专题05 特殊三角形中的分类讨论模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“特殊三角形分类讨论”核心考点，覆盖等腰三角形（对角边与高、对边分类）和直角三角形（斜边不确定、存在性）四大模型，通过“考点梳理-方法归纳-真题精析-分层练习”流程，帮助学生构建知识体系，突破分类讨论难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“模型化拆解”与“素养导向”教学，如用“两圆一线”法解决等腰三角形存在性问题，培养几何直观与推理意识，设置基础、提升、挑战三级练习，配合5分钟限时真题训练，确保高效突破考点，助力学生提升分类讨论能力，教师可据此精准把控复习节奏，实现中考冲刺高效提分。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05特殊三角形中的分类讨论模型 目录导航 目录 例题讲模型 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型…1 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 .4 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型.11 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型… …13 习题练模型 ,.21 例题讲模型 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边)与高的分类讨论模型 模型解读 1)若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角 与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和 腰的原理相同。 2)若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上 高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 模型运用 例1.己知等腰三角形中一个内角的度数为50°，则该等腰三角形底角的度数为() A.50 B.50°或659 C.659 D.55°或65 例2.已知等腰三角形ABC的底边BC长为8cm,AC上的中线BD把其周长分为差是4cm的两部分，等腰 三角形ABC的周长是() A.8 B.32 C.8或32 D.16或32 1/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例3.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分成差为5cm的两部分，则此三角形的底边长 为」 例4.如图，在ABC中，AB=AC,BE是腰AC上的中线， B (I)若AB>BC,则△ABE的周长与BEC的周长之差为 ； (②)若ABC的周长为20cm,BE将ABC分成周长差为4cm的两部分，求ABC的边长. 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型对边的分类讨论模型 模型解读 1)等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2)坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 模型证明 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1.“两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：己知A,O两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△OAP。 ①以已知线段OA为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P(有2个)； ②以已知线段OA为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以O为圆心的有4个， 以A为圆心的有2个)。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2.“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 2/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两 圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 模型运用 例1.如图，在ABC中，∠1=60°，∠ABC=80°，P为线段AC上一动点，当△BPC为等腰三角形时， ∠BPC= 例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的顶角度数为 例3.我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线 段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的等腰线段”.如图，∠EFP=50°，点G在射线FP上， 若△EFG存在“等腰线段EH”,则∠EGF的度数为 P 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 模型解读 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 模型运用 例1.在ABC中，AB=10,AC=2V10,BC边上的高AD=6,那么另一边BC的长为多少() A.10 B.8 C.6或10 D.8或10 例2.如图，等边三角形ABC的边长是6cm,动点M,N分别从A,C两点同时出发，沿AC,CB边匀速运动， M,N的运动速度分别是lcm/s,2cm/s,当点N到达点B时，M,N两点均停止运动.当△MCN是直角三角 形时，点M的运动时间s的值为 3/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例3.已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 例4.阅读下列内容：设a,b,c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长.我们可以利用Q,b,c之 间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形；②若a2>b2+c2,则 该三角形是钝角三角形；③若a2<b2+c2,则该三角形是锐角三角形.例如，若一个三角形的三边长分别是 4,5,6,则最长边长是6,62=36<42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形. 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是7,8,9，请说明该三角形是以上哪种三角形： (2)若一个三角形的三边长分别是8,15，x,则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由. 模型4.直角三角形中的分类讨论模型直角三角形存在性模型 模型解读 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论， 如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 模型证明 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等)。 问题：己知点A,B和直线1，在1上求点P,使△PAB为直角三角形. B 112 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP=90°：过点A作AB的垂线，与已知直线1的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP=90°：过点B作AB的垂线，与已知直线1的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB=90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与己知直线1的交点P3, 4/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P4即为所求 代数法计算：分别表示出点A,B,P的坐标，再分别表示出AB,AP和BP的长，由①BP2=AB2十AP2;②AP2 =AB2+BP2;③AB2=AP2+BP2分别列方程求解.若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不 存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角 形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解. 模型运用 例1.阅读下列内容，设a,b,c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a,b,c三 边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形；②若a2>b2+c2,则 该三角形是钝角三角形；若③a2<b2+c2,则该三角形是锐角三角形， 例如：若一个三角形的三边长分别是4,5,6，则最长边是6，由于62=36<42+52，故由上面③可知该三 角形是锐角三角形，请解答以下问题， (1)若一个三角形的三条边长分别是6,7,8，则该三角形是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三条边长分别是5,12，x,且这个三角形是直角三角形，则x的值为· 例2.)如图所示，在ABC中，AB=BC=8,OA=OB,∠AOC=60°，点M是射线C0上的一个动点. (1)当△AOM为直角三角形时，AM的长为 (2)若点M在边AB的下方，当△ABM为直角三角形时，AM的长为一 例3 (25-26九年级上·山东济南·期末)已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠A=60°，点E,F分别是边AD ,AB的中点，P为菱形边上的一点，且PEF是以EF为斜边的直角三角形，那么BP的长度为 D 例4.(2023山东菏泽·二模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=6,点P为斜边AB上的 5/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一个动点（点P不与点A,B重合），过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为点D,E,连接DE, PC交于点Q,连接AQ,当△APQ为直角三角形时，AP的长为 D B 习题练模型 一、单选题 1.在等腰ABC中，若∠A=110°，则∠B的度数为() A.359 B.1109 C.110°或359 D.70 2.在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍少10°，则两锐角的度数分别为() A.20°，70° B.25°，659 C.30°，60° D.35°，55 3.(2025山东滨州·模拟预测)如图，ABC与△CDE都是等边三角形，CD=8,BC=4,连接AD,BE, 若将aCDE绕点C逆时针旋转，当点A,C,E在同一条直线上时，线段BE的长为() A.4V5 B.4万 C.43或4V7 D.4V3或27 二、填空题 4.(25-26七年级上·山东淄博·月考)在ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm 和15cm两部分，BC边长一· 5.(25-26八年级上山东滨州月考)已知等腰三角形的一边长为5，周长为13，则它的底边长为 三、解答题 6/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.解答下面两个小题： ()已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长， (②)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长 7.【材料】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 根据材料，解决下列问题： 如图，在Rt△ABC中，LC=90°，∠A=30°，BC=12cm,动点P从点A出发，沿射线AB运动，动点Q从 点B出发，沿射线BC运动，如果动点P以2cm/s,Q以1cms的速度同时出发，设运动时间为t(s),解答 下列问题： A B (1)当t=2时，BP= (2)t为多少时，△PBQ是等腰三角形？请说明理由 (3)P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由， (4)取AC中点D,连接CP,DP,问CP+DP的最小值等于 8.定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个 三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫 做这个三角形的“华丽分割线”， D 图1 图2 图3 例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC,若△ABD是等腰三角形，且△ADC~△BAC,那么AD 就是△4BC的“华丽分割线”. 【定义感知】 (I)如图1，在ABC中，∠B=40°，∠BAC=1I0°，AB=BD.求证：AD是ABC的华丽分割线”. 【问题解决】 (②)①如图2，在ABC中，LB=46°，AD是ABC的华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度 数是 7/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，在ABC中，AB=2,AC-√5，AD是ABC的华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰 三角形，求华丽分割线AD的长. 9.(23-24七年级下山东·期末)从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与 交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一 个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. 图1 图2 (I)如图1，在ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为ABC的完美分割线； (②)如图2，ABC中，AC=2,BC=√2，CD是ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三 角形，求BD和CD长； (3)在ABC中，∠A=48°，CD是ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，请直接写出∠ACB的度 数为 10.(2025山东一模)如图1，己知直线MN∥GH,且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两块 直角三角形硬纸片ACB和DEF,其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=1.小 明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： 图1 图2 图3 (I)如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上 ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2；求∠AFE的度数 ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A,D,F为顶点的三角形是直角三 角形时，求∠FAN度数； (2)将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN,GH上）， 边BC和AB与直线GH分别交于点D,K,在ABC绕着点A旋转的过程中，设LMAK=n°， 8/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CDK=(4m-2n-10)°，则m的取值范围为_. 11.(2025九年级上山东青岛专题练习)如图A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm, AD=6cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点 Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设运动时间为s. (1)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2; (②)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm. (3)P,Q同时出发，直接写出t为何值时，以P,Q,D为顶点的三角形为等腰三角形， 12.如图，已知直线AB:y=+b经过点B(6,0),F(0,3),直线AB与直线AC:y=-2x+8交于点A,直线 AC与x轴交于点C. N 图1 图2 备用图 (I)求直线AB的函数表达式； (②)求点A的坐标； (3)如图，点P为线段BC上一动点，将△ABP沿直线AP翻折得到△APD,线段AD交x轴于点E.当△DPE 为直角三角形时，求点P的坐标： (4)点M是直线AB上一动点，点N是直线AC上一动点，且满足ON为斜边的等腰直角三角形，请直接写出 点M的坐标 9/9 专题05 特殊三角形中的分类讨论模型 目录 1 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 4 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 11 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 13 21 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．已知等腰三角形中一个内角的度数为，则该等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分顶角为和底角为，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时，则底角的度数为； 当等腰三角形的底角为时，则底角的度数为， 综上所述，该等腰三角形的底角度数为或， 故选：B． 例2．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，等腰三角形的周长是（   ） A．8 B．32 C．8或32 D．16或32 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键．根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为等腰的边上的中线，底边长为， ，， 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 故选：B 例3．等腰三角形的周长是，一腰上的中线将周长分成差为的两部分，则此三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意，构造方程组解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，方程组的应用，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰三角形的腰长为，底边长为， 根据题意，得或， 解得或， 故答案为：或． 例4．如图，在中，，是腰上的中线． (1)若，则的周长与的周长之差为___________； (2)若的周长为，将分成周长差为的两部分，求的边长． 【答案】(1) (2)、、或、、 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． （1）根据三角形中线的定义可得结论； （2）点把分为长度相等的两条线段．将的周长分成差为的两部分，则或，分别列等式可解答． 【详解】（1）解：是腰上的中线， ． ， 的周长与的周长之差为：． 故答案为：； （2）根据已知可得，，或，， 解得，或，， 所以的三边分别为、、或、、． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论等腰三角形的腰（或底）的情况是解题的关键．先求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形时的可能值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 情况1：当时， ∵， ∴， ∴， 情况2：当时， ∵， ∴，此时，点P不在线段上，不符合题意，应舍去； 情况3：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 例2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2，   为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 例3．我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，，点G在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地画出图形是解题的关键． 分三种情况讨论，即或或，利用三角形内角和和等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：①如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； ②如图，当时， 是的“等腰线段”， ， ； ③如图，当时， 此时， 是的“等腰线段”， ， ； 综上所述：若存在“等腰线段”，则的度数为或或， 故答案为：或或． 模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．在中，边上的高，那么另一边的长为多少（    ） A．10 B．8 C．6或10 D．8或10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，在和中分别求出和的长度，然后根据垂足D的位置分类讨论，求解即可． 【详解】解：如图， ∵是边上的高，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴ 情况1：当垂足D在线段上时， ， 情况2：当垂足D在延长线上时， ， ∴ 的长为10或6． 故选C． 例2．如图，等边三角形的边长是，动点分别从两点同时出发，沿边匀速运动，的运动速度分别是，当点N到达点B时，两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定， 设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可． 【详解】解：设t秒后，是直角三角形， 则，， ∴． 若时，如图， ∵是等边三角形， ∴，   ∴， ∴， 即， 解得：， 即N到达B点时； 同理可得若时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得：当或时，是直角三角形． 故答案为：或． 例3．已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 【答案】5或 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．由题意，需分类讨论，再根据勾股定理解决此题． 【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况： ①边长为4的边为斜边，此时，则，得； ②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则，得． 综上，或5． 故答案为：5或． 例4.阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)锐角三角形 (2)的值为或，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中判断三角形的方法是解决问题的关键． （1）按照阅读材料中的分类及判断方法验证即可得到答案； （2）按照阅读材料中直角三角形的判断方法，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是， ， 该三角形是锐角三角形； （2）解：的值为或， 理由如下： 一个三角形的三边长分别是，，，分两种情况： 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则， 解得； 综上所述，的值为或． 模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 例1．阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是6，7，8，则该三角形是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为_____． 【答案】（1）锐角 （2）13或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据判断三角形的形状； 对于（2），根据勾股定理，并分两种情况计算即可. 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为5，12，x，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：13或. 例2．）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点． （1）当为直角三角形时，的长为 ． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用． （1）画出图形，在中得到，再用勾股定理计算即可； （2）分两种情况讨论：①当时，②时，分别画出图形，然后根据含直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， 当为直角三角形时，即， ∵， ∴， ， 故答案为：． （2）如图1所示， 当时，， 为等边三角形， ∴ ； 如图2所示， 当时，， ∴, ， ， 又． ． 故答案为：或． 例3. （25-26九年级上·山东济南·期末）已知四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点，为菱形边上的一点，且是以为斜边的直角三角形，那么的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形的性质．根据题意分情况讨论，，进而根据菱形、等边三角形及含的直角三角形的性质、勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，，为直角三角形， 四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点， ， ∴是等边三角形， ； 如图，于点，连接 ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴ ， ， 综上，的长为或 故答案为：或． 例4.（2023·山东菏泽·二模）如图，中，，，，点为斜边上的一个动点（点不与点，重合），过点作，，垂足分别为点，，连接，交于点，连接，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】9或/或9 【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：①当；②当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵当为直角三角形时，可分情况进行讨论， ①当时，如图：    则， ∴， ∴， ∴； 在直角中，由勾股定理，则 ； ②当时，如图    ∵，， ∴四边形CDPE是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，即， 综合上述，的长是9或； 故答案为：9或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题． 一、单选题 1．在等腰中，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此为顶角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，且为钝角， ∴ 是顶角，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 2．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍少，则两锐角的度数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设另一个锐角为，表示出一个锐角，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设另一个锐角为，则一个锐角为， 由题意得，， 解得， ， 所以，这两个锐角的度数分别为，， 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，与都是等边三角形，，，连接，，若将绕点逆时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，根据△是等边三角形，可得，由点、、在同一条直线上，需要分2种情况①当点在延长线上时；②当点在延长线上时，分别画出对应的图形，然后过点作边的垂线（或，利用含角的（或）求得垂线（或的长，最后利用勾股定理即可求解的长．熟练掌握以上知识点，学会分类讨论多种情况的图形，能够结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ①当点在延长线上时，作交于，连接，如图1， ，是等边三角形， ，， ，， 在中，， ； ②当点在延长线上时，作交于，如图2， 同理①可得，，， ，， 在中，由勾股定理得：； 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在中，边上的中线把三角形的周长分为和两部分，边长 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是分情况讨论中线所分的两部分周长． 先根据中线性质得出，再结合，设，分两种情况根据周长列出方程组求解，最后验证三边能否构成三角形． 【详解】解：∵是边上的中线， 设， 分两种情况： 当时，即， 解得：， ∴的边长为； 当时，即， 解得：， ∴的边长为， 综上所述：的长为或． 5．（25-26八年级上·山东滨州·月考）已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的底边长为 ． 【答案】或/3或5 【分析】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系．这个边长可能为底边长也可能为腰长，分类讨论求解即可． 【详解】解：当底边为5时，腰长，符合题意； 当腰长为5时，底边， ，，能构成三角形，符合题意； 综上所述，它的底边长为5或． 故答案为：或． 三、解答题 6．解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 7．【材料】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 根据材料，解决下列问题： 如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线运动，动点Q从点B出发，沿射线运动，如果动点P以，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当时， _______ ； (2)t为多少时，是等腰三角形?请说明理由. (3)P、Q 在运动过程中， 的形状不断发生变化，当t为多少时，是直角三角形? 请说明理由. (4)取中点D，连接，问的最小值等于_________ . 【答案】(1)20cm (2)当t为8或24时，是等腰三角形 (3)当t为6或时，△PBQ是直角三角形 (4)18cm 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由题意可知，，则即可解决问题； （2）分两种情况，①点P在线段上，点Q在线段上，②点P在射线上，点Q在射线上，分别证，即可解决问题； （3）分两种情况，①时，②时，由含角的直角三角形的性质证明或，即可解决问题； （4）作点C关于的对称点E，连接交于点P，连接，则，，的值最小，证是等边三角形，再由等边三角形的性质等，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：， ， 由题意可知， ， ， ∴当时， ； 故答案为：20cm； （2）解：当t为8或24时，是等腰三角形， 理由如下： ， ， 由题意可知， ， 分两种情况： ①如图1-1，点P在线段上，点Q在线段上， 则，   是等腰三角形，， 是等边三角形， ， 即， 解得：； ②如图1-2，点P在射线上，点Q在射线上， 则，   是等腰三角形， ， ， 即， 解得：； 综上所述，当t为8或24时，是等腰三角形； （3）解：当t为6或时，是直角三角形， 理由如下： 由题意可知， ， ， 分两种情况： ①如图3，    当时，， ， 即， 解得：； ②如图4，    当时，， ， 即， 解得：； 综上所述，当t为6或时，是直角三角形； （4） 解：如图3，作点C关于的对称点E，连接交于点P，连接、，    则， 此时，的值最小，， 是等边三角形， 由（1）可知，， ， ， ， 是等边三角形，D是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值． 故答案为：18cm． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质以及最小值等知识，，熟练掌握相关知识是解题关键． 8．定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”． 例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”． 【定义感知】 (1)如图1，在中，，AB=BD．求证：AD是的“华丽分割线”． 【问题解决】 (2)①如图2，在中，，AD是的“华丽分割线”，且是等腰三角形，则的度数是________； ②如图3，在中，AB=2，AC=，AD是 的“华丽分割线”，且是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)①21°或者42°；②AD= 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可； （2）①分两种情况讨论，利用三角形内角和解答即可； ②根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∵∠B=40°， ∴∠ADB==70°， ∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC， 又∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴AD是△ABC的“华丽分割线”． （2）①当AB＝BD时，得∠ADB＝67°， ∴∠ADC＝180°−∠ADB＝113°． ∵△ADC∽△BAC， ∴∠BAC＝∠ADC＝113°． 在△ABC中，由内角和定理得∠C＝21°； 当AD＝BD时， ∴∠ADC＝92°， ∵△ADC∽△BAC， ∴∠BAC＝∠ADC＝92°， 在△ABC中，由内角和定理得∠C＝42°； 综上分析可知，∠C的度数为21°或42°； 故答案为：21°或42°； ②∵AD是的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形， ∴△ADC∽△BAC， ∴， 即，解得：CD=1， ∴， 即，解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质解答． 9．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． 10．（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，掌握平行线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 12．如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)求点A的坐标； (3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标； (4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）联立直线的函数表达式解方程组即可求解； （3）当为直角三角形有两种情况，讨论如下：①时，由翻折可得，，过点作于点，则为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质求解；②时，即轴，则，由翻折可得，，，那么，设，则，，再对运用勾股定理建立方程求解； （3）分两种情况讨论，添加辅助线构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线与直线交于点A， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵直线与 x轴交于点C． ∴当，则， 解得， ∴ 当为直角三角形有两种情况，讨论如下： ①时，如图， ∴， 由翻折可得， 过点作于点，则为等腰直角三角形， ∵ ， ∴点的坐标为； ②时，即轴，如图， ∵， ∴， 由翻折可得，，， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上：点的坐标为或； （4）解：设 ①当点M在第二象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图： 则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， ∴； ②当点M在第一象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图： ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $