18.1 第2课时 勾股定理的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦“勾股定理的应用”，涵盖实际问题求解、两点间距离公式及最短路径问题。以“红莲出水”古诗情境导入，通过门框、云梯救人等例题，构建从实际问题抽象直角三角形的学习支架，衔接勾股定理基础与应用。 其亮点在于以情境化问题链驱动教学，如“蚂蚁爬圆柱”将立体转化为平面，培养数学眼光（抽象现实为几何模型）、数学思维（推理与转化）。采用“问题-探究-归纳”法，课堂小结梳理应用步骤，帮助学生形成解决问题的思维框架，也为教师提供清晰的教学路径。

第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长. 2.能应用勾股定理解决简单的实际问题. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题． 从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系. 3 情境导入 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题. 4 知识讲解 知识点1 利用勾股定理解决实际问题 例　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 已知条件有哪些？ 5 观察 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 不能 3.怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出斜边的长，与木板的宽比较. 6 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． 　　AC= ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所 以木板能从门框内通过． 7 教材例题 例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人， 如图(1).已知该消防车高3 m，将云梯伸长到10 m，在成功救出位于 9 m高处的受困人后，还要救援位于12 m高处的受困人，如果云梯 的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？ （精确到0.1 m） 8 教材例题 解：如图(2)，设是云梯的下端点，是伸长到10 m后的云梯，是第一次救人的地点，是第二次救人的地点，过点的水平线与楼房的交点为. 则(m)，(m). 根据勾股定理，得 则m.设 m，则 m. 根据勾股定理，得，即. 解方程，得≈12.4，≈3.6. ∵， ∴不合题意.∴≈3.6. 答：这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约3.6m. 9 例2 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗? 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， ∴OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m. 例题解读 10 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建 构 利用 决 解 归纳 11 练习 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）. 解: 12 知识点2 两点之间的距离公式（教材P62 数学拓展） 那么 如果数轴上的点A1，A2 分别表示实数 x1，x2， 两点 A1，A2间的距离 记作│A1A2│， │A1A2│= │x2-x1│ 对于平面上的两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？ 运用勾股定理， 就可以推出平面上两点之间的距离公式. 问题 1 如图，平面上两点A(3,0)，B(0,4)，如何计算A,B两点之间的距离│AB│？ 解： ∵ A(3,0)，B(0,4) ∴ OA=3， ∴ │AB│= =5 OB=4 问题 2 如图，平面上两点A(1,2)，B(5,5)，如何计算这两点之间的距离│AB│？ 解： ∵ A(1,2)，B(5,5) ∴ AC= ∴ │AB│= =5 5-1 =4 BC= 5-2 =3 两点之间的距离公式. 问题 3 一般地，设平面内任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2)， 如图，如何计算A，B两点之间的距离│AB│？ O x y B(x2,y2) A(x1,y1) A'' A' B' B'' C ∵│CB│= │A'B'│= │x2-x1│ ∵│CA│= │B''A''│= │y2-y1│ ∴│AB│2= │CB│2+│CA│2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 ∴ │AB│= 解： 这就是平面直角坐标系中的 例3 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，5)，B(1，2)，求 A，B 两点间的距离. A 2 1 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 y O x 3 B C 解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于点 C，连接 AB. 则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ A，B 两点间的距离为 5. 知识点3 利用勾股定理求最短距离 C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间，线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短路线呢？ A B 蚂蚁从 A→B 的路线 问题：在一个圆柱形石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好在 A 处的一只蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ B A 将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最近路线. 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程. 归纳 例4 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 随堂演练 1.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 B 23 2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m,这棵大树在折断前的高度为( ) A.10 m B.15 m C.18 m D.20 m C 3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____. 10 24 4.一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位：mm),求两孔中心A，B之间的距离. A B 90 160 40 40 25 解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则 ∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） BC=160-40=120（mm) 由勾股定理有： AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2) ∵AB＞0, ∴AB=130(mm) 答：两孔中心A，B的距离为130mm. A B 90 160 40 40 C 26 5.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？ A B C 分析： 可设AB=x,则AC=x+1， 有　AB2+BC2=AC2， 可列方程，得　x2+52= ， 通过解方程可得． 27 6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 C 28 7. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？ B A A B C 解：台阶的展开图如图，连接 AB. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得 AB2 = BC2＋AC2 = 552＋482 = 5329 = 732. ∴ AB = 73 cm. 课堂小结 用勾股定理解决实际问题 要点：构造直角三角形 化非直角三角形为直角三角形 勾股定理的应用 用勾股定理解决两点之间的距离及最短路径问题 绿卡图书—走向成功的通行证 31 $