第11讲 离散型随机变量及其分布列（六大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

第11讲 离散型随机变量及其分布列 【人教A版】 模块一 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 求离散型随机变量的分布列】 【例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【变式1.1】（24-25高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【变式1.2】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【变式1.3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【题型2 利用随机变量分布列的性质解题】 【例2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2.1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二下·河北保定·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【题型3 由随机变量的分布列求概率】 【例3】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3.3】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 模块二 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型4 两点分布】 【例4】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【变式4.2】（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【题型5 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例5】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·月考）设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【变式5.1】（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式5.3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【题型6 分布列与其他知识的交汇问题】 【例6】（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【变式6.1】（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 【变式6.2】（24-25高二下·重庆·月考）为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一年级随机抽取了300名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照分成5组，制成了如图所示的样本频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)学校从比赛成绩落在区间和的学生中，按照分层抽样随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名学生代表参与社区阅读推广活动． ①设抽取的2名学生中比赛成绩落在区间的学生人数为，求随机变量X的分布列； ②抽取的2名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在区间内的概率． 【变式6.3】（24-25高二下·重庆·期末）某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，计算随机变量X的分布列； (2)①当时，求的概率； ②记的概率为，求的表达式． 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记，得（    ） A．0 B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 5．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 7．（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 12．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从两点分布，．若，则___________． 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则___________． 1 2 3 … 50 … 14．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则___________． 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 17．（25-26高二下·宁夏银川·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 18．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 离散型随机变量及其分布列 【人教A版】 模块一 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 求离散型随机变量的分布列】 【例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A． 1 0 1 B． 0 1 2 C． 0 1 2 D． 0 1 【答案】D 【解题思路】利用分布列的概念及性质，即的取值应互不相同且逐项判断即可. 【解答过程】对于A，的取值出现了重复性，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的取值互不相同，且，故D正确. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【解答过程】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. （2）由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 【变式1.3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【解答过程】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【题型2 利用随机变量分布列的性质解题】 【例2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【解题思路】由分布列的性质结合题意可得答案. 【解答过程】由题，． 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得，结合计算可得. 【解答过程】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·云南昆明·月考）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（    ） 0 1 A．或 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据随机变量的概率非负且不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可． 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得，即， 解得或， 当时，不合题意， 所以. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二下·河北保定·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（   ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【答案】A 【解题思路】根据概率之和为1即可求解. 【解答过程】由表可得，所以， 满足，故. 故选：A. 【题型3 由随机变量的分布列求概率】 【例3】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分布列的性质求出后可求. 【解答过程】由分布列可得，解得， 则， 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【解答过程】依题意，，解得， 所以. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（   ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【解答过程】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 模块二 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型4 两点分布】 【例4】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按照两点分布的性质计算. 【解答过程】依题意可得，解得. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【解题思路】根据两点分布性质计算即可. 【解答过程】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【解答过程】且，解得. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二下·山东·期中）已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【解题思路】根据两点分布可得，再根据即可得结果. 【解答过程】由题意可知：， 因为， 所以. 故选：D. 【题型5 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例5】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·月考）设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（    ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6 【答案】B 【解题思路】根据给定的条件，利用分布列的性质求解. 【解答过程】依题意，. 故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【解题思路】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【解答过程】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的分布列的性质得， 解得， 随机变量， ． 故选：A. 【变式5.3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【解题思路】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【解答过程】由分布列性质可得：，解得； 因为， 故. 故选：D. 【题型6 分布列与其他知识的交汇问题】 【例6】（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【解答过程】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 【变式6.1】（24-25高二下·福建福州·期末）现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. (1)求玩家甲在游戏中得分的概率； (2)求玩家乙在游戏中获胜的概率； (3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【解题思路】（1）由题意明确玩家甲在游戏中得8分包括的情况，再用古典概型结合互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （2）先依次求出玩家在游戏中得、、分的概率，接着由题意明确玩家乙在游戏中获胜的情况，并依次求出每种情况的概率，再用互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （3）由题意求出随机变量的取值，再依次求出各变量取值的概率即可求出分布列. 【解答过程】（1）玩家甲在游戏中得分，则包括以下两种情况： 甲从袋子中随机摸出个红球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个球同色； 甲从袋子中随机摸出个白球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个白球. 所以玩家甲在游戏中得分的概率为. （2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况： 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 所以玩家乙在游戏中获胜的概率为. （3）由题意可得， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 8 10 12 14 16 【变式6.2】（24-25高二下·重庆·月考）为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一年级随机抽取了300名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照分成5组，制成了如图所示的样本频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)学校从比赛成绩落在区间和的学生中，按照分层抽样随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名学生代表参与社区阅读推广活动． ①设抽取的2名学生中比赛成绩落在区间的学生人数为，求随机变量X的分布列； ②抽取的2名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在区间内的概率． 【答案】(1) (2)①分布列见解析；② 【解题思路】（1）根据所有小矩形的面积和为列出关系式求得； （2）①首先求出各组抽取的人数，则的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得解；②利用条件概率公式计算可得. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）依题意组抽取人，组抽取人； ①依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ②记有一名学生的比赛成绩落在区间为事件，两名学生的比赛成绩都落在区间为事件， 则，， 所以. 【变式6.3】（24-25高二下·重庆·期末）某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，计算随机变量X的分布列； (2)①当时，求的概率； ②记的概率为，求的表达式． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）记该同学投篮2次投进次数，再结合比赛规则及概率计算求解； （2）①求出X的可能取值及对应的概率可得分布列； ②将所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得的表达式． 【解答过程】（1）X的可能取值为：0，1，2， ；； ； 所以，的概率分布列为 0 1 2 （2）①； ②投篮次得分为3分，有两种可能的情况： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻， 当时，情形二不可能发生， 故， 当时，情形一发生的概率为， 情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为 ， 所以 ， 又当时，也满足， 综上，. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【解题思路】由离散型随机变量的特点逐一判断即可. 【解答过程】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分布列的性质计算即可求解. 【解答过程】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记，得（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用两点分布的性质求解即可. 【解答过程】由题意知，可设， 则，又，解得， 故. 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解题思路】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【解答过程】，解得； ， 故选：B. 5．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由分布列的性质进行计算即可. 【解答过程】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3， 所以， 因此. 故选：C. 6．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【解题思路】由题意得计算求解即可. 【解答过程】由题可得. 故选：A. 7．（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用分布列的性质得到，即可求解. 【解答过程】由题知，解得，所以， 又， 故选：B. 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【解答过程】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【答案】ABD 【解题思路】由随机变量的特点逐一判断即可. 【解答过程】因为B,D中的取值有限，且可以一一列举出来， 故B,D中的均为离散型随机变量． 因为中的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来， 故为离散型随机变量． 而C中的取值不能一一列举出来， 所以中的不是离散型随机变量． 故选：ABD. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 11．（24-25高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【解题思路】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知随机变量服从两点分布，．若，则___________． 【答案】0.44 【解题思路】根据两点分布的性质判断. 【解答过程】由题意可得． 故答案为：. 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则___________． 1 2 3 … 50 … 【答案】 【解题思路】由分布列的性质求得，进而可求解. 【解答过程】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为：. 14．（24-25高二下·福建莆田·期中）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)不是，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【解题思路】根据离散型随机变量的定义，即可逐一求解. 【解答过程】（1）该随机变量的所有可能取值为1, 2, 3, ..., 10，是有限个可数的值，可以一一列出，故为离散型随机变量. （2）从10个球中取3个球，所含白球的个数可能为0,1,2,3，因此白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. （3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量. （4）该差值可以取某一区间内的任意实数，其所有可能取值无法一一列出，故不是离散型随机变量. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【解答过程】（1）由， 解得. （2）， . 17．（25-26高二下·宁夏银川·月考）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【解题思路】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【解答过程】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 18．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解； （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列. 【解答过程】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)平均数为岁，中位数岁 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）先由各组的频率和为，求出的值，再利用平均数的公式可求平均数，由于前组的频率和小于，前3组的频率和大于，从而列方程可求出中位数， （2）利用分层抽样的定义求出第、组抽取的人数，从而可求得概率， （3）由题意得从所有参与调查的人中任意选出人，关注环境治理和保护问题的概率为，的所有可能取值为、、、，求出相应的概率，从而可求得的分布列即可. 【解答过程】（1）由，解得， 则平均数为岁. 因为，，所以中位数在第组， 设中位数为，则，解得岁． （2）由题意得从第、组抽取的人数分别为、． 设第组中恰好抽取人的事件为，则． （3）从所有参与调查的人中任意选出人， 关注环境治理和保护问题的概率为， 的所有可能取值为、、、， 可得，， ，， 所以的分布列为： 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $