精品解析：河北省盐山中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，由两直线的斜率之积为（两直线的斜率均存在时）可求的斜率，且过，由直线的点斜式可得的方程． 【详解】直线的方程为，其斜率为， 设直线的斜率为，， ． 由题意可知，，， 的方程为：，即． 故选：B 3. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 4. 椭圆的长轴的端点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求出长轴的端点坐标即可． 【详解】椭圆的标准方程为：， 易知椭圆焦点在轴上，且，， 所以椭圆的长轴端点坐标为：． 故选：D． 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程的公式列出等式，即可求得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以， 故选：A. 6. 已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 7. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量求出，代入的定义式即可. 【详解】，设向量在向量的夹角为， 所以向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线的离心率为 C. 若，则的面积为 D. 若的面积为，则为钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得双曲线的离心率以及求得a,b的值，故可判断A,B;根据，求得焦半径，，即可求得的面积，判断C;根据的面积可求得点P的坐标，进而利用余弦定理求得，判断D. 【详解】设点，，，，，， 则，且，两式相减得，所以, 因为，所以，, , 故双曲线的渐近线方程为; 因为焦点到渐近线的距离为1，所以，， 即有 ，所以，，离心率为，故A，B 错误． 对于，不妨设在的右支上， 记，则．因为，所以， 解得或（舍去）， 所以的面积为，故不正确． 对于，设，，因为，所以， 将代入，得，即． 由对称性，不妨取的坐标为，则， 因为 所以为钝角，所以为钝角三角形，故正确, 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断. 【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误； B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确； C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确； D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误. 故选：AD 10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 直线AB1和直线BC1相互垂直 D. 直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可判断A的正误，利用数量积可判断BCD的正误. 【详解】A： ， 又，∴. B：∵，∴. ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴. 对于C、D：， ， 所以D正确，C错误， 故选：ABD. 11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ） A. 若是“黄金椭圆”，则 B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为 C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断焦点所在轴，再求m判断选项A；以椭圆定义巧求的周长判断选项B；以勾股定理判断选项C；直接去求的值去判断选项D. 【详解】A中没有指明焦点在x轴还是y轴，应该有两个值，所以A不正确； B中，由题意，则，所以，则的周长为，所以B正确； C中，由题意可得，，，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，所以，所以， 所以，， 因为，， 所以，所以，所以C正确； D中，由题意可得，，设， 则， 因为P在椭圆上，所以，所以， 因为“黄金椭圆”上动点P，所以， 所以，而， 所以，即，所以，可得D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】 由椭圆的定义可得，， 且，， 所以的周长为. 故答案为： 13. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑到此题中条件适合建系，故通过建系后求出空间向量的坐标计算数量积即得. 【详解】 如图，由题意可以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则, 因M为AB的中点，N为PD的中点，故,于是,，则. 故答案为：. 14. 已知点，动点在x轴上，动圆C的半径为2，圆心C在直线上，点P 是圆C上的动点，则的最小值为_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】作点关于的对称点，得到，结合图形，当三点共线时， 取得最小值，在利用点到直线的距离公式求得，进而得到答案. 【详解】由题意，点，动点在x轴上，动圆C的半径为2，圆心C在直线上，点P 是圆C上的动点， 作点关于的对称点， 则， 如图所示，结合图形可知，当三点共线时，此时取得最小值， 由点到直线的距离公式， 可得,所以得最小值为. 【点睛】本题主要考查了圆的最值问题，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中作点关于的对称点，得出，结合图形得到三点共线时取得最小值，再利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． 【小问2详解】 由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 16. 已知圆方程为：， （1）写出圆的圆心和半径； （2）求直线被圆截的弦长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可； （2）根据点到直线的距离公式，利用圆的弦长公式求解即可. 【小问1详解】 因为圆方程为：， 由配方法可得：圆的方程可转化为， 圆心为，半径为. 【小问2详解】 直线可化为， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 17. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的定义求得动点的轨迹的方程. （2）设出直线的方程并与轨迹的方程联立，化简写出根与系数关系，结合列方程，化简后判断出直线过定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，，， 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 则由得， 由根与系数的关系得①， 由题意，两点不在轴上，所以，，， 又点，， 所以，，由得， 从而由已知得，即②， 又，③， 将③代入②得， 将①代入上式并整理得： ． ， 整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点. 【点睛】求解动点轨迹方程有关的题目，可根据圆锥曲线的定义来进行求解，还可以利用题目所给等量关系，列方程来进行求解.求解直线定点有关问题，可先设出含有参数的直线方程，根据已知条件求得与参数有关的式子，从而判断出定点. 18. 双曲线的其中一个焦点坐标为，且与双曲线有相同渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积是，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线渐近线方程和可得曲线方程； （2）设，，联立曲线方程得到韦达定理，然后分和表示出三角形面积，再结合韦达定理化简可得. 【小问1详解】 由，且渐近线方程为，即，且，所以，，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立方程，得. 所以，，因为直线恒过定点， 则当时，； 当时，； 综上可知，，所以. 即，解得或. 经检验，或都满足，所以或. 19. 在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，：. （1）若点，为“-异域点”，求实数的取值范围. （2）已知过的直线与抛物线交于，两点， （Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0的大小关系并说明理由； （Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率. 【答案】（1） （2）（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据“-异域点”的定义列不等式组即可求解； （2）（Ⅰ）分，为在的下方和，为在的上方两种情况，列不等式组即可得；（Ⅱ）根据题意由点到直线的距离公式可得，，分，为“-同域点”和，不为“-同域点”两种情况，结合即可求解. 【小问1详解】 ：，要使点，为“-异域点”， 则应在的下方，应在的上方， 所以，解得； 【小问2详解】 （Ⅰ）若，在的下方，则， 所以， 即， 若，在的上方，则，即， 所以， 综上，若，为“-同域点”，则； （Ⅱ）方程为：， 联立，得， 所以，， 直线：，即， 所以，， ， ①若，为“-同域点”，则，， 此时 ， 令，得，又， 则满足要求的为，，，，，共6组； ②若，不为“-同域点”，则， 此时 ， 令，得， 又， 则满足要求的为，，，，，共6组， 综上，满足的的样本空间有个样本点， 其中使点，为“-同域点”的样本点有6个， 故概率. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键是根据，为“-同域点”和，不为“-同域点”两种情况分别得到，满足的关系，从而得到满足要求的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 椭圆的长轴的端点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线的离心率为 C. 若，则的面积为 D. 若的面积为，则为钝角三角形 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 直线AB1和直线BC1相互垂直 D. 直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ） A. 若是“黄金椭圆”，则 B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为 C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______. 13. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则__________. 14. 已知点，动点在x轴上，动圆C的半径为2，圆心C在直线上，点P 是圆C上的动点，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 16. 已知圆方程为：， （1）写出圆的圆心和半径； （2）求直线被圆截的弦长. 17. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 18. 双曲线的其中一个焦点坐标为，且与双曲线有相同渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积是，求实数的值. 19. 在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，：. （1）若点，为“-异域点”，求实数的取值范围. （2）已知过的直线与抛物线交于，两点， （Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0的大小关系并说明理由； （Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $