18.2.2 最短路线问题（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

18.2.2 最短路线问题 第十八章 勾股定理 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题. 渗透数形结合思想、由特殊到一般的思想,培养探索能力、表达能力. 在探究过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐,感受由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律. 探究新知 题型一：平面内的最短路线问题 1、如图，A，B两个小镇在河流 CD 的同侧，到河的距离分别为 AC=10km，BD=30km，且 CD=30km，现在要在河边建一个自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3万元，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 P，是铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ A B C D A' P E ∴ A'E= BE= ∴ 在Rt△A'BE中， =50 (km) ∴ AP+PB 的最短距离为 50 km ∴ 总费用为 ∵ AC=10km，BD=30km，CD=30km 解： 作点A关于CD的对称点A'， 连接A'B， 交CD于点P， 连接AP， 则此时AP+PB最小. 过点A'作A'E⊥BD， 交BD的延长线于点E. CD =30 (km)， BD+DE= 30+10 =40 (km) 50×3= 150（万元）. 探究新知 2．如图，等边 △ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AC 边上的中点．如果点 P 是 AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值为 . 探究新知 1、两点之间， 最短！ 2、一个圆柱体的侧面展开图是 ,长方形的长是 ,正方形的宽是 . 线段 长方形 圆柱的高 底面圆的周长 底面圆的周长 圆柱的高 探究新知 1、如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点C处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (π的值取3) A C ① ② ③ 题型二：几何体中的最短路线问题 B D 探究新知 C A 高12cm C A 长18cm ③ 综上所述，蚂蚁爬行的最短路程是15厘米. 9cm =15 (cm) B D B D 解： ∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC =9cm，AB=12cm 将圆柱侧面展开成长方形， 则AC为蚂蚁爬行的最短路程. 探究新知 2、有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）? A B A B A' B' 题型二：几何体中的最短路线问题 解： 将油罐侧面展开成长方形， 则AB'为梯子的最短距离. ∵ AA'= 2πr =2×3×2= 12 (m) 又∵ A'B'=5 (m) ∴ 由勾股定理，得 =13 (m) AB'= ∴ 梯子最短需13米 归纳总结 最后利用勾股定理计算. 解决几何体表面上两点间的最短路程问题的方法： 它运用的是化折为直的思想方法. 将几何体表面展开， 即将立体几何问题 然后利用“两点之间，线段最短”去确定线路， 转化为平面几何问题， 探究新知 3、如图，长方体的长为 3 cm，宽为 2 cm，高为 1 cm的长方体，蚂蚁沿着表面从 A 爬行到 B 的最短路程是多少呢？ A B 题型二：几何体中的最短路线问题 分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？ (1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面. A B 2 3 A B 1 C 3 2 1 B C A 3 2 1 B C A 探究新知 4、如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. A B 2 1 A B C 题型二：几何体中的最短路线问题 解： ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC =2，BC=1 ∴ AB= ∴ 蚂蚁爬行的最短距离是 将正方形的侧面展开成长方形， 则AB为蚂蚁爬行的最短路程. 探究新知 5、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ B A A B C 解：台阶的展开图如图，连接AB. ∵ 在Rt△ABC中，BC=55cm，AC=48cm 题型二：几何体中的最短路线问题 ∴ AB= =73 (cm) 48cm 55cm ∴ 这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是 73 cm 巩固练习 1、如果盒子换成长为 40 cm，宽为 30 cm，高为 120 cm的金鱼缸，如果鱼缸中的 A 点有一条金鱼,它想尽快吃到 B 点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？ A B C D 解：连接AB和AC ∵ 在Rt△ADC中 AC＝ =50(cm) ∴ 在Rt△ABC中 AB＝ =130(cm) ∴ 金鱼游的最短路程是 130cm. 40cm 30cm 120cm 巩固练习 2、如图，长方体的底面边长分别为 2 cm和 3 cm，高为6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈达到点 B，那么所用细线最短需要（　　） A．11cm C． D． B． B 巩固练习 3、如图，长方体的长 BE=20 cm，宽 AB=10cm，高AD=15 cm，点M在CH上，且 CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M，需要爬行的最短距离是 . 巩固练习 4．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周四尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”，题意是：如图所示，把枯木看成一个圆柱体，因一丈为十尺，则圆柱体高为20尺，底面周长四尺，有葛藤自A点缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是（　　）尺． A．25 C． D． B． B 感谢聆听! $