18.2 第1课时 勾股定理的逆定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦勾股定理的逆定理，通过回顾直角三角形性质与角度判断方法，结合古埃及人用绳子打结围三角形的情景，引导学生从角度判断过渡到三边关系判断，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此资料以操作探究与逻辑推理为特色，学生通过尺规作图验证三边关系猜想，构造全等直角三角形证明逆定理，培养数学思维（推理意识）与数学眼光（从现实抽象数量关系）。实例丰富，如例1判断三角形是否直角、例2证明勾股数，规范解题步骤，提升学生应用能力，助力教师高效落实核心素养教学。

18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 课题 勾股定理的逆定理 课型 新授课 教学内容 教材第58-59页的内容 教学目标 1. 通过具体情景（古埃及人的绳子上所打的结）向学生介绍了一些特殊的三角形，这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2. 2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的逆定理的成立. 3.经历直角三角形判别条件的探究过程，用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想. 4.培养数学思维及合情推理意识，感悟勾股定理逆定理的应用价值. 教学重难点 教学重点：用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 教学难点：理解运用勾股定理及其逆定理在推理格式上的区别． 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【问题1】直角三角形有哪些性质? 预设答案：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半. 【问题2】一个三角形，满足什么条件是直角三角形? 预设答案：(1)有一个角是直角；(2)有两个角的和是90°. 【教师活动】教师提出问题，引导学生回顾直角三角形的性质，以及如何判断一个三角形是直角三角形.全班学生回答.然后教师让学生观察第2问的结果，引导学生发现，目前的两种方法都是从角度出发判断一个三角形是不是直角三角形的.进一步追问：能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗？ 学生活动：学生回顾并根据老师的提问进行思考,并回答. 【思考】 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个结与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图.这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角. 按照这种做法真的能得到一个直角三角形吗？ 2.操作探究，学习新知 【操作】 用圆规、直尺作△ABC，使得AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？ (1)画射线AM，然后以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点B; (2)分别以点A，B为圆心，线段AC、BC长为半径画弧，两弧相交于点C； (3)分别连接AC，BC，得△ ABC. 通过测量∠C=90°. 【教师活动】引导学生观察三角形的各边长，同时观察探讨思考和画出的两个三角形的共同之处，猜测勾股定理的逆定理？ 学生活动：用直尺和量角器进行操作，交流测量的结果，猜测勾股定理的逆定理成立. 【思考】 为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的数量关系？ 猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 【证明猜想】 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 【师生活动】学生分组探究，讨论如何证明.教师学生积极发言，讲述证明过程. 分析： 证明： 如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.由勾股定理可得A'B'2=a2+b2. ∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2，A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). ∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等). 即△ABC是直角三角形. 【归纳】 勾股定理的逆定理 文字描述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c， 若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形，∠C=90°. 【思考】既然学了勾股定理，还学勾股定理的逆定理干什么呢？ ★用于根据三角形三边关系判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据. ★注意：勾股定理及其逆定理的联系 ①勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关. ②勾股定理与其逆定理是互逆定理. 勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化； 勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化. 【追问】判断一个三角形是否为直角三角形的方法有哪些呢？ 方法一：利用定义 若已知条件与角度有关，可运用三角形的内角和定理求出最大的角，只有当最大的角是直角时，才是直角三角形. 方法二：利用勾股定理的逆定理 若已知条件与边有关，可通过计算推出三角形的三边关系，只有当c是最大边长，且满足a²+b²=c²时，才能运用勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形. 3.学以致用，应用新知 【例1】根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. (1) a=7，b=24，c=25； (2) a=7，b=8，c=11. 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方. 解：(1)∵7²+24²=252 ∴a²+b²=c². ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. (2)∵最大边是c=11， c²=121，a²+b²=7²+8²=113， ∴a²+b²≠c². ∴ △ABC不是直角三角形. 【归纳】 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤： ①找：确定三角形的最长边; ②算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; ③比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等; ④判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 【例2】已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n²1，b=2n，c=n²+1(n＞1). 求证：△ABC为直角三角形. 分析：已知条件与边有关，可通过证明a²+b²=c得出这个三角形是直角三角形. 证明：∵a²+b²=(n²1)²+(2n) ² =n4 2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =c² ∴ △ABC是直角三角形.(勾股定理的逆定理) 【总结】 勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 思考：除3，4，5外，找出5组勾股数.看看例2，想想可以怎么找？ 归纳：常见的勾股数，除了3，4，5外，还有5，12，13；7，24，25；8；25；17等. 4.随堂训练，巩固新知 （1）判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形. ① a=2，b=3，c=4； ( ) ② a=6，b=9，c=11； ( ) ③ a=25，b=20，c=15. ( ) 解析：①∵a²+b²=2²+3²=13，c²=4²=16，a²+b²≠c²， ∴不是直角三角形. ②∵a²+b²=6²+9²=117，c²=11²=121，a²+b²≠c²， ∴不是直角三角形. ③∵c²+b²=15²+20²=625，c²=25²=625，a²+b²= c²，∴是直角三角形. 答案：×；×；√. 2.在△ABC中，三边长a，b，c满足(a+c)(ac)=b²，则△ABC是什么三角形？ 解：∵ △ABC的三边长a，b，c满足(a+c)(ac)=b²， ∴ a²c² =b²，即 a² = b²+c² ∴ △ABC是直角三角形. 5.课堂小结，自我完善 通过本节学习，有哪些收获？（请学生自己总结） （1）什么是勾股定理的逆定理？ （2）勾股定理与勾股定理的逆定理之间的关系？ （3）应用勾股定理逆定理判断直角三角形的一般步骤是 什么？ 6.布置作业 教科书P60习题18.2第1，2题 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题. 介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣. 本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点. 帮助学生回顾和梳理勾股定理的逆定理及相关知识和方法，为后面的综合应用勾股逆定理解决问题做好准备. 在运用勾股定理的逆定理时，要特别注意找到最大边，定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和． 第（1）题教师可以做示范引导，关键是掌握规范的步骤，第（2）题可以让学生仿照第1题的步骤自主完成，教师再根据学生出现的问题进行纠正和强调. 加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步应用，掌握用其判定直角三角形的一般步骤. 通过该例题使学生了解一种产生勾股数组的方法. 理解勾股数，并能掌握一些常见的勾股数. 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力. 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 板书设计 第1课时 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理： 文字描述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形，∠C=90°. 2.勾股定理与其逆定理的关系： 提纲挈领，重点突出. 教后反思 在本节课的教学设计中，要注意从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知和数学史的学习情境，提高学生学习数学的积极性、学习兴趣以及人文意识，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论，然后由学生想、画、叠等验证结论、证明结论，使学生自始自终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思维和方法，同时也体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气. 学科网（北京）股份有限公司 $