第10讲 相似三角形（复习讲义，5考点10题型5重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

定〉 考点1放缩与相似形 相1 比和比例 线段的比 比例线段 考点2比例线段 黄金分割 三角形一 线性质定 三角形一 线判定定 平行线分 相似三角形 考点3相似三角形的判定 考点4相似三角形的性质 考点5相似三角形的应用 、：形状相同的图形称为相似图形。 厂定义 以多边形 对应角相等。 性质： 对应边成比例。 比的意义：两个数相除的比，记作a:b或g,比值为k时，a=bk。 比的基本性质：比的前项和后项同来或同除相同数（非零），比位不变。 比例的意义：表示两个比相等的式子，如a:b=c:d,则ad=bc。 比例的基本性质：内项积等于外项积(ad三bc) 比例中项：如果比例的两个内项相等，即b是a和c的比例中项，则b2=aC。 两条线段长度的比称为线段的比。 定义：四条线段a,b,C,d如果满足=号（即ad=bc),则成比例。 基本性质：若号=，则ad=bc。 合比性质：若号=，则老= 性质： 分比性质：若号=，则=。 更比性质：若号=后，则吕=台浅台=号。 等比性质：若号=号=…=咒，则把=号（分母和非零）。 定义：点P分割线段AB(AP>PB),如果AP是AB和PB的 比例中项(AP2=AB·PB),则称为黄金分割点。 黄金分割数：铝=51≈0.618。 边的平行厂性质定理：平行于三角形一边的直线裁其他两边，藏得的对应线段成比例。 理与推论儿推论：平行于三角形一边的直钱线其他两边，我得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。 边的平行 一判定定理：知果一条直线裁三角形的两边所得对应钱段成比例，则该直线平行于第三边 理与推论 推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（同侧）所得对应线段成比例，则该直线平行于第三边。 定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 推论：如果在一条直线上裁得的钱段相等，则在另一条直线上藏得的线段也相等 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 线段成比例定理 C=器（上/下=上/下）。 常见变形：十铝=器（上/全=上/全）。 儿器=那（下/全=下/全）。 应用在三角形上：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例。 刊定定理1（牛行我到[十行持形一道的直线和共他两边有文，所狗成的三商形与原三角新相以 判定定理2（三边成比例）一定理：如果两个三角形的三边对应成比例，则它们相似（提=器=架)。 判定定理3（两边成比例且夫角相学）[定理：如果两个三角形的两边对应成比例且夫角相等，则它们和似。 注意：夹角必须是对应成比例的两边的夹角。 定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。 判定定理4（两角相等)日 厂适用于直角三角形：一组锐角相等即可相似。 提示： 一等腰三角形：顶角或底角对应相等可能相似，但需注意角的位置。 厂判定方法1：一个锐角相等或两组直角边成比例 直角三角衫相似的判定儿判定方法2：斜边和一条直角边成比。 厂平行线型：A型、X型（由平行线构造）。 旋转型：两个三角形有公共角且其他角相等。 常见相似三角形模型 斜交型：含直角或特定角关系（如∠AED=∠ACB=90)。 一线三等角型：三个角相等且在同一直线上。 对应角相等：∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F 基本性质 对应边成比倒：器=器=祭=k(相似比)。 性质：相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比k 对应线段的比 概括：任何对应线段的比都等于相似比。 性质：相似三角形周长的比等于相似比k。 周长的比 推广：相似多边形周长的比也等于相似比。 性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方k2。 面积的比 提示：相似比k三√面积比，周长比三k。 一测量河的宽度：利用相似三角形计算不可直接测量的距离。 应用类型 测量物体高度：应用相似三角形原理间接求高度。 模型1：通过构造平行线，利用△ADE~△ABC,计算BC=4BB。 测量河宽模型尸 模型2：类似模型1，适用于不同地形。 厂方法1（阳光影子）：同一时刻物高与影长成比例 测量物体高度方法 厂方法2（镜子反射）：利用反射角等于入射角构造相似三角形。 方法3（特殊角）：使用测角器，结合三角函数。 方法4（标杆）：通过标杆和视线构造相似形。 第四章 三角形 第10讲 相似三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 3 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 25 命题点一 比例线段 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 黄金分割 题型四 由平行判断成比例的线段 命题点二 由平行截线求相关线段的长或比值 题型一 由平行截线求相关线段的长或比值 命题点三 相似三角形的性质与判定 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 相似三角形的判定 题型四 相似三角形的判定综合 题型五 相似三角形的实际应用 05·重难突破·思维进阶 25 突破一 相似三角形多解问题 突破二 相似三角形乘积式证明 突破三 相似三角形与几何证明 突破四 相似三角形与二次函数综合 突破五 相似三角形与几何综合 06·优题精选·练能提分 104 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 比例线段 1. 比例的基本性质（若，则）； 2. 成比例线段识别与计算 2023T15、 2024T23(2)、 2025年T23(2) 1.掌握比例基本性质，能进行比例变形； 2.能识别成比例线段，完成基础计算 平行线分线段成比例 1. 基本定理（平行线分线段对应成比例）； 2. 推论（平行于三角形一边的直线分另两边对应成比例） 2023T25(2)、 2024T24(2)、 2025年T25(1) 1. 掌握定理及推论，能直接应用解题；2. 能利用平行线构造成比例线段 相似三角形的判定 1. 判定定理（AA、SAS、SSS）； 2. 常见模型识别（A型、X型、母子相似） 2023年T15、2023T25(2)、 2024T23(2)、 2025年T23(2) 1.熟练掌握判定定理，能根据图形条件选择方法； 2.快速识别常见相似模型 相似三角形的性质 1. 对应边成比例（）； 2. 对应角相等； 3. 周长比，面积比； 4. 对应线段（高、中线、角平分线）比 2023T25(2)、 2024T23(2)、 2025年T25(1) 1.掌握各项性质，能进行比例、角度、周长、面积计算； 2.理解性质的推导逻辑，灵活应用 相似三角形的应用 1. 与四边形（平行四边形、矩形、梯形）综合； 2. 与二次函数、圆综合； 3. 实际测量类应用（间接求长度、高度） 2024T24(2)、 2025年T25(1) 1.能解决与其他图形的综合推理问题； 2.能将实际问题转化为相似三角形模型求解 命题预测：高频必考，覆盖全题型，侧重“判定+性质”联动应用，模型识别与综合图形结合为考查重点 备考建议：夯实比例性质与定理基础，强化相似模型专项训练，精练综合题型，提升比例计算与图形转化能力 考点一 放缩与相似形 知识点一 相似图形的定义 定义:我们把形状相同的图形叫做相似图形 提示 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 知识点二 相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 1.（2025•浦东新区校级模拟）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（　　） A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 【答案】C 【分析】根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【解答】解：由题意可知：图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 2.（崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是（　　） A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意； B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意； C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意； D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中． 3.（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（　　） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 【答案】B 【分析】分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【解答】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形的相似和垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 考点二 比例线段 知识点一 比和比例 1.比 （1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变. 2.比例 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （2）比例中项：如果比例的两个内项相等 （3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积. 知识点二 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 知识点三 比例线段 1.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 知识点四 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 知识点五 三角形一边的平行线性质定理与推论 1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 知识点六 三角形一边的平行线判定定理与推论 1.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 知识点七 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 2.推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 3.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 4.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 1．（2025•崇明区模拟）已知，那么　 　 ． 【答案】． 【分析】先把化成1，再代值计算即可． 【解答】解：∵，即x：y＝5：3 ∴11． 故答案为：． 【点评】本题考查比例的性质．解题关键是熟知比例的性质． 2．（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 所以原式； （2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44， 解得k＝2， 所以a＝4，b＝6，c＝10． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 3．（金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm 【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意； B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意； C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意； D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 4.（长宁区三模）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2，c＝8，那么b＝　 ． 【答案】4 【分析】根据比例中项的概念，可得，可得b2＝ac＝16，即可得到b的值，注意线段的长为正数． 【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2，c＝8， ∴， ∴b2＝ac＝16， 解得b＝±4， 又∵线段的长度是正数， ∴b＝4． 故答案为：4 【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键． 5.（2025•崇明区模拟）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为　　 ． 【答案】（33）cm 【分析】根据黄金分割的概念得到ACAB，把AB＝6cm代入计算即可． 【解答】解：∵线段AB＝6cm，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC， ∴ACAB6＝（33）cm， 故答案为：（33）cm． 【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 6．（2025•徐汇区一模）已知：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中，不能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC． 【解答】解：如图， 若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例， 即，，， 选项A不能判断DE∥BC， 故选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行． 7.（2025•徐汇区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果，AB＝7，EF＝9，那么CD的长是 　 ． 【答案】． 【分析】连接AF交CD于点M，根据平行线分线段成比例找准对应关系，列出比例式，计算即可得出答案． 【解答】解：如图，连接AF交CD于点M， ∵AB∥CD∥EF，， ∴， ∴，， ∵AB＝7，EF＝9， ∴，， ∴CM，DM， ∴CD＝CM+DM． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式． 考点三 相似三角形的判定 知识点一 相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 知识点二 相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 知识点三 相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 知识点四 相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 知识点五 相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 知识点六 直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 知识点七 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4.一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 1．（2024•静安区校级模拟）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BDF相似的三角形是（　　） A．△BEF B．△BDA C．△BDC D．△AFD 【答案】B 【分析】由相似三角形的判定，即可判断． 【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形， ∴∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，∠C＝∠A＝∠ABC． A、只有∠E＝∠BDF＝60°，△BEF和△BDF不一定相似，故A不符合题意； B、由∠BDF＝∠A＝60°，∠DBF＝∠ABD，推出△BDF∽△BAD，故B符合题意； C、只有∠BDF＝∠C＝60°，△BDF和△BCD不一定相似，故C不符合题意； D、只有∠BDF＝∠A＝60°，△BDF和△AFD不一定相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中已知∠BAC＝∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案． 【解答】解：∵∠BAC＝∠D，， ∴△ABC∽△DEA． 故选：C． 考点四 相似三角形的性质 知识点一 相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则, 即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 1．（2025•徐汇区一模）已知△ABC∽△DEF，它们对应中线的比AM：DN＝2：3，那么它们的周长比是　 ． 【答案】2：3． 【分析】利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们对应中线的比AM：DN＝2：3， ∴它们的周长比是2：3， 故答案为：2：3． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应线段的比等于相似比，难度不大． 2．（2025•崇明区模拟）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为　 ． 【答案】1：16 【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比， ∴两三角形的相似比为1：4， ∴两三角形的面积比为1：16． 故答案为：1：16． 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比． 3．（2025•金山区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分线.是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据AC＝BC，∠C＝36°，求出∠B＝∠BAC＝72°，根据AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD＝36°，进而证得△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质证得结论． 【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°， ∴∠B＝∠BAC＝72°， ∵AD平分∠BAC， ∠BAD＝∠CAD＝36°， ∴∠BAD＝∠C＝∠CAD＝36°， ∴AD＝CD，∠ADB＝72°， ∴AB＝AD， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， 设BC＝AC＝a，BD＝x， 则AD＝CD＝AB＝a﹣x， ∴， 解得xa（不符合题意，舍去）或xa， ∴AB＝a﹣xa， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键掌握相似三角形的判定方法． 4．（2025•普陀区三模）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果，AB＝15，那么EF＝　 ． 【答案】6． 【分析】由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，则，求得ADAB＝9，再证明四边形BDEF是平行四边形，则EF＝BD＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DE∥BC，，AB＝15， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴ADAB15＝9， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴EF＝BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6， 故答案为：6． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADE∽△ABC是解题的关键． 考点五 相似三角形的应用 知识点一 相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 1．如图，用一个卡钳（AD＝BC，）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于 　 　 cm． 【答案】18． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长． 【解答】解：∵，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△AOB， ∴AB：CD＝3， ∵CD＝6cm， ∴AB＝6×3＝18（cm）， 故答案为：18． 【点评】本题考查相似三角形的应用，求出AB的值是解答本题的关键． 2．（徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为 　 　 米． 【答案】22.3． 【分析】作AM⊥EF于M，交DC于N，由△ACN∽△AEM，求出EM的长，即可解决问题． 【解答】解：作AM⊥EF于M，交DC于N， ∵CD＝6.6米，AB＝1.6米， ∴CN＝CD﹣AB＝5米，FM＝AB＝1.6米， ∵CN∥EM， ∴△ACN∽△AEM， ∴CN：EM＝AN：AM， ∴5：EM＝12：54， ∴EM＝22.5（米）， ∴EF＝EM+FM＝22.5+1.6＝24.1（米）， ∴观景台的高度为24.1﹣1.8＝22.3米． 故答案为：22.3． 【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是通过辅助线构造相似三角形． 3．（闵行区二模）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC＝4米，那么塔与树的距离AE为 　 　 米． 【答案】25． 【分析】根据正方形的性质求出FD，BC∥AD，可得△FDE∽△FCB，根据相似三角形的性质可得DE的值，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为10米， ∴AD＝CD＝BC＝10米，FD＝CD﹣CF＝6米，BC∥AD， ∴△FDE∽△FCB， ∴，即， ∴DE＝15， ∴AE＝DE+AD＝25米， 故答案为：25． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 命题点一 比例线段 ►题型一 成比例线段 1.牢记核心公式：若是和的比例中项，则，直接代入已知线段长度计算. 2.注意实际意义：线段长度为正数，因此比例中项的结果必须取正根，舍去负根. 【典例】（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·上海静安·期中）已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝ ． 【答案】2 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段是和的比例中项时，满足，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵线段是、的比例中项， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为． 【变式2】（2025·上海奉贤·一模）如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，则， ∵是与的比例中项， ∴， 整理，得 解得 ∴，（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． ►题型二 比例的性质 当已知几个量的比例相等时，设这个公共比值为一个常数，把每个量都用表示出来，再代入所求式子化简计算。如果是两个量的比例，也可以直接用其中一个量表示另一个量（比如由得，再代入消元求值。这种方法能把多个变量转化为单一参数的表达式，让计算更清晰简洁，避免复杂的比例变形。 【典例】（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，可设，，代入所求表达式中进行化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． ►题型三 黄金分割 1明确定义：若点是线段的黄金分割点，且，则较长线段，较短线段. 2抓准条件：先判断题目中哪一段是较长线段、哪一段是较短线段，避免混淆比例. 3代入计算：已知线段全长时，直接用对应比例公式代入；若已知其中一段，可通过比例关系反推全长或另一段的长度. 【典例】（2025·上海徐汇·一模）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2026·上海静安·月考）已知线段的长是4cm，点是线段的黄金分割点，则较短线段的长是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念，解题关键是明确黄金分割点对应的线段比例关系． 明确黄金分割定义：较长线段与全长的比为． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，线段的长为，且为较短线段， 因此． 故答案为：． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，证明，得到，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵是梯形的“黄金分割线”， ∴，， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）由黄金分割结合已知条件可得，再结合黄金分割角的定义可得，则即可解答； （2）先证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4】（2025·上海静安·一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． ►题型四 由平行判断成比例的线段 解题时先根据平行线的位置，判断是“A型”还是“X型”的比例关系，再用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，列出对应线段的比例式，然后把已知的线段长度代入式中，通过解方程就能求出未知线段的长度或比例。 【典例】（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例．连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，解得，，证明四边形是矩形得，，然后利用平行线分线段成比例求得得，据此可得点A、O的距离． 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 【变式1】（2025·上海松江·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】， ， 又， ， ， ，解得． 故答案为：． 【变式3】（2025·上海嘉定·二模）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．     （1）证明，，由即可得到结论； （2）证明∽，则，得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴//，， ∵//， ∴ ∵是边的中点， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵//， ∴， 在中，∵是斜边的中点， ∴， ∴ ∵，，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∵， ∴． 命题点二 由平行截线求相关线段的长或比值 ►题型一 由平行截线求相关线段的长或比值 1. 识别比例模型：根据平行线和相交线的位置，判断是“A型”（平行线截三角形两边）还是“X型”（平行线截相交线形成对顶三角形）的相似或比例结构。 2. 应用定理列比例式：利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，写出对应线段成比例的等式，注意区分“对应线段”，避免比例关系写错。 3. 代入已知求解：将已知线段的长度或比例代入比例式，通过解方程或比例变形，求出未知线段的长度或比值。 【典例】（2026·上海黄浦·一模）如图，、是边、上的两点，在下列条件中，能够判定的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】A．， ，故不能得到，故本选项不合题意； B．， ，故不能得到，故本选项不合题意； C．， ，故不能得到，故本选项不合题意； D． ，能得到，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例，结合重心的性质，得到，进而得到，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与面积的比值为； 故答案为：． 【变式2】（2026·上海虹口·一模）如图，直线，如果，那么的长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 【变式3】（2026·上海徐汇·一模）如图，线段与相交于点O，已知，已知，当 时，． 【答案】 【详解】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件可推断出，证得，利用相似三角形的性质得出，进而证得，再根据相似三角形对应边成比例求得的值，最终求得结果． 解：当，时， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 故答案为：6． 命题点三 相似三角形的性质与判定 ►题型一 利用相似三角形的性质求解 1.找相似：先根据已知条件（如平行线、角相等、边成比例），识别出相似三角形，明确对应顶点和对应边，避免比例关系混乱。 2. 列比例：利用相似三角形的性质——对应角相等、对应边成比例，列出对应边的比例式，优先选择包含已知量和未知量的比例。 3. 巧计算：如果是求线段长度，直接代入已知量解方程；如果是求面积比、周长比，利用相似比的平方求面积比、相似比求周长比的性质，简化计算。 【典例】如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是 【答案】 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比． 【变式1】（2026·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的面积比为0.25，那么它们的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，通过面积比求相似比，再得周长比即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为0.25，即， ∴相似比为， ∴周长比为，即． 故答案为：． 【变式2】（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍， ∴相似比为， ∴周长扩大为原来的3倍， 故答案为：3 ． 【变式3】（2026·上海虹口·一模）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为，较大三角形周长为，根据周长之和为25列方程求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为． 设较小三角形的周长为，较大三角形周长为，则，即， 解得， ∴较小三角形的周长为． 故答案为：10． 【变式4】（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． ►题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 1.回忆判定定理：牢记三角形相似的核心判定方法：两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS），以及平行判定相似（A型/X型）。 2.分析已有条件：先看题目中已有的角相等或边成比例关系，比如公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等。 3.匹配所需条件： - 若已有一组角相等，优先补充另一组角相等（AA），或补充夹这个角的两边成比例（SAS）； - 若已有两组边成比例，优先补充夹角相等（SAS），或第三组边也成比例（SSS）； - 若有平行线，可直接利用平行判定相似。 4.验证对应关系：补充条件后，检查三角形的顶点对应关系是否正确，避免比例式列错。 【典例1】（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，根据可推出，则可证明得到，据此可判断A；根据和可证明得到，据此可判断B；同理可判断C；由无法证明，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故A选项不符合题意， B、∵， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， C、同理由可得， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意， D、由无法证明，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． ►题型三 相似三角形的判定 【典例】（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式1】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【变式2】（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 【变式3】（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型四 相似三角形的判定综合 【典例】（2025·上海松江·一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，在中，是边上的中线，如图所示，延长至点，使得，连接，可得，同理，延长至点，使得，连接，，可证，由此可证，可判定①；如图所示，在中，，是边上的高，由此可判定②；由此即可求解． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C ． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 【变式3】（24-25九年级上·上海·月考）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． ►题型五 相似三角形的实际应用 【典例】（2025·上海静安·一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【答案】A 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似．    故选：A． 【变式1】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是 米． 【答案】10.7 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆的高度是10.7米； 故答案为：10.7． 【变式2】（2026·上海金山·一模）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆 听． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意，易得两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵形状相同的两个三角形绿化标牌， ∴两个三角形相似， ∵两块标牌对应边的长度比为， ∴两块标牌的面积比为， ∵小标牌涂满漆用了半听环保漆， ∴大标牌涂满漆需要环保漆听环保漆； 故答案为：2 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是 厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 突破一 相似三角形多解问题 【典例】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么 ． 【答案】或 【分析】如图，作于， 求解，，，，，作的中线，为的重心，线段是的“重似线段”，分两种情况：当时，当时，过作交于，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作于，，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 作的中线，为的重心， ∴， ∵线段是的“重似线段”， ∴当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时，过作交于， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，，在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 综上：或； 故答案为：或； 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 突破二 相似三角形乘积式证明 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式2】（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． （2）设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（2025·上海长宁·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 【变式4】（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F． (1)求证：； (2)若点O为边的中点，连接，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，证明，得到，，结合可以证明，继而得到，证明，结合证明，等量代换即可证明． （2）在上截取，连接，证明，再三角形相似，平行线的判定证明，解答即可． 【详解】（1）证明：∵是线段与的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在上截取，连接， ∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，比例中项的意义，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 突破三 相似三角形与几何证明 【典例】（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意进行角度计算，得出，即可得证； （2）延长交延长线于H，求出的长度，即可得出的值； （3）过A作于M，设，根据相似三角形和勾股定理，得出结果． 【详解】（1）解：证明：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交延长线于H，过A作于M， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过A作于M， ∵， ∴， ∴， 由（2）可设，则 ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2】（2025·上海宝山·二模）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】根据平行四边形的性质可证，根据可得，从而可证，根据相似三角形的性质可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，根据菱形的性质可得，设，可得：、，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形且，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）证明：如下图所示，过点作， 四边形是菱形， ， 又，， 设， ， ， 则， ， ， ， ∴，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．解决本题的关键是根据菱形的性质找边、角之间的关系． 【变式3】（2025·上海静安·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，连接，，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形性质得，则，再根据点F是的中点，得四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形性质得，则，再根据矩形性质得，，证明，进而得和相似，再利用相似三角形的性质即可求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是矩形； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 突破四 相似三角形与二次函数综合 【典例】（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得，再将点代入抛物线，即可求出的值； （2）根据抛物线的对称轴为直线，可得，再根据点与的位置关系，分两种情况表示的面积求解即可； （3）由中心对称的性质可知，，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，根据坐标两点的距离公式，求出的值，再根据抛物线的开口方向以及与线有两个交点，可知抛物线顶点在上方，则，从而确定，得出，，，，证明是等腰直角三角形，进而得出，再根据边角关系，推出当与相似时，只能，得到，从而得出，再代入抛物线解析式求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 将点代入抛物线可得， 解得：； （2）解：点， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 当点在上方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 当点在下方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 综上可知，的取值范围为； （3）解：如图，连接，，令与抛物线对称轴的交点为， ，点关于原点的对称点， ，， ，是的中点， ， ， ， 解得：或， ， 抛物线开口向下， 直线与抛物线交于点， ， ， ， ，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ，， ， ， 当与相似时，只能， ， ， ， 在点右侧， ， 将代入抛物线，得， 解得：， 抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 【变式2】（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）令，则或1，即可求解； （2）求出， ，平移后的点，再运用待定系数法求出直线表达式为．把点代入直线表达式，求出，即可求解； （3）点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即可求解． 【详解】（1）解：令，即， ∵ ， ∴， 解得：，， 由于点在点左侧，可得，， 从而：． （2）解：由，可得：， 平移后的点， 设直线AD表达式：， 把A、D坐标代入， 解得 ∴直线表达式为． 当点、、在同一直线时，把点代入直线表达式，解得：． ∴抛物线的表达式：． （3）解：设直线的表达式为， 把点、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 又点， 作轴交于点H，则， 则四边形的面积， 则， 则抛物线的表达式为：； 则点、， 则， ∵点P不与点B重合且与相似，则存在，即， 即，则， ∴, ∴点． 【变式3】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 突破五 相似三角形与几何综合 【典例】（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或． 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理得出，再根据余切的定义求解即可． （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，过点作于点，由相似三角形的性质可得出，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再结合三角形的面积得出，进一步即可得出答案． （3）分两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴ （2）解：过点分别作于点，于点， 过点作于点，过点作于点， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解∶∵，与相似， 当，此时， ∴ 且为等边三角形， 设，则，，， 又∵， ∴， 即，， （舍）， ∴， 当，此时， 则，， ∴， 设，， 则， 解得． ∴， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，余切的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴； （3）解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，     ∴， ∵， ∴，       设，， ∵， ∴，       设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点作，垂足为点，由求出，由勾股定理的出，，所以，由，， 得到，进而可得出结论； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系证出，由，得到，，所以，求出，进而可求出的长； （3）过点作，垂足为点，根据，得到，证明出，可得，由，可得，然后分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时；即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作，垂足为点， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时， 由，可得， 设， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段上时，可得， 设， ，，， ，， ， ， ， 综上所述的值为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式3】（2026·上海虹口·一模）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)①的长为和的长为 ② 【分析】（1）首先根据构造垂线结合“三线合一”得到中线，即可证明，进而可以得到； （2）①：首先利用，进行设参数求解直角三角形三边的长，再通过，得到，再证明即可求得；再根据等面积法求得，利用勾股定理求得，最后利用得到且相似比为1，即可得到进而求解的长为； ②：首先构造辅助线再将转化为，再利用将转化为，再利用比例的传递性和证明得到，即可解得，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作于点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①∵， 设，， ∴在中，，解得：（负值舍去）， ∴，， 由（1）得：，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：； ∵， 由（1）得：，易得：， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∴的长为，的长为； ②：如图，作于点M， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形、平行线定理、比例的性质，根据题意构造辅助线得到相似三角形是解题的关键． 【变式4】（2025·上海松江·二模）已知是半圆的直径，是弦延长线上一点． (1)联结与半圆交于点． ①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长； ②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值． (2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①连接，过点作于点，求出，设，则，由求出，得到，，，则，即可求出答案；②连接，，，证明△△，得到，得到，则．设，，则，证明△△，得到，即可求出答案． （2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，证明△△，得到，设，证明△△，得到，则，，即可得到答案． 【详解】（1）解：①连接，过点作于点，如图， 是半圆的直径，点是弧的中点， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，，， ， ． ②连接，，，如图， 点是弧的中点， ， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ． 设，，则， △△， ， ． （负数不合题意，舍去）， ， ； （2）设为半径的圆与直线相切于点，连接，，如图， 点为圆心、为半径的圆与相切， 点为切点， ， 设，则， 是弦的中点， ，， 为半径的圆与直线相切于点， ，， 在△和△中， ， △△， ， 设， ，， △△， ， ，， ，， ， ， ， ， ． ， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键． 1．（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为 米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 2．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 3．（2025·上海金山·一模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． 过点O作于点C，延长交于点，再证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，延长交于点，如图， ， 依题意得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：12． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．如果直线垂直于，连接，那么此时的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，延长交于D，则，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 延长交于D，则，    ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，从而可得，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再求得，然后证明，从而可求得与的面积之比； （2）先得出，再求得，，从而可求得，再求得即可． 【详解】（1）解：作于点E，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为； （2）解：作于点L，则，    ∴， ， 又由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值为． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，利用相似三角形的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 6．（2025·上海嘉定·一模）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： （1）先证明，得出，，则，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）①证明，得出，证明，得出，根据（1）中，，得出，得出，即可求解； ②过A作于H，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，， 在中，根据正切的定义求出，然后结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即； （2）解：①∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴； ②过A作于H， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴，， 解得， ∴， ∵ ∴． 1．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 2．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 1.（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 2.（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 3.（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 4.（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求． 【详解】如图，过D作于E，过B作于F， ∵， ∴，则， 设 ，则， ，， ， ， ， 即， ， ∵O是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理：，即， 解得：， ． 故答案为：． 5.（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 6.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7.（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 1 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $定义：形状相同的图形称为相似图形。 考点1放缩与相似形 C定义 相似多边形 对应角相等。 质 对应边成比例。 比的意义：两个数相除的比，记作a:b或9，比值为k时，a=bk。 比的基本性质：比的前项和后项同乘或同除相同数（非零），比值不变。 比和比例 比例的意义：表示两个比相等的式子，如a:b=c:d,则ad=bC. 比例的基本性质：内项积等于外项积(ad=bc)。 比例中项：如果比例的两个内项相等，即b是a和C的比例中项，则b2=aC。 线段的比 两条线段长度的比称为线段的比。 定义：四条钱段a,b,C,d如果满足号=S(即ad=bc),则成比例。 基本性质：若号=台，则ad=bCa 比倒线段 合比性质：若号=，则半=岁 性质： 分比性质：若号=号，则=学。 更比性质：若号=京，则吕=台成后= 考点2比例线段 等比性质：若号=号=…=只，则注=号（分母和非零） 定义：点P分割线段AB(AP>PB),知果AP是AB和PB的 比例中项(AP2=AB.PB),则称为黄金分割点。 黄金分割 黄金分割数：铝=1≈0.618。 三角形一边的平行一性质定理：平行于三角形一边的直钱藏其他两边，藏得的对应钱段成比例。 线性质定理与推论 推论：平行于三角形一边的直钱藏其他两边，戴得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。 三角形一边的平行 判定定理：如果一条直线戴三角形的两边所得对应线段成比例，则该直线平行于第三边。 线判定定理与推论 推论：如果一条直线藏三角形两边的延长线（同侧）所得对应线段成比例，则该直线平行于第三边。 定理：两条直线被三条平行线所藏，藏得的对应线段成比例。 推论：如果在一条直线上藏得的钱段相等，则在另一条直钱上藏得的钱段也相等。 基本事实：两条直线被一组平行线所藏，所得对应线段成比例。 平行线分线段成比例定理 瓷=器（上/下=上/下）· 常见变形：十提=膘（上/全=上/全）。 相似三角形 器=器（下/金=下/全）. 应用在三角形上：平行于三角形一边的直钱截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例。 荆定定理1（年行钱型）[定理：牛行于三角利一边的直线和共他两地和文，所构成的三角形与原三角形有似 常见模型：A型、X型。 判定定理2（三边成比例）一定理：如果两个三角形的三边对应成比倒，则它们相似（提=架=架）。 西5比天[清. 定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。 考点3相似三角形的判定 判定定理4（两角相等） 厂造用于直角三角形：一组锐角相等即可相似。 提示： 一等腰三角形：顶角或底角对应相等可能相似，但需注意角的位置。 判定方法1：一个锐角相等或两组直角边成比例。 直角三角形相似的判定 判定方法2：斜边和一条直角边成比例。 平行线型：A型、X型（由平行线构造）。 旋转型：两个三角形有公共角且其他角相等。 常见相似三角形模型 斜交型：含直角或特定角关系（如∠AED=∠ACB=90)。 一钱三等角型：三个角相等且在同一直线上。 对应角相等：∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。 基本性质 对应边成比例：提=器=架=k(相似比)。 性质：相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比飞。 对应线段的比 概括：任何对应线段的比都等于相似比。 考点4相似三角形的性质 性质：相似三角形周长的比等于相似比k。 周长的比 推广：相似多边形周长的比也等于相似比。 性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方k2 面积的比 提示：相似比k=√面积氏，周长比=k 厂测量河的宽度：利用相似三角形计算不可直接测量的距离。 应用类型 测量物体高度：应用相似三角影原理间接求高度。 模型1：通过构造平行钱，利用△ADE~△ABC,计算BC=4B。 考点5相似三角形的应用 测量河宽模型 模型2：类似模型1，适用于不同地形。 厂方法1（阳光影子）：同一时刻物高与影长成比例。 方法2（镜子反射）：利用反射角等于入射角构造相似三角形。 测量物体高度方法 一方法3（特殊角）：使用测角器，结合三角函数。 方法4（标杆）：通过标杆和视线构造相似形。null 第四章 三角形 第10讲 相似三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 3 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 25 命题点一 比例线段 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 黄金分割 题型四 由平行判断成比例的线段 命题点二 由平行截线求相关线段的长或比值 题型一 由平行截线求相关线段的长或比值 命题点三 相似三角形的性质与判定 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 相似三角形的判定 题型四 相似三角形的判定综合 题型五 相似三角形的实际应用 05·重难突破·思维进阶 25 突破一 相似三角形多解问题 突破二 相似三角形乘积式证明 突破三 相似三角形与几何证明 突破四 相似三角形与二次函数综合 突破五 相似三角形与几何综合 06·优题精选·练能提分 104 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 比例线段 1. 比例的基本性质（若，则）； 2. 成比例线段识别与计算 2023T15、 2024T23(2)、 2025年T23(2) 1.掌握比例基本性质，能进行比例变形； 2.能识别成比例线段，完成基础计算 平行线分线段成比例 1. 基本定理（平行线分线段对应成比例）； 2. 推论（平行于三角形一边的直线分另两边对应成比例） 2023T25(2)、 2024T24(2)、 2025年T25(1) 1. 掌握定理及推论，能直接应用解题；2. 能利用平行线构造成比例线段 相似三角形的判定 1. 判定定理（AA、SAS、SSS）； 2. 常见模型识别（A型、X型、母子相似） 2023年T15、2023T25(2)、 2024T23(2)、 2025年T23(2) 1.熟练掌握判定定理，能根据图形条件选择方法； 2.快速识别常见相似模型 相似三角形的性质 1. 对应边成比例（）； 2. 对应角相等； 3. 周长比，面积比； 4. 对应线段（高、中线、角平分线）比 2023T25(2)、 2024T23(2)、 2025年T25(1) 1.掌握各项性质，能进行比例、角度、周长、面积计算； 2.理解性质的推导逻辑，灵活应用 相似三角形的应用 1. 与四边形（平行四边形、矩形、梯形）综合； 2. 与二次函数、圆综合； 3. 实际测量类应用（间接求长度、高度） 2024T24(2)、 2025年T25(1) 1.能解决与其他图形的综合推理问题； 2.能将实际问题转化为相似三角形模型求解 命题预测：高频必考，覆盖全题型，侧重“判定+性质”联动应用，模型识别与综合图形结合为考查重点 备考建议：夯实比例性质与定理基础，强化相似模型专项训练，精练综合题型，提升比例计算与图形转化能力 考点一 放缩与相似形 知识点一 相似图形的定义 定义:我们把形状相同的图形叫做相似图形 提示 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 知识点二 相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 1.（2025•浦东新区校级模拟）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（　　） A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 2.（崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是（　　） A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 3.（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（　　） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 考点二 比例线段 知识点一 比和比例 1.比 （1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变. 2.比例 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （2）比例中项：如果比例的两个内项相等 （3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积. 知识点二 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 知识点三 比例线段 1.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 知识点四 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 知识点五 三角形一边的平行线性质定理与推论 1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 知识点六 三角形一边的平行线判定定理与推论 1.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 知识点七 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 2.推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 3.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 4.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 1．（2025•崇明区模拟）已知，那么　 　 ． 2．（2025•徐汇区一模）已知：． （1）求代数式的值； （2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值． 3．（金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm 4.（长宁区三模）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2，c＝8，那么b＝　 ． 5.（2025•崇明区模拟）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为　　 ． 6．（2025•徐汇区一模）已知：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中，不能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 7.（2025•徐汇区一模）如图，AB∥CD∥EF，如果，AB＝7，EF＝9，那么CD的长是 　 ． 考点三 相似三角形的判定 知识点一 相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 知识点二 相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 知识点三 相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 知识点四 相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 知识点五 相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 知识点六 直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 知识点七 常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4.一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 1．（2024•静安区校级模拟）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BDF相似的三角形是（　　） A．△BEF B．△BDA C．△BDC D．△AFD 2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A． B． C． D． 考点四 相似三角形的性质 知识点一 相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则, 即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 1．（2025•徐汇区一模）已知△ABC∽△DEF，它们对应中线的比AM：DN＝2：3，那么它们的周长比是　 ． 2．（2025•崇明区模拟）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为　 ． 3．（2025•金山区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分线.是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•普陀区三模）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果，AB＝15，那么EF＝　 ． 考点五 相似三角形的应用 知识点一 相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 1．如图，用一个卡钳（AD＝BC，）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于 　 　 cm． 2．（徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为 　 　 米． 3．（闵行区二模）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC＝4米，那么塔与树的距离AE为 　 　 米． 命题点一 比例线段 ►题型一 成比例线段 1.牢记核心公式：若是和的比例中项，则，直接代入已知线段长度计算. 2.注意实际意义：线段长度为正数，因此比例中项的结果必须取正根，舍去负根. 【典例】（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海静安·期中）已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝ ． 【变式2】（2025·上海奉贤·一模）如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ． 【变式3】（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． ►题型二 比例的性质 当已知几个量的比例相等时，设这个公共比值为一个常数，把每个量都用表示出来，再代入所求式子化简计算。如果是两个量的比例，也可以直接用其中一个量表示另一个量（比如由得，再代入消元求值。这种方法能把多个变量转化为单一参数的表达式，让计算更清晰简洁，避免复杂的比例变形。 【典例】（2025·上海宝山·一模）已知，那么的值是 ． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如果，那么的值为 ． 【变式2】（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． ►题型三 黄金分割 1明确定义：若点是线段的黄金分割点，且，则较长线段，较短线段. 2抓准条件：先判断题目中哪一段是较长线段、哪一段是较短线段，避免混淆比例. 3代入计算：已知线段全长时，直接用对应比例公式代入；若已知其中一段，可通过比例关系反推全长或另一段的长度. 【典例】（2025·上海徐汇·一模）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【变式1】（2026·上海静安·月考）已知线段的长是4cm，点是线段的黄金分割点，则较短线段的长是 cm． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么 ． 【变式3】（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 【变式4】（2025·上海静安·一模）已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：点是线段的黄金分割点． ►题型四 由平行判断成比例的线段 解题时先根据平行线的位置，判断是“A型”还是“X型”的比例关系，再用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，列出对应线段的比例式，然后把已知的线段长度代入式中，通过解方程就能求出未知线段的长度或比例。 【典例】（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【变式1】（2025·上海松江·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【变式2】（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为 ． 【变式3】（2025·上海嘉定·二模）如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 命题点二 由平行截线求相关线段的长或比值 ►题型一 由平行截线求相关线段的长或比值 1. 识别比例模型：根据平行线和相交线的位置，判断是“A型”（平行线截三角形两边）还是“X型”（平行线截相交线形成对顶三角形）的相似或比例结构。 2. 应用定理列比例式：利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，写出对应线段成比例的等式，注意区分“对应线段”，避免比例关系写错。 3. 代入已知求解：将已知线段的长度或比例代入比例式，通过解方程或比例变形，求出未知线段的长度或比值。 【典例】（2026·上海黄浦·一模）如图，、是边、上的两点，在下列条件中，能够判定的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是 ． 【变式2】（2026·上海虹口·一模）如图，直线，如果，那么的长是 ． 【变式3】（2026·上海徐汇·一模）如图，线段与相交于点O，已知，已知，当 时，． 命题点三 相似三角形的性质与判定 ►题型一 利用相似三角形的性质求解 1.找相似：先根据已知条件（如平行线、角相等、边成比例），识别出相似三角形，明确对应顶点和对应边，避免比例关系混乱。 2. 列比例：利用相似三角形的性质——对应角相等、对应边成比例，列出对应边的比例式，优先选择包含已知量和未知量的比例。 3. 巧计算：如果是求线段长度，直接代入已知量解方程；如果是求面积比、周长比，利用相似比的平方求面积比、相似比求周长比的性质，简化计算。 【典例】如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是 【变式1】（2026·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的面积比为0.25，那么它们的周长之比为 ． 【变式2】（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【变式3】（2026·上海虹口·一模）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是 ． 【变式4】（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． ►题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 1.回忆判定定理：牢记三角形相似的核心判定方法：两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS），以及平行判定相似（A型/X型）。 2.分析已有条件：先看题目中已有的角相等或边成比例关系，比如公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等。 3.匹配所需条件： - 若已有一组角相等，优先补充另一组角相等（AA），或补充夹这个角的两边成比例（SAS）； - 若已有两组边成比例，优先补充夹角相等（SAS），或第三组边也成比例（SSS）； - 若有平行线，可直接利用平行判定相似。 4.验证对应关系：补充条件后，检查三角形的顶点对应关系是否正确，避免比例式列错。 【典例1】（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 【变式2】如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． ►题型三 相似三角形的判定 【典例】（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【变式1】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【变式3】（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是 ． ►题型四 相似三角形的判定综合 【典例】（2025·上海松江·一模）已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【变式1】（2025·上海闵行·一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【变式3】（24-25九年级上·上海·月考）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） ►题型五 相似三角形的实际应用 【典例】（2025·上海静安·一模）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【变式1】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是 米． 【变式2】（2026·上海金山·一模）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆 听． 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是 厘米． 突破一 相似三角形多解问题 【典例】（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么 ． 突破二 相似三角形乘积式证明 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【变式2】（2025·上海松江·二模）已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式3】（2025·上海长宁·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【变式4】（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F． (1)求证：； (2)若点O为边的中点，连接，且，求证：． 突破三 相似三角形与几何证明 【典例】（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【变式2】（2025·上海宝山·二模）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证： ． 【变式3】（2025·上海静安·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，连接并延长到点，使得，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点在边上，连接，，，．求的长． 突破四 相似三角形与二次函数综合 【典例】（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【变式2】（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【变式3】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 突破五 相似三角形与几何综合 【典例】（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 【变式3】（2026·上海虹口·一模）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 【变式4】（2025·上海松江·二模）已知是半圆的直径，是弦延长线上一点． (1)联结与半圆交于点． ①如图1，如果点是弧的中点，且，求的长； ②如图2，如果点是弧的中点，且，求的值． (2)设是弦的中点，如果以点为圆心、为半径的圆与相切，以点为圆心、为半径的圆与直线相切，求的值． 1．（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为 米．（结果保留根号的形式） 2．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 3．（2025·上海金山·一模）（洞孔成像）如图，，物像所在正方体的面与平面垂直，根据图中尺寸，已知物像的长为4，那么物长为 ． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．如果直线垂直于，连接，那么此时的面积是 ．    5．（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 6．（2025·上海嘉定·一模）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 1．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 2．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 3．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 1.（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 4.（2025·四川广元·中考真题）四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ． 5.（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示） 6.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 7.（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 1 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $