18.2 第1课时 勾股定理的逆定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

课题

勾股定理的逆定理

课型

新授课

教学内容

教材第58-59页的内容

教学目标

1. 通过具体情景（古埃及人的绳子上所打的结）向学生介绍了一些特殊的三角形，这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2.

2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的逆定理的成立.

3.经历直角三角形判别条件的探究过程，用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.

4.培养数学思维及合情推理意识，感悟勾股定理逆定理的应用价值.

教学重难点

教学重点：用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

教学难点：理解运用勾股定理及其逆定理在推理格式上的区别．

教  学  过  程

备  注

1.回顾复习，引入课题

【问题1】直角三角形有哪些性质?

预设答案：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.

【问题2】一个三角形，满足什么条件是直角三角形?

预设答案：(1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°.

【教师活动】教师提出问题，引导学生回顾直角三角形的性质，以及如何判断一个三角形是直角三角形.全班学生回答.然后教师让学生观察第2问的结果，引导学生发现，目前的两种方法都是从角度出发判断一个三角形是不是直角三角形的.进一步追问：能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗？

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题.

学生活动：学生回顾并根据老师的提问进行思考,并回答.

【思考】

据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个结与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图.这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.

按照这种做法真的能得到一个直角三角形吗？

2.操作探究，学习新知

【操作】

用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？

(1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B;

(2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C；

(3)分别连接AC，BC，得△ ABC.

通过测量∠C=90°.

【教师活动】引导学生观察三角形的各边长，同时观察探讨思考和画出的两个三角形的共同之处，猜测勾股定理的逆定理？

介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.

学生活动：用直尺和量角器进行操作，交流测量的结果，猜测勾股定理的逆定理成立.

【思考】

为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的数量关系？

猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

【证明猜想】

已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.

求证：△ABC是直角三角形.

【师生活动】学生分组探究，讨论如何证明.教师学生积极发言，讲述证明过程.

分析：

证明：

如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2.

∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2，A'B'=c.

在△ABC和△A'B'C'中，

∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).

∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).

即△ABC是直角三角形.

本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点.