专题06 等腰（等边）三角形中的维维尼亚模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“等腰（等边）三角形中的维维尼亚模型”专题，针对中考常考的垂线段和差关系考点，构建“模型条件-结论推导-证明思路-例题精析-分层训练”的系统复习框架，通过考点梳理与等面积法应用指导，帮助学生突破动态点位置变化下的几何关系难点。 亮点在于“模型化教学+核心素养融合”，如通过等边三角形内外点垂线段关系证明，培养学生几何直观与推理能力，设置选择、填空、解答题分层练习，结合中考真题限时训练，助力学生快速掌握模型应用技巧，教师可据此精准把控复习节奏，有效提升学生中考几何综合题解题效率。

专题06 等腰（等边）三角形中的维维尼亚模型 目录 1 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 1 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 6 10 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 例1．如图1，在中，，，点是形内一点，，，，垂足分别为、、． (1)当为中点时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，求的度数； (3)当与相似时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长，交于，可得出，，根据得出，进而得出结果； （2）可证得四边形是矩形，从而，根据得出是的外接圆的圆心，从而得出； （3）连接，，可推出当是等腰直角三角形时，；当时，作于，可证得，从而，．设，，则，，，可得出，可证得，从而得出，可证得，从而得出，进而得出，求得，的值，进一步得出结果，当时，可得出相同的结果． 【详解】（1）解：如图1， 延长，交于， ，， ， ，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是的外接圆的圆心， ； （3）解：如图3， 连接，， 与相似，是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，， 点、、、共圆， ， 同理可得， ， ， ， 如图4， 当时，， 作于， ， ， ， ， ， ，， 设，， 则，，， ， ①， ， ， ， ， ， ， 点、、、共圆，点、、、共圆， ，， ；， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②， 由①②得， ， ， ， 当时， 同理可得， ， 综上所述：的面积为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是分类讨论． 例2．）在中，，点P为所在平面内的一点，过点P分别作交于点，交于点，交于点． (1)如图1，若点在边上，此时，直接写出、、与满足的数量关系； (2)如图2，当点P在内，猜想并写出、、与满足的数量关系，然后证明你的猜想； (3)如图3，当点P在外，猜想并写出、、与满足的数量关系．（不用说明理由） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证平行四边形，推出，，根据等腰三角形性质推出，推出即可； （2）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可； （3）过点作分别交、于、两点，推出，再推出即可． 【详解】（1）结论是， 证明：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． （2）结论是， 证明：过点作分别交、于、两点， 由（1）得：， 四边形是平行四边形， ， ． （3）结论是． 证明：过点作分别交、延长线于、两点， 由（1）得：， 四边形是平行四边形， ， ． 即 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好． 例3．张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF． 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF． 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF． [变式探究] 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： [结论运用] 如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值； [迁移拓展] 图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 【答案】小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG+PH的值为4；[迁移拓展]（6+2）dm 【分析】小军的证明：连接AP，利用面积法即可证得； 小俊的证明：过点P作PG⊥CF，先证明四边形PDFG为矩形，再证明△PGC≌△CEP，即可得到答案； [变式探究]小军的证明思路：连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，即可得到答案； 小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，先证明四边形CFDG是矩形，再证明△CGP≌△CEP即可得到答案； [结论运用] 过点E作EQ⊥BC，先根据矩形的性质求出BF，根据翻折及勾股定理求出DC，证得四边形EQCD是矩形，得出BE＝BF即可得到答案； [迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，证明△ADE∽△BCE得到FA=FB，设DH＝x，利用勾股定理求出x得到BH＝6，再根据∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点即可得到答案. 【详解】小军的证明： 连接AP，如图② ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE， ∵AB＝AC， ∴CF＝PD+PE． 小俊的证明： 过点P作PG⊥CF，如图2， ∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC， ∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°， ∴四边形PDFG为矩形， ∴DP＝FG，∠DPG＝90°， ∴∠CGP＝90°， ∵PE⊥AC， ∴∠CEP＝90°， ∴∠PGC＝∠CEP， ∵∠BDP＝∠DPG＝90°， ∴PG∥AB， ∴∠GPC＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠GPC＝∠ECP， 在△PGC和△CEP中 ， ∴△PGC≌△CEP， ∴CG＝PE， ∴CF＝CG+FG＝PE+PD； [变式探究] 小军的证明思路：连接AP，如图③， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP， ∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE， ∵AB＝AC， ∴CF＝PD﹣PE； 小俊的证明思路： 过点C，作CG⊥DP，如图③， ∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP， ∴∠CFD＝∠FDG＝∠DGC＝90°， ∴CF＝GD，∠DGC＝90°，四边形CFDG是矩形， ∵PE⊥AC， ∴∠CEP＝90°， ∴∠CGP＝∠CEP， ∵CG⊥DP，AB⊥DP， ∴∠CGP＝∠BDP＝90°， ∴CG∥AB， ∴∠GCP＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠PCE， ∴∠GCP＝∠ECP， 在△CGP和△CEP中， ， ∴△CGP≌△CEP， ∴PG＝PE， ∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE． [结论运用] 如图④ 过点E作EQ⊥BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°， ∵AD＝8，CF＝3， ∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5， 由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF， ∴DF＝5， ∵∠C＝90°， ∴DC＝＝4， ∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°， ∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC， ∴四边形EQCD是矩形， ∴EQ＝DC＝4， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB， ∵∠BEF＝∠DEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF， 由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ， ∴PG+PH＝4． ∴PG+PH的值为4． [迁移拓展] 延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤， ∵AD×CE＝DE×BC， ∴， ∵ED⊥AD，EC⊥CB， ∴∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴△ADE∽△BCE， ∴∠A＝∠CBE， ∴FA＝FB， 由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH， 设DH＝x， ∴AH＝AD+DH＝3+x， ∵BH⊥AF， ∴∠BHA＝90°， ∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2， ∵AB＝2，AD＝3，BD＝， ∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（3+x）2， ∴x＝1， ∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36， ∴BH＝6， ∴ED+EC＝6， ∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点， ∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE， ∴△DEM与△CEN的周长之和 ＝DE+DM+EM+CN+EN+EC ＝DE+AE+BE+EC ＝DE+AB+EC ＝DE+EC+AB ＝6+2， ∴△DEM与△CEN的周长之和（6+2）dm． 【点睛】此题是一道综合题,考查三角形全等的判定及性质,勾股定理,矩形的性质定理,三角形的相似的判定及性质定理,翻折的性质,根据题中小军和小俊的思路进行证明,故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键. 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 例1．（1）【问题情境】 如图：在中，，点为边上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，，过点作，垂足为点．求证：． （2）【变化一下】 ①当点在延长线上时，请画图探究，，三者之间的数量关系并给出证明； ②如图，满足，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，请直接写出，，和之间的关系． （3）【深入探究】 如图，在中，点为内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为点，，，过点，，分别作，，，垂足分别为点，，，记，，分别为，，，请直接写出，，和，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②；（3） 【分析】（1）连接，利用等面积法求解即可； （2）①连接，利用等面积法求解即可；②连接，，，利用等面积法求解即可； （3）连接，，，利用等面积法列式，等量代换求解即可． 【详解】证明：（1）如下图中，连接． ， ， ， ． （2）①，理由如下： 连接，如下图： ， ， ， ． ②，理由如下： 连接，，，如下图 ∵ ∴ 由题意可得： ∴ （3）， 连接，，，如下图： 由题意可得： ∴， ∵ ∴ 则 则， 即 【点睛】此题考查了三角形的综合应用，涉及了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积，等面积法证明几何问题，解题的关键是熟练掌握等面积法的应用． 例2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，   ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 例3．如图，是等边三角形内任一点．过点作、、，分别交于点．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 如图所示，延长交于点，延长交于点，根据等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质得到是等边三角形，则，是等边三角形，，∴四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，结合线段的和差即可求证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，则， 同理，是等边三角形，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴． 例4.（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【分析】本题考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． （1）利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求$AC$边上高，因与重合时，故值为该高． （2）连接，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ． （3）①连接、、，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高 ．②连接，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系 ． ③延长构造，连接，证，再证为等边三角形，从而得出 ． 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高， 是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中， ，即． 把，代入可得： ， 此时，， 所以． 故答案为． （2）作交于点，连接， ， ， ， ， ； （3）①连接、、，作 将分割为、、， ∴． 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，， ∴．．． ． 因为是等边三角形， 所以． 将上述面积关系代入可得： ． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， 可得． 所以． 故答案为：； ②连接 将图形分割为和， ∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形， ∴． 将上述面积关系代入可得： 得． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， ∴， ， ∴； 故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图，等边三角形是一块边长为的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路，且满足，则三条小路的总长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长FP交AB于点G，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可证△DPG是等边三角形，△AGF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GF=AG，再证明四边形GBEP是平行四边形，可得PE=GB，即可求出三条小路的总长． 【详解】解：延长FP交AB于点G，如图所示： 在等边△ABC中，∠A=∠B=∠C=60°， ∵， ∴∠PDG=∠A=60°， ∵， ∴∠PGD=∠B=60°，∠AFG=∠C=60°， ∴∠DPG=60°， ∴△DPG是等边三角形， ∴DP=GP， ∵∠A=∠DGP=∠AFG=60°， ∴△AGF是等边三角形， ∴GF=AG， ∵，， ∴四边形GBEP是平行四边形， ∴PE=GB， ∴PE+PF+PD=BG+AG=AB， ∵等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪， ∴AB=20m， ∴PE+PF+PD=20(m)， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：，于点，于点， 点在的平分线上， 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上， 故选：B． 4．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，根据角平分线的判定定理得到点P在的平分线上，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，设、、分别为x、、，利用求出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用代数求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得 ， 设、、分别为x、、， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（17-18八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（　　） A．18 B．9 C．6 D．条件不够，不能确定 【答案】C 【分析】因为要求PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，把三条线段转化到一条直线上，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可． 【详解】延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H． ∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，∴PD=BG，PH=AF． 又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPE也是等边三角形，∴PE=PH=AF，PF=GF，∴PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB6． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 二、填空题 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接，，，根据等边三角形的性质可得，然后根据的面积的面积的面积的面积进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴ ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，为等边三角形，P为内部的任意一点，，，，若的周长为12，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 延长交于H，先由等边三角形的性质求得，再证明、为等边三角形，得，，然后证四边形为平行四边形，得，即可由求解． 【详解】解：延长交于H，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线判定定理可得平分，平分，则，，根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 点P到三边的距离， ∴平分，平分， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 9．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，先判断出当时，取得最小值，求出，利用角平分线的性质得到，推出，设，则，证明，则，得到，求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．（22-23八年级下·湖北咸宁·月考）如图，是等边三角形内一点，，，，，求的长．    【答案】6 【分析】因为要求证明，而、、并不在同一直线上，因此和无法进行比较，必须把三者转移到上，方可解答． 【详解】证明：延长交于点，延长交与点，   ，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ，． 又为等边三角形， 和也是等边三角形，， ，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 11．（23-24八年级上·浙江绍兴·月考）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 12．（25-26八年级上·山东·期中）综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 【答案】（1），，；（2）证明见解析（3）证明见解析 【分析】本题考查了三角形的高与面积、等边三角形的性质，熟练掌握分割法是解题关键． （1）根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得证； （3）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据等边三角形的性质可得，则可得，然后根据，，，即可得证． 【详解】（1）解：由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，． （2）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点到三边，，的距离分别为，，，的高为， ∴，，，， ∴． 13．（2025·河南信阳·模拟预测）（1）阅读思考：问题：如图1，点P是等边三角形边上一点，过点P作于点D，点D关于的对称点为F，连接，延长交于点E，探究线段与的数量关系． 小明的思路如下：由对称性，可得．由等边三角形的性质，知，则，所以和的位置关系为① ，有．在中，有，在中，有，所以和的数量关系为② ． 填空：请在①和②两处填上正确的结论； （2）探究证明：如图2，小华同学将（1）中的等边三角形改为一般的等腰三角形，已知．交射线于点D，其他条件不变，请你猜想与的数量关系，并就图2说明理由（结果包含）； （3）解决问题：如图3，在四边形中，对角线平分，，点P是射线上一点，过点P作，分别交射线于点E，F，连接．若，请直接写出的长． 【答案】（1），（2），理由见解析（3）或 【分析】（1）根据对称性可得，，根据等边三角形的性质可得，结合平行线的判定和性质可得，根据含角的直角三角形的性质，正弦值的计算方法即可求解； （2）根据对称性可得，根等腰三角形的性质可得，根据平行线的判定和性质可得，在，中，根据正弦值的计算方法即可求解； （3）根据分两种情况，第一种，点在线段上；第二种，点在外，结合（1），（2）的证明方法即可求解． 【详解】解：（1）∵点关于的对称点为， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，则， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下， ∵，点关于的对称点为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （3），对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵过点作， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴分两种情况讨论： 第一种情况，点在线段上，    根据（2）中的结论可得，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在线段外，，过点作于点，     由上述证明可得，， ∴，， ∴四边形是矩形，即， 已知，，，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形的综合，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 14．（24-25七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【分析】本题考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． （1）利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求$AC$边上高，因与重合时，故值为该高． （2）连接，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ． （3）①连接、、，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高 ．②连接，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系 ． ③延长构造，连接，证，再证为等边三角形，从而得出 ． 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高， 是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中， ，即． 把，代入可得： ， 此时，， 所以． 故答案为． （2）作交于点，连接， ， ， ， ， ； （3）①连接、、，作 将分割为、、， ∴． 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，， ∴．．． ． 因为是等边三角形， 所以． 将上述面积关系代入可得： ． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， 可得． 所以． 故答案为：； ②连接 将图形分割为和， ∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形， ∴． 将上述面积关系代入可得： 得． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， ∴， ， ∴； 故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06等腰（等边)三角形中的维维尼亚模型 目录导航 目录 例题讲模型 模型1.等边三角形中维维尼亚模型， 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型， ..6 习题练模型 l0 例题讲模型 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 模型解读 条件：在等边△ABC中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC,PF⊥BC,PD⊥AB,过点A作 AM⊥BC. 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM: ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 (当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明)。 B M 图1 图2 1/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型证明 证明：①如图1，连结AP,BP,CP。:△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC, ..PCEcPPF+PE) 2 1 .S..wc=S.aw+S.wc+S..cr=BC.AM ;∴.PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP,BP,CP。:△ABC是等边三角形，AB=BC=CA, 则Sa版=5mt5a-Sw-方B-0+4CPE}8C-pFc(PofE-Pr】 S.c-.+c-.c=BC.AM 2 ;∴.PD+PE-PF=AM。 模型运用 例1.如图1，在△BC中，4C=BC=2,∠C=90,点P是△4BC形内-一点，PD14B,PE14C PF⊥BC,垂足分别为D、E、F. E D B 图1 备用图 当为1C中点时，设PE=,PD=y, 求关于的函数解析式，并写出定义域： (2)当PD=PE=PF时，求∠EDF的度数： (3)当△DEF与△ACB相似时，求△DEF的面积. 例2.)在△ABC中，AB=AC,点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E, PF∥AB交BC于点D,交AC于点F. 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E P(D) 图1 图2 图3 (I)如图1，若点P在BC边上，此时PD=O,直接写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系： (2)如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想： (3)如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系.（不用说明理由） 例3.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC,点P为边BC 上任一点，过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点C作CF⊥AB,垂足为F,求证：PD+PE =CF. D F E D◇ Gò C C 图① 图② 图③ E D M G C 图⑤ 图④ 小军的证明思路是：如图2，连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE= CF. 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,则PD+PE= CF. [变式探究] 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF; 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [结论运用] 如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过 点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值： [迁移拓展] 图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EDLAD,EC⊥CB,垂足分别 为D、C,且AD-CE=DEBC,AB=2下dm,AD=3m,BD=57dm.MN分别为AB、BE的中点， 连接DM、CW,求△DEM与△CEN的周长之和. 模型2等腰三角形中维维尼亚模型 模型解读 条件：如图，等腰△ABC(AB=AC)中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB,PH⊥AC,CE⊥AB, 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则PF-PE=CD。 D B 图1 图2 模型证明 证明：①如图1，连结AP;△ABC是等边三角形，∴AB=AC, 2 ；∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP::△ABC是等边三角形，∴AB=AC, k=5e-8w4BF-4CpE-8PF-PE,S- 1 则 8.CD ；∴PF-PE=CD。 模型运用 4/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.(1)【问题情境】 如图L:在△ABC中，AB=AC,点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别 为点D,E,过点B作BG⊥AC,垂足为点G.求证：PD+PE=BG. (2)【变化一下】 ①当点P在BC延长线上时，请画图探究PD,PE,BG三者之间的数量关系并给出证明： ②如图2，△ABC满足AB=AC=BC,点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB,PE⊥AC, PF⊥BC,垂足分别为点D,E,F,请直接写出PD,PE,PF和BG之间的关系. (3)【深入探究】 如图3，在△ABC中，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分 别为点D,E,F,过点A,B,C分别作AI⊥BC,BG⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为点I,G,H, 记CH,BG,L分别为A,,,请直接写出PD,PE,PF和，么，A之间的关系 图1 图2 图3 备用图 例2.(23-24八年级上·山东淄博期末)如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P,过点P作 PD∥ACPE∥ABPF∥B C分别交三边于点D,E,F,则PD+PE+PF等于() E A.9 B.8 C.4 D.3 ABC 例3.如图，P是等边三角形4BC内任一点.过点P作 PDI AB PEBC PFAC ,分别交 BC、AC、AB于点D、E、F.求证：PD+PE+PF=BC. 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 例4.(24-25七年级下山东济南期末)本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题， 可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借 助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题. B D 图1 图2 图3 图4 【问题】 如图1，已知等边三角形ABC中，AB=6,点P为边BC上一点，过P作PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点 F.求PE+PF的值. 【特殊化】 (I)因为点P在边BC上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时PF=0,PE恰为AC边上的高， 借助勾股定理等知识可以求得此时PE的长，由此可得到特殊情形的结论：PE+PF的值等于」 【一般化证明】 (2)在上述条件下，请在图1中添加高线BD,求证：PE+PF=BD。 【迁移应用】 (3)已知等边三角形ABC,AB=6, ①如图2，点P为△ABC内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D,E,F.则PD+PE+PF的值为 ②如图3，若点P在线段BC的延长线上，过点P分别向AC,AB作垂线，垂足为E,F,则用等式表示线 段PE,PF的数量关系为 ③如图4，若点P是等边三角形ABC外一点，且∠BPC=120°，连接AP,则用等式表示线段PB,PC, PA的数量关系为 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习题练模型 一、单选题 1.(24-25八年级下·陕西咸阳·期中)如图，在△ABC中，∠A=100°，P是△ABC内一点，过点P作 PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE=PF,则∠BPC的度数为() D A.110° B.120° C.130° D.140° 2.(21-22八年级下·河南郑州期末)如图，等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪，点P是草坪内的 PD,PE,PF PE∥AB,PF∥BC,PD∥AC 任意一点，过点P有三条小路 ，且满足 ,则三条小路的总长度为 () A D E A.10m B.10/3m C.20m D.20v3m 3.(24-25八年级上山东菏泽·期中)如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E, PF⊥AC于点F,PD=PE,则() 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.点P在∠A的平分线上 B.点P在∠B的平分线上 C.点P在∠C的平分线上 D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点 4.(2023九年级上湖南郴州·竞赛)如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、 AB的垂线，垂足分别为D、E、F.已知AB=AC=10,BC=12,且PD:PE:PF=1:3:3.则四边形 PDCE的面积为() B D 40 50 A.10 B.15 C.3 D.3 5.(17-18八年级下·辽宁辽阳·期末)如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点， PDAB,PEBC,PFAC,若△ABC的周长为I8,则PD+PE+PF=() B D A.18 B.3 C.6 D.条件不够，不能确定 二、填空题 6.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC,PE1AC, 8/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PFLAB,垂足分别为D,E,F,若PD+PE+PF=45, 且△AB 的边长为8，则△ABC的面积为 E 7.(24-25八年级下·四川凉山期末)如图，△ABC为等边三角形，P为△ABC内部的任意一点， PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=一· E B D 8. (25-26八年级上山东日照期中)如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB,AC,BC的距离 PD=PE=PF,∠BPC=130°，则∠BAC的度数为一 E B C 9.(24-25九年级下·广西南宁·开学考试)如图，在边长为6的等边△ABC中，点P是△ABC内一点，过 点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连接AP,若PE=PD·PF,则AP的最 小值为一 0 B E 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 10.(22-23八年级下·湖北咸宁·月考)如图，P是等边三角形ABC内一点，PD∥AB,PE∥BC, PF∥AC,AB=6,求PD+PE+PF的长. 11.(23-24八年级上·浙江绍兴·月考)数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为 “面积法”.已知等边△ABC,点P是平面上任意一点，设点P到△ABC边AB、AC边的距离分别为PD、 PE,△ABC的BC边上的高为AM.回答以下问题： D P M P B B (1) (2) (3) (I)如图(1)，若点P在三角形的BC边上，PD、PE、AM存在怎样的数量关系？请给出证明过程. (2)如图(2)，当点P在△ABC内，己知AM=10,求PD+PE+PF的值. (3)如图(3)，当点P在△ABC外，请直接写出AM与PD、PF、PE的数量关系，不用证明. 12.(25-26八年级上山东·期中)综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线 段之间的数量关系 【特例研究】 (I)如图1，在△ABC中，AC=BC,点P是边AB的中点，过点P分别作PD⊥AC于点D,PE⊥BC于 点E,过点A作F∠BC干点F,连接CP,由分制法可得图形面积 S△ABc=S△Mc+ 一，则AF=+ 【推广探索】 (2)如图2，在△ABC中，AC=BC,点P是边AB上一点，过点P分别作PD⊥AC于点D,PE⊥BC于 10/13