专题7 正方形中的“十字”模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦第19章四边形专题7“正方形中的‘十字’模型”，从模型识别入手，通过三个递进式探究（基础全等证明、移动单一线段、移动两条线段）构建学习支架，引导学生掌握线段数量与位置关系及辅助线构造方法。 其亮点在于以模型探究为主线，结合“学霸说”提炼思路、规范解答示范推理过程，培养数学思维（推理能力）与模型观念。如探究一通过DE=CF证△ABF≌△BCE得AF=BE且AF⊥BE，帮助学生形成逻辑推理习惯，教师可直接用于课堂，提升学生几何直观与应用能力。

2 第19章　四边形 专题7　正方形中的“十字”模型 3 【模型识别】 正方形中存在两条互相交叉，看起来像“十字”的线段，线段的端点在正方形的边上，如图. 1 2 4 【模型探究】　 已知在正方形ABCD中，E，F分别在边CD，BC上（不与正方形的顶点重合）. 探究一：如图1，连接AF，BE，若DE=CF，试说明AF和BE的数量关系和位置关系. 1 2 5 BF △BCE 1 2 6 【规范解答】 如图，设AF与BE交于点P.　 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°. 又∵DE=CF，∴CE=BF， ∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∠BAF=∠CBE. ∵∠CBE+∠ABE=90°，∴∠BAF+∠ABE=90°， ∴∠APB=90°，∴AF⊥BE. 1 2 探究二：移动“十字”线中的一条线段 如图2，连接BE，过点F作FG⊥BE交AD于点G. 求证：BE=FG. 证明：如图，过点G作GP⊥BC于点P. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°， ∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC. ∵∠PGF+∠GFP=90°，∠CBE+∠GFP=90°，∴∠PGF=∠CBE. 在△PGF和△CBE中，∵ ∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=FG. 1 2 8 探究三：移动“十字”线中的两条线段 如图3，在AD边上找一点G，连接GF，过点E作GF的垂线交AB于点H， 求的值. 解：如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点H作HN⊥DC于点N， 交GF于点P，则四边形ABMG和四边形HBCN都为矩形， ∴GM=AB=BC=HN，∠GMF=∠HNE=90°. ∵∠GPH+∠NHE=90°，∠FGM+∠GPH=90°， ∴∠NHE=∠FGM，∴△MGF≌△NHE（ASA），∴GF=HE，∴=1. 1 2 9 【模型归纳】 1 2 10 【模型应用】 1. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交DC于点F，连接AF. 若AB=5，BE=2，则BF=________，AF=________. 1 2 11 针对训练 2. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为BC的中点，点F在AD上，且DF= 3AF，连接EF，点O是EF上一点，过点O作HG⊥EF，交CD于点G，交AB于 点H，则HG的长为________. 1 2 12 13 $