18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理及应用，通过回顾勾股定理的定义、公式和作用搭建学习支架，实现从旧知到逆定理概念的自然过渡，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合航海问题、零件面积计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的数量关系，通过推理证明和问题解决发展数学思维。课堂小结系统梳理逆定理的内容、作用与应用，既提升学生的应用意识，也为教师提供清晰的教学逻辑。

第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.掌握勾股定理逆定理的概念. 2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 勾股定理逆定理的应用. 勾股定理逆定理的证明. 3 回顾旧知 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 . A B C b a c 已知其中任意两边 勾股定理的主要作用是 ： ① 直角三角形中， 可以求出第三边. 如果知道一边的长度， 和另外两边的关系时， ② 在直角三角形中， 可以运用勾股定理列方程来求另外两边. 4 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 5 教材例题 知识点 勾股定理的逆定理的应用 例1　已知：在△ABC中，三边长分别为a=n²-1,b=2n，c=n²+1(n > 1). 求证：△ABC为直角三角形. 证明：∵a²+b²=(n²-1)²+(2n)² =n4-2n²+1+4n² =n4+2n²+1 =(n²+1)² =2， ∴△ABC为直角三角形. 根据三角形的三边关系判断一个三角形是否为直角三角形. 6 教材例题 例2　如图，营地A与哨所B相距10 km、东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6 km到达河边C处让马饮水，再走8 km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗? 解 由题意，得AB=10 km，AC=6 km，BC=8 km， ∵6²+8² =10²，∴AC² +BC²=AB².∴∠ACB =90°. 又∵AD // PO，∴∠ACP = ∠DAC =34°. ∴∠BCQ =180°- 90°- 34°= 56°. 答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处. 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用. 7 例 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1 2 N E P Q R 例题解读 8 分析： 1.求“海天”号的航向就是求 的角度. ∠2 2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的 角度即可. 3.根据已知条件可求出三边，利用勾 股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角. 1 2 N E P Q R 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24, PR=12×1.5=18, QR=30. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 练一练 A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ A B C 5cm 12cm 13cm 解：∵ BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， ∴BC2+AB2=AC2， 即△ABC是直角三角形， ∠B=90°. 答：C在B地的正北方向． 随堂演练 解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0. 1.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足 ，试判断△ABC的形状. 当a=b时，△ABC为等腰三角形; 当a≠b时，△ABC为直角三角形. 2.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°. 你能求出这个零件的面积吗？ 解：如图，连接BD.在Rt△ABD中， 在△BCD中， BD2+BC2=52+122=132=CD2. ∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°. 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 应用 航海问题 与勾股定理结合，解决不规则图形等问题 绿卡图书—走向成功的通行证 16 $