九年级数学上学期第二次月考·培优卷（沪教版，举一反三，测试范围：第24章 相似三角形～第27章 圆与正多边形）

九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【沪教版】 测试范围：第24章 相似三角形~第27章 圆与正多边形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选6题，填空12题，解答7题，满分150分，限时100分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 5．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（2025·广东韶关·模拟预测）计算： ． 8．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 9．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 cm． 10．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 11．（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 12．（2025·上海·模拟预测）如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，，设，，用向量、分别表示 ． 13．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 14．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    15．如图，在中， 分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．    16．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 17．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 18．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19．（10分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 20．（10分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 21．（10分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 22．（10分）（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 23．（12分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 24．（12分）（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 25．（14分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第二次月考·培优卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法，二次函数图象与坐标轴的交点．把点代入函数解析式，即可求出m的值，判断A选项；根据二次函数的解析式可求出对称轴，判断B选项；求出的值，根据其正负性，判断C选项，根据二次函数的图象及性质判断D选项． 【详解】解：将代入， 得， 解得， 故A选项正确，不符合题意； 二次函数的图象的对称轴为直线， 故B选项正确，不符合题意； ， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象与x轴没有交点， 故C选项不正确，符合题意； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y的值随x值的增大而增大， 即当时，y的值随x值的增大而增大， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 本题由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由，，可判断④，然后即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在y轴右侧， ， ， 抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①正确； 时，，故②正确； 抛物线对称轴为直线， ∴由图象可得，， ∴，即，故③错误； 由图象得，当时，， ， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 6．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据在同圆中，等弦所对的弧相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，推得，即可得出，，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（2025·广东韶关·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称， 即． 故答案为：1． 9．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 cm． 【答案】（﹣1）/（﹣1＋） 【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，把AB＝2cm代入计算即可． 【详解】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴AP＝AB ＝×2cm ＝（﹣1）cm， 故答案为：（﹣1）． 【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键． 10．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 11．（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移法则：左加右减，上加下减，是关键；根据平移法则即可完成． 【详解】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 12．（2025·上海·模拟预测）如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，，设，，用向量、分别表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性运算，由题意得推出；结合，得，进而得，；即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴，； ∴， 故答案为： 13．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 14．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．连接，根据六边形是内接正六边形得出，进而根据三角函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中， 分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．    【答案】 【分析】由 可得出可知垂直平分在中，解直角三角形即可求出． 【详解】解： 由作法得垂直平分 在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性这些质，解直角三角形，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 16．（2025·宁夏银川·一模）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 18．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 4或5 【分析】（1）利用正方形性质推出，从而证明，得到，利用角的正切值求出的长，再利用勾股定理求出结果即可； （2）分两种情况①；②，利用相似三角形性质结合正方形性质，利用勾股定理求出最后结果 【详解】解：（1）， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ． （2）有两种情况： ①， 即， ， 则四边形为矩形， ； ②， 则． 由（1），得， 即， ， ． 由（1），得， ， ， 即点G和点D重合． ， ． 综上，的长为4或5． 故答案为：（1）；（2）4或5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19．（10分）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知P为抛物线（不与点B重合）上的一点，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】（）利用待定系数法求抛物线的解析式； （）先利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，由对称可得点的坐标为，将其代入抛物线的解析式即可求解． 本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称，解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式及关于轴对称的点坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 由（）中得，点的坐标为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得，， 又∵点不与点重合， ， ， ∴点的坐标为． 20．（10分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 21．（10分）（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22．（10分）（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 23．（12分）（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 24．（12分）（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 25．（14分）（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $