第01讲 二次根式的意义与性质（知识详解+7典例分析+习题巩固） 2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 二次根式的意义与性质（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的概念 1.二次根式：像(a≥0）这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。 （1）二次根式的定义是“形式定义”，即二次根式必须含有二次根号“  ”。 （2）中的a可以是数，也可以是含字母的代数式， 既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果。 2.二次根式具有双重非负性 ①二次根式是一个非负数，即；②被开方数 是一个非负数，即 。 【知识点02】二次根式有意义的条件 条件 字母表示 𝑎 有意义 被开方数𝑎 为非负数。 𝑎有意义⇔𝑎≥0 。 【知识点03】二次根式的性质： 性质 文字语言 应用 (𝑎)2=𝑎  （𝑎≥0 ） 一个非负数的 算术平方根的平方等于它本身。 （1） 正用,如(2)2=2 ； （2）逆用,如5=(5)2 。 对于 ,无论是正用，还是逆用，都要注意前提条件:。如只有当 时，才成立 性质 文字语言 应用 一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 化简形如 的式子时，先写成|𝑎|，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如。 可以是任意实数，但计算结果不一定是 辨析：,<>的不同点和相同点#5.1 (𝑎≥0)  不同点 表示的意义 表示一个非负数的算术平方根的平方。 表示一个任意实数平方的算术平方根。 𝑎 的取值范围 非负数。 全体实数。 运算顺序 先开方，后平方。 先平方，后开方。 运算结果 ()²=𝑎(𝑎≥0) 。 相同点 (𝑎≥0)与 的结果都是非负数，且当𝑎≥0时，()²==𝑎 。 【知识点04】二次根式的积和商的性质 文字语言 符号语言 二次根式的积的性质 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。 （𝑎≥0，𝑏≥0 ）。 勿忘前提条件 二次根式的商的性质 一个非负数除以一个正数，商的算术平方根等于算术平方根的商。 【知识点05】最简二次根式 1. 最简二次根式的概念：在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方。 。 化去根号内的分母。 若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成假分数。 或 化去根号内的分母。 若被开方数中含有小数，则应先将小数化成分数。 或 。 被开方数是多项式的要先进行因式分解。 = =。 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键． 直接利用二次根式的定义：形如()的代数式，逐一分析即可得出答案． 【详解】A、的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的被开方数为负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、的被开方数7一定大于0，故本选项符合题意； D、的中的可能小于0，不一定为二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 变式1．下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 【题型二】求二次根式中的参数 例2．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程． 【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数， ∴，解得， ∴实数n最大值取， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 例3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【知识点】求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 变式1．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定． 【详解】解：，而是整数， 的最小值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 变式2．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 【题型三】二次根式有意义的条件 例4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）二次根式中，字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 故选：D． 例5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， 故答案为：1（答案不唯一） 变式1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握被开方数为非负数是关键，根据题意得到，由此求不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列二次根式中字母的取值范围： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：由题可得，， 解得：； （2）解：由题可得， 解得：． 【题型四】求二次根式的值 例6．（2024八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 例7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 变式2．当时，求二次根式的值． 【答案】3 【知识点】求二次根式的值 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）二次根式化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题的关键． 直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 【详解】． 故选：A． 例9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一个数的绝对值 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及去绝对值，先由变形，再由绝对值的代数意义去绝对值即可得到答案，熟记，掌握绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先计算出的结果，再根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）计算：，圆圆的做法是． 圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，过程见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】利用二次根式的性质进行化简求值，即可得到答案． 【详解】解：不正确，解题过程如下： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．注意如果被开方数是代数式和的形式，不能直接拆分． 【题型六】最简二次根式的判断 例10．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据定义逐项判断即可得出答案. 【详解】解：，，， 选项A、B、C都不是最简二次根式，是最简二次根式． 故选：D. 例11．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式； 选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式； 选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式； 选项D：，可化简为2，故不是最简二次根式． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是二次根式．熟练掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键． 最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，A不是最简二次根式； B. ，B不是最简二次根式； C. ，C是最简二次根式； D. ，D不是最简二次根式． 故选：C． 变式2．在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】3 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可，解题的关键是掌握在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【详解】解：，，为最简二次根式，有3个， 故答案为：． 【题型七】化为最简二次根式 例12．（22-23八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【知识点】化为最简二次根式 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 变式1．（2023八年级下·浙江·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 变式2．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】利用二次根式化简即可． 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 【点睛】本题主要考查化简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 一、单选题 1．实数对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据实数对应的点在数轴上的位置得m的取值范围，即可进行化简求值． 【详解】解：根据实数对应的点在数轴上的位置得， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练算术平方根的性质是解题的关键． 2．已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知a，b必须异号，而，易确定a，b的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴或， ∴ 故选：A． 3．如果，那么（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式组可得x＝4，进而可得y＝1，然后计算出即可． 【详解】解：由题意得：，解得：x＝4， 则y＝1， ∴=2+1=3． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 4．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，，再结合与的大小关系，判断的符号，进而化简绝对值． 【详解】解：由二次根式的性质，得：． 因为，而， 所以，即为负数． 根据绝对值的定义，得：． 因此， 故选：D． 5．下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．﹣＝﹣8 C．＝2 D．﹣ 【答案】B 【分析】按照平方根和立方根的定义及二次根式运算法则求解即可； 【详解】A、＝4，所以A选项不符合题意； B、原式＝﹣8，所以B选项符合题意； C、原式＝﹣2，所以C选项不符合题意； D、原式＝，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，主要是平方根和立方根的运算，难度一般． 6．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）    A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 【答案】B 【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1， ∴a>0， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a =a+1+1- a =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答． 【详解】解：由题意可得： 2n-5=5-2n=0， ∴m=0+0+2=2， ∴n-m= 故选A． 【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　 8．已知，且，则以a、b、c为三边长的三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件求得a=3，根据非负数的性质求出b=4，c=5，根据勾股定理的逆定理即可得出以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴a2-9=0，a+3≠0， ∴a=3， ∵， ，， ∴b=4，c=5， ∵32+42=52， ∴a2+b2=c2， ∴以a、b、c为三边长的三角形为直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件、非负数的性质、勾股定理的逆定理，掌握分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0是解题的关键． 9．已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 故选：C． 10．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 【详解】解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 二、填空题 11．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 12．二次根式中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握相关知识解题关键． 根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， ． 故答案为：． 13．若实数a，b满足，则 ． 【答案】1 【分析】根据平方的非负性以及二次根式的非负性确定的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得 ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，非负数的性质，根据性质求得的值是解题的关键． 14．请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】题目主要考查二次根式的比较大小，解题的关键是根据题意得出，，然后取根式即可． 【详解】解：∵，， ∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 15．已知，化简二次根式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的四则性质求解即可． 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知，分子， ∵，得到， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解答本类题的关键． 16．若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 17．实数a、b、c在数轴上表示如图，则＝ ． 【答案】 【分析】首先根据数轴，得出，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴，可得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴、二次根式的性质、绝对值的意义，解本题的关键在根据数轴确定的正负． 18．的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数；根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，判断原式的正负性则可得知原式的绝对值； 本题考查了相反数和绝对值，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解： 的相反数是 ； ∵ ， ∴ ，其绝对值为它本身， 即 ； 故答案为：，． 三、解答题 19．下列各式是否有意义 （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）有意义；（2）无意义；（3）有意义；（4）有意义 【分析】直接利用二次根式的被开方数具有非负性分析得出答案． 【详解】解：（1）被开方数是3≥0，有意义； （2）被开方数是－3＜0，无意义； （3）被开方数是≥0，有意义； （4）被开方数是≥0，有意义． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式被开方数的非负性是解题关键． 20．当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 21．计算下列各式； （1）       （2）      （3）       （4） （5）     （6）         （7） 【答案】（1）18；（2）6；（3）；（4）-9；（5）36；（6）-；（7） 【分析】根据二次根式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4） （5）； （6） ； （7） 【点睛】本题主要考查了二次根式性质的运用，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 22．实数，，在数轴上对应的点如图：    化简． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里式子的正负，利用绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，，，， ∴ ． 【点睛】此题考查了二次根式和绝对值的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 23．已知为有理数，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件—被开方数大于等于，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的值，再把代入原式即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 24．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．    【答案】． 【分析】本题考查了整式的加减，二次根式的性质，由二次根式的性质进行化简，再根据数轴分别判断，，的正负，去掉绝对值，最后合并同类项即可，掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ∴ ， ． 25．【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 (1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”； (2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2)底边的长为或． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． （1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”； （2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是“奇异三角形”； （2）解：分两种情况： 如图，当腰上的中线时，则，过B作于E， ∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴中，； 如图，当底边上的中线时，则，且， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述，底边的长为或． 26．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮  因式分解错误 (2) 【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法； （2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号． （2）解：原式． 根据二次根式性质，已知，则，故： 代入化简： 原式． 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式的意义与性质（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的概念 1.二次根式：像(a≥0）这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。 （1）二次根式的定义是“形式定义”，即二次根式必须含有二次根号“  ”。 （2）中的a可以是数，也可以是含字母的代数式， 既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果。 2.二次根式具有双重非负性 ①二次根式是一个非负数，即；②被开方数 是一个非负数，即 。 【知识点02】二次根式有意义的条件 条件 字母表示 𝑎 有意义 被开方数𝑎 为非负数。 𝑎有意义⇔𝑎≥0 。 【知识点03】二次根式的性质： 性质 文字语言 应用 (𝑎)2=𝑎  （𝑎≥0 ） 一个非负数的 算术平方根的平方等于它本身。 （1） 正用,如(2)2=2 ； （2）逆用,如5=(5)2 。 对于 ,无论是正用，还是逆用，都要注意前提条件:。如只有当 时，才成立 性质 文字语言 应用 一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 化简形如 的式子时，先写成|𝑎|，再根据𝑎 的符号去掉绝对值符号，如。 可以是任意实数，但计算结果不一定是 辨析：,<>的不同点和相同点#5.1 (𝑎≥0)  不同点 表示的意义 表示一个非负数的算术平方根的平方。 表示一个任意实数平方的算术平方根。 𝑎 的取值范围 非负数。 全体实数。 运算顺序 先开方，后平方。 先平方，后开方。 运算结果 ()²=𝑎(𝑎≥0) 。 相同点 (𝑎≥0)与 的结果都是非负数，且当𝑎≥0时，()²==𝑎 。 【知识点04】二次根式的积和商的性质 文字语言 符号语言 二次根式的积的性质 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。 （𝑎≥0，𝑏≥0 ）。 勿忘前提条件 二次根式的商的性质 一个非负数除以一个正数，商的算术平方根等于算术平方根的商。 【知识点05】最简二次根式 1. 最简二次根式的概念：在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式,这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方。 。 化去根号内的分母。 若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成假分数。 或 化去根号内的分母。 若被开方数中含有小数，则应先将小数化成分数。 或 。 被开方数是多项式的要先进行因式分解。 = =。 【题型一】二次根式的识别 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】求二次根式中的参数 例2．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 变式1．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （    ） A．5 B．3 C．4 D．2 变式2．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【题型三】二次根式有意义的条件 例4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）二次根式中，字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值： ． 变式1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）二次根式中字母的取值范围是 ． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列二次根式中字母的取值范围： (1)． (2)． 【题型四】求二次根式的值 例6．（2024八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 例7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 变式1．（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 变式2．当时，求二次根式的值． 【题型五】利用二次根式的性质化简 例8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）二次根式化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．2 例9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果是 ． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）化简，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）计算：，圆圆的做法是． 圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程． 【题型六】最简二次根式的判断 例10．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例11．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【题型七】化为最简二次根式 例12．（22-23八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 变式1．（2023八年级下·浙江·期末）化简： ． 变式2．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．实数对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C．5 D． 2．已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 3．如果，那么（    ） A．1 B． C．3 D． 4．若，则（    ） A．0 B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．﹣＝﹣8 C．＝2 D．﹣ 6．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）    A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则以a、b、c为三边长的三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 二、填空题 11．化简的结果是 ． 12．二次根式中的取值范围是 ． 13．若实数a，b满足，则 ． 14．请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ． 15．已知，化简二次根式的正确结果为 ． 16．若满足等式，则的值为 ． 17．实数a、b、c在数轴上表示如图，则＝ ． 18．的相反数是 ，绝对值是 ． 三、解答题 19．下列各式是否有意义 （1）；（2）；（3）；（4）． 20．当时，求二次根式的值． 21．计算下列各式； （1）       （2）      （3）       （4） （5）     （6）         （7） 22．实数，，在数轴上对应的点如图：    化简． 23．已知为有理数，求式子的值． 24．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．    25．【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 (1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”； (2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号） 26．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中. 1 学科网（北京）股份有限公司 $