精品解析：山西泽州县犁川中学校等校2025-2026学年第一学期期末教学质量监测九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末教学质量监测试题（卷） 九年级 数学 注意事项：满分120分，答题时间120分钟．（答案写在答题卡上） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图是市体育馆内的颁奖台，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形内部从上往下分别有一条实线和虚线． 故选：D． 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A. B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x=0 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论． 【详解】A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意; B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意; C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意; D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意; 故答案为： D. 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 5. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解： 由图形知：tan∠ACB=．故选A． 6. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系． 【详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限， 观察图像：当时， 则． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 7. 如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（ ）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. 0.3 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.35 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得△BCD是等腰直角三角形，再利用解直角三角形即可求得国旗上升的高度，从而可求得国旗匀速上升速度． 【详解】在Rt△BCD中，BD＝8米，∠BCD＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝8米， 在Rt△ACD中，CD＝8米，∠ACD＝37°， ∴AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米）， ∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）； 升旗时，国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米）， ∵耗时46s， ∴国旗匀速上升的速度为：＝0.25（米/秒）， 故选：C． 【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确理解题中俯角、仰角的含义是关键． 8. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 9. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得 故选：A． 10. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线，过点作于点，连接交于点，连接CE．下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据切线的性质定理和平行线的性质可得平分，，，即可求得①②③正确；再根据同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等和等腰三角形的性质可得，即可求得④正确；根据，，可得，故⑤错误． 【详解】解：连接，，如图： ∵过点作的切线，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的性质，相似三角形，同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 摩天轮是孩子们喜欢的一种游玩项目．如图，这个图案绕着它的中心旋转角（）后能够与它本身重合，则___________°（写出一个即可） 【答案】45（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查图形的中心旋转，把此图案看作正八边形，然后根据正八边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴可以为． 故答案为：45（答案不唯一）． 12. 在九年级新年联欢会上，舞台的长为米，主持人站在点处最自然得体．已知点是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．根据黄金分割的定义，点是线段上靠近点的黄金分割点，则为较大部分，且与的比值等于，从而求出，再求． 【详解】解：点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴ 米， ∴ 米， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的相似比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了以原点O为位似中心作出位似图形的坐标变化规律，将点的坐标乘以或即可． 【详解】解：当新图形与原图形在y轴同侧时， 点的对应点的坐标为，即； 当新图形与原图形在y轴异侧时， 点的对应点的坐标为，即； 故答案为：或． 14. 如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据，，即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得出，，然后在中，，代入数值得，再过点G作于点H，得出是等腰直角三角形，然后证明，则，代数计算得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． ． ． ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得． ． 如图，过点G作于点H， 则， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ， ． ． 又． ． ． 设， 则． ． 解得． ． 在中，． 故答案为： 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和特殊角三角函数的计算； （1）先利用去括号、移项、合并同类项将方程整理成一般式，再用公式法解一元二次方程即可； （2）先代入特殊的三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ， ， ， ； （2）解： ， ， ． 17. “2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． （1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 【答案】（1）①；②；③16000人 （2） 【解析】 【分析】（1）①用频数除以总数即可得到答案；②根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可；③用总人数乘以参加“迷你马拉松”人数的概率即可得到答案． （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：； ②观察表格可知，说着调查人数的增多，参加“迷你马拉松”频率稳定在左右， ∴估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率， 故答案为：； ③人， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人； 【小问2详解】 解：列表如下； 小明 小颖 A B C D A B C D 由表格额裤子，总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种， ∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率，已知概率求数量，求频率等等，熟知相关知识是解题的关键． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 19. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． （1）求5日、6日这两日定制量的平均增长率． （2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设5日、6日这两日定制量的平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每本笔记本降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每本笔记本降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每本笔记本降价2元． 20. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 【答案】电池板离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， （米）， 电池板离地面的高度约为米． 21. 请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： （1）请完成所给材料的证明过程； （2）请证明结论（2）； （3）应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】（1） 证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 22. 综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为米，最高高度为米，恰好命中目标城池，达到最大射程米． （1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ （2）目标城池中心与投石线间的距离是多少？ （3）目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是米； （2）目标城池中心与投石线间的距离是米； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，掌握知识点的应用及利用数形结合的思想是解题的关键． （）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出当时，则，即可得到答案； （）由最大档位时抛物线的函数解析式为，则有对称轴为直线，故点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移米得到的，所以的坐标为，从而求解； （）由（）得最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为，投石机车撤米后解析式为，然后找到临界点即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得, 最高点为 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为， 当时，则， ∴最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是； 【小问2详解】 解：∵最大档位时抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移米得到的， ∴的坐标为， 即目标城池中心与投石线间的距离是米； 【小问3详解】 解：由（）得最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为， ∴投石车后撤米后解析式为， 根据题意得结合城池的范围为米和范围为米， ∴保证命中目标城池内部，则当经过点和时， ∴，解得：或（舍去）， ，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是：． 23. 综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕；P为边上的一个动点，将沿折叠后得到，使点A的对应点落在上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交于点E．如图2，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 【答案】动手操作：； 思考探究：，证明如下： 由题得：，，，， ∵点P为的中点， ∴， 由折叠可知：，，， ∴，， ∴， ， 设 ， ， ∵， 解得： ， 即； 拓展延伸：． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 动手操作：设，根据勾股定理列方程求解即可； 思考探究：由折叠的性质得到，，，证明，得到，设，求出，进而计算即可； 拓展延伸：连接，证明，设，则，求出，根据勾股定理得到，则． 【详解】动手操作：解：∵， ∴， 设， 则， ∴ ， 即 ∴ 即， ∴； 故答案为：； 思考探究：略 拓展延伸：解：如图，连接， ∵，，， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末教学质量监测试题（卷） 九年级 数学 注意事项：满分120分，答题时间120分钟．（答案写在答题卡上） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是市体育馆内的颁奖台，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A. B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x=0 5. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（ ）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. 0.3 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.35 8. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 9. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线，过点作于点，连接交于点，连接CE．下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 摩天轮是孩子们喜欢的一种游玩项目．如图，这个图案绕着它的中心旋转角（）后能够与它本身重合，则___________°（写出一个即可） 12. 在九年级新年联欢会上，舞台的长为米，主持人站在点处最自然得体．已知点是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点的距离为______米（结果保留根号）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的相似比为，则点的对应点的坐标为______． 14. 如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为______． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）解方程：； （2）计算： 17. “2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组． （1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 ______ ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到） ③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 19. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． （1）求5日、6日这两日定制量的平均增长率． （2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 20. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 21. 请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： （1）请完成所给材料的证明过程； （2）请证明结论（2）； （3）应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 22. 综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为米，最高高度为米，恰好命中目标城池，达到最大射程米． （1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ （2）目标城池中心与投石线间的距离是多少？ （3）目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕；P为边上的一个动点，将沿折叠后得到，使点A的对应点落在上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交于点E．如图2，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $