专题02 规律发现与几何初步 2026年中考数学二轮重难点突破安徽专用

规律探究、材料阅读或简单几何 考点目录： 1． 图形/数字规律探究：根据给定的点阵、图形拼接、数字序列等，探究第n个图形的数量关系，并用代数式表示。 2． 简单的几何作图与计算： · 网格作图：在正方形网格中，进行图形的平移、对称、旋转（中心对称）作图，或利用网格求三角函数值、证明线段关系。 一、解答题 1．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 2．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 3．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 4．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 5．（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查二次根式的化简计算，规律总结，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）逐个计算，最后根据算术平方根计算即可； （2）根据（1）中的①②③，找出规律，并总结出即可； （3）根据（2）中的规律计算，即可解答． 【详解】解：（1）①  ， ②， ③， …… （2）由（1）得 ①  ， ②， ③， …… 按此规律，可得 第n个根式为； （3） ． 6．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 特殊发现 （1）①填空：；______，______； ②填空：；______，_____． 简单猜想 （2）从上面的填空题可猜想：若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数_______（填写“能”或“不能”）被3整除． 归纳验证 （3）有一个三位数（a，b，c分别为其百位，十位，个位上的数字）．若可以被3整除，试说明这个三位数可以被3整除． 【答案】（1）①5；26；②7；256；（2）能；（3）见解析 【分析】本题考查通过观察、分析特殊情况来归纳总结规律，并对规律进行验证． （1）直接计算出相应的结果即可； （2）根据（1）中计算的结果，归纳总结出规律； （3）将三位数表示为，然后通过变形，结合已知条件能被3整除来证明． 【详解】解：（1）①：； ②：； （2）若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数能被3整除， 验证如下： 如（1）中两位数18，，各位数字之和9能被3整除，则这个数18能被3整除； （3）已知这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数可以表示为， 将变形为，进一步整理为 ， 因为，所以能被3整除， 又因为已知可以被3整除， 由于和都能被3整除，所以它们的和 ，即也能被3整除，也就是这个三位数可以被3 整除． 7．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，设线段第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点； (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第次           第次           第次           第次           第次 ______ ______                (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式； (3)类比猜想：______，______，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是______． 【答案】(1)，； (2)，过程见解析； (3) ；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差及规律型：数式的规律问题，找到数式的规律是解题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是． 故答案为：，，． 8．小学已经学过自然数被整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．在课堂中，同学们完成了三位数被整除规律的证明，证明过程如下： 设一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，且这个三位数记为， 因为， 其中能被整除， 所以，只要能被3整除，那么就能被3整除． 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位数，如，，，…等，她发现了如下特征： 能被7整除，则有，能被整除； 能被整除，则有，能被整除； 不能被整除，则有，不能被整除； …… (1)类比例子中的特征，下列能被整除的是______；                         (2)小颖根据以上探究过程，猜想：如果______可以被整除，那么就能被整除（请用含，，的代数式表示）； (3)请你对（2）中小颖猜想的正确性进行证明． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了运用类比的思想解决问题、有理数的混合运算、整式的加减运算． 根据阅读材料中提供的解题思路进行判断即可； 根据中的规律可知：如果能被整除，那么就能被整除； 设一个三位数的百位为，十位为，个位为，可得：，其中能被7整除，所以只要能被整除，那么就能被整除． 【详解】（1）解：，能被整除， 能被整除； ，不能被整除， 不能被整除； ，能被整除， 能被整除； 能被整除的是； （2）解：由中的规律可知：如果能被整除，那么就能被整除； （3）解：设一个三位数的百位为，十位为，个位为，且这个三位数记为， 其中能被7整除， 只要能被整除，那么就能被整除． 9．某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 10．某块空地，计划用正方形瓷砖（图1）铺一个长方形区域．1块瓷砖的图案中有1个黑色正方形，2块瓷砖铺成的图案（图2）中有3个相同的黑色正方形． (1)若把8块瓷砖铺成一行，则黑色正方形有多少个？ (2)如图3，若把瓷砖铺成两行，每行块，那么黑色正方形能否是123个？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (3)若把瓷砖铺成行，每行块（，均为正整数，且），已知每块瓷砖的边长为1米，长方形区域的面积为55平方米，那么铺成的图案中有___________个黑色正方形． 【答案】(1)铺成的图案中黑色正方形的个数为15个 (2)可以是123个，此时的值为25 (3)109或149 【分析】本题考查了图形的变化类及一元一次方程的应用，找到变化规律是解题的关键． （1）根据图形算出前几个图形中含有黑色正方形的个数，找到规律可求解； （2）确定第列瓷砖铺成的图案中有个相同的黑色正方形，再建立列方程求解． （3）先确定正方形瓷砖有块，结合，可得，或，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 1块瓷砖的图案中有1个黑色正方形， 2块瓷砖铺成的图案中有3个相同的黑色正方形． 3块瓷砖铺成的图案中有5个相同的黑色正方形． n块瓷砖铺成的图案中有个相同的黑色正方形． ∴8块瓷砖铺成一行，则黑色正方形有个． （2）解：根据题意得： 1列瓷砖的图案中有3个黑色正方形， 2列瓷砖铺成的图案（图2）中有个相同的黑色正方形． 3列瓷砖铺成的图案中有个相同的黑色正方形． 列瓷砖铺成的图案中有个相同的黑色正方形． 当黑色正方形是123个时， ∴， 解得：， ∴黑色正方形可以是123个，此时的值为25． （3）解：∵每块瓷砖的边长为1米，长方形区域的面积为55平方米， ∴正方形瓷砖有块， ∵， ∴，或，， 当，时， 由（1）得：黑色正方形有：（个）， 当，时， 当时，图案中有个相同的黑色正方形， 当时，图案中有个相同的黑色正方形， 当时，图案中有个相同的黑色正方形， 每行个时，图案中有个相同的黑色正方形， 当时，图案中有个相同的黑色正方形． 综上：把瓷砖铺成行，每行块（，均为正整数，且），那么铺成的图案中有或个黑色正方形． 11．综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 【答案】（1）②25；③；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）②； 观察，得， 则， ∴ ， ； 故答案为：25；． （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得． （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律可得． 12．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图，为了计算的值，我们构造以下图形共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图，添加图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得，用此方法，可求得_． (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则_，_； ②_（用含的代数式表示）． (3)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律：_． (4)如图是一个边长为的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【分析】本题考查规律探究与归纳，代数式表示规律，掌握数形结合思想是解题关键． （1）用补全图形的方法，将数列的和转化为矩形的点数进行计算； （2）观察点阵中点的数量规律，归纳出从开始的连续奇数之和等于首末项之和的一半的平方； （3）通过图形面积的累加，归纳出连续偶数之和等于项数与项数加的乘积； （4）用正方形面积的连续三等分与截取，将数列的和转化为总面积减去最后剩余图形的面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，若要计算，添出另一半后的图形有个点， 则． 答：． （2）解：根据题意可知， ， ， ， ，， ． 答：，，． （3）解：第1图：， 第2图：， 第3图：， 则． 答：． （4）解：正方形边长为，则其面积为，求可画图如下： 第一步：将正方形三等分，取其中份，面积为； 第二步：将剩下的正方形再三等分，取其中份，面积为； 第三步：将剩下的正方形再三等分，取其中份，面积为； 第四步：将剩下的​正方形再三等分，取其中份，面积为， 这四部分面积之和即为所求式子的值，而它等于正方形总面积减去最后剩下的一小块面积 ， 则． 答：． 13．如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7；12；17 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形规律探究，通过观察图形棋子数的变化，得到第个图形需要用的棋子的枚数，再利用规律解决问题． （1）直接数出每个图形的棋子数； （2）观察棋子数的变化规律，用含的代数式表示； （3）假设存在，得到方程，解方程，判断解是否为正整数． 【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚． 故答案为：7；12；17； （2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子， 第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即， 第三个图形用了17枚，即， 故摆第个图形需要用的棋子枚数为； 故答案为：； （3）解：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚， 则，解得， ∵为正整数，而73.2不是正整数， ∴不存在这样的第个“山”字． 14．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律． 将棱长为的正方体按如图方式放置，对于第1个图，很容易得出其表面积为．在计算第2个图的表面积时，一部分同学在逐个数小正方形的个数，小亮觉得一个一个数的方法容易重复或漏掉，而且不易观察规律，通过思考他发现可以用学过的“从三个方向看物体的形状”的知识解决这个问题，具体做法如下： 从正（后）面看，小正方形的个数有：个： 从左（右）面看，小正方形的个数有：个； 从上（下）面看，小正方形的个数有：个； 所以第2个图的表面共有个正方形， … 进而可以求出第2个图的表面积． (1)第2个图的表面积为______； (2)求第3个图的表面积； (3)第个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为______个；（结果用含的代数式表示） (4)试着求出第个图的表面积．（结果用含的代数式表示，不用化简） 【答案】(1)34 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了图形类规律，用代数式表示图形类规律，解题的关键是正确找到规律进行求解． （1）由题干可得第2个图的表面共有个正方形，即可求解表面积； （2）根据题干方法求出小正方形的个数，即可求解表面积； （3）依次数出前3个图形最下面一层组合体每行的正方体个数，据此找出规律即可； （4）找到规律即可求解． 【详解】（1）解：第2个图的表面积为， 故答案为：34； （2）解：第3个图的表面积为， （3）解：第1个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为； 第2个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为； 第3个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为； ∴第个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为个， 故答案为：； （4）解：第1个图的表面积为； 第2个图的表面积为， 第3个图的表面积为， 第个图的表面积为． 15．如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大”字中有7颗围棋子，第2个“大”字中有11颗围棋子，第3个“大”字中有15颗围棋子，……，按照这样的规律摆下去． (1)第5个“大”字中有________颗围棋子； (2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大”字中有多少颗围棋子？ (3)若第n个“大”字中有2027颗围棋子，求n的值． 【答案】(1) (2)颗，颗 (3) 【分析】本题考查图形数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． （1）根据题意得到，后一个图形比前一个图形多颗围棋子，据此计算即可； （2）由（1）可得规律，第n个“大”字中有颗围棋子，令进行计算求解即可； （3）令，求解计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知， 第1个“大”字中有颗围棋子， 第2个“大”字中有颗围棋子， 第3个“大”字中有颗围棋子， 则第5个“大”字中围棋子的数量为：颗， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 第n个“大”字中围棋子的数量为：颗， 第100个“大”字中围棋子的数量为：（颗）， 答：第n个“大”字中围棋子的数量为颗，第100个“大”字中有颗围棋子； （3）解：令， 解得， 答；n的值为． 16．观察下面三行数： ，4，，16，…；① 1，，4，，…；② ，5，，17，…；③ (1)第①行数的第6个数为___________，第②行数的第6个数为___________； (2)若设第①行的第个数是，则第②行的第个数是___________，第③行的第个数是___________；（用含的式子表示）； (3)设分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查数字的规律，熟练掌握数字的规律是解题的关键； （1）根据题意可得到第①行数的规律为， 第②行数的规律为，分别代入即可得到答案； （2）观察第③行数，第 n 个数是，结合（1）中规律即可得到答案； （3）由（1）中规律分别求出第①行的第个数：第②行的第个数，第③行的第个数，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：首先，观察第①行数，可以发现，第 n 个数是，因此，第6个数为： 接下来，观察第②行数，可以发现，第 n 个数是，因此，第6个数为：， 故答案为：，． （2）解：由（1）可得，第①行数，第 n 个数是；第②行数，第 n 个数是， 观察第③行数，第 n 个数是， 设第①行的第个数是，则第②行的第个数是，第③行的第个数是 故答案为：；． （3）解：设分别为第①②③行的第2025个数， ∴，， ∴ 17．定义新运算：，． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_（请填序号）； ①，；②，． (2)计算：； (3)已知由两个连续的非零整数，组成的数对是一个“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的计算，理解“隔一数对”运算的法则，掌握分数的计算是关键． （1）根据“隔一数对”计算方法判定即可； （2）根据“隔一数对”计算方法展开，结合分数的混合运算法则计算即可； （3）根据“隔一数对”计算方法转换成分数的混合运算，进行计算即可． 【详解】（1）解：，，若，则称有理数，为“隔一数对”， ∴①，， ，， ∴①是“隔一数对”； ②，， ∴，， ∴②不是“隔一数对”； 故答案为：①． （2）解： ． （3）解： ． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后的； (3)连接，请直接写出的长． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析， 【分析】本题考查作图——旋转变换，中心对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，中心对称变换的性质． （1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，连接， ． 2．如图，已知三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出将先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的； (2)请画出将绕点O按逆时针方向旋转后得到的； (3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，旋转和轴对称，熟知平移，旋转和轴对称的相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，根据网格的特点即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 3．如图，在直角坐标系中，点，的坐标为，． (1)画出绕点旋转后所得的图形，并写出点，的坐标． (2)求点所经过的路径长． 【答案】(1)见解析，， (2) 【分析】本题主要考查的是图形的变换—旋转变换、弧长公式、勾股定理等知识点，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可完成作图；再直接确定点，的坐标即可； （2）先用勾股定理求得的长，然后再运用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：为所求三角形．则，． （2）解：由题意可得：， 点所经过的路径长为． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是_． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请回答下列问题． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标_____； (2)点是轴上一点，在轴上画出点，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查基本作图，在网格中画轴对称图形和求图形的面积，最短路径问题，正确作图是解题的关键． （1）分别作点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，即可求解； （2）作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点，即为所求； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； 由图可知，， 关于轴对称的， ； 故答案为：； （2）解：如图，点即为所求； 作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点， 此时最小，则最小，即的周长最小； （3）解：如图，取点，，，连接，，， 由图可得，， ， 则的面积为5． 6．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将y轴向右平移一个单位长度得到直线（如图），关于直线的轴对称图形为． (1)在所给的平面直角坐标系中作； (2)分别写出各顶点的坐标：________，________，______； (3)求的面积． 【答案】(1)见详解； (2)，，； (3)10 【分析】本题考查在坐标系中画轴对称图形，写对称点的坐标，分割法求三角形的面积； （1）找到对应点连接即可； （2）观察图形即可解答； （3）分别过点C、B作直线轴，直线轴，过点A作轴，交直线于点F，交直线于点E，利用计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：观察图形可知，，，； （3）解：分别过点C、B作直线轴，直线轴，过点A作轴，交直线于点F，交直线于点E， 由图可知， ，，， ∴，，，， ∴ 7．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形，并写出、、的坐标． (2)连接和，求的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查用轴对称变换作图、平面直角坐标系内的点与三角形面积；熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先作出关于y轴对称的点、、，再顺次连接可得，最后写出点、、的坐标即可； （2）运用分割法求的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 点 （2）解：的面积． 8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向右平移7个单位长度，请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标___________； (2)在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标__________； (3)观察可知与成轴对称，请画出对称轴直线，并写出直线与轴交点的坐标__________． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别作出的对应点即可； （2）分别作出的对应点即可； （3）观察图形即可得到答案； 【详解】（1）解：将向右平移7个单位得，如图： 由图可知，的坐标为， 故答案为：； （2）解：画出关于轴对称的，如上图， 由图知，点的坐标为； 故答案为：； （3）解：观察与，可知它们关于直线对称， ∴直线与轴的交点的坐标为； 故答案为：； 9．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出向右平移6个单位长度得到的图形； (3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称的性质，平移的性质是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，画出即可； （2）根据平移的规则画出即可； （3）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及点的平移规则左减右加，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：由题意，点经过上述两次变换，对应的点的坐标是． 学科网（北京）股份有限公司 $规律探究、材料阅读或简单几何 考点目录： 1.图形/数字规律探究：根据给定的点阵、图形拼接、数字序列等，探究第n个图形的数量关系，并用 代数式表示。 2.简单的几何作图与计算： ·网格作图：在正方形网格中，进行图形的平移、对称、旋转（中心对称）作图，或利用网格求 三角函数值、证明线段关系。 一、解答题 1.观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：（2+1(2-=1； 第2个等式：（5+25-2)=1： 第3个等式：(2+5)(2-5=1： 第4个等式：（5+25-2=1；… (1)根据以上的规律，写出第8个等式 (2)利用上面的规律比较大小：√5-√4一√4-√3（填>、<或=）； a阳+防际 3 2.已知a,=V2-1,a,=5-√2，a,=4-V5,a4=5-V4,,a,=n+1-n.定义： S,=a,=V2-1,S2=a+a2=(W2-)+(3-V2)=3-1, S,=a+a+4,=(2-)+(3-V2)+(4-5)=√4-1， (1)由上可知：S4= ，S= (2)按此规律类推Sn=a,+a2+a+.+an,试猜想Sn的值，并证明你的猜想. 3.观察下列等式： 15-5. 1万-5. 1√9-√7 8,4g+52ae72ae7+ 2 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式： (2)请写出第个等式： (3)求a1+a2+a3+…+a2o的值. 4.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把√2表示在数轴上点A处，记A右侧最近的整数点为B ,以点B为圆心，AB为半径画半圆，交数轴于点A,记A右侧最近的整数点为B,以点B为圆心， A,B,为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续。 0 1A B A B2 As (1)点B表示的数是 (2)A,B1= 5.(1)计算： 11 0++空 11 ②++ ③1+ 1,1 V+2+4p= (2)观察（1)中的式子，写第n个根式，并化简. (3)请根据(2)的结论计算： 11 11 324+…+ 11 1 1 ++2京++ 22+32+1 20192+2020 6.在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索规律、提出猜想的思想方法 称为归纳 特殊发现 (1)①填空：1+8=3×3,18=3×6；7+8=3×一，78=3×一 ②填空：3+4+8=3×5,348=3×116；7+6+8=3×—，768=3× 简单猜想 (2)从上面的填空题可猜想：若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数（填 写“能”或“不能”)被3整除. 归纳验证 (3)有一个三位数(a,b,c分别为其百位，十位，个位上的数字).若a+b+c可以被3整除，试说明 这个三位数可以被3整除. 7.学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，设线段OP=1.第1次，取 OP的中点P;第2次，取PP的中点B；第3次，取PP的中点E,第4次，取BB的中点P;… PP: ol Po (1)请完成下列表格数据. 次数 PP 线段OP的长 第1次 R=号 0明=0R-R=1-号 第2次 PR- OB=0R+R3=1-1+1 2+22 第3次 PA 0g=0R-g=1-+5-1 -222-23 第4次 R- OP =OP+PP=1- 1,11,1 2+2223+24 第5次 … … (2)小明对线段0P,的表达式进行了如下化简： 1111 因为o那=1-222+' 所以20n=22-1+号+ 两式相加，得30P=2+2· 1 所以0R子 请你参考小明的化简方法，化简OP的表达式； 3)类比猜想：PP,=一，OP,=一，随着取中点次数的不断增大，OP,的长最终接近的值是 8.小学已经学过自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就 能被3整除.在课堂中，同学们完成了三位数被3整除规律的证明，证明过程如下： 设一个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,且这个三位数记为abc, 因为abc=100a+10b+c=（99a+9b)+(a+b+c)=333a+3b)+a+b+c, 其中333a+3b)能被3整除， 所以，只要(a+b+c能被3整除，那么abc就能被3整除. 学习结束后，小颖同学继续探究三位数被7整除的规律，她采用归纳的策略，先列举一些简单的三位数， 如182,364,576，等，她发现了如下特征： 182能被7整除，则有18-2×2=14,14能被7整除； 364能被7整除，则有36-4×2=28,28能被7整除： 576不能被7整除，则有57-6×2=45,45不能被7整除； … (1)类比例子中的特征，下列能被7整除的是 ①371 ②457 ③756 (2)小颖根据以上探究过程，猜想：如果 可以被7整除，那么abc就能被7整除（请用含a,b,c 的代数式表示)； (3)请你对(2)中小颖猜想的正确性进行证明. 9.某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆， 图4中有22个圆，那么图n(n为正整数)中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究. ⊙ 0983oo ① ⊙ oo oo o日3oo 00 o8。 0⊙ ⊙⊙ 图1 图2 图3 图4 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 图n 个数 y 11 22 b 变化 1+3 1+3+7 1+3+7+11 1+3+7+11+15 航航同学又对这个数字变化进一步分析： 1=1; 1+3=1+(1×4-1: 1+3+7=1+(1×4-1+2×4-1: 1+3+7+11=1+(1×4-1+(2×4-1)+(3×4-1: 1+3+7+11+15=1+(1×4-1+(2×4-1)+(3×4-1+(4×4-1): .图n为1+(1×4-1)+(2×4-1)+(3×4-1++「4(n-1)-1=1+4× 1+2+3++m-]-(n-1=1+4×m-m-1+-(n-1=b. 2 通过查阅资料发现： 连续正整数之和为 1+2+3+…+(0n-1)+ n(n+1) n= 2 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 图1 图2 图3 图4 她发现图1中有1个圆，图2中有(1+3×1个圆，图3中有1+5×2)个圆，图4中有1+7×3)个圆，… 于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样. 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即a=一，b=一，C=一 (2)请你解决涛涛同学提出的问题. 10.某块空地，计划用正方形瓷砖（图1）铺一个长方形区域.1块瓷砖的图案中有1个黑色正方形，2块 瓷砖铺成的图案（图2）中有3个相同的黑色正方形. 每行x块瓷砖 图1 图2 图3 (1)若把8块瓷砖铺成一行，则黑色正方形有多少个？ (2)如图3，若把瓷砖铺成两行，每行x块，那么黑色正方形能否是123个？若能，求出x的值；若不能， 请说明理由. (3)若把瓷砖铺成m行，每行n块(m,均为正整数，且m<n),已知每块瓷砖的边长为1米，长方 形区域的面积为55平方米，那么铺成的图案中有」 个黑色正方形 11.综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某 次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数)，每个位 置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为∫(m,.例如，观 察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数∫2,3=9 n m 2 4 ●● e0ee . 3 4 【观察与思考】 (1)观察第1、2行的“点阵"规律，按要求填写： ①f1,4=10: 通过观察归纳得：f1,m=1+2+3+…+n=nn+ 2 ②f(2,5=； ③归纳得f(2,n)= (用含的式子表示)： 【猜想与应用】 (2)基于(1)中发现的规律，学生进一步发现： f1,1+f1,2=f(2,2 f1,2)+f1,3)=f2,3) f1,3)+f1,4)=f2,4 据此归纳： 对任意正整数n,有∫(1，n)+f(1,n+1=∫(2，n+l 设an=f(2,n)-∫(1，n)(n≥2且n为正整数)， 若an+1-an=16,求n的值； 【拓展与归纳】 (3)兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：∫(m,n)=_ (用含m、的式子表示). 12.在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系， 从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来. 888888 6o68888888 ●●●● 88888 ●●1● ●●●● ● ●●● ●●●● 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点.此 图形共有(1+2+3+…+8)个点.如图2，添加图形的另一半，此时共8行9列，有 个点，由此可得 1+2+3+ +8=×1+8×8=36,用此方法，可求得1+2+3+…+50=- 2 (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①1=12， 1+3=22, 1+3+5=32, 则1+3+5+7=-，1+3+5+7+9=-： ②1+3+5+…+(2n-1)=-(用含的代数式表示)， (3)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： (1) (2) (3) (4) 请你画出第四个图，并总结出规律：2+4+6+8+.+2n=- A☆图4是一个选长为的正方形，销倍防图形求子子子+号的值，要家：面出示图，倡威示位 图求出式子的运算结果) 13.如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字. ● ● ● ● ● ●●● ● ●●● ●●● ●●● ● ● ●●● ●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● 图1 图2 图3 图4 (1)摆第一个图形用了 枚棋子，摆第二个图形用了 枚棋子，摆第三个图形用了 枚棋子。 (2按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为 (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为368枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14.归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略.对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入 手，通过分析归纳出一般规律。 第1个 第2个 第3个 将棱长为1cm的正方体按如图方式放置，对于第1个图，很容易得出其表面积为6cm2.在计算第2个 图的表面积时，一部分同学在逐个数小正方形的个数，小亮觉得一个一个数的方法容易重复或漏掉， 而且不易观察规律，通过思考他发现可以用学过的“从三个方向看物体的形状”的知识解决这个问题，具 体做法如下： 从正（后）面看，小正方形的个数有：1+3)个： 从左（右）面看，小正方形的个数有：1+3)个： 从上（下）面看，小正方形的个数有：(3×3)个： 所以第2个图的表面共有4×(1+3)+2×(3×3)个正方形， 进而可以求出第2个图的表面积 (1)第2个图的表面积为 -cm2; (2)求第3个图的表面积； (3)第个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为个；（结果用含的代数式表示） (4)试着求出第n个图的表面积.（结果用含的代数式表示，不用化简） 15.如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大"字中有7颗围棋子，第2个“大”字 中有11颗围棋子，第3个"大”字中有15颗围棋子，，按照这样的规律摆下去. ● ● ● ●●●●●●● ●●● ●●●●● ● ● ●●● ●● ●● ● ● ● ● 第1个 第2个 第3个 (1)第5个“大"字中有 颗围棋子： (2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大"字中有多少颗围棋子？ (3)若第n个“大"字中有2027颗围棋子，求n的值， 16.观察下面三行数： -2,4,-8,16,…① 1,-2,4,-8,…② -1,5,-7,17,…③ (1)第①行数的第6个数为 ,第②行数的第6个数为 (2)若设第①行的第n个数是a,则第②行的第n个数是」 ,第③行的第n个数是 (用含a的式子表示)； (3)设m,p,9分别为第①②③行的第2025个数，求2m+2p-q的值. 17.定义新运算：ah=1-1, a b a⑧b=1 ab 例如：3*7=114 3727’3®7=、1=1 3×721 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”。 例如：283=，1=，23=！}=1,283=2*3，所以2,3就是一对隔一数对 2×36 236 (1)下列各组数是“隔一数对”的是_（请填序号）： ①a=}b=方@a=-1,b=1. 1 (2)计算：（-3)*4-(-3)84+4⑧(-5： (3)已知由两个连续的非零整数m,n(m<n)组成的数对是一个“隔一数对”. 计算：182+2⑧3+3⑧4+485+…+998100. 一、解答题 1.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0，-3)，点 C的坐标为(5，-3). 6 5 3 6-5-4-3-2-1Q123456x -2 B 4 5 6 (1)画出与ABC关于原点对称的△A,B,C; (2)画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的△4，B,C,; (3)连接AB,请直接写出AB的长， 2.如图，己知ABC三个顶点坐标分别为A1,1,B(4,2),C(3,4) (1)请画出将ABC先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的△A,B,C: (2)请画出将ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后得到的△A,B,C2: (3)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小，并直接写出点P坐标.