18.1 第1课时 勾股定理-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)  安徽专版

该初中数学课件聚焦勾股定理的内容、验证及简单应用，通过2002年国际数学家大会会徽图案和毕达哥拉斯地砖发现引入，引导观察正方形面积关系，结合方格网探究活动，搭建从具体图形到抽象定理的学习支架。 其亮点在于融合文化历史与多元证明，如赵爽弦图、毕达哥拉斯证法等，培养数学思维中的推理意识和数学眼光中的几何直观。例题融入方程思想与分类讨论，体现数学语言的模型意识，助力学生深化定理理解，教师可依托清晰逻辑提升教学效率。

第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.了解勾股定理的文化历史背景，会用面积法验证勾股定理. 2.掌握勾股定理的内容，能用勾股定理解决一些简单问题. 1.掌握勾股定理的内容. 2.会用勾股定理进行简单的计算. 勾股定理的验证. 3 情境导入 思考1 你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？ 　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议． 2002年，第24届国际数学家大会在北京召开．此次大会会徽 的图案就是以下图为原型设计的． 4 思考2 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ 　　毕达哥拉斯(约前580—约前500年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.有一次他在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了A，B，C三个正方形面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系． A B C 情境引入 5 探究 如图，在行距、列距都是1个单位长度的方格网中，Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=90°分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积. 知识讲解 知识点1 勾股定理的发现 6 1.观察图(1)，并填写： S1=_______个单位面积； S2=_______个单位面积； S3=_______个单位面积. 2. 观察图(2)，并填写： S1=_______个单位面积； S2=_______个单位面积；S3=_______个单位面积. 3.图(1)，(2）中三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长a，b，c表示： ——————————. 9 9 18 9 16 25 a²+b²=c² 7 思考2 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ 发现 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. SA+SB=SC A B C 8 探究4 通过前面的探究活动，在几何绘图软件中任意画一个Rt△ABC，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，度量∠ABC的三边长a，b，c，猜想a，b，c有怎样的关系， 猜想 在Rt△中，∠=90°， ， 则a2+b2=c2. b a c 如何验证呢？ 知识点2 勾股定理的证明 9 证明：取4个与Rt△全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为的正方形. 由题意，得====. 因为∠+∠=90°,∠=∠, 所以∠+∠=90°,∠=90°. 同理: ∠=∠=∠=90°. 则四边形是边长为的正方形. 分别记正方形和正方形的面积为正形和 正方形， 则正方形-4△=正方形 即²×.化简,得. 10 定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理. 汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. 11 a b b c a b c 证法2 赵爽利用弦图证明 a 12 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 13 证法3 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 14 例1 如图，在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12.求 ： （1）AB的长； （2）斜边上的高CD的长. 教材例题 解：（1）在Rt△ABC中， AB² =AC² +BC² =5² + 12² =169. 则AB =13. （2）∵S△ABC=，∴CD= 15 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b. 例题解读 16 (1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 (2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得 (3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝ 解： 归纳 公式变形： 方程思想. 17 例2 求下列图中字母所表示的正方形的面积. 225 400 A 225 81 B A=225+400=625 B=225-81=144 18 练习　求下列直角三角形中未知边的长度．　　 A B C 4 6 x C B A 5 10 x 19 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. · 趣味拓展 · 把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树． 21 勾股定理的演示 22 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 随堂演练 23 3.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)已知c=25，b=15，求a； (2)已知a= ，∠A=60°，求b，c. C A B 24 4.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 25 解：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，所以152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.所以BD＝9.在Rt△ABD中， AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以AD＝12.所以S△ABC＝½BC·AD＝½×14×12＝84. 26 课堂小结 内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 勾股定理 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $