精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期1月月考数学试卷 一、单选题 1. 若，为虚数单位，则 A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，为不同的平面，，为不同的直线，则下列能使平面与平面平行的一个条件是（ ） A. ， B. ，， C. 内有无数条直线与平行 D. ，， 5. 数列满足：，若，则数列的前10项的和为（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 方程的实数根为 C. 在上为增函数 D. 的值域为 7. 已知两个随机变量的4组成对数据为.由这4组数据可得关于的线性回归方程为，则（ ） A. 2.8 B. 3 C. 3.3 D. 4 8. 某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知双曲线的一条渐近线为，C的左右焦点分别为，，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若直线l与双曲线无交点，则 C. 设，直线l与双曲线C交于P，Q两点（异于点A），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，则为定值 D. 若动直线n与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，则（O为坐标原点）的面积为定值 10. 已知函数，若的图象过三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 11. 棱长为2的正方体，，分别是棱，棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 在棱上存在一点，使二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 展开式中的项的系数是______. 13. 已知向量，且，则__________． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，内角的平分线交于点，为的外心，若，则的最大值为______. 四、解答题 15. 已知等比数列的公比，且为，的等比中项，为，的等差中项． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动． （1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？ 北方 南方 汤圆 16 36 元宵 24 24 （2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答． （i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率； （ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望． 附： 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 19. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期1月月考数学试卷 一、单选题 1. 若，为虚数单位，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由1+ai＝0，得ai＝﹣1，即a． 故选：C． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】，，所以， 故选：A． 3. 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数的零点， 即为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图象可得：， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 4. 设，，为不同的平面，，为不同的直线，则下列能使平面与平面平行的一个条件是（ ） A. ， B. ，， C. 内有无数条直线与平行 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间平面间的位置关系判断ACD，由线面垂直的性质即可判断B． 【详解】选项A，直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错； 选项B，由，，可得，又，所以，B正确； 选项C，当这无数条直线相互平行时，平面与可能相交，C错； 选项D，，，，此时平面可以是相交的，D错， 故选：B． 5. 数列满足：，若，则数列的前10项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和. 【详解】由，当时，； 当时，， 两式相减可得，即（）， 经检验，当时，上式符合，故， 所以， 所以. 故选：C. 6. 若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 方程的实数根为 C. 在上为增函数 D. 的值域为 【答案】B 【解析】 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 7. 已知两个随机变量的4组成对数据为.由这4组数据可得关于的线性回归方程为，则（ ） A. 2.8 B. 3 C. 3.3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可. 【详解】，， ∵，∴， ∴. 故选：B. 8. 某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有种分配方案， 其中甲、乙两人被分配到同一路口有种可能， 所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、多选题 9. 已知双曲线的一条渐近线为，C的左右焦点分别为，，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 若直线l与双曲线无交点，则 C. 设，直线l与双曲线C交于P，Q两点（异于点A），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，则为定值 D. 若动直线n与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，则（O为坐标原点）的面积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，即可判断A；联立直线与双曲线方程，消元，由题意得，从而可判断B；设，再根据斜率公式化简整理即可判断C；分直线n的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合弦长公式既点到直线的距离公式计算，从而可判断D. 【详解】解：对于A选项，由题意，得， 双曲线C的方程为，故A正确； 对于B选项，联立，得， 由， 解得，故B正确； 对于C选项，设， 则 ，不为定值，故C错误； 对于选项D，由于动直线n与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N， 当直线n的斜率不存在时，； 当动直线n的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线， 故由， 从而， 化简得， 又因为双曲线C的渐近线方程为， 故由， 从而点， 同理可得，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以，又由， 所以， 故的面积为定值，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，若的图象过三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合图形求得，由三角函数图象的伸缩平移变换可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，得，又，则， 所以. 由，得，由图知在上单调递增， 所以，， 又，只可能，所以，所以， 根据已知图象平移可得，故A错误，B正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故C正确； 令，，解得，， 令，得，故上不单调，故D错误. 故选：BC. 11. 棱长为2的正方体，，分别是棱，棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 在棱上存在一点，使二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据四点共面、正方体的截面、二面角、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】画出图象，作出连线如下图所示， 由于，分别是棱，棱的中点， 所以，根据正方体的性质可知，所以， 所以四点共面，所以直线与直线共面，A选项错误. ， 所以过点，，的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形， 其高为，面积为，B选项正确. 在棱上，由图可知，二面角为钝角，所以C选项错误. 点到平面的距离为， ， 所以，所以， 由， ，解得，所以D选项正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：判断四点共面，可以利用平行直线、相交直线来证明共面.求点到面的距离，一种方法是作出高的方法，需要利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用等体积法来进行求解. 三、填空题 12. 展开式中的项的系数是______. 【答案】30 【解析】 【分析】结合乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令解得；令，解得. 所以展开式中的项的系数是. 故答案为： 13. 已知向量，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，结合诱导公式可得，即可得模长. 【详解】因为向量， 则， 即，可得， 则， ， 可知向量，且， 所以. 故答案为：2. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，内角的平分线交于点，为的外心，若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据角分线定理，可知，再结合向量数量积的几何意义可得，再结合余弦定理可化简，结合辅助角公式及三角函数性质可得最值. 【详解】 由已知为的角分线，则，，即， 则在中由正弦定理可知， 同理在中， 所以， 所以， 所以， 所以， 又点为的外心， 设，分别为，中点，则， 所以， 同理， 所以， 即，即， 在中，由余弦定理可得， 所以， 其中，且， 又，则， 则当时，取得最大值为， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知等比数列的公比，且为，的等比中项，为，的等差中项． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】(I)利用等比中项、等差中项即可列出关系式求解；(II)由可得数列的通项，当时，满足条件；当时，利用放缩法将数列放大成数列，利用等比数列求和公式即可得证. 【详解】（Ⅰ）由题意得则解得. （Ⅱ）由题知，则. 当时，； 当时，， 故， 综上所述，. 【点睛】数列求和常用方法有错位相减法、裂项相消法、公式法、分组求和法. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3）1 【解析】 【分析】（1）取PB的中点Q，连接QF，EQ，由题意可证得四边形DEQF为平行四边形，可证得，进而可证得结论； （2）由（1）及线面平行的性质定理，可证得结论； （3）取AB的中点N，由中位线的性质可得，再由线面平行的判断定理可得平面DBF，并可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 17. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动． （1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？ 北方 南方 汤圆 16 36 元宵 24 24 （2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答． （i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率； （ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望． 附： 【答案】（1）有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验公式进行计算，并判断与的大小关系，即可作出判断； （2）（ⅰ）记事件为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，利用组合公式计算总的基事件个数和事件包含的基事件个数，再利用古典概型公式计算即可求解； （ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况，结合题中条件进行求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 北方 南方 合计 汤圆 16 36 52 元宵 24 24 48 合计 40 60 100 原假设：吃汤圆或元宵与地域无关． ， 故拒绝，即有95%的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关． 【小问2详解】 （ⅰ）记事件A为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”， 则． （ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况， 则， 由甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，则 由定义：若是两点分布，且，则， 则． 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，结合可得椭圆方程； （2）①设过点的直线方程为：，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理及两点间距离公式可得，然后令，结合函数知识可得答案；②由题可得Q在以为直径的圆T上，过B作圆T切线，切点为J，由几何知识可得，然后由两点间距离公式结合①可得最值. 【小问1详解】 因的离心率为，则， 从而，又右顶点为，则，， 则椭圆方程为：； 【小问2详解】 ①因过点的直线不过点B，则直线斜率不为0， 设：.将直线与椭圆联立，则，消去得：. 因，设， 则. 则 ，令，则. 设,则， 因函数在上单调递减， 故,即, 故得,即的最小值为； ②由题，，则Q在以为直径的圆T上，B在圆T外， 如图，过B作圆T切线，切点为J，连接JQ，JM，由弦切角定理可得， 又，则，从而. 又连接，则，. 由（1），即， 则， 又由①得：， 则 ，因，则，此时. 则的最大值为. 19. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，从而判断导数正负，即可判断函数单调性； （2）要证明，即证，由此构造函数，利用导数求解函数的最值即可证明； （3）将在上恒成立，参变分离整理即为在上恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 证明：当时，， 要证明，即证明：，即证； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时的极大值点，也是最大值点， 则，即， 故. 【小问3详解】 由题意得， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 故 【点睛】方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $