第01讲 多边形（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

本初中数学讲义聚焦多边形核心知识，系统梳理多边形的概念（边、内角、外角、对角线及分类），通过三种推导方法详解内角和定理，结合实例阐释外角和定理，构建从概念到性质的完整知识支架。 资料以8类典例（含上海期中期末真题）覆盖概念辨析、对角线计算等题型，通过多样推导培养推理意识，几何直观辅助理解，习题巩固提升应用能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

第01讲 多边形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】多边形的有关概念 1.多边形 一般地，在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等，三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形（为正整数，且）。如图中的屋顶、窗户、地砖等，从中可见三角形、四边形、五边形、六边形、八边形等多边形。 2.多边形的边、内角、外角、顶点、对角线 组成多边形的每一条线段叫作多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫作多边形的顶点。 多边形各顶点通常用大写英文字母表示。 如下图，五边形的顶点依次分别是，记作五边形。 多边形相邻两边所成的角叫作多边形的内角。 如图，都是五边形的内角。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 如图，就是五边形的两条对角线。 3.多边形的分类 对于一个多边形，如果画出它的任意一边所在的直线时，其余各边都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫作凸多边形.左图是凸多边形，右图不是凸多边形.如无特别说明，本套教科书中所说的多边形都指凸多边形. 【知识点02】多边形的内角和 1.多边形的内角和定理 n边形的内角和等于． 设多边形是n边形。任取多边形的一个顶点，分别连接该顶点与其他不相邻的各个顶点，这个n边形被分成个三角形，这样n边形的内角和等于个三角形的内角和之和。因为个三角形的内角和之和等于，所以n边形的内角和等于。 2.多边形的内角和的三种推导方法 定理 推理过程 拓展 n边形的内角和等于 方法 1：如图所示，从边形的一个顶点引出（）条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以边形的内角和是 正n边形的每条边都相等，每个角都相等，其内角和为， 所以正n边形的每个内角的度数为 方法 2：如图所示，在边形内任取一点，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是 方法 3：如图所示，在边形的一边上任取一点与各顶点相连，得（）个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点处的一个平角，即 【知识点03】多边形的外角和 1.多边形的外角 多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角． 如图，是五边形的一个外角． 多边形的外角与它相邻的内角互补． 多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角为对顶角，它们相等． 如图，和是五边形的外角中具有这种关系的两个外角． 2.多边形的外角和定理 对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取一个，这样得到的所有外角的和，叫作多边形的外角和． 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于360°。 设多边形是边形．因为多边形的任意一个外角与同它相邻的内角互补，即它们的和等于（如图），所以边形的外角和加内角和等于，于是边形的外角和等于减去边形的内角和，即，所以边形的外角和等于． 多边形的外角和不随着多边形边数的变化而变化，是一个常数． 【题型一】多边形的概念与分类 例1．下列说法中，正确的有（    ） ①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形； ②三角形是边数最少的多边形； ③n边形有n条边、n个顶点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1．（22-23八年级下·上海青浦·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【题型二】多边形对角线的条数问题 例2．（22-23八年级下·上海静安·期中）若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 变式2．（22-23八年级下·上海松江·期中）若一个多边形的每个外角都是40°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 【题型三】对角线分成的三角形个数问题 例3．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）已知从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为10个三角形，则此多边形的内角和是 变式2．从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空. 当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；   …… 你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？ 【题型四】多边形内角和问题 例4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 例6．（22-23八年级下·上海浦东新·期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少． 变式1．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式2．（2025八年级下·上海·专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 变式3．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图所示，求． 【题型五】多（少）算一个角问题 例7．（22-23八年级下·上海·课后作业）从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（  ）. A．15 B．17 C．19 D．13 变式1．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 变式2．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【题型六】多边形截角后的内角和问题 例8．（2024·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 变式1．（22-23八年级下·上海·期中）一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是 ． 变式2．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影 新多边形内角和比原多边形的内角和增加了． 新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． 新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了． 将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．    【题型七】多边形外角和的实际应用 例9．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 例10．如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 变式1．（2025八年级下·上海·专题练习）如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ． 变式2．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【题型八】多边形内角和与外角和综合 例11．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 例12．（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 例13．（2025八年级下·上海·专题练习）一个边形的一个外角为，与这个外角不相邻的所有内角和为，则与的关系是什么？ 变式1．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ． 变式3．（2023八年级下·上海·专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？ 变式4．（2023八年级下·上海·课后作业）附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 一、单选题 1．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（    ） A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定 2．过八边形的某一个顶点能画的对角线条数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 4．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 5．多边形的内角和为720°，则它共有对角线(   ) A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 6．一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、填空题 7．从六边形的一个顶点出发可以连接的对角线条数为 ． 8．小明画了一个七边形，并量出它的内角和是S度，则 ． 9．如果一个多边形的内角和为1080°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线有 条． 10．一个多边形的内角和与一个外角的和是，则这个多边形是 ． 11．一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形是 边形，共有 条对角线数． 12．从五边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个五边形分成 个三角形． 13．如图，在五边形ABCDE中，，DP，CP分别平分，，则的度数是 ． 14．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 ． 15．一个n边形有20条对角线，则 ． 16．一个n边形除一个内角外，其余各个内角的和为1680度，那么这个多边形的变边数是 ，这个内角是 度． 三、解答题 17．如图，求出下列图形中x的值． 18．若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和､外角和分别有什么异同？ 19．过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？ 20．（1）正多边形的每个内角比它相邻的外角的倍还多，求这个多边形的对角线条数． （2）已知等腰三角形周长为cm，腰长为cm，求的取值范围． 21．已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 多边形（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】多边形的有关概念 1.多边形 一般地，在同一平面上，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作多边形。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等，三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫作n边形（为正整数，且）。如图中的屋顶、窗户、地砖等，从中可见三角形、四边形、五边形、六边形、八边形等多边形。 2.多边形的边、内角、外角、顶点、对角线 组成多边形的每一条线段叫作多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫作多边形的顶点。 多边形各顶点通常用大写英文字母表示。 如下图，五边形的顶点依次分别是，记作五边形。 多边形相邻两边所成的角叫作多边形的内角。 如图，都是五边形的内角。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 如图，就是五边形的两条对角线。 3.多边形的分类 对于一个多边形，如果画出它的任意一边所在的直线时，其余各边都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫作凸多边形.左图是凸多边形，右图不是凸多边形.如无特别说明，本套教科书中所说的多边形都指凸多边形. 【知识点02】多边形的内角和 1.多边形的内角和定理 n边形的内角和等于． 设多边形是n边形。任取多边形的一个顶点，分别连接该顶点与其他不相邻的各个顶点，这个n边形被分成个三角形，这样n边形的内角和等于个三角形的内角和之和。因为个三角形的内角和之和等于，所以n边形的内角和等于。 2.多边形的内角和的三种推导方法 定理 推理过程 拓展 n边形的内角和等于 方法 1：如图所示，从边形的一个顶点引出（）条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以边形的内角和是 正n边形的每条边都相等，每个角都相等，其内角和为， 所以正n边形的每个内角的度数为 方法 2：如图所示，在边形内任取一点，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是 方法 3：如图所示，在边形的一边上任取一点与各顶点相连，得（）个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点处的一个平角，即 【知识点03】多边形的外角和 1.多边形的外角 多边形内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角． 如图，是五边形的一个外角． 多边形的外角与它相邻的内角互补． 多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角为对顶角，它们相等． 如图，和是五边形的外角中具有这种关系的两个外角． 2.多边形的外角和定理 对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取一个，这样得到的所有外角的和，叫作多边形的外角和． 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于360°。 设多边形是边形．因为多边形的任意一个外角与同它相邻的内角互补，即它们的和等于（如图），所以边形的外角和加内角和等于，于是边形的外角和等于减去边形的内角和，即，所以边形的外角和等于． 多边形的外角和不随着多边形边数的变化而变化，是一个常数． 【题型一】多边形的概念与分类 例1．下列说法中，正确的有（    ） ①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形； ②三角形是边数最少的多边形； ③n边形有n条边、n个顶点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据多边形的定义判断即可． 【详解】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的定义，掌握知识点是解题关键． 变式1．（22-23八年级下·上海青浦·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【答案】 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 【点睛】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键． 【题型二】多边形对角线的条数问题 例2．（22-23八年级下·上海静安·期中）若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴这个多边形是八边形， ∴这个多边形的内角和为， 故选C． 【点睛】本题主要考查多边形边数与对角线数量及内角和的关系，熟练掌握相关公式是关键． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 【答案】20 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 变式2．（22-23八年级下·上海松江·期中）若一个多边形的每个外角都是40°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线． 【答案】6 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】根据多边形的外角和为360°求得多边形的边数，然后即可求得答案. 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是40°， ∴该多边形的边数为360°÷40°=9， 则从这个多边形的一个顶点出发可以画9﹣3=6条对角线. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查多边形的外角和与对角线，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【题型三】对角线分成的三角形个数问题 例3．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 变式1．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）已知从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为10个三角形，则此多边形的内角和是 【答案】1800° 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分为10个三角形，则此多边形内角和就是这10个三角形的角的和．因而此多边形内角和是10×180°＝1800°． 【详解】解：10×180°＝1800°， 故答案为：1800°． 【点睛】把一个多边形求内角和的问题转化为三角形的问题，体现了数学中的转化思想． 变式2．从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空. 当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形； 当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；   …… 你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？ 【答案】3,4, 5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可． 【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n边形被分为（n-1）个三角形． ∵n-(n-1)=1， ∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1. 【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系． 【题型四】多边形内角和问题 例4．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多项式内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案． 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 例5．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 【答案】54 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 例6．（22-23八年级下·上海浦东新·期中）在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少． 【答案】，，，. 【知识点】多边形内角和问题 【分析】先根据四边形ABCD的相对的两个内角互补，及已知求出∠A，从而得出∠C，∠B，∠D的度数． 【详解】由 设，， 因为， 得， 解得， ，，， 因为， 所以. 【点睛】本题考查多边形的内角，解题关键是根据补角的定义及比例式找到相互间的关系． 变式1．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 变式2．（2025八年级下·上海·专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 变式3．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图所示，求． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题 【分析】此题考查三角形外角的性质，多边形内角和，设与、的交点为、，根据三角形外角的性质得到,，即可求出答案，正确理解三角形外角性质将角度进行转化是解题的关键 【详解】解：设与、的交点为、， ∵, ∴ ∴ 【题型五】多（少）算一个角问题 例7．（22-23八年级下·上海·课后作业）从一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°，则原多边形的边数是（  ）. A．15 B．17 C．19 D．13 【答案】B 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】根据多边形内角和定理可表示出去除的内角的度数，由多边形的一个内角的度数大于0°而小于180°即可求出n的取值范围，根据n为正整数即可得答案. 【详解】∵一个n边形中除去一个角后，其余(n-1)个内角和是2580°， ∴去除的内角的度数为(n-2)180°-2580°， ∴0<(n-2)180°-2580°<180°， 解得：16<n<17， ∵n为正整数， ∴n=17， 故选B. 【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和定理是解题关键. 变式1．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 变式2．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 【题型六】多边形截角后的内角和问题 例8．（2024·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 变式1．（22-23八年级下·上海·期中）一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是 ． 【答案】13或14或15 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得： （n﹣2）•180°=2160° 解得：n=14． ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是13或14或15． 故答案为13或14或15． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 变式2．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影 新多边形内角和比原多边形的内角和增加了． 新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． 新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了． 将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．    【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17． 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解； ②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解； ③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解； （2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】如图所示：   设新多边形的边数为n， 则， 解得， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 故原多边形的边数可以为15，16或17． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【题型七】多边形外角和的实际应用 例9．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于．利用多边形的外角和特征即可解决问题． 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 例10．如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【答案】转过的角度为360° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】该题主要考查了多边形的外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的外角和为． 根据五边形的外角和为即可求解； 【详解】解：根据图象可得运动员转过的角度是五边形的外角和， ∵五边形的外角和为， ∴他转过的角度为． 变式1．（2025八年级下·上海·专题练习）如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】18 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故答案为：18. 变式2．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 【题型八】多边形内角和与外角和综合 例11．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 例12．（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】六/6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出，解之即可得出答案． 本题主要考查多边形内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和为． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则，解得，即这个多边形的边数为六． 故答案为：六． 例13．（2025八年级下·上海·专题练习）一个边形的一个外角为，与这个外角不相邻的所有内角和为，则与的关系是什么？ 【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 变式1．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角和，根据任意凸多边形的外角和是，内角与其相邻的外角是邻补角的关系，可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角，即可求解． 【详解】解： 任意凸多边形的外角和是， 外角中最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ． 【答案】5 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，解题关键是明确多边形的外角和等于． 根据多边形的外角和等于，用除以即可得的值． 【详解】解：∵边形的每个外角都相等且等于， ∴， 故答案为：5． 变式3．（2023八年级下·上海·专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？ 【答案】是十二边形，它的每个内角150° 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】根据多边形从一个顶点引出的对角线条数公式（n﹣3）求出多边形的边数，再根据多边形的内角和即可求解每个内角． 【详解】解：设多边形边数为n， ∵从凸多边形的一个顶点出发可以引出9条对角线， ∴n﹣3＝9， 解得n＝12， 所以，它是十二边形， 它的每个内角＝×（12﹣2）×180°＝150°． 答：它是十二边形，它的每个内角150°． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形对角线公式求出边数是解题的关键． 变式4．（2023八年级下·上海·课后作业）附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 【答案】α5=172°；α6=60°，α8=45°，α=． 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】如图，延长BA到F，根据多边形外角和为360°可得∠EAF的度数，根据正多边形内角和可得∠ABC=∠BAE=108°，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA=36°，利用三角形外角性质可得α=∠EAF，即可得正五边形中α的值，讨论可得α6、α8的值，根据所得规律即可得当正多边形的边数是n时α的值. 【详解】如图，延长BA到F， ∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角， ∴∠EAF=360°÷5=72°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°， ∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB， ∴α=∠EAF=72°， 同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°， 当正多边形的边数是n时，α=． 故答案为36°；60°；45°； 【点睛】本题考查多边形内角与外角及等腰三角形的性质．通过特例分析从而归纳总结出一般结论是解题关键. 一、单选题 1．一个多边形边数每增加1条时，其内角和（    ） A．增加 B．增加 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180° 判断即可． 【详解】解：∵n边形的内角和=（n-2）×180°， ∴多边形的边数增加1，其内角和增加180°， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，理解多边形内角和公式是求解本题的关键． 2．过八边形的某一个顶点能画的对角线条数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，解题的关键在于掌握计算方法：根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可直接得到答案． 【详解】从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有：（条） 故选：D． 3．若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】设多边形为边形，则多边形的外角和为，内角和为，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设多边形为边形，则多边形的外角和为，内角和为， 由题意得，， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、外角和，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】B 【分析】先算出三个图形的内角是多少，再根据三个平角的和即可求出∠3的值． 【详解】如图所示： ∵等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°， 正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠3+108°+∠BAC+∠1+60°+∠BCA+∠2+90°+∠ABC=540°（三个平角的为540°） ∠3＝540°-180°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2 ＝10°． 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和．找出图中的△ABC利用内角和是180°是解决本题的关键． 5．多边形的内角和为720°，则它共有对角线(   ) A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【分析】先根据内角和求出这个多边形的边数，再根据对角线条数与边数之间的关系式即可进行解答． 【详解】解：设这个多边形有n条边， ，解得：， ∴这个多边形对角线的条数为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和为以及多边形对角线的条数和边的关系式为． 6．一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 二、填空题 7．从六边形的一个顶点出发可以连接的对角线条数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是．根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是进行计算即可． 【详解】解：n边形（）从一个顶点出友，可以画（）条对角线， 从六边形的一个顶点出发可以画条对角线． 故答案为：． 8．小明画了一个七边形，并量出它的内角和是S度，则 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟悉相关性质是解题的关键． 根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：一个七边形的内角和等于； 故答案为：． 9．如果一个多边形的内角和为1080°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线有 条． 【答案】5 【分析】根据多边形内角和的公式，求得多边形的边数，即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为 由多边形内角和的公式可得，解得 多边形为八边形，有八个顶点， 从这个多边形的一个顶点出发的对角线有5条 故答案为5 【点睛】此题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 10．一个多边形的内角和与一个外角的和是，则这个多边形是 ． 【答案】八边形 【分析】根据多边形的内角和可得利用除以，商是，余数就是那个外角的度数，由此即可得． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ， 则， 解得， 即这个多边形是八边形， 故答案为：八边形． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键． 11．一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形是 边形，共有 条对角线数． 【答案】 八 【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，列式计算求出n，再根据多边形的对角线的数量公式进行计算即可． 【详解】解：设所求多边形的边数为n， 一个多边形的内角和是外角和的3倍， ， ； 即多边形是八边形， 对角线的数量为（条）； 即共有条对角线． 故答案为：八， 【点睛】此题考查多边形的内角和公式、多边形的外角和定理以及多边形的对角线的数量公式，熟练掌握相关公式和定理是解题的关键． 12．从五边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个五边形分成 个三角形． 【答案】3/三 【分析】从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，共分成了（n-2）个三角形. 【详解】解：当n=5时，5-2=3． 即可以把这个五边形分成了3个三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，共分成了（n-2）个三角形. 13．如图，在五边形ABCDE中，，DP，CP分别平分，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵五边形的内角和为， ∴， ∵分别为、的平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为是解题关键． 14．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【答案】16或17或18 【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18， 所以多边形的边数可以为16或17或18． 故答案为：16或17或18． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 15．一个n边形有20条对角线，则 ． 【答案】8 【分析】利用多边形的对角线公式列得方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：或（舍去）， 即， 故答案为：8． 【点睛】本题考查多边形的对角线及解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 16．一个n边形除一个内角外，其余各个内角的和为1680度，那么这个多边形的变边数是 ，这个内角是 度． 【答案】 12 120 【分析】本题考查多边形的内角和，根据多边形的内角和为的整数倍，进行求解即可． 【详解】解：设这个内角的度数为，由题意，得：， ∴，； 故答案为：12，120． 三、解答题 17．如图，求出下列图形中x的值． 【答案】 【分析】根据多边形内角和定理，即可求得． 【详解】解：由题图1得，四边形的内角和为，则 ，解得 ， 由题图2得，四边形的内角和为，则 ，解得， 由题图3得，五边形的内角和为，则，解得． 【点睛】本题考查多边形内角和定理，掌握计算多边形内角和度数是解题关键． 18．若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和､外角和分别有什么异同？ 【答案】内角和相差，外角和相等 【分析】根据多边形内角和公式，多边形的内角和的度数等于180°（n-2），结合题意，两多边形的边数相差1，即得内角和相差了180°，多边形的外角和恒为360° 【详解】设其中一个多边形的边数为n，则另一多边形的边数为n+1， 根据题意有，180°（n+1-2）-180°（n-2）=180°×1=180°． 故两个多边形内角和相差180°，外角和相等都为360°． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°的知识点． 19．过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是几边形？ 【答案】九边形 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7， 解得：n=9， 故这个多边形是九边形． 【点睛】本题考查了多边形的对角线分成三角形的问题，理解n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形是解题的关键． 20．（1）正多边形的每个内角比它相邻的外角的倍还多，求这个多边形的对角线条数． （2）已知等腰三角形周长为cm，腰长为cm，求的取值范围． 【答案】（1）条；（2） 【分析】（1）设多边形的一个外角为，列方程求出，再根据对角线公式求出答案； （2）根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定的取值范围． 【详解】解：（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于， 由题意，得，解得， 即多边形的每个外角为， 又∵多边形的外角和为， ∴多边形的外角个数， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形的对角线条数（条）； （2）∵等腰三角形周长为cm，腰长为cm，根据三角形的三边关系得， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，等腰三角形三边关系的性质，三角形三边关系定理，解不等式组，熟练掌握多边形内角与相邻外角的关系和三角形三边关系定理是解题的关键． 21．已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求n的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）直接根据多边形内角和公式为求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 所以这个多边形的内角和为； （2）由题意得，， 解得：， 所以n的值为8． 【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $