精品解析：安徽合肥市庐阳区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

安徽省合肥市庐阳区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点O为坐标原点，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上，点C在x轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，且面积为4，则k的值为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交于点G，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 13. 如图，为的直径，已知，则为________ ． 14. 已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． （1）若，，则的值为__________； （2）在（1）的条件下的值为__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在中，，，，求的值． 18. 如图，在四边形中，平分，，．若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，反比例函数的图象经过A，B两点，连接，过点B作轴，交于点C，若C为的中点，且点C坐标为． （1）求k的值； （2）连接并延长，交x轴于点D，求点D的坐标； （3）连接，求的面积． 20. 如图，是的直径，C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） （1）求的面积（结果精确到平方千米）； （2）求的长度（结果精确到千米）． 七、解答题（本题满分12分） 22. 项目化学习 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价． 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 贡鹅销售单价（元千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； （2）吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润． 八、解答题（本题满分14分） 23. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市庐阳区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为，开口向上，开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 2. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 已知，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质计算即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由已知比例关系，根据比例的性质转化即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 交叉相乘得，即． 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 根据位似的性质，可得， 解得， 点的坐标为． 故选：A． 5. 已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确； 故选：C． 6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在直角三角形纸板中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，点O为坐标原点，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上，点C在x轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，且面积为4，则k的值为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设点A坐标为，由点B在双曲线上，四边形是平行四边形可得点B坐标为，根据四边形的面积为4列方程即可得解． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握平行四边形的性质． 【详解】解：设点A坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点B纵坐标为， 将代入， 得， ∴点B坐标为， ∴四边形的面积为， 解得， 故选：C． 8. 如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理求出，根据圆的性质及线段的和差求出，，根据勾股定理求出，据此即可得解． 【详解】解：连接， ∵是直径，弦， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作于D，根据勾股定理分别求出、，利用面积法求出，再根据正弦的定义计算即可． 本题考查了勾股定理和锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于D， 由勾股定理得：，， ， ∴， 解得：， 则， 故选：B． 10. 如图，正方形中，，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交于点G，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，延长交于P，由正方形的性质得到，，，求出，进而求出；利用等面积法求出，进而求出，；证明，求出，则，再证明，得到，求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图所示，延长交于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 13. 如图，为的直径，已知，则为________ ． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理可知：． 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． （1）若，，则的值为__________； （2）在（1）的条件下的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，进而可得，，由此即可求出的值； （2）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，于是可得直线的解析式为，设，则有，解方程即可求得，过点作轴于点，则，由垂直于同一直线的两直线平行可得轴，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）可得，且，于是得解． 【详解】解：（1），， 二次函数的解析式为，点的横坐标是， 当时，， ， 轴于点，轴于点， ，， ，， ， 故答案为：； （2），， 二次函数的解析式为，点的横坐标是， 当时，， ， 轴于点，轴于点， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 与抛物线交于点， 设，则有： ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 如图，过点作轴于点， ， 轴，轴轴， 轴， ， 由（1）可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，公式法解一元二次方程，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关特殊值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式． 【答案】y=-x2+4x-3 【解析】 【详解】试题分析：根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可． 试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得 解得. ∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3. 即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3. 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在中，，，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解三角形的相关知识，构造直角三角形是解题的关键．通过作高，将原三角形拆分为两个直角三角形，利用含角的直角三角形性质求出边长，再结合勾股定理和余弦定义即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ，， 在中， ， ． 18. 如图，在四边形中，平分，，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，再结合已知条件推出三角形相似，进而得到对应边成比例，最终求出的长． 【详解】解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长是． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，反比例函数的图象经过A，B两点，连接，过点B作轴，交于点C，若C为的中点，且点C坐标为． （1）求k的值； （2）连接并延长，交x轴于点D，求点D的坐标； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据中点坐标求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的函数解析式； （3）根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：点C为的中点，且点C坐标为， 点A的坐标为， 将代入反比例函数解析式，可得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知反比例函数解析式为， 轴， ， 令，可得， 点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 根据题意，可得，解得， 直线的函数解析式为， 当时，得，解得， 点D的坐标为． 【小问3详解】 解：如图， 可知． 20. 如图，是的直径，C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，因此，判定平分； （2）由圆周角定理得到，由平行线的性质推出，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质，等腰三角形的性质推出；由垂径定理，勾股定理求出的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，） （1）求的面积（结果精确到平方千米）； （2）求的长度（结果精确到千米）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键． （1）过点作于点，可得，，在中，根据正余弦可求得、的长度，在中，根据等腰直角三角形的性质，可得的长度，进而得出，根据三角形面积公式求得结果； （2）过点作于点，可得，在中，根据正弦可求出，在中，根据正弦求出即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意可得，， 在中，，， 在中，， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，易证， 在中，， 在中，． 七、解答题（本题满分12分） 22. 项目化学习 项目主题：吴山贡鹅的最优销售单价． 项目背景：吴山贡鹅是安徽省合肥市的一道传统名菜，属于徽菜系．吴山贡鹅源于唐朝乾符年间，已有千年历史．唐末五代十国时期，合肥人民以当地特产鹅配美味佐料制成卤鹅进贡给吴王杨行密，吴王食之大悦，称之为“贡品”，从此吴山贡鹅名扬天下．某校学习小组以探究“吴山贡鹅的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究吴山贡鹅销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到合肥某特产专卖店了解到吴山贡鹅的成本为元千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对吴山贡鹅的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 贡鹅销售单价（元千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该吴山贡鹅每月的销售数量（千克）是吴山贡鹅的销售单价（元千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； （2）吴山贡鹅的单价定为多少时，才能使吴山贡鹅的每月销售利润（元）最大，并求出最大利润． 【答案】（1）一次；； （2）单价定为元时，每月可获得最大利润元 【解析】 【分析】（）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数， 设一次函数关系式为， ∴，解得：， ∴一次函数关系式为， 故答案为：一次，； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴图象开口向下， 当时，， 答：当吴山贡鹅单价定为元时，每月可获得最大利润元． 八、解答题（本题满分14分） 23. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）； （2）证明：∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）略 （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $