精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期1月期末测试数学试题

树德中学高2025级高一上期期末测试 数学试题 命题人：赖富彬 审题人：叶强､洪晓蕾､严芬 考试时间：120分钟 总分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的值域、对数函数的定义域化简集合，再求交集即可. 【详解】由题知，，则， 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得. 【详解】由，得；反之，若，则或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 4. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，函数为奇函数，排除B、D项，再由，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，定义域为， 有， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 又由，可排除C项， 所以函数的图象为选项A. 故选：A. 5. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分和讨论求解. 【详解】当时，由，可得，即，解得， 当时，由，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的解析式，然后分析的单调性，最后比较自变量大小，进而得到的大小关系. 【详解】点在幂函数的图象上，，得， 幂函数的定义域为，在和上均单调递减. 根据对数函数的单调性，，. ，且在上单调递增， 即，，，即. 根据指数函数的单调性，，即，，又，即. 综上，. 故选：B 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断，根据同角的平方关系计算求出，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】因为，所以，则， 又，所以. 所以. 故选：A 8. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值，又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即，所以， 又在上单调递增，则， 所以，解得，又，所以， 则，，又因为，所以时，， 所以， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数且的图像恒过定点 B. 若的值域为，则的值域为 C. 是函数的一条对称轴 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数型函数过定点问题求解判断A；由图像的平移判断B；代入检验法可判断C；利用根的判别式与韦达定理找到等价条件即可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以函数的图像过定点，故A正确； 对于B，因为的图像是由的图像向右平移1个单位得到的， 又因为的值域为，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为， 所以是函数的一条对称轴，故C正确； 对于D，若方程有一正根和一负根，则可得，解得； 当时，可得， 所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A和C选项可借助于单位圆，利用单位圆中扇形的面积和三角形面积即可判断，利用正切线和弧长可证明，再换元即可证明C选项 ，B选项在A选项的基础上换元结合诱导公式可判断，D选项通过利用指对幂函数的单调性判断. 【详解】对于选项A，取单位圆中角，对应的弧，则. 三角形的面积， 扇形的面积，由于扇形的面积大于同半径三角形的面积，即，则A选项正确. 对于选项B，由选项A的结论.令，代入得，由诱导公式可得：，即，B选项正确. 对于选项C，，其命题的否定为：. 令，则，，， 代入原式，需证：，即证，如图 ，由图易得，即，即命题的否定为真命题，所以原命题为假，即不成立，C选项错误. 对于选项D，设，当时，在上单调递减. ，. ， . . ，D选项正确. 故选：ABD 11. 利用计算工具计算：当时，；当时，；当时，；当时，；当越来越大时，也越来越大，无限的趋近于，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，结合题意确定其单调性并得，再逐一赋值计算判断. 【详解】令函数，， 依题意，函数在上递增，且，而函数是增函数， 因此在上单调递增，且， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，则，即，C正确； 对于D，当时，， 即，，，，，， 因此 ，D错误. 故选：BC 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数为偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和正弦公式将展开，根据，确定取值范围，再根据为偶函数，可求出即可求解. 【详解】， 由为偶函数，则有， 所以 ， 则由对定义域内任意恒成立， 又因为，所以 故，所以，解之可得， 所以. 故答案为： 13. 函数且过定点，若，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求得定点坐标，进而可得，利用，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】当时，，所以过定点， 又因为， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）__________. （2）若方程恰有7个实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空； 【详解】因为， 所以； `， 画出的图像， 要使方程恰有7个实数根， 结合图像可知，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：①；②. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 求下列各式的值： （1） （2）若角终边经过点，求的值. 【答案】（1）5 （2）0 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则与对数运算法则求解即可； （2）利用三角函数的定义求得，进而利用诱导公式，以及齐次式弦化切可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为角终边经过点，所以 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由题意可得，，进而计算可求解. 【小问1详解】 的最小正周期， 因， 由，可得 所以单调递减区间为： 【小问2详解】 因为，所以， 由，得， 作出函数在上的图象如下： 有图可知，方程恰有两个不相等的实数根，等价于， 且此时，解得则 所以. 17. 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）． （1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 【答案】（1），． （2）（ⅰ），；（ⅱ）的最大值为， ． 【解析】 【分析】（1）由扇环周长建立等量关系，即可求得关于x的函数解析式，由题意建立不等式组求得自变量的取值范围.然后利用函数的单调性求得的取值范围. （2）（ⅰ）分别表示出花坛的面积和装饰总费用，即可求得花坛的面积与装饰总费用之比；（ⅱ）令，整理（ⅰ）中函数关系式，利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 由题可知，解得． 又由，可得， 所以关于的函数解析式为，． 因为函数在时单调递减， 所以，可得． 【小问2详解】 （ⅰ）花坛的面积为， 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为，． （ⅱ）令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时． 18. （1）设 ①求函数的最大值. ②当不等式在上有解时，求的取值范围. （2）设，是否存在常数，使得，对于任意正数且恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）①；②； （2）存在，100 【解析】 【分析】（1）①由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简函数，结合二次函数的性质，可得答案；②由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简不等式，根据一次函数的性质，可得答案. （2）由题意以及基本不等式，求得参数值，利用分解因式化简不等式，再换元并利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）①， 令， 因为对称轴为函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. ②由题可知，不等式在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：在上有解， 0，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时， 综上：. （2）由题意， 所以 令，由基本不等式得， 又在上单调递减，， 所以存在最大的常数. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2025级高一上期期末测试 数学试题 命题人：赖富彬 审题人：叶强､洪晓蕾､严芬 考试时间：120分钟 总分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数且的图像恒过定点 B. 若的值域为，则的值域为 C. 是函数的一条对称轴 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 利用计算工具计算：当时，；当时，；当时，；当时，；当越来越大时，也越来越大，无限的趋近于，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数为偶函数，则__________. 13. 函数且过定点，若，则的最小值为__________. 14. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）__________. （2）若方程恰有7个实数根，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 求下列各式的值： （1） （2）若角终边经过点，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 17. 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）． （1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 18. （1）设 ①求函数的最大值. ②当不等式在上有解时，求的取值范围. （2）设，是否存在常数，使得，对于任意正数且恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $