第09讲 直角三角形与勾股定理（复习讲义，2考点3题型2重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“直角三角形与勾股定理”核心考点，涵盖直角三角形特殊性质、勾股定理及逆定理，以及与折叠、旋转、四边形的综合应用。通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、真题训练、分层练习的系统设计，帮助学生从基础到综合突破难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合数学眼光与思维，如通过“勾股定理与折叠问题”典例，培养学生几何直观与空间观念，结合分类讨论、方程思想提升推理能力。分层练习覆盖基础巩固到全国新趋势，配合真题变式训练，助力学生高效突破高频易错点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第四章 三角形 第09讲 直角三角形与勾股定理 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 直角三角形 题型01 直角三角形的性质 命题点二 勾股定理 题型01 勾股定理 题型02 勾股定理的逆定理 05·重难突破·思维进阶 12 突破一 用勾股定理解三角形 突破二 勾股定理与折叠问题 06·优题精选·练能提分 42 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 直角三角形 1. 特殊性质（两锐角互余、斜边上的中线斜边）； 2. 与折叠/旋转/四边形综合应用 2023年T21(1)、2024年T22(1)、2025年T6、 2025年T17 1. 掌握特殊性质，能计算角度/线段； 2. 能分析动态或四边形中直角三角形 勾股定理 1. 勾股定理（）；2. 逆定理（若，则为直角三角形）； 3. 结合四边形/方程思想应用 2023年T6、 2023年T21(1)、2024年T6、 2025年T6、 2025年T17 1. 掌握定理，能求直角三角形边长； 2. 理解逆定理，能判定直角三角形； 3. 能结合方程求解未知线段 命题预测 核心考点年年必考，题型覆盖选择、填空、解答，侧重与四边形、动态图形（折叠/旋转）综合，注重逻辑推理，分类讨论为高频易错点 备考建议 夯实定理定义与基础应用，精练近三年真题，熟练掌握辅助线构造（作高、截长补短），强化分类讨论意识，避免动态图形和等腰三角形漏解 考点一 直角三角形 1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 2．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 3．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1．（奉贤区三模）如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，如果AB＝10m，∠A＝30°，那么立柱BC的长度是　 　 米． 2．（青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，点E在中线CD上，BE平分∠ABC，那么∠DEB的度数是　 　 ． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 5．（2025•奉贤区二模）△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB中点，过点D的直线交AC于点E，如果DE平分△ABC的周长，那么 　 　 ． 6．（2025•普陀区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过点D作DE⊥DC交边BC于点E，如果∠ABC＝30°，AC＝3，那么DE＝ 　 　 ． 考点二 勾股定理 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 4．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 5．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 1．（2025•浦东新区校级模拟）已知△ABC的三条中线AD、BE、CF相交于点G，AD＝9，BE＝12，CF＝15，那么△ABC的面积等于 　 　 ． 2．（2025•闵行区三模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如图的弦图中大正方形边长为4，每个直角三角形较小的锐角为30°，那么小正方形面积为 　 　 ． 3．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a（m2﹣n2），b＝mn，c（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 4．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　　） A． B． C． D． 命题点一 直角三角形 ►题型01 直角三角形的性质 直角三角形综合题解题方法 解决这类题时，我们可先梳理直角三角形的核心性质：两个锐角互余、斜边中线等于斜边的一半、30°角对直角边是斜边的一半。遇到矩形、等腰三角形等图形时，结合其性质（如矩形对角线相等、等腰三角形三线合一）转化条件。证明类问题可从比例式（如出发，推导三角形相似；计算类问题通过作高构造直角三角形，设参表示边长，结合勾股定理、三角函数列方程求解；当题目涉及不确定的直角或旋转时，需分情况讨论，避免漏解。 【典例】（2025·上海普陀·一模）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 命题点二 勾股定理 ►题型01 勾股定理 勾股定理综合题解题方法 解决这类题时，我们可先将坡度、翻折、相似等条件转化为边长或角度关系：坡度可转化为垂直与水平边长的比例，翻折对应边相等，相似对应边成比例。若无现成直角三角形，可通过作高构造直角三角形，再设参表示边长，利用勾股定理列方程求解。遇到等腰、相似等不确定情况时，需分情况讨论验证，避免漏解。勾股定理常与相似三角形、等腰三角形性质、翻折变换结合，需灵活联动这些性质转化线段，简化计算。 【典例】（2026·上海黄浦·一模）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是 ．（用的代数式表示） 【变式1】（2026·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是 ． 【变式2】（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． ►题型02 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理题型解题方法 解决这类题时，可按以下步骤操作： 1.比例设参：根据三边的比例关系（如，设比例系数为，将三边表示为、、。 2.逆定理判定：验证三边是否满足勾股定理逆定理（如，确定三角形为直角三角形。 3.条件列方程： - 周长问题：将三边相加等于周长，解出后再求对应边长（如。 - 面积问题：利用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半），代入边长列方程求，再求对应边长。 【典例】（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证： ． 突破一 用勾股定理解三角形 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）已知二次函数的图像经过点、． (1)试用字母的代数式表示； (2)如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式； (3)试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 突破二 勾股定理与折叠问题 【典例】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【变式1】（2025年上海市嘉定区中考二模数学试卷）如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 【变式2】（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 1．（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是 ． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 5．（2025·上海奉贤·二模）如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ． 1．（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 2．（2025·上海宝山·二模）如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 3．（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 2．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 1 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第09讲 直角三角形与勾股定理 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 直角三角形 题型01 直角三角形的性质 命题点二 勾股定理 题型01 勾股定理 题型02 勾股定理的逆定理 05·重难突破·思维进阶 12 突破一 用勾股定理解三角形 突破二 勾股定理与折叠问题 06·优题精选·练能提分 42 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 直角三角形 1. 特殊性质（两锐角互余、斜边上的中线斜边）； 2. 与折叠/旋转/四边形综合应用 2023年T21(1)、2024年T22(1)、2025年T6、 2025年T17 1. 掌握特殊性质，能计算角度/线段； 2. 能分析动态或四边形中直角三角形 勾股定理 1. 勾股定理（）；2. 逆定理（若，则为直角三角形）； 3. 结合四边形/方程思想应用 2023年T6、 2023年T21(1)、2024年T6、 2025年T6、 2025年T17 1. 掌握定理，能求直角三角形边长； 2. 理解逆定理，能判定直角三角形； 3. 能结合方程求解未知线段 命题预测 核心考点年年必考，题型覆盖选择、填空、解答，侧重与四边形、动态图形（折叠/旋转）综合，注重逻辑推理，分类讨论为高频易错点 备考建议 夯实定理定义与基础应用，精练近三年真题，熟练掌握辅助线构造（作高、截长补短），强化分类讨论意识，避免动态图形和等腰三角形漏解 考点一 直角三角形 1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 2．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 3．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1．（奉贤区三模）如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，如果AB＝10m，∠A＝30°，那么立柱BC的长度是　 　 米． 【答案】5． 【分析】利用直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【解答】解：∵BC垂直于横梁AC，AB＝10m，∠A＝30°． ∴m． 故答案为：5． 【点评】本题考查含30°的直角三角形知识，关键在于理解30°所对的直角边是斜边的一半． 2．（青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，点E在中线CD上，BE平分∠ABC，那么∠DEB的度数是　 　 ． 【答案】45° 【分析】先由∠ACB＝90°，AB＝2AC，根据三角函数求出∠ABC的度数为30°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝BD，然后根据等边对等角可得∠ABC＝∠DCB＝30°，进而根据三角形内角和定理可得：∠BDC＝120°，然后根据角平分线的定义可得∠DBE∠ABC＝15°，最后根据三角形内角和定理可得：∠DEB的度数． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝2AC， ∴sin∠ABC， ∴∠ABC＝30°， ∵CD是AB边上的中线， ∴CD＝BD＝ADAB， ∴∠ABC＝∠DCB＝30°， ∵∠ABC+∠DCB+∠CDB＝180°， ∴∠CDB＝120°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC＝15°， ∵∠CDB+∠DBE+∠DEB＝180°， ∴∠DEB＝45°． 故答案为：45°． 【点评】此题考查了含30度角的直角三角形，及角平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是：根据三角函数值求出∠ABC的度数为30°． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：因为∠BAC＝90°， 所以△ABC是直角三角形． 因为AD是BC边上的高， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 4．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论． 【解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形， ∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°， ∴∠DEB＝∠O， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 5．（2025•奉贤区二模）△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB中点，过点D的直线交AC于点E，如果DE平分△ABC的周长，那么 　 　 ． 【答案】． 【分析】过点D作DF∥BC交AC于点F，设CE＝x，BC＝a，AC＝b，根据点D是AB的中点，DE平分△ABC的周长得AE＝CE+BC则b﹣x＝x+a，进而得x，证明DF是△ABC的中位线得DFBC，AF＝CF，则EF＝CF﹣CE，继而由勾股定理得DE，据此可得DE/BC的值． 【解答】解：过点D作DF∥BC交AC于点F，如图所示： 设CE＝x，BC＝a，AC＝b， ∴AE＝AC﹣CE＝b﹣x， ∵DE平分△ABC的周长， ∴AE+AD＝CE+BC+BD， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴AE＝CE+BC ∴b﹣x＝x+a， ∴x， ∵点D是AB的中点，DF∥BC， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DFBC，AF＝CF， ∴EF＝CF﹣CE， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 6．（2025•普陀区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过点D作DE⊥DC交边BC于点E，如果∠ABC＝30°，AC＝3，那么DE＝ 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得CD＝AD，根据等边三角形的判断得△ACD的等边三角形，所以CD＝AC＝3，∠ACD＝60°，可得∠DCE＝30°，即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， ∵D是边AB的中点， ∴CD＝AD， ∴△ACD的等边三角形， ∴CD＝AC＝3，∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝30°， ∵DE⊥DC， ∴∠CDE＝90°， ∴tan∠DCE＝tan30°， ∴， ∴DE． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质和解直角三角形是解题的关键． 考点二 勾股定理 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 4．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 4．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 5．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 1．（2025•浦东新区校级模拟）已知△ABC的三条中线AD、BE、CF相交于点G，AD＝9，BE＝12，CF＝15，那么△ABC的面积等于 　 　 ． 【答案】72． 【分析】如图，首先把△BDG绕点D作中心对称变换得到△CDM，然后根据重心的性质可以分别得到，由此利用勾股定理的逆定理可以证明△GCM是直角三角形，即∠GMC＝90°，再利用三角形的面积公式求出S△GCM，最后可以得到S△BGC＝S△GCM＝24，而S△ABC＝3S△BGC，由此即可求解． 【解答】解：如图，把△BDG绕点D作中心对称变换得到△CDM， ∴， ∵GM2+CM2＝100＝CG2， ∴△GCM是直角三角形，即∠GMC＝90°， ∴， ∴S△BGC＝S△GCM＝24， ∴S△ABC＝3S△BGC＝72， 故答案为：72． 【点评】此题分别考查了勾股定理，三角形的面积，关键是把三条中线的有关线段集中在一起，构造出一个规则图形﹣直角三角形． 2．（2025•闵行区三模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如图的弦图中大正方形边长为4，每个直角三角形较小的锐角为30°，那么小正方形面积为 　 　 ． 【答案】16﹣8． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出直角三角形的两条直角边的长，然后即可得到小正方形的边长，再计算正方形的面积即可． 【解答】解：∵大正方形边长为4，每个直角三角形较小的锐角为30°， ∴直角三角形的短直角边为2，长直角边为2， ∴小正方形的边长为：22， ∴小正方形面积为：（22）2 ＝12﹣84 ＝16﹣8， 故答案为：16﹣8． 【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的面积、锐角三角函数，解答本题的关键是求出小正方形的边长． 3．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a（m2﹣n2），b＝mn，c（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别． 【解答】解：∵当m＝3，n＝1时， a（m2﹣n2）（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c（m2+n2）（32+12）＝5， ∴选项A不符合题意； ∵当m＝5，n＝1时， a（m2﹣n2）（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c（m2+n2）（52+12）＝13， ∴选项B不符合题意； ∵当m＝7，n＝1时， a（m2﹣n2）（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c（m2+n2）（72+12）＝25， ∴选项D不符合题意； ∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10， ∴选项C符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 4．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论． 【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形， ∵圆柱的底面直径为AB， ∴点B是展开图的一边的中点， ∵蚂蚁爬行的最近路线为线段， ∴B选项符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 命题点一 直角三角形 ►题型01 直角三角形的性质 直角三角形综合题解题方法 解决这类题时，我们可先梳理直角三角形的核心性质：两个锐角互余、斜边中线等于斜边的一半、30°角对直角边是斜边的一半。遇到矩形、等腰三角形等图形时，结合其性质（如矩形对角线相等、等腰三角形三线合一）转化条件。证明类问题可从比例式（如出发，推导三角形相似；计算类问题通过作高构造直角三角形，设参表示边长，结合勾股定理、三角函数列方程求解；当题目涉及不确定的直角或旋转时，需分情况讨论，避免漏解。 【典例】（2025·上海普陀·一模）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【详解】如图，过点作于点，      ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 在中，， ∴的长是． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【答案】或2 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 命题点二 勾股定理 ►题型01 勾股定理 勾股定理综合题解题方法 解决这类题时，我们可先将坡度、翻折、相似等条件转化为边长或角度关系：坡度可转化为垂直与水平边长的比例，翻折对应边相等，相似对应边成比例。若无现成直角三角形，可通过作高构造直角三角形，再设参表示边长，利用勾股定理列方程求解。遇到等腰、相似等不确定情况时，需分情况讨论验证，避免漏解。勾股定理常与相似三角形、等腰三角形性质、翻折变换结合，需灵活联动这些性质转化线段，简化计算。 【典例】（2026·上海黄浦·一模）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是 ．（用的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理以及坡比的定义．根据坡比定义，垂直高度与水平距离的比为，设垂直高度为，则水平距离为，利用勾股定理，得，求解得到，即可作答． 【详解】解：依题意，设垂直高度为米，水平距离为米， ∵坡比， ∴得， 即， 根据勾股定理，， ∴， ∵， 因此， 故答案为： 【变式1】（2026·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2】（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键. ►题型02 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理题型解题方法 解决这类题时，可按以下步骤操作： 1.比例设参：根据三边的比例关系（如，设比例系数为，将三边表示为、、。 2.逆定理判定：验证三边是否满足勾股定理逆定理（如，确定三角形为直角三角形。 3.条件列方程： - 周长问题：将三边相加等于周长，解出后再求对应边长（如。 - 面积问题：利用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半），代入边长列方程求，再求对应边长。 【典例】（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、比例的性质 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【变式1】（2025·上海宝山·二模）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行四边形的性质可证，根据可得，从而可证，根据相似三角形的性质可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，根据菱形的性质可得，设，可得：、，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形且，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）证明：如下图所示，过点作， 四边形是菱形， ， 又，， 设， ， ， 则， ， ， ， ∴，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．解决本题的关键是根据菱形的性质找边、角之间的关系． 突破一 用勾股定理解三角形 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： （1）先证明，得出，，则，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）①证明，得出，证明，得出，根据（1）中，，得出，得出，即可求解； ②过A作于H，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，， 在中，根据正切的定义求出，然后结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即； （2）解：①∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴； ②过A作于H， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴，， 解得， ∴， ∵ ∴． 【变式2】（2026·上海黄浦·一模）已知二次函数的图像经过点、． (1)试用字母的代数式表示； (2)如果二次函数图像上存在点，使得直线垂直平分线段，求此二次函数的解析式； (3)试问：二次函数图像的对称轴是否可能平分线段？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)二次函数图像的对称轴不能平分线段，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）把、代入求解即可； （2）利用勾股定理求出，利用等面积法求出，证明求出，得出，从而可求出，然后代入求解即可； （3）线段的中点坐标为，然后代入直线，判断所得方程是否有解即可． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得； （2）解：如图，设与相交于点D，作于点H， ∵、， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴点D是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：∵、， ∴线段的中点坐标为， ∵， ∴对称轴是直线． 若图像的对称轴能平分线段，则在直线上， ∴， ∴，此方程无解， ∴二次函数图像的对称轴不能平分线段． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，以及勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 突破二 勾股定理与折叠问题 【典例】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再利用勾股定理求出；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在上和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的的长即可得到结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 设点C折叠后的对应点为E， 如图所示，当点E恰好在上时， 由折叠的性质可得，则同理可得； 如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落到内（不包括边）时，， 故答案为：． 【变式1】（2025年上海市嘉定区中考二模数学试卷）如图，在正方形纸片中，点是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，与交于点，那么的值是 ． 【答案】2 【知识点】三线合一、勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长交于点，过点作于点，由翻折得，，则，那么，设正方形边长为4，先由勾股定理求出，再证明，求出，最后由即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， 设正方形边长为4， ∵正方形纸片， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，把握折叠的不变性是解题的关键． 【变式2】（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】公式法解一元二次方程、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，求正弦值，全等三角形的判定和性质，完全平方公式变形求值，分母有理化，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1．（2026·上海·一模）在中，若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 3．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，那么边的长是 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关性质的应用是解题的关键． 作的平分线，交于点，进而证得，得到，进而可得，再根据相似比求即可． 【详解】解：作的平分线，交于点， ， 又， ， ， ，且， ， ， 即，解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 5．（2025·上海奉贤·二模）如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ． 【答案】9 【知识点】内错角相等两直线平行、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理证出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：， ， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 1．（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 2．（2025·上海宝山·二模）如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质；如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，设，则，，，再证明得到，，代入求出，，利用勾股定理求出，即可求出和，再求即可，注意分情况讨论． 【详解】解：如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，则； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 当在右边时，， ， ∴； 当在左边时，， ， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 3．（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明四边形是矩形，从而可得，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再求得，然后证明，从而可求得与的面积之比； （2）先得出，再求得，，从而可求得，再求得即可． 【详解】（1）解：作于点E，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为； （2）解：作于点L，则，    ∴， ， 又由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值为． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，利用相似三角形的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、利用网格求三角形面积 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 2．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、格点作图题 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 1 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $