2026年中考数学复习专题06 二次函数综合

专题06 二次函数综合 考点目录： 1． 待定系数法求解析式：已知两点或顶点等条件，求抛物线表达式。 2． 几何图形判定：给定点坐标，判断构成的三角形（等腰、直角）或四边形（平行四边形、菱形、矩形）的形状。 3． 线段长度、图形面积问题：用坐标表示线段长（特别是平行于坐标轴的线段），求三角形或多边形的面积，常涉及面积最值（常转化为二次函数最值问题）。 4． 函数值比较：给定自变量范围，比较因变量大小。 一、解答题 1．若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 【答案】(1)是 (2)、或 (3)①；②的长度最大值为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数表达式的转换和图像与性质的掌握是解题的关键． （1）根据函数表达式，进行运算，看两抛物线是否满足“孪生抛物线”即可： （2）根据“孪生抛物线”的性质，对顶点位置在轴上或轴上进行分类讨论，计算得出满足条件的抛物线即可； （3）① 根据“孪生抛物线”的性质，即表达式中的值互为相反数，得出的取值；②用未知数表示两点的坐标，判断出纵坐标的大小，计算长度，得出长度表达式后进行求值． 【详解】（1）解：抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 故抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点， 所以抛物线与互为“孪生抛物线”． （2）解：抛物线，即顶点坐标为， 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得，或， 故函数表达式为或； 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得， 故函数表达式为； 综上，函数抛物线的“孪生抛物线”为、或． （3）解：①由于“孪生抛物线”的表达式中的值互为相反数， 故，解得． ②由于，代入抛物线表达式得，， 由于平行于轴，故点、的横坐标相同， 假设其横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 点、位于两顶点之间，易判断点在高处， 故线段的长度为， 抛物线的顶点横坐标为， 抛物线的顶点横坐标为， 故的取值范围为， 而在取值范围内， 故． 2．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，的取值范围是______； (3)、两点之间的距离为，当时，求的值； (4)已知点的坐标为，当直线将的面积分成两部分且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或4或 【分析】（1）将点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定该抛物线的对称轴和顶点坐标，然后结合二次函数的图像与性质求解即可； （3）结合点的坐标，可知点为直线上一点，则点，根据题意建立关于的一元二次方程，求解即可获得答案； （4）首先确定点在直线上，设直线与轴交于点，并确定其坐标，当点在抛物线对称轴右侧时，若点在点下方，此时直线无法将的面积分成两部分；若点在点上方，设交轴于点，交于点，过点作，，垂足分别为，，证明，根据题意可得或，即可建立关于的一元二次方程并求解．当点在抛物线对称轴左侧时，若点在点上方，易得直线无法将的面积分成两部分；若点在点下方，同理可得或，建立关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵该抛物线的函数表达式， ∴该抛物线的对称轴为，其顶点坐标为， ∵， ∴当时，的最小值为， ∵该抛物线有， ∴该抛物线开口向上， 又∵， ∴当时，可有，此时在范围内取最大值， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：； （3）∵点的坐标为， ∴点为直线上一点， 如下图，    根据题意，可得点， ∵、两点之间的距离为， ∴当时，可有， 整理可得或， ∴解得或或； （4）对于直线， 当时，可有， ∴点在直线上， 设该直线与轴交于点， 当时，可有， ∴， 联立直线解析式与抛物线解析式， 可得，解得或， ∴直线与抛物线的交点为，； 当点在抛物线对称轴右侧，即时， 若点在点下方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点上方，即有， 如下图，设交轴于点，交于点，过点作，，垂足分别为，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， 又∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∵点为抛物线对称轴上一点，轴且，， ∴， ∴，， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），； 当点在抛物线对称轴左侧，即时， 若点在点上方，即时，如下图，    此时直线无法将的面积分成两部分， 若点在点下方，即有，如下图，    同理可得或， 此时，， 当时，可有， 整理可得， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 当时，可有， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 综上所述，或4或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、解一元二次方程、二次函数的图像与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 3．已知抛物线，（，，为常数，，，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为． (1)若，，． ①求点的坐标； ②直线（是常数，）与抛物线相交于点，与相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标； (2)将抛物线绕点旋转后得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．有点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．若，，当取得最小值时，求的值． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）①先求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解；②先求出，的坐标，再求出直线的解析式，得到，，推出，最后根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可得抛物线的对称轴直线，解析式为，，进而得到，由旋转可知抛物线，其对称轴直线，得到，证明四边形是平行四边形，得到，则，当，，三点共线时，取得最小值，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得， ， 顶点， ②当时，有， 解得，， ，， 当时，， 抛物线与轴交点， 设直线的解析式为， 将，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， ，，， ， ，， 当时，取得最大值，此时，； （2）解：， ，抛物线的对称轴直线， ， ，，，且， ，将代入， 得到， ， 又， ①， 将抛物线绕点旋转后得到抛物线， 抛物线，抛物线的对称轴直线， ， 动点在直线上，轴与直线相交于点， ，将点向左平移个单位至， 则， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 和关于直线对称， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 即， ，且， 解得，代入①得． 4．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_____； (2)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为，再代入，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，得到函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，得，求解即可；当，即时，函数的最小值为，不符合题意；当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，则当时，函数有最小值，得，求解即可． 【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查“友好点”的新定义，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 5．定义：我们把横、纵坐标互为相反数的点叫做“互反点”． (1)求二次函数的“互反点”的坐标； (2)已知二次函数． ①若该函数只有一个“互反点”求m的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“互反点”，则m的取值范围是______． 【答案】(1)和 (2)①的值为或；② 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，新定义，一元二次方程的判别式，二次函数的图象性质，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解“互反点”的定义，进行列式计算，即可作答． （2）①先得，结合该函数只有一个“互反点”，则，得出方程，进行求解即可； ②同理得，令，当时，则，则，结合函数中的，得开口方向向上，则可求出的第一个范围；再根据该函数在的范围内有两个不同的“互反点”，把和代入，求出的第二个范围，由对称轴在和之间得到，从而得到的最终范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵横、纵坐标互为相反数的点叫做“互反点”， ∴， 解得或， ∴“互反点”坐标为和． （2）解：①依题意，令， ∴， ∴， ∴ ， ∵该函数只有一个“互反点”， ∴， ∴， 解得； ②依题意，令， ， 该函数在的范围内有两个不同的“互反点”， ， 令， 当时，则， ， 函数中的， 开口方向向上， 的的取值范围为或①； 该函数在的范围内有两个不同的“互反点”， 令， 把代入， 得 ， 把代入， 得 ， 函数的， 函数开口向上， 且， 解得②， 函数， 对称轴为直线， 在的范围内有两个不同的“互反点”， ， ③， 综合①②③得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，新定义，一元二次方程的判别式，二次函数的图象性质，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，直线与抛物线交于点A及点，点P为抛物线上一动点，其横坐标为m，顶点为F． (1)求抛物线解析式及顶点坐标F； (2)如图1，若点P为抛物线对称轴右侧x轴下方的一动点，连接、、，交线段于点M，N是AF上一动点（均含端点），连接，若并且时，求点P的坐标． (3)如图2，若点P为x轴上方的抛物线上的一动点，点N是点P关于对称轴的对称点，连接与直线交于点M，过点M作轴于点E，过点N作轴于点D，设矩形的周长为C． ①求C与m的函数关系式； ②结合函数图像探究说明，当C随m的增大而增大时m的范围． 【答案】(1)抛物线解析式，F坐标为． (2) (3)①；②不存在． 【分析】（1）根据题意分别求出点A、C坐标，再代入解析式求出未知系数，得到函数关系式，再配方求顶点F坐标即可； （2）由抛物线轴对称性得到点B坐标为，且，再由和外角性质证明，进而证明，求出点M坐标为，再求出直线解析式，联立方程求其与抛物线交点坐标即可； （3）①根据题意，得到当与直线有交点时，m的范围，分别求出对应的，再表示周长即可； ②由①的函数关系式和对应取值范围，分别求出对称轴，确定C随m的增大而增大时m的范围即可． 【详解】（1）解：由直线与抛物线交于点A及点， ∴当时，，解得，， 当时，， 则， 把代入到， ， 解得， ∴抛物线解析式 配方得，， 则点F坐标为． （2）由抛物线对称性可知，点B坐标为，且， 则， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 故点坐标为， 设直线解析式为 ， 把点坐标为 ,坐标为代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，解得 （舍去） ∴ ∴点P的坐标为 （3）①由题意，关于对称轴对称点横坐标为1，点N的横坐标为， 由连接与直线交于点M，设点P的纵坐标为 故m的范围为或， 当时， ， 此时求M点的横坐标为 ， 则 ∴ 同理，当时， 则， ∴ 综上， ②当时，对称轴为直线，在对称轴左侧，C随m增大而减小，故此情况不存在符合要求答案， 当时，的对称轴为直线，在对称轴右侧，C随m的增大而减小，故此情况不存在符合要求答案， 故不存在m，使得C随m的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法、图象和性质、二次函数与一次函数的综合问题，以及全等三角形的性质和判定，运用了分类讨论和数形结合的数学，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． (1)求拋物线的解析式． (2)点P是拋物线对称轴上的动点，是否存在点P使的周长最小，若存在，求点P坐标，若不存在，说明理由． (3)D为直线上方抛物线上一动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点E，记，，求的最大值； ③是否存在点D，使得？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)①4；②；③存在， 【分析】（1）根据直线求出点A、B的坐标，再利用待定系数法进行求解即可； （2）根据题意得到对称轴为，则的周长为，设点，由于点和点关于对称轴为对称，得到， 当、、三点共线时，值最小，即的周长最小，据此求解即可； （3）①过点作轴交直线于点，设点，则点，根据两点间的距离公式得到的长，根据面积为，进行计算求解即可； ②设点，过点C作直线交y轴于点，过点D作直线交y轴于点，过点M作，交直线于点，由于和同底，则，进而得到直线的解析式为，即点，同理可得点，进而得到，，据此解答即可； ③过点C作直线交于点，过点H作直线交y轴于点，证得，根据相似三角形的性质得到，在中，，进而得到，进而得到点，直线的表达式为，将与抛物线解析式联立，解得，从而得到点D坐标． 【详解】（1）解：将代入得：， 则点， 将代入得：， 则点， 将点，抛物线得： 解得： 因此，拋物线的解析式为； （2）解：存在点P使的周长最小，理由如下： 由（1）知，拋物线的解析式为， 则对称轴为，点， 则的周长为， 设点， 由于点和点关于对称轴为对称， 则， 因此，当、、三点共线时，值最小，即的周长最小， 将代入得： ， 则点坐标为； （3）①解：过点作轴交直线于点，如图： 设点，则点， 则， 因此面积为， 即， 当时，面积有最大值，最大值为4； ②解：设点， 过点C作直线交y轴于点，过点D作直线交y轴于点，过点M作，交直线于点，如图： 由于和同底， 则 即 设直线的解析式为，经过点 则， 解得， 直线的解析式为， 点， 同理可得：点 ，， ， 当时，的最大值为； ③解：存在，理由如下： 过点C作直线交于点，过点H作直线交y轴于点， 、、 在中，， 则， ， 设、则， 由勾股定理得， ，， 同理可得： 即点 设直线的表达式为， 将点代入得： 解得 则直线的表达式为， 将与抛物线解析式联立得： 解得或（舍去） 当时，， 即点． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，平行线的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象C，当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作轴交直线于点E，求线段长的最大值； 【答案】(1)， (2)①或② 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，利用二次函数求线段长度的最值，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数表达式即可，然后根据函数表达式确定抛物线与轴的交点坐标； （2）①分两种情况进行讨论，根据最低点确定最高点的纵坐标，然后利用二次函数表达式进行求解即可； ②利用待定系数法求出直线的表达式，表示出点的坐标和线段的长度，最后利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得 ∴， ∴； （2）解：①当点位于点左侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 由得，抛物线顶点坐标为， 当点位于点右侧时，， ∴， 解得或（舍去）； 综上，或； ②设直线的表达式为， 将，代入得， ，解得， ∴， 根据题意得，，且， ∴， ∵该二次函数表达式中， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合取值范围， ∴当时，线段长取最大值， 为， 所以，线段长的最大值为． 9．如图在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，当轴时，连接，已知点M为线段上的一个点，过点M作直线轴交抛物线于点N；当点M的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)若，将该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分记为图象G，设图象G的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，当时，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2)点M的坐标为时，线段的长度最大，最大值为 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值等知识，熟练掌握这些知识是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设，则可得M的坐标，从而可表示出，即可求得其最大值，从而求得点M的坐标； （3）确定抛物线的对称轴为直线，分；；三种情况考虑即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵轴，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把点A、P的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴M的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； 此时点M的坐标为； （3）解：抛物线，其对称轴为直线，最大值为4； 当时，如图2-1； 此时图象G的最低点为点B，最高点为点P， ∴，则，不合题意； 当时，如图2-2； 过点B作y轴的垂线交抛物线于点E，由（2）知，点E的横坐标为2， 此时图象G的最低点为点B或点E（P与E重合时），最高点为抛物线的顶点C， ∴， 则； 当时，如图2-3； 此时图象G的最低点为点P，最高点为抛物线的顶点C， ∴， ∴，不合题意； 综上，满足条件的m的取值范围为． 10．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①存在，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 11．如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题、相似三角形、线段差的最大值，数形结合与构造辅助线是解题的关键． 12．如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点在这条抛物线上，点的横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若，则的取值范围是_____； (3)当抛物线上、两点之间部分最大值和最小值的差为时，求的值； (4)当点在第一象限时，连接、，以、为邻边构造平行四边形，当对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）将点和点代入得到方程组，求得b、c的值即可解答； （2）先把抛物线解析式化成顶点式即可确定最大值，然后再求得、的函数值，即可求得y的取值范围； （3）根据二次函数的性质可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，点在抛物线上关于对称轴对称的点坐标为；对m分、、、四种情况解答即可； （4）如图：由题意可知：、，，设，由平行四边形的性质可得；运用待定系数法求得所在的直线方程为，①如图：当点P在对称轴的左侧，即时，延长交y轴于C，过B作轴交于D，易得，则；再证明可得，则，再分和两种情况求解即可；②如图：当点P在对称轴的右侧，即时，延长交y轴于C，过B作轴交与D，对称轴与分别相交于点E、M、F，然后根据①的思路求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，有最大值4； ∵当时，；当时，； ∴当，则的取值范围是． （3）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点在抛物线上关于对称轴对称的点坐标为， 如图：当时，最高点为A，最低点为P，即最大值为3，最小值， 则最大值和最小值之差， 解得：（不符合题意舍去）或； 当时，最高点为点P，最低点为A，即最大值为，最小值3， 则最大值和最小值之差， 解得：（不符合题意舍去）或； 当时，最高点为顶点，最低点为A，即最大值为4，最小值3， 则最大值和最小值之差，不符合题意； 当时．最高点为顶点．最低点为P，即最大值为4，最小值为， 则最大值与最小值的差明显大于1，不符合题意． 综合上述，当或时，、两点之间部分最大值和最小值的差为． （4）解：如图：由题意可知：、，，设， ∵以、为邻边构造平行四边形， ∴，解得：，即， 设所在的直线方程为， ，解得：， ∴所在的直线方程为， ①如图：当点P在对称轴的左侧，即时，延长交y轴于C，过B作轴交于D， ∴， ∴， ∴； ∵平行四边形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为， ∴当， ∴，解得：（不符合题意舍去）； 当， ∴，解得：（不符合题意舍去）； ②如图：当点P在对称轴的右侧，即时，延长交y轴于C，过B作轴交与D，对称轴与分别相交于点E、M、F， ∴四边形是平行四边形， ∴ 由①可知：，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴； ∴，， ∴，， ∴ ， ∴当， ∴，解得：； 当， ∴，解得：（不符合题意舍去）； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 14．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 15．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为； （3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 16．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)四边形面积的最大值为，P的坐标是 (3)Q的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）设，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，连接，设，根据四边形面积列出二次函数表达式，再根据二次函数性质求出最值及坐标即可； （3）设，有，分三种情况：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，分别列方程解得t的值，即可求出相应Q的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， 设，把代入得： ， 解得：， ∴， 则抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图： 设， 在中，令得， 令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积， ， ， ∴当时，四边形面积最大为， ∴当时，， ∴P的坐标是； （3）解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得是直角三角形，理由如下： 如下图， 由抛物线的对称轴为直线，设， ∵， ∴， 当为斜边时，， ∴， 解得或， ∴此时Q坐标为或； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或或． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)连接，当轴时，求点的坐标； (3)若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值； (4)连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）当轴时，则点和点的纵坐标相等，即点和点关于对称轴对称，根据二次函数的性质即可解答； （3）表示出点和点的纵坐标，当线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，即点和点的纵坐标之差等于横坐标之差，列出方程即可解答； （4）首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，然后分类讨论，分别画图即可解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线， ，， ， 则抛物线对应的函数解析式为； （2）解：当轴时，点和点的纵坐标相等， 点和点都在该抛物线上， 点和点关于对称轴对称， 可得， 解得； （3）解：∵点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、 代入解析式得，，， 如图，过点作轴，过点作轴，则， ，线段平行于两坐标轴夹角的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得； （4）解：∵ ∴当时，， 解得或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图，当点在轴下方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点恒在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大，先增大后减小，与题意不符，故该情况不存在； 如图，当点在轴上方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 当，即时， 点在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小，符合题意， 此时； 如图，当点在轴上方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 如图，当点在轴下方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 综上，． 18．在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)点的坐标为； (3)存在，点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【详解】（1）解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图1，设点，则，   ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； （3）解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况：    ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 20．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．，为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在实数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知是二次函数图象上异于点，的一点，作△．若直线与线段，分别交于点，，且，请求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）可知，，据此即可求得答案； （3）过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知，根据题意可知，点的坐标为，求得直线的表达式为，同理可得，直线的表达式为，直线的表达式为，得到，可知，求得． 【详解】（1）解：二次函数图象经过，，三点，可得 解得 所以，二次函数表达式为． （2）解：存在， 因为，在二次函数图象上， 可得，． 根据题意，得． 变形，得． 解得． （3）解：如图所示，过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知． 根据题意可知，点的坐标为． 设直线的表达式为， 可得 解得 所以，直线的表达式为， 同理可得，直线的表达式为， 直线的表达式为． 直线和直线均可看作由直线平移得到，所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 因为直线与线段相交于点，可得 ． 解得． 所以点的横坐标为． 所以，可得 ． 解得，． 所以或． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一点．连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)直线解析式为． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，代 入求得系数的值即可； （）过点作，与轴交于点，由可求，，根据的对应边成比例和勾股定理得到，然后利用待定系数法可得到直线解析式为． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，与轴交于点， ∵，， ∴， 设直线的直线解析式， ∴，解得：， ∴直线的直线解析式， ∵， 设，则， ∴，即，解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点．点P在此抛物线上，其横坐标为m；连接并延长至点Q，使．当点 P 不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点 M． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当 的边经过此抛物线的最低点时，求点Q 的坐标． 【答案】(1) (2)不变， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴此抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：面积比保持不变，为；设交y轴于点 D，根据题意可得， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：如图1，经过最低点，即经过顶点，该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为 ，该抛物线的顶点坐标为， ， ，且相似比为 ， 根据顶点纵坐标可得，， 则 ∵横坐标为， ∴纵坐标为， ∴， 即 解得 ， 当 时，如图1所示，此时 ， 点Q 在第四象限，故 ， 当 时，如图2所示，此时点 P 在第一象限，点Q 在第三象限，此时 ，故 ； 综上， 或 . 23．二次函数的图象为，二次函数的图象为，． (1)当取不同值时，总会过两个定点，其中一个定点，请写出另外一个定点坐标______； (2)与y轴的交点纵坐标为，顶点纵坐标为，与y轴的交点纵坐标为，顶点纵坐标为， 求证：的值与，都无关； (3)点在上，点在上，当时，总成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）分别求出、、、，代入即可证明； （3）将化为顶点式，根据二次函数的最值讨论，进而解题． 【详解】（1）解：当时，二次函数， ∴该定点为； （2）证明：∵， ， ∴，，，， ∴， ∴的值与，无关； （3）解：由（2）知，二次函数的对称轴为， ， 设，则， 当时，在时取到最小值，在时取到最大值， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴总成立， ∵， ∴，， ∴． 24．在平面直角坐标系中，记二次函数的图象的顶点为，其图象上存在，两点，使得，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．已知函数（m为实数）． (1)当时，随着的增大而增大，点，都在该函数图象上，求的最大值； (2)若，“垂动点函数”图象的顶点为，点在“垂动点函数”的图象上，点的“垂动点”是点． ①求证：直线过定点； ②求的外接圆的圆心到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析． 【分析】本题是关于二次函数的综合压轴题，涉及函数性质、几何图形（直角三角形、外接圆）、定点问题以及点到直线的距离等知识点。 （1）根据抛物线解析式的对称轴和点，是关于抛物线对称轴的对称，由此得出，进而求出，再根据当时，随着的增大而增大，确定，把点代入函数解析式可得，由此求出，取得最大值. （2）①根据已知求出抛物线解析式，再将抛物线平移，将顶点平移到原点，从而简化函数解析式，可得平移后的解析式为，设平移后点，点，直线解析式为，则，，由此可得，再构造K字形相似得出，可得，从而求出，由此可得直线解析式为，当，，故直线一定经过点， ②由是直角三角形，直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，进而求出圆心的轨迹是抛物线，解析式为，再求出直线与之相切时，求出此时直线与直线距离即是所求最小值. 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随着的增大而增大， ∴必须在直线的左侧或重合，即， ∵点，都在该函数图象上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴点，， 把点代入函数解析式：， ∴， 又∵，， 当取最大值时，，取得最大值．． （2）解：若，此时函数解析式为：， ∴顶点为， 将抛物线向左移1个单位，向上个单位，可得抛物线函数解析式为， 设平移后点，点，直线解析式为， 则，， 联立二次函数解析式和直线解析式，得， 整理得：， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴直线解析式为，当，，故直线一定经过点， 将定点抛物线向右移1个单位，向下个单位，可得原直线经过定点， ②∵是直角三角形， ∴直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点， 在①平移后得抛物线上， ，， 由①得， ∴ 圆心的轨迹是抛物线，其函数解析式为． 设直线与相切， 联立解析式得：， 整理得：， ∵方程有且只有一个实数解， ∴，解得：， 直线与抛物线相切， 直线与抛物线按相同方式平移可得新直线解析式为：， 如图，直线交轴于，交轴于，过点作垂直直线于， ∴，， 又∵直线与轴的夹角等于， ∴是等腰直角三角形， ∴． 即直线和抛物线平移后，圆心到直线距离的最小值为， 故的外接圆的圆心到直线的距离的最小值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数与二次函数解析式，抛物线平移，抛物线与一次函数交点问题，根与系数关系，熟练掌握利用平移简化函数解析式和利用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键， 25．如果抛物线与x轴的其中一个交点到坐标原点的距离等于抛物线与y轴的交点到原点的距离，那么我们称这条抛物线为“等距抛物线”，特别地，如果抛物线与x轴没有交点，则该抛物线不是“等距抛物线”．已知二次函数的图象是“等距抛物线”． (1)求抛物线的函数表达式及其与x轴的交点坐标； (2)设一次函数的图象与等距抛物线的交点的横坐标分别为，且，写出一个符合条件的一次函数表达式，并说明理由； (3)将等距抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折，与剩余图象构成曲线C，已知曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个“整点”（横、纵坐标都是整数的点称为“整点”），请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，交点坐标为 (2) (3) 【分析】本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数的整点问题． （1）当时，，根据“等距抛物线”得当时，或，进而得到与x轴的交点坐标，再利用待定系数法求即可求出二次函数解析式； （2）由，得一次函数的图象过定点．将代入，得，要使，则需点在一次函数的图象的下方，即 ，解得且，则时符合条件； （3）将等距抛物线的x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的曲线C，如答案图所示，当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有6个整点；当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个整点，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象是“等距抛物线”，且当时，， ∴当时，或， ∴或， 解得（舍去）或， ∴抛物线的函数表达式为，与x轴的交点坐标为； （2）一次函数的表达式可以为（答案不唯一）．理由如下： 由（1）可知． ∵， ∴一次函数的图象过定点． ∵抛物线过点， ∴． ∵， ∴将代入，得， 要使，则需点在一次函数的图象的下方， 即 ， 解得且， 则时符合条件， ∴一次函数的表达式为符合条件； （3）由（1）知，等距抛物线的表达式为， 将等距抛物线的x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的曲线C如图所示， 当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有6个整点； 当时，曲线C与直线所围成的封闭图形（不包含边界）内有10个整点， ∴m的取值范围为．    学科网（北京）股份有限公司 $专题06二次函数综合 考点目录： 1.待定系数法求解析式：己知两点或顶点等条件，求抛物线表达式。 2.几何图形判定：给定点坐标，判断构成的三角形（等腰、直角）或四边形（平行四边形、菱形、矩 形)的形状。 3.线段长度、图形面积问题：用坐标表示线段长（特别是平行于坐标轴的线段），求三角形或多边形的 面积，常涉及面积最值（常转化为二次函数最值问题）。 4.函数值比较：给定自变量范围，比较因变量大小。 一、解答题 1.若抛物线G与C,顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称C与C,互为“李生抛物线”. (1)抛物线y=x2+2x-3与y=-x2+2x-1互为"孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线y=x2+2x-3的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线C:y=mx2-(m-1)x-2m,C2:y=(m-1)x2+(m+3)x+2m互为“孪生抛物线”. ①求常数m的值； ②点A,B分别是抛物线C与C,上的动点（位于两顶点之间），且直线AB平行y轴，求线段AB长的最 大值 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+2（b为常数)经过点(3，-1)，点A的坐标为(m,1-1),过点 A作AB⊥x轴交抛物线于点B,点C为抛物线对称轴上一点，且AC∥x轴，连接BC. (1)求抛物线的函数表达式： (2)当0≤x≤5时，y的取值范围是： B)A、B两点之间的距离为d,当d=时，求m的值： 4 (4)已知点P的坐标为1,0)，当直线AP将ABC的面积分成1：2两部分且m>0时，直接写出m的值. 3.已知抛物线y,=ax2+bx+c,(a,b,c为常数，a<0,b<0,c>0),抛物线与x轴相交于A,B两 点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,顶点为P, (1)若a=-1,b=-2,c=3. ①求点P的坐标： ②直线x=m(m是常数，-3<m<-1)与抛物线相交于点M,与AC相交于点N,当MN取得最大值 时，求点M,N的坐标： (2)将抛物线片绕点0旋转180°后得到抛物线2，抛物线2与y轴交于点D，顶点为E，抛物线4的对 称轴为直线4，抛物线的对称轴为直线马.有点F的坐标为(6,0)，动点Q在直线4上，过点Q作 QT∥x轴与直线Z交于点T,连接QD,DT.若2a-b=0,0B=OC-2,当FQ+QT+DT取得最小 值2+213时，求a的值. 4.定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”， 例如A(α，2a)就是"友好点”：若二次函数图象的顶点为"友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函 数”，例如二次函数y=(x-1)2+2就是“友好二次函数” (1)直线y=3x-1上的“友好点”坐标为； (2)若"友好二次函数”y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式： 3)若友好二次函数”y=X+bx+c的图象过点(-2,8，且顶点在第一象限.当m-1≤x≤m时，这 4 个“友好二次函数"的最小值为6，求m的值 5.定义：我们把横、纵坐标互为相反数的点叫做“互反点”. (1)求二次函数y=x2的"互反点"的坐标： (2)已知二次函数y=x2+mx-m. ①若该函数只有一个“互反点”求m的值； ②若该函数在-3≤x≤2的范围内有两个不同的“互反点”，则m的取值范围是_ 6.如图，抛物线y=am2+5x+c与x轴交于点4，B两点，直线y 号+8与抛物线交于点A及点C3 ,点P为抛物线上一动点，其横坐标为m,顶点为F. VA M AOE DB 图1 图2 (1)求抛物线解析式及顶点坐标F; (2)如图1，若点P为抛物线对称轴右侧x轴下方的一动点，连接AF、BF、PF,PF交线段AB于点M ,N是AF上一动点（均含端点），连接MN,若∠FMN=∠FBA并且FM=MN时，求点P的坐标 (3)如图2，若点P为x轴上方的抛物线上的一动点，点N是点P关于对称轴的对称点，连接PN与直线 AC交于点M,过点M作ME⊥x轴于点E,过点N作ND⊥x轴于点D,设矩形MNDE的周长为C. ①求C与m的函数关系式； ②结合函数图像探究说明，当C随m的增大而增大时m的范围. 7。如图，在平面直角坐标系中，直线)=方x+2与轴交于点4，与y轴交于点B,抛物线 x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C. 2 V D D (1)求拋物线的解析式. (2)点P是拋物线对称轴上的动点，是否存在点P使△PBC的周长最小，若存在，求点P坐标，若不存 在，说明理由， (3)D为直线AB上方抛物线上一动点. ①求△ABD面积的最大值： ②连接DC交AB于点E,记9，=S,S,=SAc,求令的最大值 ③是否存在点D,使得∠DBA=∠AB0？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由， 8.如图1，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于 点C 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标： (2)若点P为抛物线上一动点（点P不与点A,B,C重合）.设点P的横坐标为m ①设抛物线上点P,C之间的部分（含P、C)为图象C,当图象C的最高点和最低点的纵坐标之差为8 时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E,求线段PE长的最大值： 9.如图在平面直角坐标系中，点A(-1,0),B(0,3)在抛物线y=-x2+bx+c上，该抛物线的顶点为C.点P 为该抛物线上一点，其横坐标为m. A M /0 (备用图) (1)求该抛物线的解析式： (2)如图，当BP⊥y轴时，连接AP,已知点M为线段AP上的一个点，过点M作直线MN⊥x轴交抛物 线于点N;当点M的坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？ (3)若m>0,将该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P)的部分记为图象G,设图象G的最高点 和最低点到x轴的距离分别为d、n,当d-n=1时，请求出m的取值范围， 了抛物线 10.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-3,0)，点C在y轴正半轴，且tan∠CA0= y=-x+bx+c经过小、C两点，与X轴的另一交点为点B. 2 E B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①是否存在点D,使∠DCA等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由. ②连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S,△BCE的面积为S2,当点D的横 坠标为m时，求令的值（用含m的代数式表示 11.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点C. V (1)求抛物线的解析式； (2)连接AC,点P是直线AC上方抛物线上一动点，当四边形ABCP的面积最大时，在x轴上是否存在 一点Q,使得PQ-CQ的值最大，请求出此时P的坐标及PQ-CQ的最大值： (3)在(2)的条件下，将原抛物线沿射线AC方向平移2√2个单位后得到新抛物线y,M是新抛物线 对称轴上一点，N是新抛物线上一点，使得P、C、M、N四点构成的四边形是平行四边形，若存在， 请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由 12.如图①，已知抛物线y=a2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 图① 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)求点C坐标和ABC面积； (3)若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD,交BC于点E,设S=S△BED-S△4CE,S是否 存在最大值？如果存在求出此时点D的坐标并求出此时S的最大值，否则请说明理由. 13.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,3)和点B(3,0),点P在这条抛物线上，点P的 横坐标为m. (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (2)若0≤x≤3，则y的取值范围是； (3)当抛物线y=-x2+bx+c上P、A两点之间部分最大值和最小值的差为；时，求m的值： (4)当点P在第一象限时，连接PA、AB,以PA、AB为邻边构造平行四边形PABN，当对称轴把平行 四边形PABN分成的两部分图形面积比为1：9时，直接写出m的值. 14.己知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0)和C(0,3). 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不 存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标.（不写过程， 直接写坐标) 15.如图，已知抛物线y=ax2+bx+6与坐标轴分别交于点A,B,C三点，点B(6,0),点C(-2,0),点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求△PAB面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P作PE川x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是 否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 16.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且A(-1,0),对称轴为 直线x=2. B (1)求该抛物线的解析式： (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形PBAC面积的最大值，并求出此时P点的坐 标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由. 17.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c与y轴交点的纵坐标为3，对称轴 为直线x=1,点P和点Q都在该抛物线上，它们的横坐标分别为m、m+2. (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)连接PQ,当PQ∥x轴时，求点Q的坐标； (3)若线段PQ平行于两坐标轴夹角的平分线时，求m的值； (4)连接P9,以PQ、PO为邻边作平行四边形PORO,当抛物线在平行四边形PORO内部的图象y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围， 18.在平面直角坐标系x0y中，一条抛物线与x轴交于点A(-2,0)、点B(4,0),与y轴正半轴交于点C,顶 点为点D,且OB=OC. yh 3 2 1 -3-2-1,01234563 -2 (1)求该抛物线的表达式和点D的坐标； (2)P是抛物线上位于第一象限内的一点，且∠PAB+∠CAB=90°， ①求点P的坐标； ②将该抛物线向右平移，点P移到点Q,新抛物线的顶点为M，如果新抛物线上存在点N，使得四边 形PMQN是平行四边形，求平移的距离 19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴相交 于C(0,3)点，直线y=x+2与抛物线交于D、E两点. B (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线ED上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交ED于Q点，当PQ最长时，求此时点P 的坐标； (3)抛物线顶点为M,在平面内是否存在点N,使以D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请求出N点坐标；若不存在，请说明理由 20.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3). M(m,片)，N(m+2,y2)为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上两点. M B B 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)是否存在实数m,使得y,-2y2=-12.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； (3)已知P1-m,y)是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上异于点M,N的一点，作△MNP.若直线 BC与线段MN,MP分别交于点D,E,且S.MED:S因边彩EPwp=l:3,请求出所有满足条件的m的值. 21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6交x轴于点A-4,0),B(2,0),在y轴上有一点 E(0,-2),连接AE. (1)求二次函数的表达式： (2)点D是第二象限内抛物线上一点.连接DE,若an∠AED=, 求DE所在直线的表达式。 22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx-1经过点(2，-1.点P在此抛物线上， 其横坐标为m;连接PO并延长至点Q,使OQ=2PO.当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂 线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M. o/ 备用图 (1)求此抛物线对应的函数解析式. (2)△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变 化，说明理由。 (3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标. 23.二次函数y=a,x-5)(x+1)+2的图象为，二次函数y=a2x-5)(x+1+2的图象为2，a1≠a2. (1)当，取不同值时，总会过两个定点，其中一个定点(5,2)，请写出另外一个定点坐标： (2)1与y轴的交点纵坐标为C,顶点纵坐标为d,马与y轴的交点纵坐标为c2,顶点纵坐标为d, 求证：4二的值与4,4，都无关 C2-C1 (3)点(n,y)在上，点(n,y2)在上，当1≤n≤4时，1≤2-y,≤4总成立，求a2-a的取值范围. 24.在平面直角坐标系x0y中，记二次函数的图象的顶点为M,其图象上存在P,Q两点，使得