第05讲 探索直线平行的条件（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦“探索直线平行的条件”，系统梳理同位角、内错角、同旁内角的定义及位置特征，通过“三线八角”引出平行线的判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合平行线基本事实及推论，辅以作图实践，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于用表格对比角的位置特征（如“F”“Z”“U”型结构）培养几何直观，典例设计变式题（如方块跳动路径）和证明题促进推理意识，习题涵盖选择、填空、解答题强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第05讲 探索直线平行的条件（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同位角 1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在被截的两条直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 特别解读 1. 同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系. 2. 在“三线八角”中，有4 对同位角. 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 【知识点02】平行线的判定方法1 1. 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简述：同位角相等，两直线平行. 2.表达方式 如图2.2-2， 因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行). 两直线平行，用符号“∥”表示. 例如，直线a与直线b 平行，记作a∥b. 【知识点03】平行线的基本事实及其推论 1. 借助三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点； 四画：沿三角尺之前落在已知直线上的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：平行线的基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线. 3. 平行线的基本事实的推论 平行于同一条直线的两条直线平行. 即如果a∥c，b∥c，那么a∥b.平行线的传递性 【知识点04】内错角、同旁内角 1. 内错角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角. 2. 同旁内角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，且它们都在截线的同一侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 3. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 【知识点05】平行线的判定方法2，3 1. 方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述：内错角相等，两直线平行. 表达方式 如图2.2-6，因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行). 2. 方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述：同旁内角互补，两直线平行. 表达方式 如图2.2-7，因为∠ 1＋∠ 2＝180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 【知识点06】过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 AB外一点P作直线AB的平行线的作法与示范如下： 作法 示范 1. 在直线 AB上任取一点 O，过点 O，P 作直线 CD 2. 以点P为顶点，以PD为一边，在直线 CD的右侧作∠DPN＝∠DOB. PN边所在的直线 MN就是要作的直线 【题型一】同位角、内错角、同旁内角 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 【题型二】同位角相等两直线平行 例3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．∵，∴，符合题意； B．，不能判定平行，不符合题意； C．∵，∴，不符合题意； D．，不能判定平行，不符合题意； 故选：A． 例4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图方法，根据平行线的尺规作图方法作图即可．根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题． 【详解】连接，过点P利用尺规作出，直线即为所作． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据同位角相等，两直线平行作答即可 【详解】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行． 故答案为∶同位角相等，两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·山西朔州·期中）问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【题型三】用直尺、三角板画平行线 例5．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线、角平分线的有关计算 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 例6．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 【题型四】平行公理的应用 例7．（2024七年级下·全国·课后作业）过直线l外一点A作l的平行线，可以作（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据平行公理作答． 【详解】解：因为平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选A． 【点睛】牢记平行公理的内容：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 例8．如果，，则 ，因为 ． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题关键．根据平行公理解答即可． 【详解】∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为、、平行于同一条直线的两条直线平行 变式1．如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（    ） A．不能作出 B．只能作出一条 C．能作出两条 D．能作出无数条 【答案】B 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可解答，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：∵点为线段的外一点，即点在直线外， 又∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∵过点只能作出一条直线是线段的平行线， 故选：． 变式2．（2024七年级下·全国·课后作业）如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CDAB存在，你知道为什么吗？ 【答案】理由见解析 【知识点】平行公理的应用 【分析】首先证明CDEF，进而证明ABEF，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：ABEF，CDEF， 所以CDAB； ∴无论怎么改变面CDEF的位置总有CDAB． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【题型五】平行公理推论的应用 例9．（2024七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用、平面内两直线的位置关系 【详解】①错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线是平行线； ②错误，应该为：在同一平面内不相交的两条直线平行； ③错误，应该为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若a∥b，b∥c,则a与c不相交，正确，因为a∥c； 故选A 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【知识点】对顶角相等、平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 变式2．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（2，－1），C（－1，1）． (1)求A，B两点之间的距离； (2)若，且CD＝2，求点D的坐标． 【答案】(1)4 (2)（－1，3）或（－1，－1） 【知识点】平行公理推论的应用、坐标与图形 【分析】（1）根据坐标系中点的特征即可求得求A，B两点之间的距离； （2）根据平行线的传递性可得轴，从而由点C（－1，1），且CD＝2可求得点D的坐标． 【详解】（1）解：∵A（2，3），B（2，－1） ∴轴， ∴AB＝｜3－（－1）｜＝4 （2）解：∵轴，， ∴轴． ∵C（－1，1）， ∴设D的坐标为（－1，y） ∵CD＝2， ∴｜y－1｜＝2 ∴y－1＝±2， ∴y＝3或－1 ∴点D的坐标为（－1，3）或（－1，－1） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的特征以及平行线的传递性，熟练掌握平面直角坐标系内点的特征是解题的关键． 【题型六】内错角相等两直线平行 例10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：A．根据，只能判断； B．根据，不能判断； C．根据，不能判断； D．根据，能判断； 故选：D． 例11．（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，已知，当 时，． 【答案】60 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据 “内错角相等，两直线平行”进行求解即可． 【详解】解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理，即两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．进行判断即可． 【详解】解：A．由，不能得到，故该选项不符合题意； B．由，能得到，故该选项符合题意； C．由，不能得到，故该选项不符合题意； D．由，不能得到，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据角平分线的性质结合，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【题型七】同旁内角互补两直线平行 例12．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得要使直线，则，据此求解即可． 【详解】解：∵要使直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 例13．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； 不能推出，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 综上所述，能判定的条件是①③④， 故答案为：①③④． 变式1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可. 【详解】∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD， . 若∠1=∠2，则，不能判定，故A符合题意； 若∠1＋∠2＝90°，则，∴AB∥CD，故B不符合题意； 若∠3＋∠4＝90°；则，∴AB∥CD，故C不符合题意； 若∠2＋∠3＝90°．则，∴AB∥CD，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行. 变式2．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 一、单选题 1．如图，能够证明的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵∠1＝∠2 ∴c∥d，故A选项错误； B、根据∠4＝∠5能推出a∥b，故B选项正确； C、∵∠4＋∠3＝180°， ∴c∥d，故C选项错误； D、因为∠1与∠5是对顶角，不能推出a∥b，故D选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 2．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 3．如图，能判定AD∥BC的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A．∠1=∠3能判断AD∥BC，故该选项符合题意； B．∠1=∠2不能判断AD∥BC，故该选项不符合题意； C．∠2=∠3不能判断AD∥BC，故该选项不符合题意； D．∠2=∠4能判断AB∥CD，不能判断AD∥BC，故该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 4．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据垂线的含义可判断①，根据对顶角的定义可判断②，根据平行线的定义可判断③，根据邻补角的性质可判断④，根据画平行线的方法可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：一条直线有无数条垂线；原描述错误，故①符合题意； 不相等的两个角一定不是对顶角；描述正确，故②不符合题意； 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原描述错误，故③符合题意； 如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；描述正确，故④不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．原描述错误，故⑤符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的含义，对顶角的概念，平行线的定义，邻补角的性质，熟记概念是解本题的关键． 5．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B． 6．如图，下列能判定的条件的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知相关内容是解题的关键．根据平行线的判定定理分别进行判断即可． 【详解】解：①当，可以根据同旁内角互补两直线平行得到，故①正确； ②当时，不可以推出，故②错误； ③当时，不可以推出，故③错误； ④当时，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故④正确． ∴正确的有2个． 故选：B． 二、填空题 7．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①， （同位角相等，两直线平行）； ②， （内错角相等，两直线平行）； ③， （同旁内角互补，两直线平行）； 综上所述，添加条件或或，使得． 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b的位置关系是 ． 【答案】a∥b 【分析】因为∠2与∠3是邻补角，由已知便可求出∠3=∠1，利用同位角相等，两直线平行即可得出a，b的位置关系． 【详解】解：∵∠2+∠3=180°，∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠1=50°， ∴∠1=∠3， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了邻补角的性质以及判定两直线平行的条件．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 9．如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【详解】解：根据平行线的判定，得②∠BAC=∠ACD（内错角相等，两直线平行）和③∠BAD+∠ADC=180°（同旁内角互补，两直线平行）正确 . 故答案为：②③ 10．如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 【答案】16 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念去计算出的值并计算即可． 本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的基本概念，熟练掌握并能够识别是解决本题的关键． 【详解】解：同位角有与，与； 内错角有与，与； 同旁内角有与，与，与，与． 故，，， ∴． 故答案为：16． 11．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 三、解答题 12．尺规作图：已知点M在内部，过M作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定，熟练掌握作一个角等于已知角及平行线的判定是解答本题的关键．结合平行线的判定，作相等的同位角，则直线即为所作． 【详解】解：如图，直线即为所作． 13．如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【答案】同位角4对，内错角2对，同旁内角2对； 名称 对数 举例 同位角 4 与 与 与 与 （4对选2对即可） 内错角 2 与 与 同旁内角 2 与 与 【分析】本题主要考查根据同位角、内错角、同旁内角的定义，找出直线、被直线所截形成的相应角的对数并举例即可． 【详解】确定同位角的对数并举例：同位角位于截线同侧，被截直线同一侧的角，故为与、与、与、与共4对； 确定内错角的对数并举例：同位角位于截线两旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 14．如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中所作图形，在能表示出来的角中，的同旁内角有 ． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角和同旁内角的定义，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角以及作一条线段等于已知线段的作法画出图形，即可解答； （2）根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由题意得，的同旁内角有， 故答案为：． 15．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． 【详解】（1）（1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2）(2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 16．如图，小正方形边长都为1，点，，均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点C到直线的距离为线段_____的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义： （1）根据网格的特点直接作平行线即可； （2）根据网格的特点直接作垂线即可； （3）根据点到直线距离的定义求解． 【详解】（1）解：如下图即为所求； （2）解：如下图即为所求； （3）解：由图知，点C到直线的距离为线段的长． 17．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 探索直线平行的条件（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同位角 1. 定义 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在被截的两条直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 特别解读 1. 同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系. 2. 在“三线八角”中，有4 对同位角. 2. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 【知识点02】平行线的判定方法1 1. 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简述：同位角相等，两直线平行. 2.表达方式 如图2.2-2， 因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行). 两直线平行，用符号“∥”表示. 例如，直线a与直线b 平行，记作a∥b. 【知识点03】平行线的基本事实及其推论 1. 借助三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点； 四画：沿三角尺之前落在已知直线上的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：平行线的基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线. 3. 平行线的基本事实的推论 平行于同一条直线的两条直线平行. 即如果a∥c，b∥c，那么a∥b.平行线的传递性 【知识点04】内错角、同旁内角 1. 内错角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角. 2. 同旁内角 两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，且它们都在截线的同一侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 3. 位置特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 【知识点05】平行线的判定方法2，3 1. 方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述：内错角相等，两直线平行. 表达方式 如图2.2-6，因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行). 2. 方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述：同旁内角互补，两直线平行. 表达方式 如图2.2-7，因为∠ 1＋∠ 2＝180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 【知识点06】过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 AB外一点P作直线AB的平行线的作法与示范如下： 作法 示范 1. 在直线 AB上任取一点 O，过点 O，P 作直线 CD 2. 以点P为顶点，以PD为一边，在直线 CD的右侧作∠DPN＝∠DOB. PN边所在的直线 MN就是要作的直线 【题型一】同位角、内错角、同旁内角 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【题型二】同位角相等两直线平行 例3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 变式2．（24-25七年级下·山西朔州·期中）问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【题型三】用直尺、三角板画平行线 例5．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 例6．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【题型四】平行公理的应用 例7．（2024七年级下·全国·课后作业）过直线l外一点A作l的平行线，可以作（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 例8．如果，，则 ，因为 ． 变式1．如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（    ） A．不能作出 B．只能作出一条 C．能作出两条 D．能作出无数条 变式2．（2024七年级下·全国·课后作业）如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CDAB存在，你知道为什么吗？ 【题型五】平行公理推论的应用 例9．（2024七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 变式2．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（2，－1），C（－1，1）． (1)求A，B两点之间的距离； (2)若，且CD＝2，求点D的坐标． 【题型六】内错角相等两直线平行 例10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 例11．（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，已知，当 时，． 变式1．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【题型七】同旁内角互补两直线平行 例12．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 例13．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 变式1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 一、单选题 1．如图，能够证明的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 3．如图，能判定AD∥BC的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，下列能判定的条件的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 8．如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50°，∠2=130°，则直线a，b的位置关系是 ． 9．如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是 ．（填序号） 10．如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 11．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 12．尺规作图：已知点M在内部，过M作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 13．如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 14．如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中所作图形，在能表示出来的角中，的同旁内角有 ． 15．如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 16．如图，小正方形边长都为1，点，，均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点C到直线的距离为线段_____的长． 17．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $