第二十七章 圆与正多边形 章节（16知识详解+35典例分析）2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学下册同步讲义与测试

第二十七章 圆与正多边形 章节（16知识详解+35典例分析） 【知识点01】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【知识点02】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【知识点03】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【知识点04】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【知识点05】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 【知识点06】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【知识点07】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点08】圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 【知识点09】相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 【知识点10】相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【知识点11】正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形 【知识点12】正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n． 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 【知识点13】正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 每一个中心角==它的每一个外角 【知识点14】正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【知识点15】正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 【知识点16】正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 【题型一】圆的基本概念辨析 1．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 【答案】5或 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 如图，过作于，则，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到；过点作交的延长线于，同理得，根据勾股定理得到． 【详解】解：如图，过作于， 则， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ； 过点作交的延长线于， 同理得， ， ∴， 综上所述，的长为 5 或， 故答案为： 5 或． 【题型二】求过圆内一点的最长弦 2．（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 【答案】 【知识点】圆和圆的位置关系、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【详解】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴， 故答案为：． 【题型三】画圆(尺规作图) 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫做“内邻值”． (1)如图1，正方形是正方形的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”； (2)请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和图3的正方形中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图)、画圆(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据求出正方形与正方形的边长比，然后即可求出面积比； （2）关键是在大正方形的边上找出边长的，方法一可以利用大正方形对角线的长的一半作为小正方形的边长即可；方法二是结合圆的性质和三角形相似的性质得出，然后以为边长作正方形即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴此时的“内邻值”为； （2）解：方法一：如图2， 1.连接，，并交于点； 2.以为圆心，为半径画弧，交于，交于； 3.以为圆心，为半径画弧，交于； 4.正方形即为所求． 方法二：如图3， 1.取中点； 2.延长至，使． 3.以为直径作圆，交于； 4.以为圆心，为半径画弧，交于； 5.以为圆心，为半径画弧，交于； 6.正方形即为所求． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，正切值，正方形的性质和尺规作图，综合性较强，理解新定义是解题的关键． 【题型四】判断点与圆的位置关系 4．（22-23九年级下·上海·月考）在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．求得线段的长后与圆的半径比较即可确定正确的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵圆M的半径为4， ∴点在圆外， 故选：C． 【题型五】利用点与圆的位置关系求半径 5．（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 【题型六】点与圆上一点的最值问题 6．（2023·上海徐汇·二模）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形、点与圆上一点的最值问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出，由三角形中位线定理求，当C在线段上时，的长度最小值，当C在线段延长线上时，的长度最大值，即可求解． 【详解】解：如图，在y轴上取一点，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 当C在线段上时，的长度最小值为：， 当C在线段延长线上时，的长度最大值为：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 【题型七】求三角形外心坐标 7．（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】(1) (2)点P的坐标是 (3) 【知识点】求三角形外心坐标、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，由点P是的外接圆的圆心得到点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是．设点P坐标为，由，求出，即可得到点P的坐标； （3）先说明点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，解得（负值已舍），得到点M坐标是，点N坐标是，利用两点间距离公式即可得到线段的长． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵点P是的外接圆的圆心． ∴点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上． ∴点P横坐标是． 设点P坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴．点P的坐标是． （3）∵点O是中点，即O是平行四边形对角线交点， 又∵四边形是平行四边形， ∴点，N关于原点对称． 设点M的横坐标为m（）， 则点M坐标是，点N坐标是， 把点坐标代入， 得， 解得（负值已舍）， 当时，， ∴点M坐标是，点N坐标是， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． 【题型八】求特殊三角形外接圆的半径 8．（2023·上海虹口·二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的外接圆半径是 ． 【答案】4 【知识点】解直角三角形的相关计算、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】根据题意作图如下， 根据题意有：在正△ABC中，边心距OD=2，OB为正△ABC外接圆半径， 根据等边三角形的性质可知∠OBD=∠ABD=，且∠ODB=90°， ∴在Rt△ABC中，， 即其外接圆半径r为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了边心距的含义、解直角三角形、正三角形的性质等知识，理解边心距的含义是解答本题的关键． 【题型九】已知外心的位置判断三角形的形状 9．（2024·上海·三模）三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ． 【答案】直角三角形 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形． 【详解】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部； 由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，关键掌握直角三角形的外心就是其斜边的中点． 【题型十】判断三角形外接圆的圆心位置 10．（2024·上海·模拟预测）已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、利用菱形的性质求角度、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）连接、，由四边形是菱形，得出，平分，，又由、分别为、中点，证得，即可得证； （2）连接、交于点，设，，则，易证，得出，，再通过，得出，进而求出的值； （3）连接、，过点分别作于，于，求出的度数，又由点是等边的外心，易证，可得，即点在的平分线上，即点落在直线上，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接、， 四边形是菱形， ，平分，，， ， 又、分别为、中点， ，，， ， 点即为的外心． （2）解：如图2，连接、交于点，设交于点， 设，，则， ， ，， 又由（1）知， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 即． （3）解：如图3，分别连接、，过点分别作于，于， ， ， ， 点是等边的外心， ，， ， ， ， ， 点在的平分线上，即点落在直线上， ． 【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，菱形的性质等知识． 【题型十一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 11．（22-23九年级下·上海·月考）下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断点与圆的位置关系、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了等弧的概念，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余 各组量都分别相等，过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据等弧的概念，可判定①；在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的 其余各组量都分别相等，可判定②③④；根据过不在同一直线上的三点确定一个圆可判定⑤；根据三角形的外心知识可判定⑥． 【详解】等弧不仅要求长度相等，还要求弯曲程度相同．两条弧的长度相等，并不能说明它们是等弧：故①不正确； 在同圆或等圆中，若两个圆心角相同，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等．两个圆心角相同，并不能说明它们所对应的弧相等，故②不正确； 在同圆或等圆中，若两弦相等，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等，故③不正确； 若两弧相等，则说明它们是等弧，它们在同圆或等圆中，故所对的圆心角相等，故④正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，若三点在同一直线上，过这三点不能画圆，故⑤不正确； 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外，故⑥不正确； 综上可知，说法正确的是④． 故选：B． 12．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 【答案】30 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵弧与弧相等， ∴弧和弧相等， ∴； 故答案为：30． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【题型十二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 13．（2025·上海普陀·三模）如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求证、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①由圆周角定理得，等量代换得，然后根据即可证明； ②由圆周角定理得，在中，求出， 在中求出，由面积法求出，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）取的中点G，连结，根据证明得，设，，求出，进而可证结论成立． 【详解】（1）①证明：∵， ， ∵， 在和中， ； ②解：连结， 为直径， ， ， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，； （2）解：取的中点G，连结， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【题型十三】已知圆内接四边形求角度 14．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，，，，是边上一点（不与点A、B重合），，且． (1)当时，的长； (2)当点在边上运动时，的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生变化，试说明理由； (3)当直线与直线相交时，记交点为点，如果是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)的值保持不变，为定值，理由见解析 (3) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）解直角三角形得到，可证明，得到；再证明，得到，再解直角三角形即可得到答案； （2）连接，证明，则B、D、C、E四点共圆，求出，则； （3）当点F在点A下方时，过点D作于点H，连接，可证明，则当是等腰三角形时，只存在这种情况，证明，得到；解直角三角形得到，设，则可推出，解得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案；当点F在点C上方时，连接，可证明，则当是等腰三角形时，只存在这种情况，可证明，则（大角对大边），故此种情况不成立． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：的值保持不变，为定值，理由如下： 如图所示，连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴B、D、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴的值保持不变，为定值； （3）解：如图所示，当点F在点A下方时， 如图所示，过点D作于点H，连接， ∵， ∴， ∴当是等腰三角形时，只存在这种情况， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴； 如图所示，当点F在点C上方时，连接， ， ∴当是等腰三角形时，只存在这种情况， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（大角对大边）， ∴此种情况不成立； 综上所述，的长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，四点共圆，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型十四】利用垂径定理求值 15．（22-23九年级下·上海·期中）如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 【答案】176 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，证明∽，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 则，，， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 故答案为：176 ． 16．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）先由三角形中位线定理求得，再由垂径定理结合同圆中等弧对等弦得到，则，而，那么，故，再由三角形的外角性质即可证明； （2）可得，则，由圆周角定理得到，故，则点共圆，那么，可证明，则，再等量代换求证即可． 【详解】（1）证明：如图： ∵是直径， ∴， ∵分别为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧与弦的关系，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 【题型十五】利用垂径定理求同心圆问题 17．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求同心圆问题、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 【题型十六】利用垂径定理求解其他问题 18．（2022·上海杨浦·二模）已知在扇形中，点C、D是上的两点，且． (1)如图1，当时，求弦的长； (2)如图2，联结，交半径于点E，当//时，求的值； (3)当四边形是梯形时，试判断线段能否成为内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)线段能成为的内接正多边形的边，边数为18 【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、利用垂径定理求解其他问题 【分析】（1）取的中点，联结，根据圆的有关性质可得，然后由余角的性质及等边三角形的判定与性质可得答案； （2）由平行线的性质及三角形内角和定理可得．然后根据相似三角形的判定与性质可得答案； （3）根据圆内接多边形的性质及三角形的内角和定理分两种情况进行解答： ①；②． 【详解】（1）解：设，取的中点E，联结， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴．解之得， ∴； （3）解：当四边形是梯形时，①， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 当时，，不合题意，舍去． ②， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段能成为的内接正多边形的边，边数为18． 【点睛】本题考查的是圆的弧、弦、角之间的关系、三角形的内角和定理、圆内接多边形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【题型十七】垂径定理的推论 18．（24-25九年级下·上海·月考）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ． 【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、垂径定理的推论 【分析】本题考查了菱形的性质，垂径定理的推论，勾股定理，正确理解题意，作出图形是解题的关键．先根据题意画图，连接，与交于点，设，由勾股定理建立方程，求出，再由即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴经过圆心O， ∴， 设， 则， 连接， ∴，   ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：3． 19．（23-24九年级下·上海·月考）已知：是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)当是锐角时，如果，求证：四边形是等腰梯形； (3)过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、全等三角形综合问题、垂径定理的推论 【分析】（1）连接、，则，证明，则，再证明，即可得到结论； （2）证明，则.进一步证明.则.由与不平行得到四边形是梯形. 再证明，即可得到结论； （3）分别过作，交于；过点作，交于. 过点作，过点作垂足分别为、.证明，则.再证明四边形是矩形，得到，，同理 ，.证明，则，再根据等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：连接、，则， ∴.   ∵，，， ∴. ∴.      又∵， ∴. 又∵，， ∴.      ∴. （2）∵， ∴. 又∵， ∴.      ∴. 又∵， ∴. ∴. 又∵与不平行， ∴四边形是梯形.      又∵， ∴. 又∵， ∴， ∴梯形是等腰梯形. （3）分别过作，交于；过点作，交于. 过点作，过点作垂足分别为、. 又 ∵， ∴.     又 ∵， ∴. ∴. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，.    同理 ，. ∴. 又∵， ∴.     ∴. 又∵， ∴， ∴. 【点睛】此题考查了圆的性质、全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型十八】垂径定理的实际应用 20．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【知识点】用勾股定理解三角形、确定圆心(尺规作图)、垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 【题型十九】判断直线和圆的位置关系 21．（2024·上海虹口·二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C到的距离d，比较d与半径的大小判断即可． 【详解】解：如图， ∵在平行四边形中，，， 设点C到的距离为d， ∴点C到的距离， ∴直线与圆C相交，即有2个交点， 故选：B． 【题型二十】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 22．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 【题型二十一】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 23．（2024·上海·模拟预测）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．如图，已知点A（0，-），B（3,0），以原点O为圆心的⊙O的半径为1. 在A，B两点中，⊙O的T型点是 . 【答案】点A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】利用等边三角形的判定定理，由新定义易得⊙O的T型点 【详解】（1）如图， ∵JK＝2，OJ＝OK，AO⊥JK， ∴AJ＝＝2，同理可得：AK＝2， ∴△AJK为正三角形， 同理可得△AMN为正三角形， 故点A为⊙O的T型点， 故填：点A. 【点睛】本题主要考查了圆与正三角形的性质，解题的关键是对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出的定义． 【题型二十二】有关切线的概念辨析 24．（2024九年级·上海·专题练习）下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 【答案】D 【知识点】有关切线的概念辨析 【分析】根据切线的定义和切线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误； C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，原命题正确． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的切线的定义和切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 【题型二十三】证明某直线是圆的切线 25．（2024·上海徐汇·中考模拟）如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点． （1）证明：直线与⊙相切； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】证明四边形是菱形、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接OC，由折叠的性质证明∥，则，由切线的判定定理即可证明结论； （2）连接OC，CB，OD，BD，由垂径定理得，再由直角三角形斜边上中线的性质得，由四边相等的四边形是菱形证明结论． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵， ∴， ∵，    ∴，                                         由翻折得，，， ∴， ∴∥，                                ∴，即垂直直线，                    ∵点在圆上，   ∴直线与⊙相切；       （2）如图，连接OC，CB，OD，BD， 在△中，， ∴， ∵直径垂直弦， ∴，      ∴，                                                 ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查圆的证明，解题的关键是掌握切线的判定定理，菱形的判定定理． 【题型二十四】切线的性质定理 26．（2025·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理 【分析】根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图1，过点D作于H， 则，，， 在中，， 当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小， 设，则， 在中，， ∴， 由得，， 解得； 如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即的最大半径为， 所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为， 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 【题型二十五】切线的性质和判定的综合应用 27．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答． 【详解】解：设与相切于点F，连接，， ∵，， ∴， 中， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴若与相切时，和一定相交； 若与相切时，和一定相离． 同理当与相切于点M时，连接，，计算得， ∴此时， ∴当时，与矩形的各边都没有公共点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算． 【题型二十六】三角形内心有关应用 28．如图，等边中，为三角形内一点，过作，，，连结、、，如果，那么的内切圆半径为（    ）      A．１ B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】过P点作正△ABC的三边的平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积＝白色部分的面积，于是求出三角形ABC的面积，进而求出等边三角形的边长和高，再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度． 【详解】解：如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形， 故可知黑色部分的面积＝白色部分的面积， 又知S△AFP+S△PCD+S△BPE＝，故知S△ABC＝3， S△ABC＝AB2sin60°＝3， 故AB＝2，三角形ABC的高h＝3， △ABC的内切圆半径r＝h＝1． 故选：A．      【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，面积及等积变换，解答本题的关键是过P点作三角形三边的平行线，证明黑色部分的面积与白色部分的面积相等，此题有一定难度． 【题型二十七】圆的综合问题 29．（2023·上海杨浦·二模）已知钝角内接于，将沿所在直线翻折，得到，联结，如果，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】延长交于，设、交于、，联结，，设，，由翻折知是、的垂直平分线，则，，说明，得，则，再利用，可得，从而解决问题． 【详解】解：延长交于，设、交于、，联结，，如图， ， 设，， 由翻折知是、的垂直平分线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用相似表示出是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题． 30．（2024·上海普陀·模拟预测）在中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若与相切，求此时的半径r； (3)在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其定义域 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角函数综合、圆周角定理、用勾股定理解三角形、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形性质和同弧所对圆周角相等推出，再结合等腰三角形的性质推出，即可求证； （2）连接并延长交于点H，连接，根据，推出，从而得到，证明，得到，再利用同一个三角形面积不变性求解出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出半径； （3）连接，，，作，根据条件推出，利用垂径定理和圆周角定理推出，再利用三角函数即可求得线段MN和半径r之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵ ∴ ∵圆内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图2，连接并延长交于点H，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线，即 又∵与相切，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在中， 在中，， 即：，解得． 当与相切时，的半径r为． （3）如答图3，连接，，，作， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 即． 【点睛】本题考查了圆的综合题型，涉及到了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、同一个三角形的面积不变性、三角函数等知识点，解题的关键是能够正确作出辅助线，熟练运用各知识点． 【题型二十八】圆和圆的位置关系 31．（2025·上海青浦·二模）已知与有交点，圆心距如果的半径，那么的半径为的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】此题考查圆与圆相交时，圆心距与半径的关系． 根据圆心距与半径之和，半径之差的关系即可得到答案． 【详解】由题意可知：， 解得：． 故选：D． 32．（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C （填写“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【知识点】判断点与圆的位置关系、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，圆外切性质，熟练掌握是解题的关键．设的半径为，点到圆心的距离为，若，则点在外；若，则点在上；若，则点在内；反之亦然．两圆内切时，圆心距等于半径的差．根据的半径为5，内切于，可得的半径为10．由，比较的半径即可判断点A与的位置关系． 【详解】解：设的半径为，的半径为，与内切于点D，交射线于点E， 则点D在延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在外． 故答案为：外． 【题型二十九】求正多边形的中心角 33．（24-25九年级下·上海宝山·月考）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是 度 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形中心角、外角的定义和计算方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正多边形中心角、外角的定义和计算方法得出正边形的中心角与外角相等即可． 【详解】解：正边形的中心角为，由于个外角的和为，所以每一个外角为， 因此正边形的中心角与外角相等， 所以它的中心角是度， 故答案为：． 【题型三十】已知正多边形的中心角求边数 34．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为 【答案】 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、函数解析式 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 【题型三十一】正多边形和圆的综合 35．（22-23九年级下·上海·月考）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可得这个正多边形的一个外角为，求得它的中心角为，于是得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距． 【详解】解：正多边形的一个外角是其内角的一半， 设外角为，则内角为， ， ， 这个正多边形的边数是， 它的中心角为， 正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形， 它的边长为， 作， 则， ∴ 此正多边形的边心距是， 故答案为：． 【题型三十二】求弧长 36．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使一块三角尺；角的顶点和另一块三角尺的直角顶点重合，记为点O，点C在边上，点A、D在的两侧，以O为圆心，长为半径画，分别交于点E、F，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意可知圆心角的度数为：，然后根据弧长公式计算即可；熟知弧长公式是关键． 【详解】解：由题意得， 在中， 故答案为： 【题型三十三】求扇形半径 37．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼（Eratosthenes）通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度．他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，从太阳射来的光线可以看作平行线，在同一时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的距离（即）和的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知，若，则地球的周长约为 ． 【答案】 【知识点】求扇形半径 【分析】设地球的半径为，根据平行线的性质和弧长公式可得出，再根据圆的周长的公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示：设地球的半径为 根据弧长公式可得： 地球的周长约为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的弧长公式、平行线的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【题型三十四】求图形旋转后扫过的面积 38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB=， ∴S扇形ABD==． 又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=． 故答案为． 【题型三十五】求其他不规则图形的面积 39．（2024·上海·三模）在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为 ． 【答案】/ 【知识点】求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，先解直角三角形得到，再由线段中点的定义得到，由，得到等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 由作图方法可知， ∵， ∴等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和， ∴ ， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·上海·月考）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，求阴影部分面积． 【答案】 【知识点】折叠问题、求其他不规则图形的面积、利用垂径定理求值、勾股定理与折叠问题 【分析】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、，由折叠得，利用，求出，，得到，，同理：，证明，推出，得到弓形与弓形的面积相等，利用阴影的面积代入数值计算即可． 【详解】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、， 由折叠得， ， ，， ，， ，， ，， 同理：， ， ，， ∴ ， ， ， 弓形与弓形的面积相等， 阴影的面积， 故答案为：． 【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 圆与正多边形 章节（16知识详解+35典例分析） 【知识点01】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【知识点02】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【知识点03】圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【知识点04】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【知识点05】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 【知识点06】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【知识点07】切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点08】圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 【知识点09】相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 【知识点10】相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【知识点11】正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形 【知识点12】正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n． 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 【知识点13】正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 每一个中心角==它的每一个外角 【知识点14】正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【知识点15】正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 【知识点16】正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 【题型一】圆的基本概念辨析 1．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 【题型二】求过圆内一点的最长弦 2．（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是 ． 【题型三】画圆(尺规作图) 3．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫做“内邻值”． (1)如图1，正方形是正方形的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”； (2)请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和图3的正方形中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹） 【题型四】判断点与圆的位置关系 4．（22-23九年级下·上海·月考）在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【题型五】利用点与圆的位置关系求半径 5．（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【题型六】点与圆上一点的最值问题 6．（2023·上海徐汇·二模）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是 ． 【题型七】求三角形外心坐标 7．（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 【题型八】求特殊三角形外接圆的半径 8．（2023·上海虹口·二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的外接圆半径是 ． 【题型九】已知外心的位置判断三角形的形状 9．（2024·上海·三模）三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是 ． 【题型十】判断三角形外接圆的圆心位置 10．（2024·上海·模拟预测）已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 【题型十一】利用弧、弦、圆心角的关系求解 11．（22-23九年级下·上海·月考）下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 【题型十二】利用弧、弦、圆心角的关系求证 13．（2025·上海普陀·三模）如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连结，在下方，作，连结交于点D，连结． (1)如图1，若． ①求证：； ②若，，求的长度； (2)如图2，若，时，求证：． 【题型十三】已知圆内接四边形求角度 14．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，，，，是边上一点（不与点A、B重合），，且． (1)当时，的长； (2)当点在边上运动时，的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生变化，试说明理由； (3)当直线与直线相交时，记交点为点，如果是等腰三角形，求的长． 【题型十四】利用垂径定理求值 15．（22-23九年级下·上海·期中）如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 16．（2025·上海·二模）如图所示，是圆O的一条直径，点D和点B位于圆上，且分居两侧，联结．延长交于点E，联结交于点F，线段与交于点G． (1)如果E为中点，求证：． (2)联结，如果，求证：． 【题型十五】利用垂径定理求同心圆问题 17．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【题型十六】利用垂径定理求解其他问题 18．（2022·上海杨浦·二模）已知在扇形中，点C、D是上的两点，且． (1)如图1，当时，求弦的长； (2)如图2，联结，交半径于点E，当//时，求的值； (3)当四边形是梯形时，试判断线段能否成为内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由． 【题型十七】垂径定理的推论 18．（24-25九年级下·上海·月考）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ． 19．（23-24九年级下·上海·月考）已知：是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)当是锐角时，如果，求证：四边形是等腰梯形； (3)过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：． 【题型十八】垂径定理的实际应用 20．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【题型十九】判断直线和圆的位置关系 21．（2024·上海虹口·二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 【题型二十】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 22．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二十一】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 23．（2024·上海·模拟预测）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．如图，已知点A（0，-），B（3,0），以原点O为圆心的⊙O的半径为1. 在A，B两点中，⊙O的T型点是 . 【题型二十二】有关切线的概念辨析 24．（2024九年级·上海·专题练习）下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 【题型二十三】证明某直线是圆的切线 25．（2024·上海徐汇·中考模拟）如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点． （1）证明：直线与⊙相切； （2）若，求证：四边形是菱形． 【题型二十四】切线的性质定理 26．（2025·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型二十五】切线的性质和判定的综合应用 27．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【题型二十六】三角形内心有关应用 28．如图，等边中，为三角形内一点，过作，，，连结、、，如果，那么的内切圆半径为（    ）      A．１ B． C．2 D． 【题型二十七】圆的综合问题 29．（2023·上海杨浦·二模）已知钝角内接于，将沿所在直线翻折，得到，联结，如果，那么的值为 ． 30．（2024·上海普陀·模拟预测）在中，于点D，P是边上（与点A，C不重合）的动点，连接PB交于点M，过C，P，M三点作交的延长线于点N，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若与相切，求此时的半径r； (3)在点P的运动过程中，设线段长为y，圆半径为r，求y关于r的函数解析式及其定义域 【题型二十八】圆和圆的位置关系 31．（2025·上海青浦·二模）已知与有交点，圆心距如果的半径，那么的半径为的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C （填写“内”“上”或“外”）． 【题型二十九】求正多边形的中心角 33．（24-25九年级下·上海宝山·月考）如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是 度 【题型三十】已知正多边形的中心角求边数 34．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为 【题型三十一】正多边形和圆的综合 35．（22-23九年级下·上海·月考）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 【题型三十二】求弧长 36．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使一块三角尺；角的顶点和另一块三角尺的直角顶点重合，记为点O，点C在边上，点A、D在的两侧，以O为圆心，长为半径画，分别交于点E、F，则的长为 （结果保留）． 【题型三十三】求扇形半径 37．公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼（Eratosthenes）通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度．他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，从太阳射来的光线可以看作平行线，在同一时刻，光线与A城和地心的连线所夹的锐角记为，光线与B城和地心的连线重合，通过测量A，B两城间的距离（即）和的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知，若，则地球的周长约为 ． 【题型三十四】求图形旋转后扫过的面积 38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 【题型三十五】求其他不规则图形的面积 39．（2024·上海·三模）在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为 ． 40．（24-25九年级上·上海·月考）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，求阴影部分面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $