专题9 特殊平行四边形中的最值问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦“特殊平行四边形中的最值问题”，通过菱形、矩形、正方形等图形，结合性质转化、对称性、动点轨迹、变量设元四类方法展开，以典例导入，衔接已学图形性质，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于融合“学霸笔记”“规范解答”，培养数学思维与推理能力，如利用对称性转化CQ+PQ最小值体现几何直观，设变量配方求EF最小值渗透模型意识。助力学生提升解题技巧，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

2 第19章　四边形 专题9　特殊平行四边形中的最值问题 3 典例1 　如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA，PF⊥OB. 若AB=8，∠BAD=60°，则EF的最小值为________. 类型1　利用特殊平行四边形的性质转化求最值 【答案】 OP 1 2 3 4 5 6 7 8 【变式训练】 1. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为点G，H，连接GH. 若AB=8，AD=6，EF=6，则GH的最小值是________. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上一个动点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF. 若CB=2，CA=4，则EF的最小值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. （安庆期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=3GB. （1）∠DOF=________. （2）OM+FG的最小值是________. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 7 典例2 　如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，P，Q分别是BC，BD上的动点，求CQ+PQ的最小值. 类型2　利用对称性求最值 BD AH 1 2 3 4 5 6 7 8 【规范解答】 如图，连接AQ. ∵四边形ABCD是菱形，∴点A与点C关于直线BD对称， ∴AQ=CQ，∴CQ+PQ的最小值即为AQ+PQ的最小值. 当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的值最小. 过点A作AH⊥BC，垂足为点H，最小值即为AH的长. ∵AB=2，∠ABC=45°，∴AH=BH，AH2+BH2=4，∴AH=. ∴CQ+PQ的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 【变式训练】 4. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上且BE=2，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 （　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5. （合肥四十五中期末）如图，已知正方形ABCD的边长是6，∠DAC的平分线交DC于点E. 若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 （　　） A. 3 B. 6 C. 3 D. 6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 典例3 　（安庆潜山期末）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线 BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E的运动过程中，线段PG的最小值是 （　　） A. 2 B. 3 C. 2 D. 4 类型3　找动点的轨迹后求最值 1 2 3 4 5 6 7 8 AGD 45 1 2 3 4 5 6 7 8 【答案】C 解析：如图，连接DG并延长，交BA的延长线于点H. ∵四边形ABCD，四边形AEFG均为正方形， ∴∠DAB=∠GAE=90°，AB=AD，AG=AE. ∵∠GAD+∠DAE=∠DAE+∠EAB=90°， ∴∠GAD=∠EAB，∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴∠ADG=∠ABE=45°，∴点G的运动轨迹为线段DH. 当PG⊥DH时，PG最短.在Rt△PDG中，∠PDG=45°，P为AD的中点，∴DP=4. 设PG=x， 则DG=x，由勾股定理，得PG2+DG2=DP2， 即x2+x2=42，解得x=2（负值舍去）. 故线段PG的最小值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 【变式训练】 6. （安徽中考）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB= S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为 （　　） A. B. C. 5 D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图，在矩形ABCD中，AB∶AD=2∶1，点E为AB的中点，点F为EC上一动点，点P为DF的中点，连接BP. 若BP的最小值为3，则AD的长为 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 典例4 　如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE交y轴于点F，连接EF，以FB，FE为邻边构造平行四边形EGBF. 已知OA=6，求点E在正方形OABC的边OA上运动的过程中，BG的最小值. 类型4　设变量，利用a2的非负性求最值 1 2 3 4 5 6 7 8 CBF CF 6-x 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=AB=BC=CO，∠AOC=∠OAB=∠ABC=∠BCO=90°， ∴∠OCE+∠ECB=90°. ∵BF⊥CE，∴∠FBC+∠ECB=90°，∴∠OCE=∠FBC， ∴△OCE≌△CBF（ASA），∴OE=CF. 设OE=CF=x，∵E在正方形OABC的边OA上运动，∴0≤x≤6，∴OF=6-x. 在Rt△OEF中，OE2+OF2=EF2，∴EF2=x2+（6-x）2=2x2-12x+36=2（x-3）2+18，由非负数的性质，可得EF2的最小值为18，此时EF=3. ∵四边形EGBF是平行四边形，∴BG=EF，∴BG的最小值为3. 【规范解答】 1 2 3 4 5 6 7 8 【变式训练】 8. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=60°，连接EF，求EF的最小值. 解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，设BE=x. 在菱形ABCD中，∵∠B=60°，AB=BC=2， ∴△ABC是等边三角形，即∠BAC=60°，CE=2-x. 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF. 又∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF=x. ∵AB∥DC，∴∠B=∠DCG=60°. ∵FG⊥BC，∴∠CFG=30°，∴CG=CF=x， ∴FG2=CF2-CG2=x2，EG=CE+CG=2-x， ∴EF2=EG2+FG2=2+x2=x2-2x+4=（x-1）2+3. ∵（x-1）2≥0，∴EF²的最小值为3，∴EF的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 22 $