专题2.1 建立空间直角坐标系（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题2.1 建立空间直角坐标系 教学目标 1.理解空间直角坐标系的构成要素，掌握右手直角坐标系的判定与建立方法，能规范绘制空间直角坐标系。 2.掌握空间中点的坐标表示方法，能根据点的位置写坐标、根据坐标定位置，理解空间点与有序实数组的一一对应关系；熟记坐标轴上、坐标平面内点的坐标特征。 3.推导并掌握空间两点间的距离公式，能运用公式求解空间任意两点间的距离，会解决与空间距离相关的简单问题。 4.能结合简单立体几何图形（如长方体、正方体、直棱柱等），选择合适的原点和坐标轴建立空间直角坐标系，为后续空间向量的学习奠定基础。 教学重难点 1.重点： （1）空间直角坐标系的构成、右手直角坐标系的判定与建立方法。 （2）空间中点的坐标表示，坐标轴上、坐标平面内特殊点的坐标特征。 （3）空间两点间距离公式的推导与熟练运用。 （4）结合长方体、直棱柱等简单立体图形，选取恰当的原点和坐标轴建立空间直角坐标系，并求解图形中两点间的距离。 2.难点： （1）突破二维思维局限，建立空间几何直观，理解平面到空间的知识拓展逻辑。 （2）右手直角坐标系的操作规则理解与实际应用，能在具体图形中准确建立右手系。 （3）空间两点间距离公式的类比推导过程（理解从平面到空间的维度拓展对公式的影响，（4）掌握利用长方体模型推导的核心思路）。 （5）结合非特殊的简单立体几何图形，分析图形的结构特征，选择最优建系方案（原点、坐标轴的选取），并解决相关距离问题。 理解空间点的坐标与空间位置的对应关系，能根据点的空间位置特征推导其坐标并求解距离。 知识点01 建立空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O−xyz. 2.坐标平面：在空间直角坐标系O−xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面。 3.空间点的坐标：空间中的点与有序实数组(x,y,z)之间的一一对应关系，有序实数组(x,y,z)称为点P的坐标，记作P(x,y,z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标。 【即学即练】（多选）（22-23高一下·黑龙江牡丹江·月考）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是（    ）    A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】BCD 【知识点】关于点对称的点的空间坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】对于A，根据图示分析即可；对于B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；对于C，根据四边形为正方形判断即可；对于D，根据平面求解即可. 【详解】对于A，由图形及其已知可得：点的坐标为，故A错误； 对于B，由图，，，设点关于点对称的点为， 则，解得，故，故B正确； 对于C，在长方体中， 所以四边形为正方形，与垂直且平分， 即点关于直线对称的点为，故C正确； 对于D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，故D正确. 故选：BCD. 知识点01 空间两点之间的距离 1.空间两点间的距离公式： 2.原点O到空间中任意一点P(x,y,z)的距离： 【即学即练】（21-22高二·全国·课后作业）已知，点P在z轴上，且，求点P的坐标． 【答案】. 【知识点】空间距离公式的应用、空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据给定条件设出点P的坐标，再建立方程求解作答. 【详解】因点P在z轴上，则设，而，且， 因此，，解得， 所以点P的坐标是. 题型01 空间中点的位置及坐标特征 【典例1】（25-26高二上·天津滨海新区·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据直角坐标系的性质求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据坐标的定义可知. 【详解】由空间点的坐标的意义可知，点到平面的距离为2. 故选：B 【变式1-2】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据空间点的坐标定义直接可得. 【详解】根据空间点的坐标定义可知，点到平面的距离等于其纵坐标的绝对值， 所以点到平面的距离为2. 故选：A 【变式1-3】（25-26高二上·河南南阳·月考）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 【答案】 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 题型02 关于坐标平面对称的点的坐标 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可． 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C． 【变式2-1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【详解】易知点关于平面对称的点的坐标关系是横坐标和竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 与点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·期末）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 【变式2-3】（25-26高二上·河南周口·月考）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 题型03 关于坐标轴对称的点的坐标 【典例3】（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 【变式3-1】（25-26高二上·山西吕梁·月考）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的性质，直接判断结果即可. 【详解】点关于轴的对称点为． 故选：C． 【变式3-2】（25-26高二上·河北邯郸·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】将点关于线的对称转化为点关于点的对称可得. 【详解】因为在轴上的垂足的坐标为. 所以点关于轴对称的点就是关于的对称点. 所以对称点为，即. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用空间中对称点的性质求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，故C正确. 故选：C 题型04 关于原点对称的点的坐标 【典例4】（25-26高三上·山西·期中）在空间直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由条件，结合对称性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为点与点关于原点对称， 所以，，， 解得，，，故． 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）已知，则点A关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由点关于原点对称坐标结论可得答案. 【详解】点关于原点对称的点的坐标是. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 【变式4-3】（25-26高二上·四川宜宾·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间点的对称关系即可得到答案. 【详解】根据空间直角坐标系的特点得 点关于原点成中心对称的点的坐标是. 故选：C. 题型05 求空间两点的中点坐标 【典例5】（25-26高二上·四川广安·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 . 【答案】 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】直接利用中点坐标公式求出结果. 【详解】由点，点，可知的中点坐标为，即. 故答案为： 【变式5-1】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】根据题意，利用中点公式，准确计算，即可求解. 【详解】由点，， 则线段的中点坐标为，即. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·重庆·期中）在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】利用中点坐标公式可得答案. 【详解】因为点、，则线段的中点坐标为， 即. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】因为，所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 题型06 求空间图形上的点的坐标 【典例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    【答案】，，. 【知识点】求空间两点的中点坐标、空间中点的位置及坐标特征 【分析】利用空间坐标系上点的坐标表示与中点坐标表示即可得解. 【详解】由于D为坐标原点，所以， 因为，，则，，，， 因为点N是的中点，点M是的中点，所以，. 【变式6-1】（23-24高二上·山西·开学考试）在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于点对称的点的空间坐标 【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案. 【详解】设， 因为与的中点相同，所以， 解得，所以. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的定义求出坐标. 【详解】因为，，， 所以，， 因为点在平面上的射影是，点的横坐标、纵坐标和点的横坐标、纵坐标相同， 又点在轴上的射影是，它的竖坐标与点的竖坐标相同， 所以点的坐标为. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 . 【答案】 ， 【知识点】求空间两点的中点坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】根据线段长度写出点的坐标，再根据中点坐标公式写出中点坐标. 【详解】    如图，，，，， 所以中点， 因为四边形为正方形，所以对角线的交点即为的中点， 由，得中点， 故答案为：，；；. 题型07 求空间中两点间的距离 【典例6】（25-26高二上·天津武清·月考）点关于平面的对称点,又已知求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求空间中两点间的距离、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用空间对称点求坐标，利用坐标运算来求模即可. 【详解】由点关于平面的对称点, 又因为所以 即， 故选：C 【变式7-1】（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】先求得对称点的坐标，进而计算出线段的长度. 【详解】点关于平面的对称点为， 点关于轴的对称点为， 所以. 故选：A 【变式7-2】（25-26高二上·天津·月考）已知点，设A点关于平面的对称点为，B点关于平面的对称点为，则线段的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】求空间中两点间的距离、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据对称的性质，可得点坐标，根据空间中两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 所以的距离为. 故选：A 【变式7-3】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，则 . 【答案】 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 题型08 两点间距离公式的应用 【典例8】（24-25高二上·四川雅安·期中）（1）已知，，在轴上求一点使； （2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形. 【答案】（1）；（2）或 【知识点】空间距离公式的应用 【分析】（1）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解； （2）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解. 【详解】（1）设，由得：， 所以轴上的点能使. （2）设，要使为等边三角形需要， 即， 解之得或，所以点的坐标为或. 【变式8-1】（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间中两点间的距离、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】设球心，半径为，根据条件，利用空间两点间的距离公式，求出，即可求解. 【详解】设球心，半径为， 由，得到，解得， 所以，则该四面体外接球的表面积为， 故选：B. 【变式8-2】（25-26高二上·河北·月考）已知空间三点，，，则的形状为 . 【答案】等腰直角三角形 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】利用空间中两点间距离公式及勾股定理逆定理得到，且，从而可得三角形形状． 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ， ， ， ，且， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【变式8-3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知两点与． (1)求原点到点的距离； (2)求点之间的距离； (3)在轴上求一点，使． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间距离公式的应用、求空间中两点间的距离 【分析】根据空间直角坐标系中，两点间的距离公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由原点到空间任一点的距离公式，可得. （2）解：由空间两点间的距离公式，可得. （3）解：由于点在轴上，不妨设它的坐标为， 则， ． 又，所以，解得， 所以点的坐标为． 一、单选题 1．（25-26高二上·河北张家口·期中）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据坐标的定义可知. 【详解】由题意可知，点到平面的距离为该点横坐标的绝对值，即为2． 故选：B． 2.（24-25高二上·广东佛山·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得. 【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是. 故选：B 3．（2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题）已知是空间直角坐标系中的一点，与点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由于点关于平面对称的点，满足横坐标、竖坐标不变，纵坐标互为相反数，计算即可. 【详解】空间直角坐标系中与点关于平面对称的点， 满足横坐标、竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 是空间直角坐标系中的一点， 点关于平面对称的点是. 故选：D 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求空间中两点间的距离、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用对称性求出，再根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】点关于坐标平面对称的点为， 所以. 故选：D 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 6．（23-24高二上·北京顺义·月考）在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】关于点对称的点的空间坐标 【分析】直接根据中点坐标公式即可得结果. 【详解】设点关于点的对称点坐标， 由中点坐标公式可得，解得，即， 故选：B. 7．（25-26高二上·江西·月考）在空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点到点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间距离公式的应用、求空间中两点间的距离、求空间两点的中点坐标 【分析】先利用空间中点坐标公式，再利用空间两点间距离公式即可. 【详解】线段的中点坐标为， 则点到点的距离为. 故答案为：A. 8．（25-26高二上·全国·期末）一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】求出点关于平面的对称点，的长度即是光线所经过的距离. 【详解】由题意得，点关于平面的对称点为， 则. 故选：D. 二、多选题 9．（19-20高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间图形上的点的坐标 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 10．（25-26高二上·河北邢台·期中）若是空间直角坐标系中的一点，则（    ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点到平面的距离为3 D．点到轴的距离为 【答案】BC 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】由空间直角坐标系点的概念逐项判断即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为，A错误. 点关于轴对称的点的坐标为，B正确. 点到平面的距离为3，C正确. 点到轴的距离为，D错误. 故选：BC 11．（24-25高二上·河南·月考）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高二上·北京大兴·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ；点P关于平面xOy对称的点的坐标是 . 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的轴对称及面对称求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是；点P关于平面xOy对称的点的坐标是. 故答案为：；. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，过点作轴的垂线，则垂足与点的中点坐标为 ． 【答案】 【知识点】求空间两点的中点坐标、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据过空间任意一点作轴的垂线，垂足的坐标均为的形式，再利用中点坐标公式求解即可， 【详解】过空间任意一点作轴的垂线，垂足的坐标均为的形式， 所以垂足的坐标为， 故所求中点坐标为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 【答案】. 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【分析】连接，求出的大小，结合三角函数的定义可求得点的坐标. 【详解】连接，如下图所示： 因为，，则， 因为为的中点，则，故为等边三角形， 故，且， 故点，即点. 故答案为：. 四、解答题 15．（21-22高二·湖南·课后作业）已知，，求到两点距离相等的点的坐标满足的条件． 【答案】 【知识点】空间距离公式的应用、求空间中两点间的距离 【分析】点到两点距离相等，利用距离公式列出方程，化简即可． 【详解】解：因为点到的距离相等， 所以 则 ． 化简得 ， 即到两点距离相等的点的坐标满足的条件为． 16．（2025高二下·全国·专题练习）如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，点M，N分别是AB，PC的中点，且，如何求MN? 【答案】 【知识点】空间距离公式的应用、求空间中两点间的距离 【分析】本题可以通过建系，将点，点，点，点，点用坐标表示出来，进而得到向量的坐标，计算即可得到的长度. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系， 所以 因为M是的中点，是的中点，所以. ，所以. 故长度为：. 17．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．    【答案】 【知识点】空间距离公式的应用、求空间两点的中点坐标 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用中点坐标公式与两点间距离公式求解. 【详解】以点为坐标原点， 所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．   ， ， 由中点坐标公式可得， ， . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 建立空间直角坐标系 教学目标 1.理解空间直角坐标系的构成要素，掌握右手直角坐标系的判定与建立方法，能规范绘制空间直角坐标系。 2.掌握空间中点的坐标表示方法，能根据点的位置写坐标、根据坐标定位置，理解空间点与有序实数组的一一对应关系；熟记坐标轴上、坐标平面内点的坐标特征。 3.推导并掌握空间两点间的距离公式，能运用公式求解空间任意两点间的距离，会解决与空间距离相关的简单问题。 4.能结合简单立体几何图形（如长方体、正方体、直棱柱等），选择合适的原点和坐标轴建立空间直角坐标系，为后续空间向量的学习奠定基础。 教学重难点 1.重点： （1）空间直角坐标系的构成、右手直角坐标系的判定与建立方法。 （2）空间中点的坐标表示，坐标轴上、坐标平面内特殊点的坐标特征。 （3）空间两点间距离公式的推导与熟练运用。 （4）结合长方体、直棱柱等简单立体图形，选取恰当的原点和坐标轴建立空间直角坐标系，并求解图形中两点间的距离。 2.难点： （1）突破二维思维局限，建立空间几何直观，理解平面到空间的知识拓展逻辑。 （2）右手直角坐标系的操作规则理解与实际应用，能在具体图形中准确建立右手系。 （3）空间两点间距离公式的类比推导过程（理解从平面到空间的维度拓展对公式的影响，（4）掌握利用长方体模型推导的核心思路）。 （5）结合非特殊的简单立体几何图形，分析图形的结构特征，选择最优建系方案（原点、坐标轴的选取），并解决相关距离问题。 理解空间点的坐标与空间位置的对应关系，能根据点的空间位置特征推导其坐标并求解距离。 知识点01 建立空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O−xyz. 2.坐标平面：在空间直角坐标系O−xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面。 3.空间点的坐标：空间中的点与有序实数组(x,y,z)之间的一一对应关系，有序实数组(x,y,z)称为点P的坐标，记作P(x,y,z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标。 【即学即练】（多选）（22-23高一下·黑龙江牡丹江·月考）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是（    ）    A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 知识点01 空间两点之间的距离 1.空间两点间的距离公式： 2.原点O到空间中任意一点P(x,y,z)的距离： 【即学即练】（21-22高二·全国·课后作业）已知，点P在z轴上，且，求点P的坐标． 题型01 空间中点的位置及坐标特征 【典例1】（25-26高二上·天津滨海新区·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1-2】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（25-26高二上·河南南阳·月考）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 题型02 关于坐标平面对称的点的坐标 【典例2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·新疆巴音郭楞·期末）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·河南周口·月考）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 题型03 关于坐标轴对称的点的坐标 【典例3】（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（    ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 【变式3-1】（25-26高二上·山西吕梁·月考）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河北邯郸·期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型04 关于原点对称的点的坐标 【典例4】（25-26高三上·山西·期中）在空间直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）已知，则点A关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·四川宜宾·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型05 求空间两点的中点坐标 【典例5】（25-26高二上·四川广安·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 . 【变式5-1】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·重庆·期中）在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知，则线段的中点坐标为 . 题型06 求空间图形上的点的坐标 【典例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    【变式6-1】（23-24高二上·山西·开学考试）在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在长方体中，. 以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴，轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则长方体顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 . 题型07 求空间中两点间的距离 【典例6】（25-26高二上·天津武清·月考）点关于平面的对称点,又已知求（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·天津·月考）已知点，设A点关于平面的对称点为，B点关于平面的对称点为，则线段的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-3】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，则 . 题型08 两点间距离公式的应用 【典例8】（24-25高二上·四川雅安·期中）（1）已知，，在轴上求一点使； （2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形. 【变式8-1】（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·河北·月考）已知空间三点，，，则的形状为 . 【变式8-3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知两点与． (1)求原点到点的距离； (2)求点之间的距离； (3)在轴上求一点，使． 一、单选题 1．（25-26高二上·河北张家口·期中）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2.（24-25高二上·广东佛山·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题）已知是空间直角坐标系中的一点，与点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 6．（23-24高二上·北京顺义·月考）在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西·月考）在空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点到点的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·期末）一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（19-20高二上·福建三明·期末）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 10．（25-26高二上·河北邢台·期中）若是空间直角坐标系中的一点，则（    ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点到平面的距离为3 D．点到轴的距离为 11．（24-25高二上·河南·月考）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·北京大兴·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ；点P关于平面xOy对称的点的坐标是 . 13．（24-25高二下·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，过点作轴的垂线，则垂足与点的中点坐标为 ． 14．（24-25高二上·四川南充·期中）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 四、解答题 15．（21-22高二·湖南·课后作业）已知，，求到两点距离相等的点的坐标满足的条件． 16．（2025高二下·全国·专题练习）如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，点M，N分别是AB，PC的中点，且，如何求MN? 17．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．    1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $