第05讲 命题与证明（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 命题与证明（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 【知识点02】互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 【知识点03】证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【题型一】判断是否是命题 例1．（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义对各选项进行判断，熟知判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 【详解】解：A、“作两条相交直线”为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项不符合题意； C、对顶角相等，它是命题，所以C选项符合题意； D、“若，求的值”为描述性语言，它不是命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·上海闵行·月考）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的判断．对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的概念逐一判断即可. 【详解】解：A、连接A、B两点，不是命题，故A不符合题意； B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故B不符合题意； C、过点M作直线的垂线，不是命题，故C不符合题意； D、同旁内角不互补，两直线不平行，是命题，故D符合题意； 故选：D. 【题型二】写出命题的题设与结论 例2．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【知识点】同位角相等两直线平行、垂线的定义理解、写出命题的题设与结论 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【题型三】判断命题真假 例3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．一条线段有且仅有一条垂直平分线 【答案】D 【知识点】判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题真假的判断， 根据“正确的命题是真命题”逐一分析各选项是否为真命题，即可解答． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但它们不是对顶角，所以A不是真命题； B. 只有当两直线平行时，同位角才相等，题中未说明平行，所以B不是真命题； C. 面积相等的三角形不一定全等，例如底和高不同但面积相等的三角形，所以C不是真命题； D. 线段的垂直平分线过中点且垂直，由几何公理可知其唯一存在，所以D是真命题． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）“和为钝角的两个角都是锐角”是 （填写“真”或“假”）命题． 【答案】假 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据锐角、钝角的概念判断即可． 【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角， ∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题， 故答案为：假． 变式2．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【题型四】举例说明假（真）命题 例4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 变式1．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【详解】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 【题型五】写出命题的逆命题 例5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】根据所学的定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补,它是真命题； ②若，则的逆命题是：若，则，它是真命题； ③锐角与钝角互为补角的逆命题是：互补的角是锐角与钝角，它是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了命题与逆命题，正确把握相关性质是解题关键． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题与定理，根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【详解】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 【题型六】写出一个命题的已知、求证及证明过程 例6．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 变式1．实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【解析】略 变式2．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 【题型七】已知证明过程填写理论依据 例7．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】已知证明过程填写理论依据 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 变式1．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【知识点】根据平行线判定与性质证明、已知证明过程填写理论依据 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【题型八】根据给出的论断组命题并证明 例8．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 变式1．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【知识点】不等式的性质、根据给出的论断组命题并证明 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的面积相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】分别写出各命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：A：逆命题为：相等的两个角是对顶角，为假命题，不符合题意； B：逆命题为：若，则．取，可知为假命题，不符合题意； C：逆命题为：面积相等的三角形一定全等．一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，可知为假命题，不符合题意； D：逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知为真命题，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查命题的逆命题以及判定命题的真假．熟记相关数学结论是解题关键． 2．下列命题中，正确的命题是（    ） A．相等的两个角是对顶角 B．一条直线有且只有一条平行线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．一个角一定不等于它的补角 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行公理及补角的定义等知识，难度不大．利用对顶角的定义、平行公理及补角的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，为假命题； B、一条直线有无数条平行线，故错误，为假命题； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题； D、90°的角等于它的补角，故错误，为假命题． 故选：C． 3．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：A、当，时，不符合， ∴，不是假命题的反例，不符合题意； B、当，时，，而， ∴，，不是假命题的反例，不符合题意； C、当，时，，而， ，不是假命题的反例，不符合题意； D、当，时，，而， ，是假命题的反例，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法． 4．下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 5．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 6．命题：①若，则；②互为相反数的两个有理数的平方相等；③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；④一对对顶角的角平分线在同一直线上．对于以上命题有如下判断：I：①是真命题；II：只有一个假命题；III：②是真命题，④是假命题．其中判断正确的是（　　） A．I B．II C．I和II D．都正确 【答案】A 【分析】本题考查了判断真假命题；根据等式的性质，有理数的乘方，平行线的判定，对等角，角平分线的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①若，则，是真命题； ②互为相反数的两个有理数的平方相等，是真命题； ③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行是真命题； ④一对对顶角的角平分线在同一直线上，是真命题； 故选：A． 7．下列命题中是假命题的是（  ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果，，那么 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的定义对各选项逐一进行判断即可. 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； B、如果，，那么，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题为真命题，该选项不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以原命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．命题“对顶角相等”的题设和结论分别是 ． 【答案】两个角是对顶角；这两个角相等 【分析】本题考查了写出命题的题设和结论，熟练掌握题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角； 命题“对顶角相等”的结论是：这两个角相等． 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 9．“偶数能被整除”的逆命题是 ． 【答案】如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为모一个命题的逆命题，根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可． 【详解】解：“偶数能被整除”的逆命题是：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数， 故答案为：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 10．“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题． 【答案】 如果，那么 假 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是如果，结论是， ∴逆命题是如果，那么， 当，时，，但， ∴该命题是假命题． 故答案为：如果，那么；假． 11．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 13．下列命题中：①一个角的补角可能是锐角 ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有 (填题号)． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．利用互补的定义、两直线的位置关系、垂直的定义及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①一个角的补角可能是锐角，正确，是真命题，符合题意； ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交，正确，是真命题，符合题意； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故答案为：①②③． 14．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 三、解答题 15．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)同角的余角相等． (2)同号两数相乘，积为正数． 【答案】(1)如果两个角都是另外一个角的余角，那么这两个角相等 (2)如果两个数的符号相同，那么它们的积为正数． 【分析】根据“如果”后面是条件，“那么”后面是结论把原命题改写成“如果……那么……”的形式即可． 【详解】（1）解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果……那么……”的形式为，如果两个角都是另外一个角的余角，那么这两个角相等； （2）解：命题“同号两数相乘，积为正数”，改写成“如果……那么……”的形式为，如果两个数的符号相同，那么它们的积为正数． 【点睛】本题主要考查了把命题改写成“如果……那么……”的形式，熟知“如果”后面是条件，“那么”后面是结论是解题的关键． 16．说明下列命题是假命题． (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等； (3)如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理，论证得到的真命题称为定理． （1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可； （2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可； （3）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 【详解】（1）解：当时，满足，但不成立 ∴原命题是假命题； （2）解：如图， 为同位角，但是， 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． ∴原命题是假命题； （3）如图所示， 的两边分别与的两边互相平行 ∴此时这两个角的关系为互补 ∴原命题是假命题． 17．说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等三角形的面积相等． (2)如果，那么，． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）其逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等. 显然是假命题． （2）逆命题是如果，，那么，是真命题． 本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． 【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 判断：逆命题是假命题． （2）逆命题：如果，，那么． 判断：逆命题是真命题． 18．命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】要判断命题是真命题还是假命题，只需代数式是否能分解成含因数3的整式． 【详解】命题是真命题，理由如下： ， 由n是自然数可知，是自然数， 则是3的倍数， 即代数式的值是3的倍数， 命题是真命题． 【点睛】本题考查命题与定理、因式分解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行 (2)见解析 (3)见解析 (4)这个命题是真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了命题、几何语言、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）直接确定题设和结论即可； （2）直接根据题意画图即可； （3）将该命题写出几何语言即可； （4）由两直线平行、内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行． （2）解：如图即为所求． （3）解：已知分别平分和，则． （4）解：这个命题是真命题．理由如下： ， ， 又分别平分和， ， ， ， ∴这个命题是真命题． 20．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明． 【答案】见解析 【分析】根据真命题的概念，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】答案1：如果①②，那么③为真命题， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 答案2：如果①③，那么②为真命题， 证明∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 答案3：如果②③，那么①为真命题， 证明∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是命题和定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 21．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．    (1)这三个命题中，真命题有______个； (2)选择一个真命题，并且完成证明过程． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：这三个命题中，真命题有3个；理由见（2） 故答案为：3； （2）已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平形线的判定定理和性质定理． 23．如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 【答案】(1)①②，③ (2)见解析 【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）； （2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：选择①②当条件，③为结论； 故答案为：①②，③． （2）解：已知：是的一个外角，，平分， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 即选择①②当条件，③为结论，构成真命题． 【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $