∠DEF=8O°=LDFE,DF=DE=BE=AD. 又易证CD=CE,∴.BC=CE+BE=CD+AD. GN B E 方法二：（补短法）延长CA到G,使CG=CE,连接 方法二：过点E作EF∥AB交BC的延长线于点F', DG.过点D作DN⊥CG 证EF'=CE=AB,△ABD≌△EF'D(AAS), 易证△CDG≌△CDE(SAS), .'AD ED. ∴.DG=DE,∠CGD=∠CED. 2.证明：方法一：延长AD至点G,使DG=AD,连接CG, ∠BAC=100°，AB=AC,.∠B=∠ACB=40°， 如图1，证△ABD≌△GCD(SAS).∴.AB=CG,∠BAD ∠DAG=80°，∠CGD=CED=80°， =∠G. :CD平分∠ACB,∴.∠DCG=20°，DA=DG, ,'AE=EF,∠G=∠EAF=∠EFA=∠GFC, ∴.DA=DE=BE,∠CDG=80 ..CG=CF,..AB=CF. .∴.CD=CG,.∴.CD=CE. 方法二：延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,如 ∴.BC=CE+BE=CD+AD. 图2，同理可证CF=BM=AB. 4.证明：方法一：延长CA至点E,使AE=AD,连接DE. .∠ADE=∠E,∴，∠BAC=2∠E, LBAC=2∠B,∴∠E=∠B. ·CD平分∠ACB,.∠DCE=∠DCB. .△CDE≌△CDB(AAS). ∴.CE=BC,∴.BC=AC+AE=AC+AD 图1 B D D 方法二：延长DA至点F,使FA=AC,连接FC,证FD M 图2 图3 =FC=BC即可. 方法三：过点B作BM⊥AD于点M,过点C作CN⊥ 方法三：在BC上截取CH=AC,连接DH,证AD=DH AD于点N,如图3.先证△BMD≌△CND,BM=CN, =BH即可. 再证△ABM≌△FCN即可. 技巧专题2作平行线构造等边三角形 3.证明：方法一：（截长法）在CB上截取CF=AC,连1.证明：过点D作DF∥BC交AB于点F. 115 △ADF是等边三角形， 2.证明：过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E. .DF=AD=CE,∠DFB=∠DCE=120°，BF=DC ∠ACD=30°，.AC=2AE, ∴.△BDF≌△DEC(SAS),.DB=DE. CD是△ABC中线，.AD=BD. ∠CD LCB,·∠BCD=90. ∴.△ADE≌△BDC(AAS),∴.AE=BC,.AC=2BC B C D 2.证明：方法一：过点D作DF∥BC交AB的延长线于 E 点F 3.解：如图，过点A作AC⊥BF于C :△ABC是等边三角形，.△AFD是等边三角形， ∴.DF=AD=CE,∠F=∠DCE=60°，BF=DC. ∴.△BFD≌△DCE(SAS),.BD=DE. 60D 由题意得，∠ABC=90°-60°=30°， E D 44c=24B=号×300=150km, 方法二：过点D作DG∥AB交BE于点G,则△CDG 150<250,.A市受沙尘暴影响， 是等边三角形，证△BCD≌△EGD(SAS)即可. 设从D点开始受影响，由勾股定理得，CD= 3.(1)证明：过点D作DG∥BC交AC于点G. √/AD2-AC=√2502-1502=200km, ,△ABC是等边三角形，∴，△ADG是等边三角形. ∴.受影响的距离为2CD=400km, .DG=AD=CE. 受影响的时间=400÷10=40h. ∴.△DFG≌△EFC(AAS),∴.DF=EF 答：A市受沙尘暴影响的时间40h. 4.解：延长CD,BA交于点M,构造30°的Rt△CBM, :∠ADC=120°，.∠ADM=60°. ∠C=30°，∠B=90°， ∴.∠M=60°，.△ADM为等边三角形，设AD=AM =DM=x,.8+x=2(x+2),x=4,.AD=4. (2)解：由(1)得GF=CF,:DH⊥AG,∴.GH=AH, 六4c=+M+F=2R,=号 技巧专题3巧构30°角的直角三角形 1.解：连接AE.DE垂直平分AB,BE=AE,∠B= ∠BAE.AB=AC,∠C=30 技巧专题4角平分线 ∴.∠BAC=120°，∴.∠EAC=90°， 1.证明：过点C作CF⊥AD于点F ∴.CE=2AE=2BE. B 116 CE⊥AB,∴.∠F=∠CEB=90°. (2)5x-3x-5x×10%-20000>0. ∠ADC+∠B=180°，.∠CDF=∠B. 9.解：设她在期末考试中数学应得x分，依题意有：85 AC平分∠BAD,∴.CF=CE,AF=AE. ×40%+60%x≥90. ∴.△CFD≌△CEB(AAS),∴.FD=EB, 精练2不等式的解集 .'AE=AF =AD+FD=AD BE. 1.A2.D3.B4.x<2 2.证明：在AB上截取AE=AC,连接DE. 5专43202时4 AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD, 6.B7.100≤x≤120 .△ACD≌△AED(SAS),∠C=∠AED>∠B. 8.解：设B型钢管长xcm,则A型钢管长(2x-5)cm, 根据题意，得2(x+2x-5)>290. 9.1 精练3不等式的基本性质 B 1B2>3<4D5D62<< 3.解：延长AP交BC于点D. AD⊥BP,BP平分∠ABC 7.解：(1)x>5(2)x<2(3)<-；(4)x>-6 ∴.∠BPA=∠BPD=90°，∠ABP=∠DBP, 8.解：由题意知a-1<0,∴.1a-11=-(a-1)=1 .△ABP≌△DBP(ASA),∴.AP=DP, -a. Sam=Sam5awe=5ae5oe=25a=2 9.解：(1)a>b,.a-b>0,.(3a+2b)-(2a+3b) =a-b>0,.3a+2b>2a+3b; (2)4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3>0, .4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1. 精练4一元一次不等式的解法 B 1.A2.03.A4.C 4.证明：延长AE交B0的延长线于点F.易证△ABE≌ 5解：(1)x<-子，将解集表示在数轴上如下： A FBE(ASA),..AE=FE...AF=2AE, :∠AEB=∠AOB=90°，·∠OAF+∠AF0=90°， ∠OBD+∠AFO=90°，∴.∠OAF=∠OBD, 420234分 又：OA=OB,∠AOF=∠BOD=90°， (2)x≥-2， .△AOF≌△BOD(ASA),∴.AF=BD,.BD=2AE. 将解集表示在数轴上如下： 54321012345> 6.B7.A8.4≤a<6 9.解：(1)-7 (2)根据定义：当3x-4≥2x+3,即x≥7时， 第二章不等式与不等式组 (3x-4)※(2x+3)=2(3x-4)+(2x+3),原等式 精练1不等关系 成立； 1.C2.a-2≤03.x+2y>04.B5.C 当3x-4<2x+3,即x<7, 6.2m-n≥57.19.99≤L≤20.01 根据定义：(3x-4)※(2x+3)=2(3x-4)-（2x+ 8.解：(1)15x+2.5(50-x)≤290； 3)=2(3x-4)+(2x+3),2x+3=0, 117