第03讲 矩形 （知识详解+11典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 矩形 （知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义 定义：四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图，在矩形中，由矩形的定义，可知． 所以，所以，即矩形的两组对边平行． 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种特殊的平行四边形． 注意：（1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 【知识点02】矩形的性质 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 【知识点03】矩形的判定 1.定义判定法：四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 注意：有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 注意：两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 易错提醒： (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 【题型一】矩形性质理解 例1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）矩形的较短边长是，两条对角线的夹角为，则这个矩形的面积是 ． 【题型二】利用矩形的性质求角度 例2．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，将矩形ABCD的边BC延长至点E，使，联结AE交对角线BD于点F，交边CD于点G，如果，那么的大小为 ． 变式2．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 例3．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 变式1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 变式2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在矩形中，．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，求线段的长． 【题型四】根据矩形的性质求面积 例3．如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 变式1．（22-23八年级下·上海静安·期末）如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3厘米两部分，那么这个矩形的面积为 平方厘米． 【题型五】矩形与折叠问题 例5．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 变式2．已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P． (1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长； (2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由． 【题型六】矩形的判定定理理解 例6．（22-23八年级下·上海普陀·月考）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是矩形 D．对角线相等且垂直的四边形是矩形 变式1．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ． 【题型七】证明四边形是矩形 例7．（22-23八年级下·上海·月考）有一个内角是直角的四边形的边长，，，，那么下列结论错误的是（    ） A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角相等 C．四边形的对角线互相垂直 D．四边形的对角线相等 变式1．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有 种． 变式2．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【题型八】添一条件使四边形是矩形 例8．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知四边形ABCD中，，，下列说法不正确的是(    ) A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 变式1．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(   ) A． B． C． D． 变式2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形是矩形．． 【题型九】根据矩形的性质与判定求角度 例9． （22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果， 那么 度． 变式1．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【题型十】根据矩形的性质与判定求线段长 例10．（2023八年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作于E，于点F，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D．5 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为 ． 变式2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【题型十一】根据矩形的性质与判定求面积 例11．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知五边形ABCDE中，，∠A＝∠B＝90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有 条． 变式1．（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 变式2．如图，在中，，，．求的面积．    一、单选题 1．在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 2．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，下列哪个条件不能判定平行四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 4．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 5．如图，在矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，如果设折痕为，那么重叠部分的面积等于（    ）    A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 二、填空题 7．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 9．已知在矩形中，对角线相交于点，，，那么 10．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 11．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 12．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 13．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，连接AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为 ． 14．如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为 ． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若，，则EF的长为 ． 16．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 三、解答题 17．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 19．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且．求的面积． 20．在矩形中，相交于点，平分，交于点．若，求的度数． 21．如图，在矩形中，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 23．如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 24．已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 25．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 矩形 （知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义 定义：四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图，在矩形中，由矩形的定义，可知． 所以，所以，即矩形的两组对边平行． 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种特殊的平行四边形． 注意：（1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 【知识点02】矩形的性质 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 【知识点03】矩形的判定 1.定义判定法：四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 注意：有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 注意：两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 易错提醒： (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 【题型一】矩形性质理解 例1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 变式1．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）矩形的较短边长是，两条对角线的夹角为，则这个矩形的面积是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、矩形性质理解 【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB=1，然后由勾股定理求出BC的长，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD， ∴OA=OB， 又∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=1， ∴AC=2OA=2， ∴BC===， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=1×=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC的长是解决问题的关键． 【题型二】利用矩形的性质求角度 例2．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，将矩形ABCD的边BC延长至点E，使，联结AE交对角线BD于点F，交边CD于点G，如果，那么的大小为 ． 【答案】/19度 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】联结AC，AC与BD相交点O，根据矩形的性质可知由已知条件可求出结合即可得出结果． 【详解】解：如图所示：联结AC，AC与BD相交点O， ∵矩形ABCD， 故答案为19° 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 变式2．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【答案】∠DCE＝22.5° 【知识点】利用矩形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】由已知条件可先求得∠DOC，在Rt△OCE中可求得∠ECO，再由矩形的性质可知OC＝OD，则可求得∠DCE． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，OC＝OD， ∴△OCD是等腰三角形， ∴∠DCO＝∠ODC， ∵CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE， ∴∠DOC＝∠ECO＝45°， ∴∠DCO＝＝67.5°， ∴∠DCE＝∠DCO﹣∠OCE＝22.5°． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，利用矩形的性质求得∠DOC是解题的关键，注意OC＝OD的应用． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 例3．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质可知AC=BD且AO=CO，根据AO=3，求出AC，进一步求BD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=OC， ∵AO=3cm， ∴AC=2AO=6cm， ∴BD=6cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 变式1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，由矩形的性质得，由，得，则垂直平分，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在矩形中，．对角线的垂直平分线分别交于点E、F，求线段的长． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】联结，由矩形的性质得，由线段的垂直平分线的性质得，根据勾股定理得，则，即可求得． 【详解】解：联结， ∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【题型四】根据矩形的性质求面积 例3．如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】作于，交于，根据矩形的对角线平分矩形面积的性质得到的面积等于，然后求解即可． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ， ， ，， ， ∴和的面积和， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正确添加辅助线以及利用矩形对角线平分矩形面积得到的面积等于是解决本题的关键． 变式1．（22-23八年级下·上海静安·期末）如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3厘米两部分，那么这个矩形的面积为 平方厘米． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积 【分析】根据题意构造图形分析即可解题，需要注意分类讨论． 【详解】如图，矩形中，平分，点把分为1厘米和3厘米两部分， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时，， 此时矩形的面积是：； ②同理可得，当时，， 此时矩形的面积是； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积的计算方法；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【题型五】矩形与折叠问题 例5．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C不正确，符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：C 变式1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理得出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：， ， 由矩形的性质可得， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P． (1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长； (2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)0.5或2或 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据AAS证明△CPD≌△EPB，设PC=a，则DP=2-a，由勾股定理PC2+ DC2 =PD2,即可求出PC的长； （2）过点M作MQ⊥BC，根据AAS证明△MPQ≌△BPE,即可得出关系式 （3）分情况讨论：P在BC延长线上CP=CE和P在BC上PC=PE 【详解】（1）解：在矩形ABCD 中  AB= CD =1，AD= CB =2，∠A=∠C=90° 由翻折可知 ED= AD=2 ∠E=∠A=90° 又∠DPC=∠BPE ∴△CPD≌△EPB ∴BP=DP，PC=PE 设PC=a， 则DP=2-a 由勾股定理PC2+ DC2 =PD2,得PC2+12 =（2-PC）2 解得PC= （2） 过点M作MQ⊥BC 易证△MPQ≌△BPE ∴BP=MP=y，PQ=PE=x-y 由勾股定理PQ2+ MQ2 =PM2,得(x-y)2+ 12 = y 2 解得 （3）能，理由如下： 当PC=PE时AM=0.5 过点M作MN⊥BC 由勾股定理MN2+ NP2 =MP2,得12+（-x）2=（2-+x）2 解得  x1=0.5 x2=-2（舍去） 同理可得：当PC=PE时AM=2 当CP=CE时AM= 综上可知，AM的长为5或2或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，借助勾股定理进行计算． 【题型六】矩形的判定定理理解 例6．（22-23八年级下·上海普陀·月考）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是矩形 D．对角线相等且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】根据矩形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，表述正确，故B符合题意； 对角线垂直的四边形不一定是矩形，故C不符合题意； 对角线相等且垂直的四边形不一定是矩形，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键． 变式1．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ． 【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”） 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形 【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案是三个角是直角的四边形是矩形． 【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用． 【题型七】证明四边形是矩形 例7．（22-23八年级下·上海·月考）有一个内角是直角的四边形的边长，，，，那么下列结论错误的是（    ） A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角相等 C．四边形的对角线互相垂直 D．四边形的对角线相等 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、证明四边形是矩形 【分析】根据已知条件判断出平行四边形，再根据有一个角是直角判断矩形，最后根据矩形的性质判断正确选项即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一个内角是直角， ∴四边形是矩形， ∴对角线互相平分，对角相等，对角线相等，故A，B，D正确，不合题意； 对角线不一定互相垂直，故C错误，符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件判断出该四边形是矩形． 变式1．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有 种． 【答案】3/三 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是矩形 【分析】此题考查了矩形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分情况讨论，然后根据矩形的判定和全等三角形的性质和判定定理逐项求解判断即可． 【详解】如图所示， 若选择①②③ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； 若选择①②④ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； 若选择②③④ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 综上所述，可以判定四边形为矩形的选择共有3种． 故答案为：3． 变式2．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是矩形． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由： ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型八】添一条件使四边形是矩形 例8．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知四边形ABCD中，，，下列说法不正确的是(    ) A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据题意可得对角线相等，且有一组对边平行，寻找构成平行四边形的条件即可求解． 【详解】解：A. ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； B. 如果，那么四边形可以是等腰梯形，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；    故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 变式1．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：再添加条件为AD＝BC，AC＝BD可以判定四边形ABCD为矩形，理由如下： ∵AD//BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 变式2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形是矩形．． 【答案】 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当时，四边形ABCD为矩形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 【题型九】根据矩形的性质与判定求角度 例9．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么 度． 【答案】105 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 变式1．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【题型十】根据矩形的性质与判定求线段长 例10．（2023八年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作于E，于点F，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】先证明四边形是矩形，再连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可． 【详解】连接，如图所示 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小，此时 ∵， ∴， ∴的最小值为：． ∴线段长的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 变式1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为 ． 【答案】平方厘米 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 过点分别作，则四边形为矩形，，在中，利用角直角三角形的性质以及勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，由勾股定理求出，然后同理可求，而，那么即可求出，即可求解面积． 【详解】解：过点分别作， 由题意得，，，， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 即中间留白部分的平行四边形的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米. 变式2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点D作交于点M，可证四边形是矩形，根据，平分，得到，然后利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出，然后表示出、的长即可求解； （3）延长交于点N，即可证明四边形是平行四边形，则，再证明，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点D作交于点M，如图， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴． （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴． （3）延长交于点N，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得，， 即， 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键． 【题型十一】根据矩形的性质与判定求面积 例11．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知五边形ABCDE中，，∠A＝∠B＝90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有 条． 【答案】无数 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、多边形内角和问题 【分析】过点C作与AB平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边DE、AB的交点分别为P、Q，线段PQ的中点为O，则经过点O且与边DE、AB相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分． 【详解】解：将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有无数条． 【点睛】本题考查了转化思想，把多边形问题转换为特殊的四边形来进行解决是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）矩形面积ABCD的面积=AC∙DF，求出DF，AC即可求得矩形面积． 【详解】（1）证明：如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EAB＝∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝CE， 连接BD交AC于点O， ∵AF＝FE＝2， ∴AC＝BD＝6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝DO＝3， 在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°， ∴DF＝＝＝2， ∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 变式2．如图，在中，，，．求的面积．    【答案】168 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出是矩形即可． 【详解】解： 是平行四边形， ∴， ∵，， ， ， ， 是直角三角形，即是直角， ∴是矩形， ． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答． 一、单选题 1．在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，下列哪个条件不能判定平行四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可． 【详解】A. ，有一个角为直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B. 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 四边形ABCD是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C. 可判定平行四边形ABCD为菱形，符合题意； D. ，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键． 3．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐个进行判断即可． 【详解】解：A、根据矩形的定义可知：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A选项不符合题意； B、根据矩形的判定可知：有三个角为直角的四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意； C、根据矩形的判定可知：对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故C选项不符合题意； D、根据菱形的判定可知：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直的平行四边形是矩形的说法不正确，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解决问题的关键． 4．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中， 故选D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键． 5．如图，在矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，如果设折痕为，那么重叠部分的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求重叠部分的面积，选择作为底，高就等于的长；而由折叠可知，由平行得，代换后，可知，问题转化为在中求． 【详解】解：设，由折叠可知，，， 在中，，即， 解得：； 由折叠可知，由得， ，即； ． 故选B． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 6．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ； 在和中， ， ， ， ； ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解决问题的关键． 二、填空题 7．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 9．已知在矩形中，对角线相交于点，，，那么 【答案】 【分析】本题考查了对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，关键是根据性质求出和的长．根据矩形的性质求出，证是等边三角形，求出和的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 矩形， ， 由勾股定理得：， 故答案为：． 10．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 21 【分析】本题考查矩形的判定和性质、三角形的面积.由矩形的判定和性质得到，，，，，即可得到，计算即可. 【详解】解：作于M，交于N，如图，    则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：；21． 11．如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，延长交于H，证明四边形是矩形，再求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ∵矩形和矩形的一组邻边长分别为5和12， ，，，， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ∴， 故答案为：． 12．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 13．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，连接AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为 ． 【答案】45° 【分析】连接AC交BD于点O，根据矩形的性质可得OB＝OC，∠OBC＝∠OCB，CE＝BD=AC，从而可求∠CAE＝∠E＝15°，∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，进而根据外角可求． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CE＝BD， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E＝15°， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°， ∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°； 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 14．如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为 ． 【答案】1或9 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想是解题的关键．分E在线段上和线段的延长上讨论，先根据折叠的性质和勾股定理求得，然后在中，根据勾股定理得到，结合，求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 当E在线段上，如图， ∵将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； 当E在线段的延长上，如图， ∵将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，的长为1或9， 故答案为：1或9． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若，，则EF的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分． 先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，然后通过证明，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵， ． ，， ， ． 在中，， 即， 解得． ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 16．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键； 依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接、、、，四边形即为所求矩形． 【详解】解：如图，点E、F即为所求 18．如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 【答案】． 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接，求得的面积为，再利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的面积为， ∵为矩形的边的中点， ∴的面积为，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 19．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且．求的面积． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 20．在矩形中，相交于点，平分，交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和角平分线得是等腰三角形，根据角之间的关系得是等边三角形，根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的综合题，解题的关键是掌握矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质． 21．如图，在矩形中，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）结合矩形的性质，证明，即可得证； （2）根据题意得出，是等腰直角三角形，根据，，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ，． ， ． ． （2）， ， 又， 是等腰直角三角形， ． 在矩形中， ， 是等腰直角三角形． ． 同理，． 在矩形中，， ． 22．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 23．如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得再证明然后证明即可得出结论； （2）证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵分别是的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形为矩形． 24．已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，．由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由折叠的性质结合平行线的性质可得，由同角的余角相等可得，从而证明出，证明得出，即可得证． 【详解】（1）证明：矩形， ∴，． ∴， ∵沿直线翻折 ． ． ， ∴． ∵， ∴， ∴． ． ． 在中，． 在中，． 又， ， ． ． （2）证明：如图： 沿直线翻折， ． ， ， ， ，， ， ∴． ． 又． ． ， ，． 又， ． ， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $