专题2.3.2 空间向量运算的坐标表示（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.3.2 空间向量运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间向量线性运算（加、减、数乘）及数量积的坐标表示公式，能熟练进行坐标运算。 2.理解并应用空间向量模长、夹角、距离的坐标计算公式，掌握向量平行与垂直的坐标判定条件。 3.能运用空间向量坐标运算解决简单的立体几何问题（如求夹角、距离、判定垂直平行）。 教学重难点 1.重点： （1）空间向量线性运算、数量积的坐标表示公式及应用。 （2）空间向量模长、夹角、距离的坐标计算，以及平行与垂直的坐标判定。 2.难点： （1）空间向量数量积坐标公式的推导与理解，以及与几何意义的结合。 （2）将立体几何中的位置关系（平行、垂直）和度量问题（夹角、距离）转化为空间向量坐标运算问题。 知识点01 向量线性运算的坐标表示 1.向量加减法运算的坐标表示： . 2.实数乘向量的坐标表示： 3.平行向量的坐标表示： 【即学即练】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 知识点02 向量数量积的坐标表示 1.向量数量积的坐标表示： 2.向量的模： 3.向量夹角的余弦： 4.向量的垂直： 【即学即练】（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知向量，，且，那么 . 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先由向量垂直的坐标关系得到的值，再由向量模的坐标公式计算可得结果. 【详解】由，可得，即，解得. 所以，. 故答案为：. 题型01 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）. （3）. 【变式1-1】（北京市顺义区2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的加法坐标运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 【变式1-3】（25-26高二上·全国·期末）设，已知向量，，，若共面，则 ． 【答案】5 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间向量共面定理即可求解. 【详解】因为共面，所以可设， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 题型02 空间向量平行的坐标表示 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【答案】±1 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】根据题意可得：， ∴. ∵向量与互相平行，， ∴， 即. ∴， ∴或. ∴k的值为1或-1． 【变式2-1】（2025-2026学年福州市高二上学期适应性练习数学试卷）已知向量、若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则，解得. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知向量，向量，且，则 . 【答案】13 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 所以. 故答案为：13. 题型03 空间向量数量积的坐标表示 【典例3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】利用向量的加法运算和数量积坐标公式求解. 【详解】，，， . 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则 . 【答案】0 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【知识点】空间向量的坐标运算、由空间向量共线求参数或值 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 题型04 求向量的模 【典例4】（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】先由空间两向量平行坐标表示得出，再利用模的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知空间向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的数量积求解. 【详解】， ，得， 故选：A 【变式4-2】（25-26高二上·山东济南·月考）已知，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由空间向量的减法运算及模运算求解. 【详解】,则. 故答案为: 【变式4-3】（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题可得． 由，可知， 即，解得， 则，则． 故答案为： 题型05 根据空间向量垂直求参数 【典例5】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求，； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1)， (2)或 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】（1）求出，利用模长公式和数量积公式得到答案； （2）根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】（1）由题意，， 故， ； （2）因与互相垂直，则， 其中， 即， 解得或 【变式5-1】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、向量垂直的坐标表示 【分析】由题意可得，利用1的代换可求的最小值. 【详解】因为且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值是. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线有，结合向量模的坐标公式可求； （2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值； 【详解】（1）根据点，，则， 因为，所以，即，可知， 因为，所以，解得， 所以或 （2）根据点，，， 则，， ， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量垂直求参数、空间向量的坐标运算 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得. （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 题型06 求空间向量夹角或其函数值 【典例6】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】先求，再根据数量积求向量的夹角. 【详解】因为. 由， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【答案】(1) (2)或. (3) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示，和空间向量数量积的坐标表示，求出结果即可. （2）根据空间向量垂直的性质，和空间向量数量积的坐标表示，列出方程，求出结果即可. （3）根据投影向量的概念，以及空间向量数量积的坐标表示，求出投影向量的模长即可. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算、，再通过“向量减法”得到的坐标，最后利用“空间向量模长公式”（）计算模长； （2）先通过“空间向量点积公式”计算，再分别计算、的模长，最后代入“向量夹角公式”（），结合夹角范围确定最终角度. 【详解】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由共线向量和单位向量定义求解. 【详解】根据题意， 则与向量方向相同的单位向量是. 故选：B 2．（25-26高二上·青海西宁·期末）向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量的平行和垂直求出，再根据模长公式求解. 【详解】因为//，所以，所以，所以, 因为，所以，所以. 所以，所以， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量共面求参数 【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可. 【详解】向量，，共面，存在实数使得，即， ，解得，， ， . 故选：A. 4．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 5．（25-26高二上·全国·期末）在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为，则. 因为在向量上的投影向量为， 则，所以. 而，可得向量的夹角为. 故选：A. 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】先求出，后利用向量垂直推出数量积为零求出的值，再求出的坐标，最后根据模长公式求解. 【详解】由，，得 故， 由得，解得或， 当时，，则， 故； 当时，，则， 故. 综上，. 故选：C 7．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 8．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    二、多选题 9．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 【答案】AC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由空间向量线性运算，垂直，平行，数量积坐标表示可判断各选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若，则存在实数，使，则，方程无解，从而与不平行，故B错误； 对于C，,，则，又,均不是零向量，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·吉林四平·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 11．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 【答案】AD 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量的有关概念 【分析】根据向量模的计算公式，可判定A正确；根据空间向量的数量积的坐标运算公式，可判定B错误；根据向量的夹角公式，可判定C错误；根据同向的单位向量的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，由向量，可得，故A正确； 对于B，由向量， 可得，故B错误； 对于C，由向量的夹角公式，可得， 而，则，故C错误； 对于D，由题意得与同向的单位向量，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高二上·天津·期末）向量与的夹角为 . 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积坐标公式先求出余弦值，进而得到向量的夹角. 【详解】因为向量与， 所以. 所以. 又向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为. 故答案为：. 13.（25-26高二上·广东汕头·期末）正方体棱长为2，E为中点，F为中点，则 ． 【答案】4 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】如图建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 因正方体棱长为2，且E为中点，F为中点， 故有， 则， . 故答案为：4. 14．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知，，则 . 【答案】22 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为：22. 四、解答题 15．（23-24高二上·广东江门·月考）已知向量，，点，. (1)求的值； (2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据空间向量坐标表示公式，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以向量，， 因此， 所以； （2）因为，， 所以， 因为点E在直线上， 所以设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 因此点E的坐标. 16．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知空间向量，，． (1)设，，求； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量共面求参数 【分析】（1）先根据共线设，再用模长公式求，回代得. （2）由共面设，列方程组先解、，再求. 【详解】（1）解：（1）， 存在实数，使得，即， 又，，解得， 当时，，当时，. （2）（2）向量与向量，共面， 存在有序实数对，使得， ， ，解得 实数的值为 17．（24-25高二下·云南曲靖·月考）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. 【答案】(1)0； (2)； 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求出，再利用给定定义求解即得. （2）利用数量积的运算律及给定的定义，列式求出向量夹角的余弦值. 【详解】（1）由，得，则， 所以. （2）由是单位向量，得， 设的夹角为，则， ，而， 因此，解得， 所以夹角的余弦值为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3.2 空间向量运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间向量线性运算（加、减、数乘）及数量积的坐标表示公式，能熟练进行坐标运算。 2.理解并应用空间向量模长、夹角、距离的坐标计算公式，掌握向量平行与垂直的坐标判定条件。 3.能运用空间向量坐标运算解决简单的立体几何问题（如求夹角、距离、判定垂直平行）。 教学重难点 1.重点： （1）空间向量线性运算、数量积的坐标表示公式及应用。 （2）空间向量模长、夹角、距离的坐标计算，以及平行与垂直的坐标判定。 2.难点： （1）空间向量数量积坐标公式的推导与理解，以及与几何意义的结合。 （2）将立体几何中的位置关系（平行、垂直）和度量问题（夹角、距离）转化为空间向量坐标运算问题。 知识点01 向量线性运算的坐标表示 1.向量加减法运算的坐标表示： . 2.实数乘向量的坐标表示： 3.平行向量的坐标表示： 【即学即练】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 向量数量积的坐标表示 1.向量数量积的坐标表示： 2.向量的模： 3.向量夹角的余弦： 4.向量的垂直： 【即学即练】（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知向量，，且，那么 . 题型01 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·河南·期中）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【变式1-1】（北京市顺义区2025-2026学年高二上学期期末数学练习试题）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·期末）设，已知向量，，，若共面，则 ． 题型02 空间向量平行的坐标表示 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值． 【变式2-1】（2025-2026学年福州市高二上学期适应性练习数学试卷）已知向量、若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知向量，向量，且，则 . 题型03 空间向量数量积的坐标表示 【典例3】（25-26高二上·浙江·期中）已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）设、，向量，，，且，，则 . 【变式3-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 题型04 求向量的模 【典例4】（25-26高二上·四川成都·期末）已知向量，若，则 ． 【变式4-1】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知空间向量，若，则（    ） A． B． C． D．6 【变式4-2】（25-26高二上·山东济南·月考）已知，则 . 【变式4-3】（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知空间向量，若，则 ． 题型05 根据空间向量垂直求参数 【典例5】（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求，； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【变式5-1】（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·随堂练习）已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 题型06 求空间向量夹角或其函数值 【典例6】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为 . 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·青海西宁·期末）向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 3．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 4．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·期末）在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．与t有关 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 7．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西安康·期末）已知空间向量，则（    ） A． B．与平行 C． D． 10．（25-26高二上·吉林四平·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 三、填空题 12．（25-26高二上·天津·期末）向量与的夹角为 . 13.（25-26高二上·广东汕头·期末）正方体棱长为2，E为中点，F为中点，则 ． 14．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知，，则 . 四、解答题 15．（23-24高二上·广东江门·月考）已知向量，，点，. (1)求的值； (2)在直线上存在一点E，使得，求点E的坐标. 16．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知空间向量，，． (1)设，，求； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 17．（24-25高二下·云南曲靖·月考）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $