第05讲 多项式乘多项式（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第05讲 多项式乘多项式（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】多项式乘多项式 示例 多项式与多项式相乘 注意：在进行多项式的乘法运算时,要注意防止出现漏项的现象,如出现 这样的错误. 说明：多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘,即按顺序先将前两个多项式相乘,再把乘积和第三个多项式相乘,依次类推. 【题型一】计算多项式乘多项式 例1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则实数的值（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是关键． 根据整式的乘法运算计算，再根据等式左右两边判定即可求解． 【详解】解：，， ∴， 解得，， 故选：D ． 例2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键．应用多项式乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）要使成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，对应相等即可． 本题考查的是多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记，；已知，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算．先根据的系数可得，再列出运算式子，利用整式的乘法法则和加减法法则进行化简，然后根据常数项相等即可得． 【详解】解：∵的系数是3， ∴， ∴ ， ∵原式， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． (1)则_____． (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意计算，根据多项式相等的条件即可求出a的值即可； （2）列出正确的算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解： ； 【题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例3．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，把等式左边变形为：，再根据，得出，，根据m，n均为正整数，列举所有的因数对，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵m，n为正整数， ∴，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ∴k的值可能是5，，，1． 故选：D． 例4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，则 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．首先根据多项式乘多项式法则得到，然后比较求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 变式1．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 变式2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ； ； ． 你发现有什么规律?按你发现的规律填空： （_____＋______）_____×______ 你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证． 【答案】3，5，3，5；详见解析 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】由多项式乘以多项式法则发现规律，解答． 【详解】解：（x＋3）（x＋5）＝x2＋（3＋5）x＋3×5＝x2＋8x＋15 故答案为：3，5，3，5． （x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab． 验证： （x＋a）（x＋b）＝x2＋ax＋bx＋ab＝x2＋（a＋b）x＋ab． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，是基础考点，掌握相关知识是基础考点． 【题型三】多项式乘多项式——化简求值 例5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算． 【详解】解：∵ ∴， 故选：A． 例6．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 变式1．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，则 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握相关运算法则． 根据得到，将去括号合并同类项，再代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏常州·月考）对于任意有理数，我们规定符号，例如 (1)求的值； (2)求的值，其中． 【答案】(1) (2)， 【知识点】有理数四则混合运算、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，多项式乘多项式，整式的加减混合运算，代数式求值等．熟练掌握多项式乘多项式以及整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据定义的运算规律，进行计算即可求解； （2）先根据根据定义的运算规律，计算，再将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 故原式． 【题型四】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例7．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 例8．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案． 【详解】解： ， ∵关于的代数式化简后不含有项和常数项， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A．2 B．3 C． D．6 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查的是整式的乘法不含某项求参数问题，根据多项式乘法展开后，令一次项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：展开多项式： 根据题意，结果不含的一次项， 一次项系数为0，即，解得． 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵， ，即， 则 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答； （2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得的一次项系数为，常数项为，列式求解得到和的值，即可求得的值． 【详解】解：（1） ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 【题型五】多项式乘多项式与图形面积 例9．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若某长方形的长、宽分别增加，得到的新长方形的面积比原长方形的面积增加，则原长方形的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，正确理解题意是解题的关键． 设原长方形的长，宽为，则由题意得：，再由多项式乘以多项式法则化简计算得到，即可求解原长方形的周长． 【详解】解：设原长方形的长，宽为， 则由题意得：， 整理得：， ∴原长方形的周长为：， 故选：D． 例10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    【答案】7 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项式的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，， ， 即， 故需要C类纸片的张数为：7， 故答案为：7． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】先观察图形可知：阴影部分的面积=正方形的面积-的面积-的面积-正方形的面积，然后根据题意，列出等式求出答案即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是注意利用数形结合的思想理解阴影部分的面积=正方形的面积-的面积-的面积-正方形的面积． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴当a，b的值发生变化时，代数式的值不变的是：， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1)平方米 (2)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把，代入求解面积，进而求出对应的费用即可． 【详解】（1）解：“”型图形的面积为平方米， （2）解：当，时，原式平方米， ∴修建文化广场所需要的费用为元． 【题型六】多项式乘法中的规律性问题 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 例12．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式中规律问题，从运算中发现总结出规律，以及应用规律是解题的关键． （1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的代数式化为，进而根据规律，即可求解； ②根据①的结论得出，，两式相减，即可求解． 【详解】（1）解：观察上式可得：； 故答案为：； （2）① ②由①同理可得：， ∴ 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第二项的系数等于上一行第一项与第二项的系数之和，即可求出的展开式中从左起第二项的系数，即可求解． 【详解】解：展开式中第二项为 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值 ． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究，根据题中规律第一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大，减数都为，利用规律即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5 (5)10； 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． （1）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （2）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （3）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （4）根据题目中提供的计算方法进行计算即可； （5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴所得多项式的一次项系数为7， 故答案为：7； （2）解：， ∴所得多项式的一次项系数为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 所以， 故答案为：； （4）解：∵ ， ∴一次项系数为： 故答案为：5； （5）解：∵ ∴一次项系数为：， 二次项系数为：， 故答案为：10；． 【题型七】整式乘法混合运算 例13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式乘法混合运算 【分析】（1）先根据题意列出抄错的式子计算，得到A即可； （2）把（1）中的结果代入原式计算得到正确答案即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了整式的加减和整式的乘除，解决此题的关键是先根据题意算出A，再把A代入原式子得到正确答案，解决此题的关键是读懂题意，正确算出A的式子． 变式1．现规定一种运算：，其中为实数，则 ． 【答案】y2−y 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】解：x⊕y＋（y−x）⊕y， ＝xy＋x−y＋（y−x）y＋（y−x）−y， ＝y2−y； 故答案为：y2−y． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 一、单选题 1．若将展开的结果中不含有的一次项，则，满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出与的关系即可． 【详解】解：， 将展开的结果中不含有的一次项， ， 故选：A． 2．已知 ，那么 、 的值分别是（    ） A． ， B．， C． ， D． ， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可求出，的值． 【详解】解： 故， ， 故选：A 3．若的结果中项的系数为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为，确定出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果中项的系数为， ∴， ∴， 故选：C． 4．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将和代入即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数， ∴， 解得：，说法①正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项， ∴， 解得，说法②错误； ， 当时，， 当时，， 则，说法③错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 5．从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 6．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 7．琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：B． 8．计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】B 【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解： = = 展开后多项式不含x、y的一次项， ， ， ， 故选B． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键． 9．观察下列一组有规律的式子： … 则的个位数字是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应式子的个位数字． 根据题目中的式子，可以化简所求的式子，然后写出2的次方的前几个数，即可发现个位数字的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解： ， ，，，， ，， 每四个一循环， ， 的末个位数字是6， 的个位数字是5， 故选：B． 10．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当AD-AB=2时，的值是（    ） A．2a B．2b C． D．2a-2b 【答案】C 【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可． 【详解】解：由图可得， 由图1得：， 由图2得：， = = = =， ∵ADAB=2， ∴原式=， 即=， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 12．若的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的项，合并系数，令含有x项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解: ∵不含有x的一次项， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 13．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得，，求解即可得的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案． 【详解】解： 根据题意，展开式中不含三次项和四次项， ∴，， 解得 ，， ∴，， 即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为， ∴展开式中二次项和一次项的系数之和为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式运算、多项式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，正确展开原式是解题关键． 14．已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 15．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案，熟练掌握整式的运算法是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是 ． 【答案】 【分析】先把阴影的为平行四边形的面积化为长方形的面积，然后经过平移得到空白部分的为长方形，长为a-c，宽为b-c，根据长方形面积公式列式计算即可求解即可求解． 【详解】解：原图形可化为图1， 将阴影部分平移得到图2， 所以空白部分的面积为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了列代数式，平移，多项式乘以多项式等知识，根据题意，将平行四边形的面积转化为长方形的面积，进而进行平移，将空白部分面积转化为长方形的面积是解题关键． 17．请看杨辉三角： 并观察下列等式 根据前面各式的规律，则中展开式的第三项是 ． 【答案】15a4b2 【分析】发现：每个单项式的次数都等于左边式子的次数，第一个单项式的底数为a，次数为左边式子的次数，各项是按a的降幂排列的，依此规律写出即可； 【详解】解：， ， ， ， （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， （a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； ∴中展开式的第三项是15a4b2， 故答案为：15a4b2． 【点睛】本题考查了数式规律探究，发现规律：各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和是解题的关键． 三、解答题 18．计算： （1）；                    （2）； （3）；                     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先提出一个负号，然后利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可； （2）利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可； （3）先用，再利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可； （4）先计算多项式乘以多项式，然后利合并同类项求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方和多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则是正确解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则将原式展开，再去括号合并即可化简，最后将a、b值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 21．若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 22．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）； (2)若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积． 【答案】(1)平方米 (2)156平方米 【分析】此题考查了列代数式和求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、计算． （1）先分别表示出音乐喷泉池的长和宽，再运用长方形的面积公式和多项式乘多项式知识进行求解； （2）先运用非负数知识求得a，b的值，再代入计算． 【详解】（1）解：由题意得，该音乐喷泉池的长为：，宽为 ， 该音乐喷泉池的面积为：， 该音乐喷泉池的占地面积是 平方米； （2）解：由题意得， 且 ， 解得 ，， 该广场音乐喷泉的面积为：， 即该广场音乐喷泉的面积 是156平方米． 23．如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 【答案】(1) (2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为： (3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为 【分析】本题主要考查整式的运算与几何图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示列代数式求解即可； （2）根据图示，分别得到阴影部分A，B的边长，结合面积的计算公式求解即可； （3）根据整式混合运算求解即可． 【详解】（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为； （2）解：大长方形的面积为：， 阴影部分A的长为：，宽为：， ∴阴影部分A的面积为：， 阴影部分B的长为：，宽为：， ∴阴影部分B的面积为：； （3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差： ， ∵面积之差与x的值无关， ∴， 解得，， ∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关， ∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 多项式乘多项式（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】多项式乘多项式 示例 多项式与多项式相乘 注意：在进行多项式的乘法运算时,要注意防止出现漏项的现象,如出现 这样的错误. 说明：多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘,即按顺序先将前两个多项式相乘,再把乘积和第三个多项式相乘,依次类推. 【题型一】计算多项式乘多项式 例1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则实数的值（   ） A． B． C．1 D．5 例2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： ． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）要使成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记，；已知，则m的值是 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． (1)则_____． (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例3．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 例4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，则 ． 变式1．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ； ； ． 你发现有什么规律?按你发现的规律填空： （_____＋______）_____×______ 你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证． 【题型三】多项式乘多项式——化简求值 例5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 例6．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 变式1．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，则 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏常州·月考）对于任意有理数，我们规定符号，例如 (1)求的值； (2)求的值，其中． 【题型四】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例7．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A．2 B．3 C． D．6 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若，则的值为 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【题型五】多项式乘多项式与图形面积 例9．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若某长方形的长、宽分别增加，得到的新长方形的面积比原长方形的面积增加，则原长方形的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 例10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为： （填“”、“”或“”）． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． 【题型六】多项式乘法中的规律性问题 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 例12．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘中的常数项3，再用中的常数项2乘中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (2)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则_____________． (4)计算所得多项式的一次项系数为_____________． (5)计算所得多项式的一次项系数为_____________，二次项系数为_____________． 【题型七】整式乘法混合运算 例13．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 变式1．现规定一种运算：，其中为实数，则 ． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 一、单选题 1．若将展开的结果中不含有的一次项，则，满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．已知 ，那么 、 的值分别是（    ） A． ， B．， C． ， D． ， 3．若的结果中项的系数为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．0 4．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 6．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 7．琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．7 9．观察下列一组有规律的式子： … 则的个位数字是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 10．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当AD-AB=2时，的值是（    ） A．2a B．2b C． D．2a-2b 二、填空题 11．计算： ． 12．若的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ． 13．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 ． 14．已知，则的值为 ． 15．计算的结果为 ． 16．如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是 ． 17．请看杨辉三角： 并观察下列等式 根据前面各式的规律，则中展开式的第三项是 ． 三、解答题 18．计算： （1）；                    （2）； （3）；                     （4）． 19．计算： (1) (2) 20．先化简，再求值：，其中，． 21．若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 22．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米、b米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）； (2)若a，b满足，求该广场音乐喷泉的面积． 23．如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 1 学科网（北京）股份有限公司 $