19.3.2 第2课时 菱形的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦“菱形的判定”，通过复习菱形定义及边、角、对角线性质导入，以“还有其他判定方法吗？”设问，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探究菱形的判定定理。 其亮点在于采用探究式教学，通过尺规作图猜想、木条转动实验培养几何直观与空间观念，结合严谨证明过程发展推理意识，例题与随堂练习结合具体图形强化应用意识。小结系统归纳判定方法，助力学生构建知识体系，提升逻辑推理与问题解决能力，便于教师高效开展教学。

第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 2 菱形 第2课时 菱形的判定 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理． 2.会用菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 学习重难点 难点 重点 掌握菱形的判定定理． 会用菱形的判定方法进行有关的证明和计算. 复习导入 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： 且 AB = AD， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 知识讲解 知识点1 四边相等的四边形是菱形 小刚：分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 的长为半径画弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A，B，C，D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证一证 A B C D 四边相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理1 归纳总结 四边形 ABCD A B C D 例题解读 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴△ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ AC＝DF＝AD＝CF. ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便. 归纳 知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ABCD 是菱形. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 例5 如图，在□ABCD中， 对角线 AC，BD相交于点 O，AC = 8，BD= 6，AB = 5，求AD的长. A B C D O ∵ 四边形ABCD是平行四边形， OA=AC=4，OB=BD=3. 解： 又∵AB=5， ∴AB2=OA2+OB2. ∴△AOB 是直角三角形，即OA⊥OB. ∴□ABCD是菱形. ∴AD=AB=5. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC， ∴ AO = OC. 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴ EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形. 随堂练习 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 随堂演练 2.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(　　) A. ∠BAC＝90° B. ∠DAE＝90° C. AB＝AC D. AB＝AE A 3.判断： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ） （4）一组邻边相等的四边形是菱形. （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形. （ ） × × × √ √ A B C O D 4.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1： . 添加方式2： . AC⊥BD AB=BC 5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6，求证：四边形ABCD是菱形． 证明：在平行四边形ABCD中， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OC=AC=4，OB＝OD=BD=3， ∵32+42＝52， ∴OD2+OA2＝AD2， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵∠1＝∠2， ∴∠AED＝∠CFB， 在△ADE与△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（AAS）. ∴AE＝CF. 证明：（2）∵∠1＝∠2， ∴DE∥BF． 由（1）知，△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵BE＝ED， ∴平行四边形EBFD是菱形． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2． （1）求证：AE＝CF． （2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且AF＝CE＝AE，试探索当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？ 解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形． 理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠EAC＝60°， ∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC，∠BDE＝90°， ∴∠BED＝60°，∠B＝∠ECD＝30°， ∴∠FEA＝60°，∠ECA＝60°， ∵AF＝CE＝AE，∴△AEF是等边三角形，△EAC是等边三角形， ∴AF＝EF＝EC＝CA， ∴四边形ACEF是菱形． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 绿卡图书—走向成功的通行证 $