第07讲 正切函数的图象与性质（知识清单+10题型讲解举一反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第07讲 正切函数的图象与性质 知识清单 知识点01：正切函数的图像与性质 题型讲解 （举一反三） 题型1：正切函数的图象 题型2：利用正切函数的单调性求参数 题型3：求正切（型）函数的奇偶性 题型4：由正切函数的奇偶性求函数值 题型5：求正切（型）函数的周期 题型6：由正切函数的周期求值 题型7：求正切（型）函数的对称中心 题型8：求正切（型）函数的定义域 题型9：求正切（型）函数的值域及最值 题型10：求含tanx的二次式的最值 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 题型1：正切函数的图象 【例1-1】是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】利用特值法，结合充分必要条件的定义即可 【详解】由于满足，但推不出，故必要性不满足； 由于满足，但正切值不存在，所以充分性不满足； 所以是的既非充分也非必要条件 故选：C 【变式1-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 【变式1-2】满足的所有的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意结合正切函数的性质解方程可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得， 所以所有的集合为. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，由特殊角的三角函数值，结合三角函数的周期性，代入计算，即可求解. 【详解】（1）由题意得或，． ∴或． ∵，∴ （2）由题意得，， ∴． ∵，∴． （3）由题意得或，， ∴或． ∵，∴． 题型2：利用正切函数的单调性求参数 【例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 【变式2-1】若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 【变式2-2】已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是严格减函数， 所以，，， . 故答案为： 【变式2-3】已知函数在区间上的最大值为7，最小值为1，求和的值. 【答案】或. 【分析】分类讨论的值，从而得到函数的单调区间，再利用函数的最值求解即可. 【详解】当时，，不符合题意，舍去. 当时，在区间上为增函数， ，解得 ，. 当时，在区间上为减函数， ，解得 ，. 题型3：求正切（型）函数的奇偶性 【例3-1】（2024高一·上海·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．在第一象限单调递增 B．在函数中，越大，也越大 C．当时，总有 D． 的图象关于原点对称 【答案】D 【分析】取特殊值代入检验结合奇偶性定义即可判断出结果． 【详解】在第一象限内取两个数，有 因为，但，不满足增函数定义，故A，B错； 取，有，故C错； 由的定义域为关于原点对称，且 故为奇函数，所以图象关于原点对称，D正确． 故选：D 【变式3-1】有下列命题①是增函数；②是减函数；③是奇函数；④是偶函数.其中所有正确命题的序号是 . 【答案】④ 【分析】根据三角函数的基本性质对选项一一分析即可. 【详解】由正切，余切函数的定义域知，两个函数均是不连续的，即不是单调函数，故①、②错误； 对于函数，在时，，在时，函数无意义，定义域不对称，则其是非奇非偶函数，故③错误； 由知，函数是偶函数，故④正确； 故答案为：④ 【变式3-2】已知函数，其中，若，则 ． 【答案】2 【分析】构造奇函数，根据奇函数的性质求解即可. 【详解】设，则， 因为，所以为奇函数， ，所以，则， 所以， 故答案为:2. 【变式3-3】（2024一·上海·专题练习）判断下列函数的奇偶性 （1）（2） 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）非奇非偶函数． 【分析】根据函数奇偶性定义判断即可． 【详解】（1）由得， 所以定义域为不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数； （2）由得， 所以定义域为不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数． 题型4：由正切函数的奇偶性求函数值 【例4-1】函数，若，则的值为 【答案】0 【分析】由，可得，然后再求出 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 故答案为：0 【变式4-1】已知函数，且，则 ． 【答案】0 【分析】由得，再由即可求解． 【详解】由，所以 又 故答案为：0 【变式4-2】已知函数，且，则 . 【答案】0 【分析】计算得到，代入计算得到答案 【详解】， 则. 故答案为： 【变式4-3】（24-25上海嘉定·期末）已知，且，则= . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数、正切函数的奇偶性求解. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为： 题型5：求正切（型）函数的周期 【例5-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 【变式5-1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，并利用整体法验证函数的单调性，得到答案. 【详解】A选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递减，故A正确； B选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故B错误； C选项，的最小正周期为，不合要求，C错误； D选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故D错误； 故选：A 【变式5-2】（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 【变式5-3】求函数的最小正周期．（要求写出求解过程） 【答案】 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. 【详解】函数的最小正周期为， 的图象向右平移个单位得到， 再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到， 则最小正周期为，所以函数的最小正周期为. 题型6：由正切函数的周期求值 【例6-1】函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得函数的最小正周期为，即可求出，再代入求值即可； 【详解】解：因为函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，所以函数的最小正周期为，所以，所以，所以，所以 故选：B 【变式6-1】（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 【答案】或 【分析】根据正切型函数的周期公式计算得解. 【详解】由，解得. 故答案为：或. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（）的最小正周期是2，则a的值为 . 【答案】/ 【分析】由正切函数的周期公式计算可得答案. 【详解】由正切函数的周期公式得，， 解得，， 故答案为：. 【变式6-3】若，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求解即可. 【详解】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 题型7：求正切（型）函数的对称中心 【例7-1】函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断. 【详解】令， 解得， 所以函数图象的对称中心是， 令,得函数图像的一个对称中心是， 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期中）点 正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可. 【详解】的对称中心为， 所以是正切函数图象的对称中心. 故答案为：是 【变式7-2】函数的图像关于点 成中心对称. 【答案】， 【分析】根据正切函数的对称性可得出函数图象的对称中心点的坐标. 【详解】由正切函数的基本性质可知，函数的图象关于点成中心对称， 令 得，所以函数的图像关于点成中心对称 故答案为：． 【变式7-3】已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 题型8：求正切（型）函数的定义域 【例8-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】利用分式和正切函数的定义域求法，列不等式求解. 【详解】由函数， 则，即， 所以函数的定义域且， 故答案为：且 【变式8-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据被开放数的非负性和正切函数有意义的条件列不等式求解，再取交集． 【详解】解：要使得有意义， 则， 解得：，同时去掉和， 故函数的定义域是：， 故答案为：． 【变式8-3】求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【分析】根据正切型三角函数定义域、单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 题型9：求正切（型）函数的值域及最值 【例9-1】（24-25上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 【变式9-1】函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 【变式9-3】（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 【答案】答案见解析 【分析】由和去掉上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变，当时，函数在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，画出即可. 【详解】由已知，设， 可知，函数的定义域为： ，值域为R； 当时，函数在y轴右侧的图像即为的图像不变； 当时，在y轴左侧的图像为在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实线部分）. 题型10：求含tanx的二次式的最值 【例10-1】函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 【变式10-1】函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式10-2】（24-25海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 【变式10-3】已知，求它的最小值 【答案】2 【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２. 【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 【答案】 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 3．函数包含的一个严格增区间是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性求的单调区间，进而可得结果. 【详解】令，解得， 可知函数严格增区间是， 又因为包含， 可知，所以函数包含的一个严格增区间是. 故答案为：. 4．（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期为： 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为 ． 【答案】， 【分析】由正切型函数为奇函数，根据正切函数的对称中心求解即可. 【详解】若函数（，）为奇函数， 则根据正切函数的对称中心可得，． 所以，， 故答案为：， 6．（24-25高一下·上海徐汇·月考）命题：的充要条件为 【答案】{} 【分析】使、有意义以及分母不为0即可. 【详解】欲使有意义， 则，且，且即， 则且，其中 则的取值范围为{} 故答案为：{} 7．（24-25高一下·上海松江·月考）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数的最小正周期为，结合周期，即可得到答案. 【详解】由正切型函数的图象与性质，可得函数的最小正周期为， 所以直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 8．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 9．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 【答案】 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 10．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 12．数，的部分图像如下图，则 .    【答案】/ 【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值． 【详解】由题意的最小正周期是，所以， ，而，所以， ，，所以， ． 故答案为：． 二、单选题 13．函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断即可. 【详解】函数为最小正周期为的奇函数. 故选：C 14．下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义域和奇偶性直接分析判断即可. 【详解】由三角函数可知：，的定义域均为R， 的定义域为，不为R，故C错误； 且为偶函数，为奇函数，可知为非奇非偶函数， 故AD错误，B正确； 故选：B. 15．（25-26高一·上海·假期作业）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 16．（24-25上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，即可判断②. 【详解】依题意得，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4048个零点，故②为真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的定义域，并讨论它的单调性. 【答案】，在区间（）上是严格增函数. 【分析】根据正切函数的定义域与单调性直接可得解. 【详解】由（）， 得（）. 的定义域为. 又由在每个区间，上是严格增函数可知： 当（）， 即（）时， 是严格增函数， 即在区间（）上是严格增函数. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x的集合． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把看成整体角，结合正切函数的图象和函数值，即可求得的范围即得； （2）利用函数奇偶性化简得到，即得，，解之即得. 【详解】（1）， ∴，，， ∴角x的集合是. （2）因正切函数的周期为， 由函数的奇偶性可得， ∴，， ∴角x的集合是. 19．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 20．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正切函数的最小正周期公式计算即可; （2）由，可得，然后解正切函数方程即可. 【详解】（1）最小正周期． （2）由，， 由题意可得，，解得，， 故方程的解集为． 21．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】(1)不是，是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【详解】（1）对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. （2）若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. （3）由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 正切函数的图象与性质 知识清单 知识点01：正切函数的图像与性质 题型讲解 （举一反三） 题型1：正切函数的图象 题型2：利用正切函数的单调性求参数 题型3：求正切（型）函数的奇偶性 题型4：由正切函数的奇偶性求函数值 题型5：求正切（型）函数的周期 题型6：由正切函数的周期求值 题型7：求正切（型）函数的对称中心 题型8：求正切（型）函数的定义域 题型9：求正切（型）函数的值域及最值 题型10：求含tanx的二次式的最值 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 题型1：正切函数的图象 【例1-1】是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 【变式1-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为 ． 【变式1-2】满足的所有的集合为 . 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集． (1)，； (2)，； (3)，． 题型2：利用正切函数的单调性求参数 【例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【变式2-2】已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式2-3】已知函数在区间上的最大值为7，最小值为1，求和的值. 题型3：求正切（型）函数的奇偶性 【例3-1】（2024高一·上海·专题练习）下列命题中正确的是（    ） A．在第一象限单调递增 B．在函数中，越大，也越大 C．当时，总有 D． 的图象关于原点对称 【变式3-1】有下列命题①是增函数；②是减函数；③是奇函数；④是偶函数.其中所有正确命题的序号是 . 【变式3-2】已知函数，其中，若，则 ． 【变式3-3】（2024一·上海·专题练习）判断下列函数的奇偶性 （1）（2） 题型4：由正切函数的奇偶性求函数值 【例4-1】函数，若，则的值为 【变式4-1】已知函数，且，则 ． 【变式4-2】已知函数，且，则 . 【变式4-3】（24-25上海嘉定·期末）已知，且，则= . 题型5：求正切（型）函数的周期 【例5-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 【变式5-3】求函数的最小正周期．（要求写出求解过程） 题型6：由正切函数的周期求值 【例6-1】函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（）的最小正周期是2，则a的值为 . 【变式6-3】若，且满足，则的最小值为 ． 题型7：求正切（型）函数的对称中心 【例7-1】函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期中）点 正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【变式7-2】函数的图像关于点 成中心对称. 【变式7-3】已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 题型8：求正切（型）函数的定义域 【例8-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是 . 【变式8-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域是 ． 【变式8-3】求函数的定义域和单调区间． 题型9：求正切（型）函数的值域及最值 【例9-1】（24-25上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式9-1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【变式9-1】函数，的最大值为 . 【变式9-3】（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像． 题型10：求含tanx的二次式的最值 【例10-1】函数，的最大值与最小值之和为 . 【变式10-1】函数，的值域为 ． 【变式10-2】（24-25海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值． 【变式10-3】已知，求它的最小值 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则 ． 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 3．函数包含的一个严格增区间是 ． 4．（24-25高一·上海·随堂练习）函数的最小正周期为 ． 5．（24-25高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为 ． 6．（24-25高一下·上海徐汇·月考）命题：的充要条件为 7．（24-25高一下·上海松江·月考）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 8．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 9．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 10．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 11．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 12．数，的部分图像如下图，则 .    二、单选题 13．函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 14．下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一·上海·假期作业）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 16．（24-25上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数的定义域，并讨论它的单调性. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）分别求满足下列条件的角x的集合． (1)； (2)． 19．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 20．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求方程的解集． 21．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $