18.2 勾股定理的逆定理课件 2025-2026学年 沪科版数学八年级下册

第十八章 勾股定理 18.2第一课时 勾股定理的逆定理 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长 分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3， b＝4； ② a＝4， b＝5； ③ a＝5 b＝12. c=5 c=13 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形， 可不可以通过边来确定直角三角形呢？ b c a A B C 复习回顾 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个便是直角。 探究新知 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 探究新知 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 画以下列数为三边的三角形，用量角器量一量，是直角三角形吗？ 这两组数在数量关系上有什么相同点？ 探究新知 2.52+62=6.52 42+7.52=8.52 a2+b2=c2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 探究新知 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个 三角形是直角三角形. 由上面几个例子，我们猜想： 探究新知 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． A　 B　 C　 a b c a b 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°， A′C′=b，B′C′=a， ∴△ABC是直角三角形 A′ B′ C′ 探究新知 归纳总结 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 特别说明 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理 A B C c b a 探究新知 例1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是, 那么哪一个角是直角？ (1)a=15，b=8，c=17; 解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)a=13，b=14，c=15. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152， 不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 例题分析 例2.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB ²+BC ²=(n²-1)²+(2n)² =n4-2n²+1+4n² =n4+2n²+1 =(n²+1)² =AC ² ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角 例题分析 A B C 例3.如图所示，🔺ABC是直角三角形吗？ 例题分析 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. 勾股定理及其逆定理的综合应用 A B C D 解：连接AC. 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC 2+CD 2=52+122=169=AD 2 ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90° 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 拓展提高 变式1：如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积. A B C D 解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm ∴AC=5cm ∴△ABC是直角三角形,∠B是直角 例题分析 变式2：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm， AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积. A B C D 3 4 12 13 解：连接BD. 在Rt△ABD中, BD 2=AB 2+AD 2 ∴BD=5cm ∵CD=12cm，BC=13cm ∴BC 2=CD2+BD2 ∴△BDC是直角三角形 例题分析 像3，4，5这样，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数 3，4，5 5，12，13 6，8，10 7，24，25 8，15，17 9，40，41 10，24，26 等等 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数是勾股数吗？ 思考 再探新知 若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状. ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0), ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2 ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 再探新知 1.下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 例题分析 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形是( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A 勾股定理 勾股定理的逆定理 题设 结论 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有 了一定的认识，你能说出它们的内容吗? Rt△ABC,∠C是直角 a2+b2=c2 (a,b为较短边，c为最长边) a2+b2=c2 (a,b为直角边，c为斜边) Rt△ABC,∠C是直角 课堂小结 $