7.2 离散型随机变量及其分布列（3知识点+5考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

7.2 离散型随机变量及其分布列 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：随机变量与离散型随机变量 1、随机变量与离散型随机变量： （1）随机变量的定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． （2）离散型随机变量的定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 【注意】离散型随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出． 2、随机变量的性质 一般地，如果是一个随机变量，是任意实数，那么，，等表示事件，而且： （1）当时，事件与互斥； （2）事件与相互对立，因此． 注意：在随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间. 3、离散型随机变量之间的关系 一般地，如果是一个离散型随机变量，都是实数且，，则也是一个离散型随机变量．由于的充要条件是，因此． （24-25高二下·甘肃民乐·月考）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．故选：C 知识点2：离散型随机变量的分布列 1、离散型随机变量分布列的定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … 2、离散型随机变量分布列的意义和作用 （1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础． （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． 3、离散型随机变量的分布列的性质 （1）； （2） （24-25高二下·福建福州·期末）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 知识点3：两点分布 1、两点分布的定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 示例：抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究． （24-25高二下·重庆·月考）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可得，解得.故选：B 题型一：对离散型随机变量的理解 例1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【答案】C 【解析】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中， 可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次.故选：C 【变式1-1】（24-25高二下·河北武安·月考）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来， ②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来， ④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B． 【变式1-2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）（多选）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【解析】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字， 记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量．故选：BD． 【变式1-3】（24-25高二下·山西临汾·月考）（多选）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【解析】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误.故选：BC. 题型二：离散型随机变量的分布列 例2. （24-25高二下·安徽·月考）一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）依题意， （2）X的可能取值为2，3，4， 则，，， 故X的分布列为： X 2 3 4 P 【变式2-1】（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 (1)求取出的球中红球数多于黄球数的概率； (2)设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）记取出的球中红球数多于黄球数为事件， 若取出一个红球则只需另取出两个篮球，有种取法； 若取出两个红球则从剩下的四个球中再取出一个球即可，故有种取法； 所以. （2）依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 【变式2-2】（24-25高二下·天津·期中）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则； （2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 【变式2-3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”，则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 题型三：离散型随机变量分布列性质的应用 例3.（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，解得.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·河南·月考）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 0.2 A．0.56 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【解析】由分布列的性质知，即， 解得（舍）.故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 当时，不合题意， 所以.故选：B 【变式3-3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. .故选：A. 题型四：两点分布的应用 例4. （24-25高二下·山东·月考）若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（    ） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 【答案】C 【解析】根据两点分布的概念可知，只有C选项对应两点分布．故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁本溪·月考）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】离散型随机变量服从两点分布，则， 又，所以.故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 . 【答案】 【解析】由题意可得，. 【变式4-3】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由题意知，，解得或， 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意， 故. 题型五：两个相关离散型随机变量的分布列 例5.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【答案】 【解析】由已知可得，解得， 则. 【变式5-1】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·月考）设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【答案】B 【解析】依题意，.故选：B 【变式5-2】（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，可得，则.故选：B 【变式5-3】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 【答案】(1)分布列见解析；(2)分布列见解析 【解析】（1）由分布列的性质知：，解得， 列表为 X 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 即随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得， ， ， 故的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）列表得 X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 即随机变量的可能取值为0，1，4，9，16. 从而的分布列为 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 一、单选题 1．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（    ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【解析】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量．故选：C. 2．（24-25高二下·重庆·月考）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可得，解得.故选：B 3．（24-25高二下·河南新乡·月考）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由随机变量的分布列为， 可得， 根据分布列的性质，可得，解得.故选：D. 4．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由分布列可得，解得， 则，故选：C 5．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【解析】由题可得.故选：A 二、多选题 6．（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】依题意，，所以.故选：AD 7．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ．故选：ABC. 8．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，， 则，所以D正确．故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二下·广东惠州·期中）某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是 . 【答案】 【解析】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动， 随机变量男生人数的可能取值为， 则. 10．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 【答案】 【解析】， 因为， 所以，解得. 11．（24-25高三下·江苏扬州·月考）已知，随机变量的分布列为 的最小值为 【答案】 【解析】由题意得，，则， ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为． 四、解答题 12．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. （2）由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 13．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为、、，乙一次射击命中10、9环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响． (1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率； (2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的值，和X对应的概率； 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）设一次射击后，甲命中的环数为，乙命中的环数为， 则甲命中的环数不高于乙命中的环数为 ； （2）题意可知随机变量的可能取值有17、18、19、20， ，， ，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 离散型随机变量及其分布列 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：随机变量与离散型随机变量 1、随机变量与离散型随机变量： （1）随机变量的定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． （2）离散型随机变量的定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 【注意】离散型随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出． 2、随机变量的性质 一般地，如果是一个随机变量，是任意实数，那么，，等表示事件，而且： （1）当时，事件与互斥； （2）事件与相互对立，因此． 注意：在随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间. 3、离散型随机变量之间的关系 一般地，如果是一个离散型随机变量，都是实数且，，则也是一个离散型随机变量．由于的充要条件是，因此． （24-25高二下·甘肃民乐·月考）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点2：离散型随机变量的分布列 1、离散型随机变量分布列的定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … 2、离散型随机变量分布列的意义和作用 （1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础． （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． 3、离散型随机变量的分布列的性质 （1）； （2） （24-25高二下·福建福州·期末）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 知识点3：两点分布 1、两点分布的定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 示例：抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究． （24-25高二下·重庆·月考）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 题型一：对离散型随机变量的理解 例1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（    ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【变式1-1】（24-25高二下·河北武安·月考）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）（多选）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【变式1-3】（24-25高二下·山西临汾·月考）（多选）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 题型二：离散型随机变量的分布列 例2. （24-25高二下·安徽·月考）一袋中装有编号为1，2，3，4的4个大小相同的球，现从中随机取出2个球，X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【变式2-1】（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 (1)求取出的球中红球数多于黄球数的概率； (2)设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 【变式2-2】（24-25高二下·天津·期中）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【变式2-3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 题型三：离散型随机变量分布列性质的应用 例3.（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·河南·月考）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 0.2 A．0.56 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【变式3-2】（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四：两点分布的应用 例4. （24-25高二下·山东·月考）若随机变量X服从两点分布，则X的分布列可以为（    ） A． X 1 2 P 0.5 0.5 B． X 0 2 P 0.5 0.5 C． X 0 1 P 0.7 0.3 D． X 1 2 3 P 0.5 0.2 0.3 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁本溪·月考）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 . 【变式4-3】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则实数的值为 . 题型五：两个相关离散型随机变量的分布列 例5.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【变式5-1】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·月考）设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【变式5-2】（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知X的分布列为： X 0 1 P a 若随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 一、单选题 1．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（    ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 2．（24-25高二下·重庆·月考）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南新乡·月考）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 二、多选题 6．（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 9．（24-25高二下·广东惠州·期中）某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是 . 10．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 11．（24-25高三下·江苏扬州·月考）已知，随机变量的分布列为 的最小值为 四、解答题 12．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 13．（25-26高二上·广东佛山·月考）甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为、、，乙一次射击命中10、9环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响． (1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率； (2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的值，和X对应的概率； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $