第07讲 几个三角恒等式（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 第07讲几个三角恒等式 内容预览 知识清单 知识点01：积化和差公式与和差化积公式 知识点02：半角公式及万能公式 题型讲解 题型1：积化和差与和差化积公式的应用 题型2：半角公式、万能公式的应用 (举三反三) 题型3：三角恒等变换的应用 强化训练 单选题(8) 二、多选题(3) 三、填空题(3) 四、解答题(5) 知识清单 知识点1积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 sin a cos B=[sin(a-B)+sin(a+B)] cosasin B-[sin(a+B)-sin(B)] 1 cosa cos B-cos-B)+cos)] 1 sin a sin B=-[cos(a-β)-cos(a+β)] 2、和差化积公式 sina+sin B=2sinBcos 2 2 sina-sin B=2cossina-B -sin- 2 2 2 Pcos a-B cosa+cosB=2cos 2 2sin 3-B cosa-cosB--2sinBsir 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3、应用和差化积公式时的注意事项 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 (3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式， 1 -cos a cos π -cosa 如2 3 知识点2半角公式及万能公式 1、半角公式 simg=±2 1-cosa 1+cosa 1-cosa sina 1-cosa 2 tan2=± 2 V1+cosa 1+cosa sina 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的 a sina 1-cosa tan-= 2 1+cosa sina Sin tan 2 2sin2 1-cosa 2 coS- 2sinco sing 2 °2 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 2、万能公式 2tan 2 a 1-tan2 a 2 2tan sina = 2 coSa= tana= 1+tan2 21 1+tan2 2: 1-tan2 2 3、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围； a sina 1-cosa tan (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 2 1+cosa sina, 其优点是计算时可避免因开方带来的 in21-cosa cos2=1+cosa 求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用 22 22计算。 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期昧 888 题型讲解 题型1：积化和差与和差化积公式的应用 【例1-1】(24-25高一下·江苏宿迁·月考)下列等式恒成立的是() A.cos(a-B)=cosa cos B-sinasin B B.sin(a+B)=sina cos B-cosa sin B C.cosa-cosB=-2sinBsinB 2 2 D.sinsinB=[cos(+)-cs)] 【例1-2】case-co啡=写ini,则am“邯-一 2 【例1-3】求下列各式的值： (1)sin54-sin18'; (2)cos146°+c0s94+2cos47°cos73°. 【变式1-1】(2425高一上江苏无锡期末)已知角a,B满足coa=8coa+)c@s月=}，则coa+2B的值为 () ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期术二 1 A.12 B. 6 D. 【变式12】(2425高一上江苏附京：期未)如图所示，已知角a,B0<口<B<受的始边为x轴的非负半轴，终边 与单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C,则以下结论正确的有一 ①∠AOB=B-a: ②OM=cosB-a 2Γ； ③点c的坐标为 2 ④点M 的坐标为 cosB cosB-asin aB sin B-a 2 2 2 2 【变式1-3】(2024高一下·江苏·专题练习)证明下列恒等式. cosa-cosB=tan B-a. (1)sina+sinB 2； cos2x+cos2y cos(x-y) (2)1+cos2(x+y)cos(x+y) 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 题型2：半角公式、万能公式的应用 【例2-1】(2425高-下打苏南通月考)若na-a's=办则m宁的值为(） A.1+b B.1-b C. 1-b 1-b D. a a 11+b 【例2,2】已知a0引，osu则sn号一 【何2】已知sm2a--m8=后且a行列.及0求or2am的值 变式2-】(24-25高一下江苏盐城期中)设a=7c0s7°V 2sin7°，b=、2tan120 1-cos50° =1+tan212o,c-y2 则有() A.c<b<a B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 【变式2-2】已知an(+巳)=y6 2 2 tan a tan B=与，则cosa-B)的值为→ 03 25,求： 【变式2-3】已知8∈（元，2m)且sin)= sine (01+cos0 J 1,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)sin0+2cos0 题型3：三角恒等变换的应用 【例3-1】(24-25高一下江苏连云港·月考)若sina tana=cosa-4sina,则cos4a=() A.、3 c.日 1 D.9 【例3-2】在△ABC中，若sinC+sin(B-A)=sin2A,则△ABC的形状一· 【例3-3】(25-26高一上江苏无锡·月考)计算 1)求an20°+tam40°+tan120 tan20°tan40° 的值. (2)tan70°cos10V5tan20°-1： (3)sin50°1+V3tanl0. 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 a+川=吾，则a+B的值为 3 【变式3-1】(24-25高-下江苏镇江期末)已知。'B为锐角，aa二 () A. 3π 4 B,元 c号 03 4 【变式3-2】(24-25高-下-江苏宿迁期中)已知c0sA=反c2a+,且a+B*受+(keZ,则 tan(a+B)tan a= 【变式3-3】(24-25高一下江苏·月考)已知a∈ sina 10 (I)求tano和sin2a的值： (2若sina+P)=-25 ,B为锐角，求sin(a-E)的值： 日老0-号p为放角.求角a+2B 强化训练 一、单选题 .已知cos2a=-2,则sina=( 个 1,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 A. B.z c. D.3 sina cosa=1,tan(-B)=,tan B=() 2.已知1+cos2a A B.号 7 C.6 D 3.(24-25高一下·江苏连云港期末)已知为钝角，sina+simB=sin 6 +sm(B-,则-() A.12 π B. 2π C. 5π D.6 A.45-3 B.4+3V5 C.4-35 D. 45+3 10 10 10 10 已知sm9+sin0-孕=山，则sin(20+?=(） 5. 6 1 A.3 B.3 c.3 6.(24-25高一下江苏准安·期末)若sin0=2cos10°.cos(20°-0)，0°<0<180°，则0=() A.50° B.60° C.70° D.80° 6cos20,则m28=（） A. 9 C.5 D P 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 3π sin a- 8》 8.(24-25高一下·江苏南通期中)若 tangtan灭、1’则 =() π） cos a- 82 8 1 1 A.-3 B.3 C.3 D.3 二、多选题 ).(2425商一下江苏扬州期中)已知m。《。4,则下列说法正确的是（） A.tana=3 7 B. ma引-片c.-2 D.cos2a=- 25 25 10.给出下列四个关系式，其中正确的是() A.sincsinB-[cos(+B)-cos(a-B)] B.imosi cocospco)-cos C. D.cosasinB-[sin(B)-sin(] 11.(24-25高一下·江苏镇江·月考)下列等式正确的是() A.(1+tanl8)(1+tan27）=2 B.V1+cos4=√2cos2 1 5 C.4sin18°cos36°=l D. sinl0°cosl0° 三、填空题 9 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件讲义、单元、月考、期中期味。 12.(24-25高一下·江苏南京·期中)若是第一象限角，且 1一1an2的值为一 。4,则 sina=- 1+tan 2 13. 0西育-上苏专超练习》已知oa0-气a区》则的性为 ￥，ae3 1-tand 14.cos37.5°c0s22.5°=- 四、解答题 sin2a 15.(24-25高-下·江苏南通·月考)已知1+sin2a-cos2a =4 (I)求tanc的值； sin(a-B) 2若ana-p=-'米cosa+B的值 16、242必商下江苏连云满期时)E知e-引片mB-日R对后 (1)cos2a的值： (2)B-2a的值. 10宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第07讲几个三角恒等式 内容预览 知识清单 知识点01：积化和差公式与和差化积公式 知识点02：半角公式及万能公式 题型讲解 题型1：积化和差与和差化积公式的应用 题型2：半角公式、万能公式的应用 (举三反三) 题型3：三角恒等变换的应用 强化训练 一、单选题(8) 二、多选题(3) 三、填空题(3) 四、解答题(5) 知识清单 知识点1积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 sin o=[sin(B)+sin() cosa sinBsin(B)-sin(B 1 cosa coscos)+cosB)] sin sin cos(B)cos(+ 2、和差化积公式 sina+sin B=2sinB coa-B -cos- 2 2 sina-sin B-2cosin 2 2 cosa+cosB=2cosB-B 2 -cos- 2 Psin a-B cosa-cosB=-2sinBsi 2 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 3、应用和差化积公式时的注意事项 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式，之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 (3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式， 如-cos a=cos--coSa 3 知识点2半角公式及万能公式 1、半角公式 Sin a 1-cosa cos a 1+cosa sina 1-cosa =士 tan =士 1-cosa 2 2 2 V1+cosa 1+c0S0 sina 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的 sina 1-cosa tan-= 2 1+cosa sina sin- 2sin2 1-cosa tan 2 2 2sin-cos sina coS- 2 2 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 2、万能公式 2tan2 1-tan2 Q 2tan sina = coS=- 2 tana 2 1+tan2 1+tan2 1-tan2 2 2 2 3、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围； (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan a sina 1-cosa 其优点是计算时可避免因开方带来的求 2 1+cosa sina 角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时， 常利用sin2c- 1-c0s0 c0s2g-1+cos0计算。 2 888 题型讲解 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 题型1：积化和差与和差化积公式的应用 【例1-1】(24-25高一下·江苏宿迁月考)下列等式恒成立的是() A.cosa-p)=cosa cosβ-sina sinβ B.sina+β=sina cosβ-cosa sin B C.cosa-cosB=-2sinBsinB 2 2 D.sinsin cos)-co] 【答案】C 【分析】直接由和角公式展开即可验证ABD:对于C,令a+A&,,B+卢a-A代入左边，根据公云 2 22 展开即可验证 【详解】对于A,cosa-B)=cosa cos B+sina sin B,故A错误； 对于B,sin(a+β)=sina cos B+cosa sin B,故B错误： 对打c因为au-o-cm时色+“2}ow-“） =cosa+B cosa-B-sina+Bsina-Bcosa+B cosa-B+sina+Bsina-B 2 2 2 2 2 2 2 2 5-2nsm“,故c正痛： 2 对于D,因为[cos(a+B)-cos(a-B]=[o-sin)-(c+sinsin)] =。×(-2 sina sin)=-sina sin B,，故D错误 2 故选：C 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【例1-2】cosa-cosB=- 3.sina-sinB=1 ),则ana+B 2 【答案】 2-3 【分析】根据和差化积即可求解 【样解1cw-om啡-mn明0，“）-eo个0生-学分sm学n学-君 )-n 2 =4 由于sima二B+0,故两式相除可得ana+P_2 2 23 故答案为： 2 【例1-3】求下列各式的值： (1)sin54°-sinl8; (2)cos146+cos94+2cos 47'cos 73. 【答案】()片 1 ②2 【分析】(1)利用和差化积公式和二倍角的正弦公式以及诱导公式化简即可； (2)利用和差化积、积化和差公式化简即可. 详解)（1)sin54-sinl8=2cos4)。sin4s=2cos36sin18 2 =2.2sin18cos18cos36_2sin36°cos36_sin72° cos18°1 2cos18° 2cos18" 2cos182c0s18=2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)cos146+cos94'+2cos47'cos 73 -2cos146+94cos146,94+2xcos47+73）+cos47-73] 2 2 =2cos120cos26+2×cos120'+c0s26） -2x}s26++s26 -cos 26+ +c0s26°=- 【变式1】2425盒上江苏无锡期末)已知角a,B满足c0su三，e0sa+c0sB3则0sa+2)的值为( A.2 1 1 B. 6 c. D. 【答案】C 【分】折利用积化和差公式得到easa+刷easB=coa+2p)+c],代入求值即可 【详解】cosa=cose+9)cosB- 由积化和差得cosa+B)eosB=[cosa+B+P)+cosa+B-P], cos(a+B)cosB-[cos(a+2B)+cosa] 故 cos(a+2)+5]=1 高]解得su+29-号是4 故选：C 【变式12】(2425高一上江苏南京期末)如图所示，已知角a,B(0<a<B<孕的始边为x轴的非负半轴，终边与 单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C,则以下结论正确的有 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 ①∠AOB=B-a; ②l0M|=cosB-a 2 ③点C的坐标为 cosa+Bsina+B） 2 2 ④点M的坐标为 coscos-asinsina 2 2 2 2 【答案】①②③ 【分析】由角的定义求解可判断A;由圆的性质及角的定义求解可判断B;由三角函数定义求解可判断C;由中点坐 标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D 【详解】∠A0x=a,∠B0x=B,0<a<B<号∠A0B=B-a,①正确， 依题意，知M为AB的中点，OM⊥AB,∠AOM=B-a→Mcos∠AOM=cosB,“,②正确， 又C为劣弧AB的中点，∠COx=a+B-&=B+a 2 2 又oc1,点c的坐标为eas生n月 ③正确： 2 M为AB的中点，A(cosa,sina),B(cosB,sinB),则点M的坐标为 cosa+cosB sina+sinβ 2 2 6 宋老师数学图文制作室 :1 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 cos| a+BB-a,。 +cos a+BB-a cosa cosB 22 、2 2 0+阝β-a, cos 2 2 2 sin a+B B-a +sin a+B+B-a sina +sinB 22 2 2 =sin a+BcosB-a, -cos 2 2 2 2 :点M的坐标为 -cos 2 2 2 2, ④错误 故答案为：①②③ 【变式1-3】(2024高一下江苏专题练习)证明下列恒等式 (①osa-cos =tan B-a sina +sin B 2 cos2x+cos2ycos(x-y) (②)1+c0s2(x+) cos(x+y) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用和差化积公式化简整理即可得到结果； (2)利用和差化积、二倍角公式化简整理得到结果， cos| a+阝a-阝 -cos a+B a-B 【详解】(1)cosa-cosB」 2 2 22 sina+sin B a+B:a-B sin a+阝_a-B 2 2 2 2 = 2sin a-B -2sin +B -sina-B sin B-a 2 2 = 2=tan8-a =阝- d+B.cos cos2 cos 2 2 2 2 (2) cos2x+cos2y_cos[(x+y)+(x-y)]+cos[(x+y)-(x-y)] 1+cos2(x+y) 1+cos2(x+y) 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 2cos(x+y)cos(x-y)cos(x-y) 2cos2(x+y) cos(x+y) 题型2：半角公式、万能公式的应用 【例2-1】(24-25高一下江苏南通月考）若sina=a,cosa=b,则tang的值为() A.1+b B. 1-b C. 1-b D 1-b a a V1+b -1+b 【答案】B 【分析】利用倍角公式化简得出ang-二cosa即可求解 2 sina 【详解】因为sina=a,cosa=b, Sin a 2sin 所以tan 2 1-cosa 1-b cos sina 2 2sin 2 故选：B 【例2-2】已知a∈ 【答案】 3 【分析】由半角公式求解 【详解】ae(0,2) 则sing>0, 由半角公式可得sin 1-cosa 2 3 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 故答案为： 3 3 【例23】已知sm2a-)-号smB=号，1ae行，B(号0， 求cos2a、sina的值， 【答案】cos2a=56 ’sina= 3√130 130 【分析】求出2a-B的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求得cos2a-B)、cosB,利用两角和的余弦公式 可求得cos2a的值，再利用半角公式可求得sina的值 【详解】因为a∈ 经B(小则<2a-B<经 、21 因为sm2a-刷-房血月=吕则2a2a-B经 所.12a-1-m20-可=-得 cos B=1-sin'B=11--13=13 .'.cos2a=cos[(2a-B)+B]=cos(2a-B)cosB-sin(2a-B)sinB 4.531256 5*13513F65 56 1 33V130 ∴.sinc= 1-cos2a 65 2 2 V130130 【变式2-1】(24-25高一下江苏盐城期中)设a=1 c0s7° 2s9in7°，b 2tanl2° 1-cos50° 1+tan212o’c= 则有() 2 A.c<b<a B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 【答案】D 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可 【详解】a= 2c0s7°、V3 sin 7=sin 30cos7-cos30 sin 7sin(0)sin23, 2sinl2° 2sinl2° b= 2tanl2° c0s12° 1+tan212° 71sin2120=cos2=2sin12°cos12°=sin249, 1 c0s212°c0s212° 1-cos50° C= =V√sin225°=sin25°， 由于y=sinx在0， 上单调递增，所以sin23°<sin24°<sin25°， 2 即a<b<c, 故选：D 【变式2】已知am生)- 2,tana tan B=」 3,则cos(a-B)的值为 1 【容】 【分折】应用三角弱数的恒等变换公式对B-。黑分安形求行ca一B)=一 cosa cosβ 3cosa+B),再由an“+B求得 2 cos(a+B),可得结论. sina sin B [cos(a-B)-cos(a+B)]13 【详解】tana tan B= cosa cos B 2 (cos(a-B)+cos(a+B)] 7 所以cos(a-B)=-10 cos(a+β)， 3 1-tan2+B 2 1 cos(a+B)=- I+tan2a+B=- 2P1+(6 10