专题01 同角三角函数与诱导公式（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题01 同角三角函数与诱导公式 目录 类型一、单位圆 2 类型二、 三角函数符号 5 类型三、 同角平方关系 7 类型四、 正余弦和与差平方转化型 10 类型五、 诱导公式应用：对称 13 类型六、诱导公式应用：旋转 16 类型七、切弦互化1：齐次基础 18 类型八、 切弦互化2：齐次构造 20 类型九、化简求值型求参 21 类型十一、同角三角函数比大小 26 28 类型一、单位圆 单位圆定义：平面直角坐标系中，以原点O为圆心、半径r=1的圆，其方程为x2+y2=1。结合三角函数定义，已知角的象限或终边过某点，判断三角函数符号或求具体值。 技巧：先确定单位圆上点的坐标符号，再结合定义求解。 例1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与射线交于点，已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则所对圆心角为 D．若所对圆心角为 ，则 变式1-1． （22-23高一上·湖南长沙·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（22-23高一下·福建福州·期末）如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得逆时针旋转得，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 变式1-3． （25-26高一上·上海嘉定·期末）已知，若存在实数，使得对任意的正整数，都有，则的最小值是 ． 类型二、 三角函数符号 三角函数的符号由角的终边所在象限决定，本质是单位圆上点的坐标符号（正弦对应纵坐标y，余弦对应横坐标x，正切对应（x，y），符号记忆，可以用口诀 “一全正、二正弦、三正切、四余弦” 的象限符号规律。 三角函数符号的核心是 “象限与坐标的对应关系”，解题时需遵循 “先定位角的象限→再关联坐标符号→最后结合公式化简” 的逻辑，辅以特殊值验证和易错点排查，即可高效突破此类题型。无论是基础的符号判断，还是结合诱导公式、同角关系的复杂题型，只要紧扣 “单位圆坐标” 这一本质，就能快速找到解题思路。 例、（25-26高一上·上海·月考）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 变式2-1． （24-25高一下·四川成都·期中）“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 变式2-2． （24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 类型三、 同角平方关系 对任意角α，均有sin2α+cos2α=1（α终边在坐标轴上时仍成立，如α=0时，sin0=0，cos0=1，满足02+12=1）。 平方关系源于单位圆定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，由单位圆方程x2+y2=1直接推导得出，是 “几何意义” 与 “代数恒等” 的统一。 常见以下平方关系： sin2α=1−cos2α cos2α=1−sin2α,主要是设计到已 知sinα求cosα（或反之），需结合角的象限判断符号。 tan2α+1=1/cos2α,​ 1+tan2α​=1/sin2α​这组公式涉及正切与正、余弦的齐次式化简。 ​ 例3．（2026·山东枣庄·一模）记函数，的两个零点为和，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-3． ．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 类型四、 正余弦和与差平方转化型 与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2. 例4．（24-25高三下·广东东莞·月考）若存在一实数，使得对于任意实数和任意恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1． （17-18高一上·湖北·期末）如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 变式4-2． （25-26高一上·山东青岛·月考）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-3． （25-26高三上·江苏南京·开学考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 类型五、 诱导公式应用：对称 诱导公式的 “对称” 源于单位圆的对称性。如果设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x。当角的终边发生对称变换时，点P的坐标随之变化，进而衍生出对应的诱导公式。 关于 x 轴对称β=−α（或β=2kπ−α，k∈Z）(x,−y)sin(−α)=−y=−sinα；cos(−α)=x=cosα 关于 y 轴对称β=π−α(−x,y)sin(π−α)=y=sinα；cos(π−α)=−x=−cosα 关于原点对称β=π+α（或β=−π+α）(−x,−y)sin(π+α)=−y=−sinα；cos(π+α)=−x=−cosα 关于直线y=x对称β=2π​−α 例5．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 变式5-1． （23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 变式5-2．（25-26高一上·安徽池州·月考）设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 变式5-3．（25-26高一上·全国·单元测试）若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 类型六、诱导公式应用：旋转 诱导公式的 “旋转” 本质是单位圆上点的终边绕原点旋转特定角度（如2π​、π、23π​）后，三角函数值的变换规律，要按照 “终边旋转→坐标变换→定义推导” 的逻辑求解 要注意旋转的逆向性：顺时针旋转θ等价于逆时针旋转2π−θ，例如顺时针旋转3π​，可转化为逆时针旋转35π​，公式推导一致。依据题目中的角变换（如2π​+α、α−π），判断旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）和角度，结合上表写出旋转后新点P′(x′,y′)的坐标（如2π​+α对应(−y,x)）。 例6．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（25-26高一上·四川绵阳·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-2． （25-26高一上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A． B． C． D． 变式6-3． （25-26高三上·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，在的终边上，若在之间，则（   ） A．308° B．128° C．52° D．38° 类型七、切弦互化1：齐次基础 围绕 “齐次式” 展开 —— 即分子、分母均为关于sinα、cosα的同次整式（常见一次、二次齐次式），通过 “弦化切”（将正弦、余弦转化为正切）实现化简求值， 次数一致：分子、分母中sinα、cosα的最高次数相同（一次齐次式：如sinα+2cosα；二次齐次式：如3sin2α−sinαcosα+2cos2α）。 不含常数项：若含常数项，需利用同角平方关系sin2α+cos2α=1将常数项化为二次齐次式（如1=sin2α+cos2α，使整体成为二次齐次式）。 弦化切的核心原理 基于同角三角函数的商数关系tanα=cosα/sinα​（cosα不为0），对齐次式分子、分母同时除以coskα（k为齐次式的次数），即可将式子转化为关于tanα的代数式： 例7．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 变式7-1． ．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．2 变式7-2． （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3． ．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 类型八、 切弦互化2：齐次构造 齐次构造主要是“转化非齐次式”，解题时需紧扣式子结构特征，选择构造方法，弦化切求值求值，关键在于灵活运用sin2α+cos2α=1和诱导公式，将复杂的非齐次问题转化为熟悉的齐次问题。无论是含常数项、不同次项还是和差角的式子，只要掌握 “补项”、“拆项”、“参数引入” 的构造技巧，就能高效突破此类题型，避免因式子结构陌生而无从下手。 例8．（25-26高一上·广东广州·月考）若角的终边经过点，则＝（   ） A． B． C． D．－1 变式8-1． （25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式8-2． （25-26高三上·河南·月考）已知，则（   ） A．2 B． C． D． 变式8-3． （25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 类型九、化简求值型求参 化简求值型求参，核心是通过三角函数的化简（如利用诱导公式、同角关系、和差角公式等）将含参数的表达式转化为简洁形式，再结合 “恒成立”、“存在性”、“定值条件” 等约束条件，建立关于参数的方程或不等式，求解参数值或范围。要注意回避以下易犯错误： 1.化简错误导致求参偏差。 2.三角函数值域遗漏。 例9．（25-26高三上·浙江·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为 ． 变式9-1．（19-20高三上·江苏泰州·期末）在△中，已知，其中.若为定值，则实数 . 变式9-2． （16-17高一下·上海浦东新·月考）设、是非零实数，，若，则 变式9-3．（25-26高一上·黑龙江鸡西·期末）已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围 . 类型十、同角恒等变换求最值 同角恒等变换求最值是高考三角函数模块的高频中档偏难题型，核心是利用同角三角函数的基本关系（sin2α+cos2α=1、tanα=cosαsinα​），结合代数变形（如换元法、二次函数最值、基本不等式），将三角函数表达式转化为可求最值的代数形式。该题型常与三角函数值域、象限约束、代数式化简结合，同角恒等变换求最值的本质是 “将三角函数表达式转化为熟悉的代数函数（如二次函数、分式函数），再利用函数性质求最值。 例10．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为 . 变式10-1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，满足，则当 时，取最大值． 变式10-2． （2021·四川绵阳·模拟预测）已知，则的最大值为 变式10-3． （25-26高一上·北京·期末）已知函数，则的最大值为 ． 类型十一、同角三角函数比大小 同角三角函数比大小，常结合三角函数定义、单位圆性质、函数单调性及特殊角值考查。要首先定位角的范围，利用利用函数单调性，以及单位圆几何意义，结合特殊值或恒等变换”，比较同一角的正弦、余弦、正切值大小，或不同角的同名三角函数值大小。 例11．（2025高三·全国·专题练习）若，则的大小关系为 ． 变式11-1．（22-23高一下·全国·月考）若，则的大小关系为 . 变式11-2． （23-24高三全国专题练习）已知是第三象限的角，比较、、的大小关系是 .（用“”号连接） 变式11-3．（24-25高三全国专题练习）设，且满足，则的大小关系为 ． 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 2．（21-22高一·全国·课后作业）以下式子符号为负的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏无锡·月考）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东汕头·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若，则与是终边相同的角 B．若角的终边过点，则 C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D．若，则角的终边在第一象限或第三象限 11．（23-24高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是 13．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有 个真子集． 14．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 同角三角函数与诱导公式 目录 类型一、单位圆 2 类型二、 三角函数符号 5 类型三、 同角平方关系 7 类型四、 正余弦和与差平方转化型 10 类型五、 诱导公式应用：对称 13 类型六、诱导公式应用：旋转 16 类型七、切弦互化1：齐次基础 18 类型八、 切弦互化2：齐次构造 20 类型九、化简求值型求参 21 类型十一、同角三角函数比大小 26 28 类型一、单位圆 单位圆定义：平面直角坐标系中，以原点O为圆心、半径r=1的圆，其方程为x2+y2=1。结合三角函数定义，已知角的象限或终边过某点，判断三角函数符号或求具体值。 技巧：先确定单位圆上点的坐标符号，再结合定义求解。 例1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与射线交于点，已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则所对圆心角为 D．若所对圆心角为 ，则 【答案】D 【分析】设点在角的终边上，根据三角函数定义及诱导公式逐一判断.A项由得与关系可判断错误；B项由与可得的关系从而判断错误；C项由关系举特例判断错误；D项由，可得. 【详解】如图，因为单位圆与射线交于点， 即点在角的终边上， 设点在角的终边上，则，. 对于A，因为点的坐标是， 由题意可知， 如图，若，则，， 即， 此时或，故A错误； 对于B，由题意可得， 则或， 则或， 故B错误； 对于C，由图可知，设对应的圆心角为， 由A项可知，或， 即或， 例如：当时，则满足， 此时，即此时对应的圆心角为， 而，故C错误； 对于D，若所对圆心角为，则， 则，故D正确. 故选：D. 变式1-1． （22-23高一上·湖南长沙·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，得到坐标. 【详解】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 故对应坐标为，即. 故选：C 变式1-2．（22-23高一下·福建福州·期末）如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得逆时针旋转得，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦值的定义，结合诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意，，故，由诱导公式且，有，即点的横坐标为 故选：D 变式1-3． （25-26高一上·上海嘉定·期末）已知，若存在实数，使得对任意的正整数，都有，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，，即，根据的范围即可求出答案. 【详解】作出单位圆，如图所示，   由题意知，的终边需落在图中阴影部分区域，所以，由题意可知，即， 又因为，可得，所以当时，取最小值为.故答案为：. 类型二、 三角函数符号 三角函数的符号由角的终边所在象限决定，本质是单位圆上点的坐标符号（正弦对应纵坐标y，余弦对应横坐标x，正切对应（x，y），符号记忆，可以用口诀 “一全正、二正弦、三正切、四余弦” 的象限符号规律。 三角函数符号的核心是 “象限与坐标的对应关系”，解题时需遵循 “先定位角的象限→再关联坐标符号→最后结合公式化简” 的逻辑，辅以特殊值验证和易错点排查，即可高效突破此类题型。无论是基础的符号判断，还是结合诱导公式、同角关系的复杂题型，只要紧扣 “单位圆坐标” 这一本质，就能快速找到解题思路。 例、（25-26高一上·上海·月考）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【分析】根据题意，分别讨论四个象限时的符号进行判断即可． 【详解】当角的终边在第一象限时，，又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，，又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，，又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，，又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限．故选：A． 变式2-1． （24-25高一下·四川成都·期中）“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先求满足点在第二象限的范围，在根据充分不必要条件即可求解. 【详解】由题意有或， 所以“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是. 故选：B. 变式2-2． （24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 变式2-3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解. 【详解】易知， 故.故选：B 类型三、 同角平方关系 对任意角α，均有sin2α+cos2α=1（α终边在坐标轴上时仍成立，如α=0时，sin0=0，cos0=1，满足02+12=1）。 平方关系源于单位圆定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，由单位圆方程x2+y2=1直接推导得出，是 “几何意义” 与 “代数恒等” 的统一。 常见以下平方关系： sin2α=1−cos2α cos2α=1−sin2α,主要是设计到已 知sinα求cosα（或反之），需结合角的象限判断符号。 tan2α+1=1/cos2α,​ 1+tan2α​=1/sin2α​这组公式涉及正切与正、余弦的齐次式化简。 ​ 例3．（2026·山东枣庄·一模）记函数，的两个零点为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即，列方程解，不妨设，可知，.利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断. 【详解】令，即， 联立方程，解得或， 不妨设，则，，且，则，. 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 对于选项AB：因为，则，且， 可得，，则，故A错误； 且，故B错误；故选：D. 变式3-1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过把拆解成与的关系式可求得的值，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和、差的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∴，∵，∴，故， ∴，∴ .故选：A. 变式3-2．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】，由，得， 令，且，所以，有， 即，故，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1.故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键. 变式3-3． ．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及平方关系、和角正弦公式得，且，利用正弦函数的单调性有，进而得到的正余弦值，即可得. 【详解】因为①，②， 由①+②得，，所以， 因为，所以，因为，所以， 又函数在上单调递增，所以，即， 所以，所以.故选：B 类型四、 正余弦和与差平方转化型 与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2. 例4．（24-25高三下·广东东莞·月考）若存在一实数，使得对于任意实数和任意恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】处理多元问题，采用控制变量法，先将作为自变量，求关于的函数的最小值，使其大于等于，再将其看作关于的函数，这里利用换元法，令，进而将问题转化为关于的函数恒成立问题，利用参变分离求最值即可. 【详解】先给出公式：，等号成立条件为，证明如下： ， 等号成立时，则，等号成立条件为；则 等号成立条件为， 因对任意恒成立， 则，即对任意恒成立，令，因，则，则，则， 因，则， 则对任意恒成立，则或， 即或对任意恒成立，因，等号成立条件为，即，则，因对勾函数在上单调递减，则， 则，则或，综上所述，的取值范围是. 故选：A 变式4-1． （17-18高一上·湖北·期末）如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是上任意一点，则xy+x+y的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα利用三角函数有关公式化简，即可求解最大值． 【详解】由题意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα， 设t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，则xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα= t=sinα+cosα=sin（α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴. ∴当t=时，xy+x+y取得最大值为：．故选D． 【点睛】本题考查了三角函数的性质和转换思想的应用，由t=sinα+cosα，则t2=1+2sinαcosα，即sinαcosα=，将xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα=+t=（t-1）2，转化为二次函数问题，属于中档题； 变式4-2． （25-26高一上·山东青岛·月考）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值；通过平方关系和象限分析，即可求得的值；将和联立，求得和的值，根据商数关系即可求得的值；由平方差公式，可得，将和代入，即可求得的值. 【详解】已知，是方程的两根，则有， 又由，得，解得，故A错误； 又，则，又，所以， 所以， 又，，所以，则，故B错误； 又，解得，所以，故C错误； 所以，故D正确.故选：D 变式4-3． （25-26高三上·江苏南京·开学考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可. 【详解】，，，令，则， ，即，， ，， 解得，故选：D 类型五、 诱导公式应用：对称 诱导公式的 “对称” 源于单位圆的对称性。如果设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x。当角的终边发生对称变换时，点P的坐标随之变化，进而衍生出对应的诱导公式。 关于 x 轴对称β=−α（或β=2kπ−α，k∈Z）(x,−y)sin(−α)=−y=−sinα；cos(−α)=x=cosα 关于 y 轴对称β=π−α(−x,y)sin(π−α)=y=sinα；cos(π−α)=−x=−cosα 关于原点对称β=π+α（或β=−π+α）(−x,−y)sin(π+α)=−y=−sinα；cos(π+α)=−x=−cosα 关于直线y=x对称β=2π​−α 例5．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以此时集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即，所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ，可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个.故选：C 变式5-1． （23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素；当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 变式5-2．（25-26高一上·安徽池州·月考）设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 若，则， 故选：D 变式5-3．（25-26高一上·全国·单元测试）若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】法一:由得，从而，所以，由即可计算求解. 法二:由所在终边刚好将单位圆均分成24份，利用对称性，计算即可. 【详解】法一:，由 得， 由三角函数定义知， 所以， 因为，所以， 所以， ， 所以． 法二:由题意，可以得到所在终边刚好将单位圆均分成24份， 的终边关于原点对称，即， 所以，又， 故． 故选：B. 类型六、诱导公式应用：旋转 诱导公式的 “旋转” 本质是单位圆上点的终边绕原点旋转特定角度（如2π​、π、23π​）后，三角函数值的变换规律，要按照 “终边旋转→坐标变换→定义推导” 的逻辑求解 要注意旋转的逆向性：顺时针旋转θ等价于逆时针旋转2π−θ，例如顺时针旋转3π​，可转化为逆时针旋转35π​，公式推导一致。依据题目中的角变换（如2π​+α、α−π），判断旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）和角度，结合上表写出旋转后新点P′(x′,y′)的坐标（如2π​+α对应(−y,x)）。 例6．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、诱导公式等求解即可. 【详解】, ,, .故选：B. 变式6-1．（25-26高一上·四川绵阳·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据诱导公式和充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，所以或（），即或（）， 因此由不能推出； 因为，所以，所以. 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 变式6-2． （25-26高一上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式先计算，进而得点的坐标，最后利用三角函数的定义即可求解. 【详解】依题意，， 即，由三角函数的定义得，则．故选：B. 变式6-3． （25-26高三上·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，在的终边上，若在之间，则（   ） A．308° B．128° C．52° D．38° 【答案】D 【分析】根据诱导公式结合三角函数定义求解即可. 【详解】终边与单位圆的交点坐标为，因为， ，， 所以终边与单位圆的交点坐标为，即.故选：D. 类型七、切弦互化1：齐次基础 围绕 “齐次式” 展开 —— 即分子、分母均为关于sinα、cosα的同次整式（常见一次、二次齐次式），通过 “弦化切”（将正弦、余弦转化为正切）实现化简求值， 次数一致：分子、分母中sinα、cosα的最高次数相同（一次齐次式：如sinα+2cosα；二次齐次式：如3sin2α−sinαcosα+2cos2α）。 不含常数项：若含常数项，需利用同角平方关系sin2α+cos2α=1将常数项化为二次齐次式（如1=sin2α+cos2α，使整体成为二次齐次式）。 弦化切的核心原理 基于同角三角函数的商数关系tanα=cosα/sinα​（cosα不为0），对齐次式分子、分母同时除以coskα（k为齐次式的次数），即可将式子转化为关于tanα的代数式： 例7．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式求得，然后利用将目标式子化弦为切，进而代入计算即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B 变式7-1． ．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，结合齐次化求得，再根据正切和角公式求解即可. 【详解】由题知， 所以，解得， 所以故选：D 变式7-2． （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的关系化简求解． 【详解】，解得．故选：D． 变式7-3． ．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用齐次化思想求出，再利用两角和差的正切公式即可. 【详解】因，则， 得或，因，则，则. 故选：B 类型八、 切弦互化2：齐次构造 齐次构造主要是“转化非齐次式”，解题时需紧扣式子结构特征，选择构造方法，弦化切求值求值，关键在于灵活运用sin2α+cos2α=1和诱导公式，将复杂的非齐次问题转化为熟悉的齐次问题。无论是含常数项、不同次项还是和差角的式子，只要掌握 “补项”、“拆项”、“参数引入” 的构造技巧，就能高效突破此类题型，避免因式子结构陌生而无从下手。 例8．（25-26高一上·广东广州·月考）若角的终边经过点，则＝（   ） A． B． C． D．－1 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式化简进而应用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以 .故选：D 变式8-1． （25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数的基本关系可得或，再结合齐次式求解即可. 【详解】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，.故选：A 变式8-2． （25-26高三上·河南·月考）已知，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式对进行化简，求得，再将化为齐次式，将正弦、余弦转化为正切，代入即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D． 变式8-3． （25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 类型九、化简求值型求参 化简求值型求参，核心是通过三角函数的化简（如利用诱导公式、同角关系、和差角公式等）将含参数的表达式转化为简洁形式，再结合 “恒成立”、“存在性”、“定值条件” 等约束条件，建立关于参数的方程或不等式，求解参数值或范围。要注意回避以下易犯错误： 1.化简错误导致求参偏差。 2.三角函数值域遗漏。 例9．（25-26高三上·浙江·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 原式等价于， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边，令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此．故答案为：. 变式9-1．（19-20高三上·江苏泰州·期末）在△中，已知，其中.若为定值，则实数 . 【答案】 【分析】由，再根据已知将问题转化为等式恒成立，即可求参数. 【详解】， ∴恒成立，则，.故答案为： 变式9-2． （16-17高一下·上海浦东新·月考）设、是非零实数，，若，则 【答案】 【分析】由已知化简可得，，代入已知式子可得，即可求解. 【详解】 化简得，即， ∴， ∴.故答案为: 【点睛】本题考查三角指数幂的运算，合理利用已知条件，以及平方关系是解题的关键，属于较难题. 变式9-3．（25-26高一上·黑龙江鸡西·期末）已知对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】首先，根据已知条件，等价转化成恒成立，然后，换元法令，，设函数，对其对称轴进行讨论． 【详解】因为对任意实数，不等式恒成立，， 所以对任意恒成立． 令，，则在上恒成立． 令，此为二次函数的动轴定区间问题，分类讨论如下． ①当时，，得，所以； ②当时，，得，所以； ③当时，，得，不符合，舍去． 综上，．故答案为： 类型十、同角恒等变换求最值 同角恒等变换求最值是高考三角函数模块的高频中档偏难题型，核心是利用同角三角函数的基本关系（sin2α+cos2α=1、tanα=cosαsinα​），结合代数变形（如换元法、二次函数最值、基本不等式），将三角函数表达式转化为可求最值的代数形式。该题型常与三角函数值域、象限约束、代数式化简结合，同角恒等变换求最值的本质是 “将三角函数表达式转化为熟悉的代数函数（如二次函数、分式函数），再利用函数性质求最值。 例10．（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据商数关系将整理成，借助诱导公式和函数的单调性可得，设，则可将转化为二次函数求最值问题，根据函数的单调性即可求. 【详解】因为，所以，所以， 所以，因，故，则， 因函数，均在上单调递增，则函数在上单调递增， 故有：，设，其中，则 当且仅当时取等号，则此时，故， 又函数在时单调递减，在时单调递增， 而，故当时，取到最大值，此时，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用同角三角函数基本关系式和三角函数的单调性，将求的最大值问题转化成求函数在的最大值. 变式10-1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，满足，则当 时，取最大值． 【答案】/ 【分析】首先利用三角函数的两角差公式对展开，再结合同角三角函数的基本关系以及弦化切结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，则， 所以.即. 因为，则，等式两边同时除以得， 则，即，因为，则， 所以，因为，所以， 则，当且仅当，即时等号成立. 所以当时取最大值.故答案为：. 变式10-2． （2021·四川绵阳·模拟预测）已知，则的最大值为 【答案】 【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解. 【详解】， ，，即 。又， 利用二次函数的性质知，当时，故答案为： 变式10-3． （25-26高一上·北京·期末）已知函数，则的最大值为 ． 【答案】/1.125 【分析】设，结合同角三角函数的基本关系化简可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的定义域为，设，则同号， 则 ， 则时，，即的最大值为.故答案为：. 类型十一、同角三角函数比大小 同角三角函数比大小，常结合三角函数定义、单位圆性质、函数单调性及特殊角值考查。要首先定位角的范围，利用利用函数单调性，以及单位圆几何意义，结合特殊值或恒等变换”，比较同一角的正弦、余弦、正切值大小，或不同角的同名三角函数值大小。 例11．（2025高三·全国·专题练习）若，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数值的符号特征，结合同角三角函数的关系可求解. 【详解】因为，所以，，， ，所以. 故答案为：. 变式11-1．（22-23高一下·全国·月考）若，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据三角函数性质确定的范围由此确定其大小关系. 【详解】因为，则，根据正弦函数和余弦函数的单调性知： ，， 所以，，， 所以，故答案为：. 变式11-2． （23-24高三全国专题练习）已知是第三象限的角，比较、、的大小关系是 .（用“”号连接） 【答案】 【分析】先根据三角函数线得到当时，，结合函数的奇偶性得到当时，，由是第三象限的角得到，从而求出，，得到结论. 【详解】因为为第三象限角，所以，由三角函数线可知：“当时，”， 又因为，，为奇函数，则当时，， 因为，所以，因为，所以， 所以．故答案为：. 变式11-3．（24-25高三全国专题练习）设，且满足，则的大小关系为 ． 【答案】 【详解】 先证明当 时， ．如上图，在单位圆中， 的正弦线为 ，对应的弧长为，由图形可知， ，由 图象（下图）可知， . 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可. 【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 2．（21-22高一·全国·课后作业）以下式子符号为负的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边相同的角，分别判断有关角所在的象限，再判断该角有关三角函数的符号，即可判断式子的符号，进而得出答案. 【详解】对于A，因为108°角是第二象限角，所以，又305°角是第四象限角，所以，所以，所以A正确； 对于B，因为角是第二象限角，角是第四象限角，角是第二象限角，所以，，，从而，所以B不正确； 对于C，因为191°角是第三象限角，所以，，所以，所以C不正确. 对于D，因为，，，所以，，，所以，所以D不正确. 故选：A. 3．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得的取值范围，再利用指数函数和幂函数的单调性判断的大小关系,即可选出正确答案. 【详解】因为所以,所以. 所以是t的减函数,所以. 是增函数,所以 所以 故选: B. 4．（2024·江苏·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出、，再根据两角差和的正弦公式计算可得； 【详解】因为且，, 所以,因为且，, 所以,所以 故选：B. 5．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得是定义在上的偶函数，且在上单调递增，根据三角函数的性质可得，再根据指数函数与幂函数的性质比较的大小关系，结合函数的单调性与奇偶性即可比较的大小关系. 【详解】当时，，易知单调递增.当时，, 则，同理可得，当时，亦有， 所以是定义在上的偶函数.因为，所以， 由指数函数及幂函数的单调性可得. 又，所以. 又，所以， 所以.因为在上单调递增，所以. 因为是定义在上的偶函数，所以，即. 故选:B. 6．（23-24高一上·江苏无锡·月考）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角速度列方程，求得两点重合的时刻的表达式，进而求得点的坐标，再根据三角函数的周期性求得正确答案. 【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合， 则，即，此时点， 即，，当时，，故A正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即，故D正确； 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B 【点睛】关键点睛：追及问题的关键点在于时间，运动的时间相同，由此可建立等量关系式，从而可对问题进行求解.三角函数具有周期性，诱导公式可以将较大角的三角函数值转化为较小的角的三角函数值. 7．（25-26高一上·广东汕头·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的终边与单位圆的交点坐标可得，利用和诱导公式化简求值，再进行弦切互化求值即可. 【详解】由题意可知：，则，解得， 即，且；易得，则，则.故选：A. 8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，可得与周期相同，即，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为函数恒成立，所以与同号或为， 则与周期相同，即，可得， 则，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】确定点的初始位置，由题意列出重合时刻的表达式，进而可得点的坐标，通过赋值对比选项即可得解. 【详解】依题意，点的起始位置，点的起始位置， 则，设当与重合时，用的时间为， 于是，即， 则，所以， 对于A，若，则或，， 解得，或，因为，这样的不存在，故A错误； 对于B，当时，，即，故B正确； 对于C，若，则或，， 解得，或，因为，这样的不存在，故C错误； 对于D，当时，，即，故D正确； 故选：BD. 【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时所用时间，得到重合点坐标，结合角度差，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可. 10．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若，则与是终边相同的角 B．若角的终边过点，则 C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D．若，则角的终边在第一象限或第三象限 【答案】CD 【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D. 【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误； 对于B：，当时，，故B错误； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确； 故选：CD 11．（23-24高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特殊角的函数值，比较大小，即可得答案. 【详解】对于A，，故， 故，A正确； 对于B，，则， 则，B正确； 对于C，，故， 故，C错误； 对于D，，则， 故，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调性比较大小. 三、填空题 12．（2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是 【答案】 【分析】 利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值. 【详解】在单位圆中分析，由题意， 的终边要落在图中阴影部分区域 （其中）， 必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内， ∴， ∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了）， 故存在正整数,使得，即，，同时，∴的最小值为, 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键. 13．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有 个真子集． 【答案】/ 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据的关系，将化为，再结合对式子进行转化，利用基本不等式即可求其最小值． 【详解】∵，∴，即， ∴原式 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为．故答案为：． 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $