精品解析：广东湛江市雷州市2025-2026学年第一学期九年级期末素养检测训练数学试卷

2025－2026学年度第一学期九年级数学期末素养检测训练 友情提示：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 经过交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 小明投篮一次，命中 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类． 逐一判断即可． 【详解】解：A． 瓮中捉鳖是必然事件； B． 任意画一个三角形，内角和应为，其内角和为是不可能事件； C． 经过交通信号灯路口，遇到红灯是随机事件； D． 小明投篮一次，命中是随机事件； 故选：A． 3. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别一元二次方程，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：符合一元二次方程定义的需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A：含有分式，不是整式方程，故不符合题意； B：形式为，但可能为0，当时不是一元二次方程，故不符合题意； C：含有两个未知数和，不是一元二次方程，故不符合题意； D：只含未知数，且未知数的最高次数为2，是整式方程，故符合题意； 故选：D． 4. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，关键是根据简单概率公式列方程求解；根据频率估计概率，黑球的概率等于黑球数量与总球数的比值，据此列方程求解． 【详解】解：∵ 摸出黑球的频率稳定在0.4附近， ∴ 黑球的概率为0.4， 即 ． 解得： ． 经检验，符合题意． ∴的值为6． 故选：A． 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，掌握圆的相关性质是解题关键．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故选：C． 7. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴， ∴平移后所得抛物线的表达式为， 故选：A 8. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 9. 如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过作于，判定是等边三角形，得到，求出，于是扇形的面积，由等边三角形的性质得到的长，由勾股定理求出，进而求出的面积，根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过作于， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ，  故选：D． 10. 已知函数和图象关于点对称，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把函数解析式化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键．两个二次函数的图象关于点P对称，则它们的顶点也关于点P对称，先求出两个函数的顶点坐标，再求其中点即为点P的坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵图象关于点P对称， ∴点P为点和点的中点， ∴点P的横坐标，纵坐标 ， ∴点的坐标为， 故选：B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标都互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点，其横坐标为，纵坐标为， 因此对称点坐标为． 故答案为：． 12. 写出一个同时满足下列两个条件的二次函数解析式：①开口向下；②顶点坐标为，可以是____________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，其中顶点坐标为，代入给定顶点得，再根据开口向下条件确定，取即可得到满足条件的解析式. 【详解】设二次函数解析式为，其中顶点坐标为． ∵顶点坐标为， ∴，， 代入，得． 又∵开口向下， ∴． 取，得， 此函数满足开口向下且顶点为． 故答案为（答案不唯一）. 13. 某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个班级需与其他个班级比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为 ，根据总场数为21，列出方程即可． 【详解】解：设八年级共有x个班级， 根据题意，每两个班级之间进行一场比赛，总比赛场数为； 因此，方程为 ， 故答案为： ． 14. 若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 15. 如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最大值是__________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，中位线的判定与性质，根据题意得出点的移动轨迹，再根据的延长线交于点，此时的长最大，进行计算即可． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴O为的中点，， ∵D为的中点， ∴是的中位线 则， ∴， 如图，当点P在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的， ∵ 的直径为4， ∴ 因此的延长线交于点，此时的长最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）本题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， 或 ， 解得：，． 17. 将经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出三角形． （1）顶点坐标为______，的坐标为______． （2）将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是______，旋转角的度数是______． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和旋转的性质，能正确得出各个点的坐标是解答此题的关键． （1）根据点和点的坐标得出平移方式，再画出图形即可解答； （2）先作线段和的垂直平分线，得出交点即为旋转中心；根据勾股定理及其逆定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可知，点的坐标为， 又将经过平移后得到，点的坐标为，且，， 将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的． ，， ，， 即，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图所示，连接，， 分别作线段和的垂直平分线，交点即为旋转中心， 由作图可知，旋转中心点的坐标是； 如图，连接，， 由勾股定理可得，，， ， ， 是直角三角形， ， 即旋转角的度数是． 故答案为：，． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．子华中学九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图． （1）填空：______，______； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； （3）已知甲、乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 【答案】（1）； （2）150 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用乘以B的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有（人） 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果为（甲，乙）和（乙，甲），共有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 19. 综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： （1）确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）探究隧道限高方案：使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【答案】（1） （2）该隧道限高米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求二次函数解析式，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，然后设该二次函数的表达式为，然后利用待定系数法解题即可； （2）先求得点，然后代入，求得其函数值，即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 不妨设该二次函数的表达式为，代入点， 得 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∵保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米． ∴该隧道限高（米）． 答：该隧道限高米． 20. （1）引入： 如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？ （2）引申： 如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由． 【答案】（1）相切；（2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和切线的判定是解答的关键． （1）由，易得，然后由等腰三角形的性质可得，，等量代换可得，即，由切线的判定可得出结论； （2）由（1）可得，等量代换可得∠，由，，易得，得出结论． 【详解】解：（1）相切， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2），理由： ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 21. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）175，3500 （2）（且为整数） （3）当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数实际应用： （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意每件商品的售价上涨x元，则每件利润为元，销量减少为件，从而可求出总利润y，根据每件单价不能高于70元可求x的范围； （3）根据二次函数图像的性质即可求出最大利润及此时的销售定价． 【小问1详解】 解：若上涨5元，每个月可卖出（件）， 每个月的销售利润为（元）， 故答案为：175，3500； 【小问2详解】 解：由题意得：， 由知， 又为正整数， 故（且为整数）； 【小问3详解】 解：二次函数图像的对称轴为， ， ∴二次函数图像开口向下， 根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 五、解答题（三）本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米． 思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值． 【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC2＝. 【解析】 【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解题． （2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可证可得PC＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝，即可求出 【详解】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B， △ABP和△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴DC＝AB． ∵AB＝200米． ∴CD＝200米， 故答案为200． （2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解图1，延长EP交BC于F， 同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS）， ∴PF＝PE，BF＝DE， 又∵AC＝BC，AE＝DE， ∴FC＝EC， 又∵∠ACB＝90°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴PC＝PE，PC⊥PE． ②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF， 同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS）， ∴BF＝DE，PE＝PF＝， ∵DE＝AE， ∴BF＝AE， ∵当α＝90°时，∠EAC＝90°， ∴ED∥AC，EA∥BC ∵FB∥AC，∠FBC＝90， ∴∠CBF＝∠CAE， 在△FBC和△EAC中， ， ∴△FBC≌△EAC（SAS）， ∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴CP⊥EP，CP＝EP＝． ③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点， 当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150° 同②可得△FBP≌△EDP（SAS）， 同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝， 在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1， ∴HE＝，AH＝， 又∵AC＝AB＝3， ∴CH＝3+， ∴EC2＝CH2+HE2＝ ∴PC2＝ 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题． 23. 【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上． 【分析问题】 （1）小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴．相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为__________． 【解决问题】 （2）①小明所猜想的抛物线的解析式为__________； ②以此规律描点，所有的点都在该抛物线上吗？若在，请说明理由；若不是，请举出反例． 【深度思考】 （3）小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或 （2）①；②所有的点都在该抛物线上，证明见解析 （3）的值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标的特征、勾股定理． （1）假设这个点为点，则，且点的纵坐标为，根据勾股定理，可求出点的横坐标，即可得出该点的坐标． （2）①结合坐标顶点和（1）中的点或，可利用待定系数法求出小明猜想的函数表达式；②设点是半径为的圆上一点，用含的代数式表示出点的坐标，找到其横、纵坐标之间的关系，这个关系式就是这个点所在的函数图像的表达式，观察是否和①中猜想一致． （3）由题意得点的坐标为，假设是所描的点，且在上，则，列出关于，之间的关系式，看是否存在正整数解,即可求出的值． 【小问1详解】 解：当点在半径为5的同心圆上时，观察图像可得出其点的纵坐标为，如下图所示： 由勾股定理可得函数图像的横坐标为， 则该点的坐标为或． 【小问2详解】 由图可判断，若为二次函数，则函数对称轴为轴， 假设其函数表达式为， ∵函数经过点和，代入， 得解得， 故函数解析式为． ②点是半径为的圆上一点， 则点的纵坐标为，由勾股定理可得点的横坐标为， 则点的坐标为或， 将点代入 ， 解得，， 故点在这个函数图像上． 【小问3详解】 解：假设是所描的点， 点的坐标为， 则两点长度应为圆的半径， 故 即， 对上式进行变形， 得， ∵，为正整数，故， 代入上式得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九年级数学期末素养检测训练 友情提示：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 经过交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 小明投篮一次，命中 3. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C D. 4. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 8. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数和图象关于点对称，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为______． 12. 写出一个同时满足下列两个条件二次函数解析式：①开口向下；②顶点坐标为，可以是____________． 13. 某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 14. 若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是________． 15. 如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最大值是__________________ ． 三、解答题（一）本题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 将经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出三角形． （1）顶点坐标为______，的坐标为______． （2）将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是______，旋转角的度数是______． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．子华中学九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图． （1）填空：______，______； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； （3）已知甲、乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 19. 综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： （1）确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 20. （1）引入： 如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？ （2）引申： 如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由． 21. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 五、解答题（三）本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米． 思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE数量关系和位置关系分别是　 　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值． 23. 【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上． 【分析问题】 （1）小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴．相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为__________． 【解决问题】 （2）①小明所猜想的抛物线的解析式为__________； ②以此规律描点，所有点都在该抛物线上吗？若在，请说明理由；若不是，请举出反例． 【深度思考】 （3）小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $