专题13平行四边形（2）(知识点梳理+12大题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题13平行四边形（2） · 明晰三角形中位线定义，精准区分中位线与中线，理解并识记三角形中位线定理。 · 掌握多边形内角和公式推导逻辑，牢记多边形外角和恒为 360° 的结论。 · 能运用中位线定理判断平行关系、求解线段长，利用内 / 外角和公式计算多边形角度与边数。 · 初步建立几何转化与推理意识，完成基础几何证明与计算。 预习必备 知识点梳理 1.三角形中位线 2.多边形的内角和与外角和 3.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.三角形中位线的求解问题 2.三角形中位线的证明问题 3.三角形中位线的实际应用 4.多边形内角和的计算问题 5.正多边形的内角计算问题 6.多边形单角计算问题 7.多边形截角后内角和问题 8.复杂图形的内角和计算 9.正多边形的外角计算问题 10.多边形外角和的实际应用 11.多边形内角外角和综合应用 12.平面镶嵌的应用与原理 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.三角形中位线】 （一）基本概念 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。⚠️ 辨析：三角形中位线是两边中点连线，三角形中线是一个顶点与对边中点的连线，二者定义、位置、性质均不同。 （二）中位线定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言表述：在△ABC中，若M、N分别是AB、AC的中点，则MN∥BC，且MNBC。 【知识点02.多边形的内角和与外角和】 （一）基础概念 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形）。 内角：多边形相邻两边组成的角； 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形对角线条数公式：（n≥3，n为整数）。 （二）多边形内角和 1.推导方法：从n边形的一个顶点出发，可作(n−3)条对角线，把n边形分成(n−2)个三角形，利用三角形内角和180∘推导。 2.内角和公式：n边形内角和=(n−2)×180∘（n≥3，n为整数）。 3.正n边形每个内角度数： （三）多边形外角和. 1.定义：在多边形的每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。 2.定理内容：任意多边形的外角和都为360∘，与边数n无关。 3.正n边形每个外角度数： 4.核心推论：正多边形边数n=（此方法求边数比内角法更简便） 【知识点03.核心易错点】 一、三角形中位线核心易错 1.中位线≠中线：中位线是两边中点连线，中线是顶点到对边中点连线 2.定理结论漏项：必须同时写平行第三边 + 等于第三边一半，缺一失分 3.数量关系搞反：中位线 =第三边，非第三边 =中位线 4.面积周长混淆：中位线三角形周长 ，面积 5.无中点 / 不平行，不可乱用定理 二、多边形内角和与外角和核心易错 1.内角和公式：(n−2)×180°，别忘减 2 2.外角和恒值：任意多边形外角和 =360°，与边数无关 3.对角线公式：，必须除以 2 去重 4.正多边形判定：边相等且角相等，缺一不可 5.求边数首选外角法：n=360°÷单个外角度数 6.边数前提：n≥3，无效解要舍去 【题型1.三角形中位线的求解问题】 【典例】如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【跟踪专练1】如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是 ． 【跟踪专练2】如图，是内一点，，7，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（   ） A．12 B．14 C．24 D．21 【题型2.三角形中位线的证明问题】 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【跟踪专练1】如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ． 【跟踪专练2】已知直线和直线外一点．求作：直线．使得．对于甲、乙两位同学尺规作图的过程，下列判断正确的是　　 甲同学：如图， ①在上取不重合的，两点，作射线； ②在射线上截取，作射线； ③在射线上截取； ④作直线，直线就是所求作的直线． 乙同学：如图， ①在上取点（点在点的左下方），作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧，分别交和线段的延长线于点，，连接； ③作的平分线，直线就是所求作的直线． A．甲、乙同学的都正确 B．甲、乙同学的都不正确 C．只有甲同学的正确 D．只有乙同学的正确 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，为了测量池塘边A，B两点之间的距离，在线段的一侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得A，B分别是，的中点，连接．若，则线段的长是 m． 【跟踪专练1】如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【题型4.多边形内角和的计算问题】 【典例】一个九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 【跟踪专练2】将六边形沿直线折叠，使点A，B落在六边形的内部，记，则（　　） A． B． C． D． 【题型5.正多边形的内角计算问题】 【典例】一个四边形的四个内角都相等，那么这四个内角的度数都是 ． 【跟踪专练1】运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点P在正六边形的边上运动，若，写出一个符合条件的x的值为 ． 【题型6.多边形单角计算问题】 【典例】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【跟踪专练1】一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【跟踪专练2】在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 【题型7.多边形截角后内角和问题】 【典例】一个四边形截去一个角后，可以变成 （ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 【跟踪专练2】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【题型8.复杂图形的内角和计算】 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【题型9.正多边形的外角计算问题】 【典例】一个多边形的每一个外角都等于，这个多边形的边数是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【跟踪专练1】如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，若，则的度数是 ． 【跟踪专练2】一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【题型10.多边形外角和的实际应用】 【典例】七边形的外角和是 度． 【跟踪专练1】已知一个多边形的各个外角都是，则它的边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【跟踪专练2】如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了 米． 【题型11.多边形内角外角和综合应用】 【典例】如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线． 【跟踪专练2】如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型12.平面镶嵌的应用与原理】 【典例】现要用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选用正方形，则还可以选用 形与它搭配铺成无空隙且不重叠的地面（只需要写出一种即可） 【跟踪专练1】只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 1．如下图，在中，点在上，且，连接，平分交于点，．求证：． 2．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 3．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 4．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 5．中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 6．如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13平行四边形（2） · 明晰三角形中位线定义，精准区分中位线与中线，理解并识记三角形中位线定理。 · 掌握多边形内角和公式推导逻辑，牢记多边形外角和恒为 360° 的结论。 · 能运用中位线定理判断平行关系、求解线段长，利用内 / 外角和公式计算多边形角度与边数。 · 初步建立几何转化与推理意识，完成基础几何证明与计算。 预习必备 知识点梳理 1.三角形中位线 2.多边形的内角和与外角和 3.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.三角形中位线的求解问题 2.三角形中位线的证明问题 3.三角形中位线的实际应用 4.多边形内角和的计算问题 5.正多边形的内角计算问题 6.多边形单角计算问题 7.多边形截角后内角和问题 8.复杂图形的内角和计算 9.正多边形的外角计算问题 10.多边形外角和的实际应用 11.多边形内角外角和综合应用 12.平面镶嵌的应用与原理 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.三角形中位线】 （一）基本概念 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。⚠️ 辨析：三角形中位线是两边中点连线，三角形中线是一个顶点与对边中点的连线，二者定义、位置、性质均不同。 （二）中位线定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言表述：在△ABC中，若M、N分别是AB、AC的中点，则MN∥BC，且MNBC。 【知识点02.多边形的内角和与外角和】 （一）基础概念 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形）。 内角：多边形相邻两边组成的角； 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形对角线条数公式：（n≥3，n为整数）。 （二）多边形内角和 1.推导方法：从n边形的一个顶点出发，可作(n−3)条对角线，把n边形分成(n−2)个三角形，利用三角形内角和180∘推导。 2.内角和公式：n边形内角和=(n−2)×180∘（n≥3，n为整数）。 3.正n边形每个内角度数： （三）多边形外角和. 1.定义：在多边形的每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。 2.定理内容：任意多边形的外角和都为360∘，与边数n无关。 3.正n边形每个外角度数： 4.核心推论：正多边形边数n=（此方法求边数比内角法更简便） 【知识点03.核心易错点】 一、三角形中位线核心易错 1.中位线≠中线：中位线是两边中点连线，中线是顶点到对边中点连线 2.定理结论漏项：必须同时写平行第三边 + 等于第三边一半，缺一失分 3.数量关系搞反：中位线 =第三边，非第三边 =中位线 4.面积周长混淆：中位线三角形周长 ，面积 5.无中点 / 不平行，不可乱用定理 二、多边形内角和与外角和核心易错 1.内角和公式：(n−2)×180°，别忘减 2 2.外角和恒值：任意多边形外角和 =360°，与边数无关 3.对角线公式：，必须除以 2 去重 4.正多边形判定：边相等且角相等，缺一不可 5.求边数首选外角法：n=360°÷单个外角度数 6.边数前提：n≥3，无效解要舍去 【题型1.三角形中位线的求解问题】 【典例】如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，直接得出中位线与第三边的数量关系，进而求解．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到为的中点，继而得到为的中位线，为的中位线，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是内一点，，7，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（   ） A．12 B．14 C．24 D．21 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理的应用，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 先在中用勾股定理求出的长度，再根据三角形中位线定理求出四边形各边的长度，最后求和得到周长． 【详解】解：∵ ∴在中， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∴四边形的周长= 故选：A． 【题型2.三角形中位线的证明问题】 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意， 而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【跟踪专练1】如图，四边形是由四边形的各边中点依次连接而形成的四边形，则四边形一定是 ． 【答案】平行四边形 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； 【详解】解：连接、，如图所示： ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． 【跟踪专练2】已知直线和直线外一点．求作：直线．使得．对于甲、乙两位同学尺规作图的过程，下列判断正确的是　　 甲同学：如图， ①在上取不重合的，两点，作射线； ②在射线上截取，作射线； ③在射线上截取； ④作直线，直线就是所求作的直线． 乙同学：如图， ①在上取点（点在点的左下方），作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧，分别交和线段的延长线于点，，连接； ③作的平分线，直线就是所求作的直线． A．甲、乙同学的都正确 B．甲、乙同学的都不正确 C．只有甲同学的正确 D．只有乙同学的正确 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，三角形中位线定理，等边对等角；熟练掌握以上知识点是关键．甲同学的利用三角形中位线定理即可得到，乙同学的利用等边对等角结合平行线的判定定理即可得到． 【详解】解：甲同学：在中， 由条件可知是的中位线， ， ，甲同学的作法正确； 乙同学：由作法知，， ， ， 由角平分线定义可得：， ， ，乙同学的作法也正确； 综上，甲、乙同学的都正确； 故选：A． 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，为了测量池塘边A，B两点之间的距离，在线段的一侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得A，B分别是，的中点，连接．若，则线段的长是 m． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．本题直接根据三角形中位线定理进行解答即可． 【详解】解：∵A，B分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 【题型4.多边形内角和的计算问题】 【典例】一个九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键． 根据多边形的内角和公式：且为整数，进行计算即可． 【详解】解：多边形内角和公式为， 九边形的边数， 代入公式得： ． 故选：C． 【跟踪专练1】已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理与互补角的性质，掌握四边形内角和为、互补角的和为是解题的关键． 利用四边形内角和定理及互补角性质计算的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴ ∵ 四边形的内角和为，且， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】将六边形沿直线折叠，使点A，B落在六边形的内部，记，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，多边形内角和，关键在于运用折叠前后，对应角相等，多边形的内角和定理将进行转换． 设的延长线与的延长线交于点P，的延长线与的延长线交于点，连接．由对称性可知．进而得到，再结合多边形内角和求出，即可解题． 【详解】解：记点A，B落在六边形的内部的对称点为， 如图，设的延长线与的延长线交于点P，的延长线与的延长线交于点，连接． 由对称性可知． ∴． ∵， ． 答案为：B． 【题型5.正多边形的内角计算问题】 【典例】一个四边形的四个内角都相等，那么这四个内角的度数都是 ． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和公式求出四边形的内角和，再结合四个内角相等的条件，计算每个内角的度数． 【详解】解：根据多边形内角和公式（为边数），四边形的边数， 因此内角和为：． ∵四边形的四个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解题关键是利用内角和公式求出四边形的内角和，再结合“内角相等”的条件计算单个内角的度数． 【跟踪专练1】运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：，即可求解； 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴该正五边形的每个内角度数为：； ∴； ∵三角形为正三角形， ∴； ∴； ∴； 故选：B 【跟踪专练2】如图，点P在正六边形的边上运动，若，写出一个符合条件的x的值为 ． 【答案】70（答案不唯一） 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、正多边形的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 设正六边形的对称中心为点O，连接，则，所以是等边三角形，则，可证明B、O、E三点在同一条直线上，由，得，由，求得，则，推导出，写出一个满足条件的x值即可． 【详解】解：设正六边形的对称中心为点O，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴B、O、E三点在同一条直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当与重合时，； 当与重合时，∠，且， ∴， 故答案为：70（答案不唯一）． 【题型6.多边形单角计算问题】 【典例】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【答案】C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 【跟踪专练2】在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【题型7.多边形截角后内角和问题】 【典例】一个四边形截去一个角后，可以变成 （ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下． 【详解】解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形截角的问题，此类问题，动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况． 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 【答案】17，18或19 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18， 则多边形的边数是17，18或19， 故答案为：17，18或19． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【跟踪专练2】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°， ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件， ②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件， ③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件， ∴符合条件的剪法是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 【题型8.复杂图形的内角和计算】 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型9.正多边形的外角计算问题】 【典例】一个多边形的每一个外角都等于，这个多边形的边数是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角性质，根据多边形外角和为，每个外角都等于，利用外角和除以每个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：多边形的外角和为，每个外角都等于， 则边数 ． 因此，这个多边形的边数是12． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，若，则的度数是 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查多边形的外角，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 由是正五边形的外角，可求出，进而根据即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，如图，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，进而求出的度数，周角求出的度数，再求出的等度数即可． 【详解】解：如图， ∵正多边形的每个内角度数相等，每个外角的度数相等， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 【题型10.多边形外角和的实际应用】 【典例】七边形的外角和是 度． 【答案】360 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于360度即可求解． 【详解】解：七边形的外角和为． 故答案为：360． 【跟踪专练1】已知一个多边形的各个外角都是，则它的边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题关键．利用多边形外角和定理直接求解． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，已知每个外角为， 则边数等于外角和除以每个外角的度数，即：边数， 因此，该多边形的边数为12， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了 米． 【答案】200 【分析】本题主要考查了多边形的外角，掌握公式即可求出． 利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：因为小陈从点出发当他第一次回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∵正多边形的外角和等于， （米）． 故答案为：200． 【题型11.多边形内角外角和综合应用】 【典例】如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形外角和等于是解题的关键．根据任意多边形外角和都等于，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形内角和定理以及多边形对角线条数的计算公式是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得：， ∴正六边形共有条对角线， 故答案为：9． 【跟踪专练2】如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【详解】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 【题型12.平面镶嵌的应用与原理】 【典例】现要用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选用正方形，则还可以选用 形与它搭配铺成无空隙且不重叠的地面（只需要写出一种即可） 【答案】正三角形（答案不唯一） 【分析】根据多边形内角和公式先算出每个多边形的内角的度数，再根据正四边形每个内角是90°，结合举出的相应正多边形看其内角和是否能组成360°，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，可以分情况讨论： ①假设选用正三角形 正三角形每个内角60°，正四边形每个内角是90°，3个正三角形和2个正四边形顶点放在一起可以构成360°，则能铺成无空隙且不重叠的地面； ②假设选用正五边形 正五角形每个内角108°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面； ③假设选用正六边形 正六边形每个内角120°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面； ④假设选用正七边形 正七边形的每个内角约是129°，正四边形每个内角是90°，则不能铺成无空隙且不重叠的地面； ⑤假设选用正八边形 正八边形每个内角135°，正四边形每个内角是90°，2个正八边形和1个正四边形顶点放在一起可以构成360°，则能铺成无空隙且不重叠的地面； ， 故答案为：正三角形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据内角和公式算出每个正多边形的内角的度数，根据内角的度数能组成一个周角就能密铺． 【跟踪专练1】只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此结合各正多边形的度数可得出答案． 【详解】解：∵这种正多边形的内角是， ∴与之对应的外角为：， ∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形． 故选：A． 【跟踪专练2】用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：， ∵， ∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角， ∴用记号表示为：； 故答案为：． 1．如下图，在中，点在上，且，连接，平分交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形中位线定理，掌握等腰三角形三线合一的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 先利用等腰三角形三线合一的性质证明是的中点，再结合是的中点，判定为的中位线，从而得出结论． 【详解】证明：在中，，平分， ． ， 是的中位线， ． 2．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了 (2) 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，得这个正多边形的外角为， 该正多边形的边数为， ． 答：小明一共走了． （2）解：由（1）知这个正多边形的边数为9边形，则这个正多边形的内角和为． 3．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 4．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【详解】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 5．中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （3）证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 6．如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度线的直尺作图、中位线定理，全等三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，延长和交于点，由题意得，，所以，所以； （2）连接对角线和交于，连接，因为为的中点，为中点，所以，，又因为，所以，，，即． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $