18.2 第1课时 勾股定理的逆定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过回顾勾股定理，结合古埃及结绳法和尺规作图情境引入，引导学生从数量关系猜想直角三角形判定，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以情境创设和动手操作为核心，通过古埃及结绳、尺规作图等实例培养数学眼光，证明过程强化逻辑推理发展数学思维，例题练习用符号语言表达判定方法。学生能提升推理意识和应用能力，教师可借助清晰流程高效教学。

第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.掌握勾股定理逆定理的概念. 2.理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 勾股定理逆定理的理解. 勾股定理逆定理的证明. 3 回顾旧知 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为 a2+b2=c2 . A B C b a c 已知其中任意两边 勾股定理的主要作用是 ： ① 直角三角形中， 可以求出第三边. 如果知道一边的长度， 和另外两边的关系时， ② 在直角三角形中， 可以运用勾股定理列方程来求另外两边. 4 情境引入 思考1 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图．这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.你知道为什么吗? 3段 4段 5段 因为，满足勾股定理， 所以猜想5段所对的角是直角. 5 情境引入 思考2 尺规作图 用圆规、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，量一量∠C，它是90°吗? ∠C=90°. 因为，满足勾股定理， 所以猜想AB所对的角是直角. 6 情境引入 思考3 归纳总结 △ABC的三边长满足AC²+BC²=AB²，则∠C为多少度? 根据前面思考1、2，猜想∠C=90°. 7 知识讲解 知识点 勾股定理的逆定理 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 8 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 9 接下来我们一起来证明这个定理. 问题4 据此能得到什么结论呢? 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 已知： 求证： C B A A' B' C' b a c b a 在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2. △ABC是直角三角形. 证明 证明： 作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. 则有A'B'2 =a2+b2. ∵ a2+b2=c2，∴ A'B'2 =c2. ∵边长取正值，∴ A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴ △ABC △A'B'C'（SSS）. ∴ ∠C=∠C'=90°(全等三角形对应角相等）， ∴ △ABC是直角三角形. c 例1　根据下列三角形的三边长a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a=7，b=24，c=25； （2）a=7，b=8，c=11. 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 教材例题 解 （1）∵72+242 =25²，∴a2+b2 =c2. ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角． （2）∵最大边是c=11，c²=121， a2+b2 =72+82 =113，∴a2+b2 ≠c2. ∴△ABC不是直角三角形． 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，比如：3，4，5；5，12，13. 12 例1　根据下列三角形的三边长a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15. 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 例题解读 解 (1)∵152+82 =225+64=289=172 ， ∴152+82 =172. ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角． （2）∵最大边是c=15，c²=225， a2+b2 =132+142 =365，∴a2+b2 ≠c2. ∴△ABC不是直角三角形． 13 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; (3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ . 是 是 不是 ∠A=90° ∠C=90° (2) a=1 b=1 c= ____ _____ ; 试一试 14 随堂演练 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $