18.1 第2课时 勾股定理的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(沪科版·新教材)  安徽专版

该教案聚焦勾股定理的实际应用，通过复习勾股定理内容及求边长练习巩固基础，再以《九章算术》“葭生中央”问题引入，搭建从定理到应用的学习支架，衔接前后知识。 以古代数学问题和消防云梯救援等实例为载体，培养数学眼光（抽象实际问题为直角三角形模型）、数学思维（用方程思想解决数量关系），归纳解题步骤形成模型意识，提升学生应用能力，为教师提供清晰教学流程与实用实例。

18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 课题 勾股定理的应用 课型 新授课 教学内容 教材第54-56页的内容 教学目标 1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题. 2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力. 3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用. 4.体会数学与实际生活的紧密联系，并在学习过程中感受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣. 教学重难点 教学重点：会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题. 教学难点：勾股定理的灵活应用. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【教师活动】教师引导学生回顾勾股定理的内容，并通过简单的练习巩固如何利用勾股定理求直角三角形的边长，接着通过小情境引入本节课要讲解的内容. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². 练习：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a5，b12，则c ； (2) 已知a6，c10，求b . 答案：(1) 13；(2) 8. 今天我们来学习勾股定理应用. 2.创设情境，学习新知 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？ 【问题1】你能用已学的知识解决上面的问题吗？ 【教师活动】教师引导学生译出所给问题，然后提出问题让学生先思考，并分组作答，最后用课件展示解答过程. 翻译：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【思考】(1)水的深度与芦苇的长度有什么关系？ (2) 水的深度、半个水池长与芦苇的长度有什么关系？ 学生活动：认真思考，探究交流 预设答案：(1) 水池的深度1尺芦苇的长度 (2)构成一个直角三角形 【师生活动】学生代表回答. 教师根据学生回答情况，引导学生通过设未知量的形式，表示出水的深度与芦苇的长度，进而利用勾股定理列出方程求解. 解：设水深ABx尺，则芦苇长AC(x1)尺， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x252(x1)2 . 解得：x12，则AB12尺，AC13尺. 所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 【追问】根据上面问题的解答过程，你能总结出解这类问题的解题思路吗？ 预设答案：在直角三角形中，若已知一边，又知另外两边的数量关系时，可设一边长为x，利用x再表示另外一边，最后根据勾股定理列方程. 【归纳】 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定所求线段所在的直角三角形； （3）找准直角边和斜边， ①若已知两边，求第三边，可以直接利用勾股定理； ②若已知一边和另外两边的数量关系，根据勾股定理建立等量关系； （4）求得结果，解决实际问题. 思路： 3.学以致用，应用新知 【例1】现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）.已知该消防车高3m，将云梯伸长到10m，在成功救出位于9m高处的受困人后，还要救援位于12m高处救人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m) （1） 【教师活动】引导学生分析问题的思路，巡视学生做题情况，纠正做题中出现的问题. 【学生活动】两名学生到黑板上书写证明过程，其余学生先自主完成证明过程，再小组内交流合作，互相纠正. 分析：如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O . 解：∵OE=3m，BE=9m，∴OB=93=6(m)，OD=123=9(m).∵OB=6m，AB=10m， 在Rt△ABO中，AO²=AB²OB²=10²6²=64.解得AO=8(m). 设AC=x，则OC=8x， 在Rt△DOC中，OC²+OD²=CD²，(8x) ²+9²=10²， 解得≈12.4, ≈3.6. ∵ AC＜AO＜AB，∴x=3.6(m). 答：消防车要靠近约3.6米. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是(　　) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 答案：A （2）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，ACAB=10，BC3，求AC的长．若设AC=x，则可列方程为_______________． 答案： （3）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D，经测量∠ABD=135°135°，BD=800米，则应在直线l上距离点D多远的C处开挖？(≈1.414，结果精确到1米) （4）解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°. ∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°， ∴∠BDC=45°，∴BC=CD. 在Rt△DCB中，根据勾股定理， CD2BC2=BD2，即2CD2=8002， 又∵CD的长为正值， ∴CD=400≈566(米)． 答：应在直线l上距离点D约566米的C处开挖． 5.课堂小结，自我完善 回顾思考，回答下面的问题 （1）利用勾股定理解决实际问题的一般步骤是什么？ （2）利用勾股定理解决实际问题时会用到哪些思想方法？ 6.布置作业 教科书P55练习第1-3题，P56习题18.1第6-8题. 通过复习回顾上节课学习的勾股定理，为本节课要学习的内容作准备. 通过情境引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望. 通过探究让学生从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力. 利用勾股定理建立方程，体现了数形结合和方程思想的应用. 通过归纳让学生熟悉利用股勾定理解决实际问题的一般步骤和常见思路，并培养学生的归纳概括能力. 让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，培养学生的应用意识 不符合实际意义的根应舍去. 通过随堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 板书设计 第2 课时 勾股定理的应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定所求线段所在的直角三角形； （3）找准直角边和斜边， ①若已知两边，求第三边，可以直接利用勾股定理； ②若已知一边和另外两边的数量关系，根据勾股定理建立等量关系； （4）求得结果，解决实际问题. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题转化抽象成几何图形的过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建模思想．在教学中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理.解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $