河北保定市雄县第一高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025-2026学年高一上学期期末考试 数学试题 考生注意： 1.本武卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟， 2.签题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封战内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答素答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效： 4本卷命题范国：人教A版必修第一册第五章，必修第二册。 國 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 的 求的 1.已知z(1一i)=5+i,则x= A.2+3i B.-2-31 C.2-3i D.-2+3i 2.已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为5：2：3，现用按比例分配的分层随机抽 长 样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为 A.4 B.6 C.8 D.10 3.设a,b,c是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题正确的是 斯 A若a∥b,a∥a,则b∥a B.若a∥B,aCa,bCA,则a∥b C若a⊥b,b⊥c,则a⊥c或a∥c D.若a∥a,b⊥a,则b⊥a 4.已知sin(号-x=号则cos(x+)等于 A-者 B-是 c号 D 5.若非零向量a,b满足2b=a·b,则a在b方向上的投影向量为 A.2b B.-2b CTo 6.在△ABC中，A=30°，AC=4,BC=a,若△ABC仅一个解时，则 A.a≥4 Ba-2 C.a>4或a=2 D.无法确定a的范围 7.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点 P出发，绕者该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质点运动的最短路径长为 A.3n B.6元 C.6 D.62 【高一数学第1页（共4页）】 QB 8.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征， 如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(33,一3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转 一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f()= Rsin(au+p)(>0w>0,lp<交)则下列叙述错误的是 AR=6,w=p=-君 B.当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C.当t长[10,25]时，函数y=f()单调递黄 D.当t=20时，|PA|=6V3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于复数的命题正确的有 A.|z2=x·无 B.若x2<0,则z为实数 C.若111=|2|，则=经 D.若|z一i=2,则|z的最小值为1 10.某市文化和旅游局制定出台推动文旅市扬恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅 服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月 份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度 得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表，则下列结论正确的是 ◆频率/组距 0.04 A.频率分布直方图中a=0.15 0.035 B.2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C.2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似 0.01.. 值为82.5 60708090100成绩/分 D.若落在[80,90)的平均成绩云=85，方差=6，落在[90,100]的平均成绩)=95，方差=11，则落 在[80,100]的平均成绩为87，落在[80,100]的成绩的方差为23 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB1CD1中，E为AB的中点，F是侧面BB1CC内的一点（包含边 界)，则下列结论正确的是 A若V%e=号，则点F的轨迹长度为2厄 B若1AF-5,则点F的轨迹长度为罗 C若点F在线段CC,(不含点C)上，则过点D,E,F的截面周长的取值范围是(5,3√2+√5] D若点F在线段CC上，则三棱锥A-BB,F的外接球表面积的取值范围是[，12] 【高一数学第2页（共4页）】 QB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆上，则PC·PD的最大值为 13如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4,AB=2,则直线A1B与直线B1C所 成角的余弦值为 14.已知函数fx)=sin(x十p)(o>0,lpl≤受)x=一于为f(x)的零点，x=平为 y=f(x)图象的对称轴，且x)在(，需)上单调，则m的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 某同学在研究函数f(x)=sin(ax十p(w>0,0<p<受)的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表 如下： 晋 ax十p 0 受 2 2π f(x) 1 -1 (1)根据上表中数据，求出w,9及x1,x2,x3的值： (2)函数f八x)的图象向左平移登个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)图象的对称轴及对 称中心 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人 继续投掷：若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷.规定第1次由甲投掷. (1)求第2次由甲投掷的概率， (2)求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率。 【高一数学第3页（共4页）】 QB 17.(本小题满分15分) △ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,a=√3. (1)证明：S=3 sin Bsin C. 2sin A (2)若4S·snA=3cos(B-O+号，求S的最大值 18.(本小题满分17分) 如图，AB是圆O的直径，AD垂直于圆O所在的平面，AB=2√5，AD=2,点C是圆O上不同于A,B 的任意一点，E为BD的中点. (1)证明：BC⊥平面ACD; (2)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求二面角O-CE-B的余弦值. 【注意：本题用空间向量方法作答不给分】 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(sinC-sinA)(c十a)=2bsin(C-A). (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若△ABC的面积为18，点D满足C可=2D克，求线段AD的最小值； (3)定义：对于△ABC,若存在△MNP,使得sinA=cosM,sinB=cosN,sinC=cosP,则称△MNP 为△ABC的伴随三角形.已知△ABC存在伴随三角形，点D在线段AC上，且满足BD⊥BC, BD=√E,若将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD,求此时直线AC与平面BCD所成 的角。 【高一数学第4页（共4页）】 QB高一数学参考答案、提示及评分细则 1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.C9.AD10.BCD11.ABD 12.32186 14.9 6w十0=0， 15.解：(1)因为 所以w=2,9= 3 2分 3w十9=x, 由2+=受，得=， 3分 由2运十骨-受得=语 4分 由2十号=2，得-要 5分 (2)由(1)得fx)=sin(2x+), 由题知g()=sin[2(x+歪)+吾]=cos2x, …7分 由2x=牙十kr,k∈Z,得x=开十呀，kEZ, 8分 所以g(图象的对称中心为（于+经，0），k∈Z: 10分 由2z=6m,k长得经，k∈Z 11分 所以g()图象的对称轴为直线弩，k∈五 …13分 16.解：(1)设甲拿两颗质地均匀的骰子投的点数分别为x和y, 故基本事件总数为6X6=36种；………2分 事件A=“投出的点数之和为3的倍数”， 故A={(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(3,6),(4,5),(6,6),(5,4),(6,3),(4,2),(5,1),(2,1)},一共有12种，…4分 放第2次南甲投挪的概率为P(A=最=号了 …6分 (2)前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：……7分 第一种情况，第1,2次由甲投掷，第3,4次由乙投掷，其概率为号×号×号-易， …9分 第二种情况，第1,3次由甲投挪，第2,4次由乙投据，其概率为号×号×号- 8 …11分 【高一数学参考答案第1页（共6页）】 QB 第三种情况，第1,4次由甲投瑰，第2,3次由乙投椰，其概率为号×号×号一责 2 …13分 故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为27十27十27=27 218 414 15分 17.(1)证明：由正弦定理6 sin Bsin A,得b=asin B, 2分 sin A 则S=2 sin C=-nin C, 2sin A 4分 又因为a=5,所以S=3 sin Bsin C 2sin A 5分 （2懈：将s=C代人4S:mA=3as(BO十号 3 6分 得6 sin Bin C=3os(B-C)+号-3((BosC叶sin Bsin C+号 3 …7分 即3(Bos C--sin Bsin C)=-号，所以3cos(B+C)= 8分 .1 即-3coSA=号，解得c0sA=2,… 9分 又因为A∈(0，m),所以A=受 10分 【法一】 因为a2=b+2-2bc·cosA,所以3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即3≥bc, 当且仅当b=C时，取“=”，……13分 所以S=s血A-:<35,所以S的最大值为 41 …15分 【法二】 s=3C-in Bsin C-后sm(停-c)snC=(停sc+zmc)小nC 2sin A =号（停m2C-m2C）+-m(2c-吾）+9， …13分 因为A=受，所以0<C<等， 所以-吾<2C-吾<，所以当2C吾=受，即C-子时，m(2C-晋)取得最大值1， 所以5-号n(2C-吾)+的最大值为3渠。 …15分 18.(1)证明：因为AD⊥平面ABC,且BCC平面ABC,所以AD⊥BC, 1分 因为点C在以AB为直径的圆上，所以AC⊥BC,… …2分 又因为AC∩AD=A,ADC平面ACD,ACC平面ACD, 所以BC⊥平面ACD.…4分 【高一数学参考答案第2页（共6页）】 QB (2)解：【法一】 在△BCO中，过点B作BG⊥CO,垂足为G,取CE中点F,连接FG △ABD中，E,O分别为BD,BA中点，故EO∥AD,即EO⊥平面ABC, 因为BGC平面ABC,所以EO⊥BG, 又因为BG⊥CO,所以BG⊥平面OCE,… 5分 又因为CEC平面OCE,所以BG⊥CE.… 6分 因为AD⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以AD⊥AB, 7分 因为AD=2,AB=2√5，所以BD=√/AD+AB=4,… 8分 因为BC⊥平面ACD, 则∠BDC为直线BD与平面ACD所成的角，即∠BDC=30°，…9分 所以BC=2,…10分 因为E为BD中点，所以CE=BE=2,…11分 所以△BCE为等边三角形. 因为CE中点为F,所以BF⊥CE,且BF=3,… 12分 又因为BG⊥CE,BF∩BG=B,BF,BGC平面BFG,故CE⊥平面BFG, 因为FGC平面BFG,所以CE⊥FG, 又因为BF⊥CE,所以∠BFG为二面角O-CE-B的平面角，… …13分 在R△ABC中，CB=2,C0=7AB=厅，故由等面积法知BG= 3 …15分 2/6 在R△BFPG中，s血∠BFG-票 3 2 3 ,所以cos∠BFG=3 所以二面角O-CE-B的余弦值为3： …17分 【法二】 因为AD⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以AD⊥AB, 5分 因为AD=2,AB=25,所以BD=√AD+AB=4,… 6分 因为BC⊥平面ACD,则∠BDC为直线BD与平面ACD所成的角，即∠BDC=30°， …7分 所以BC=2,… 8分 因为E为BD中点，所以CE=BE=2,… 9分 所以△BCE为等边三角形. 取CE中点为F,连接BF,则BF⊥CE, 过F作FG⊥CE交OC于点G,则∠BFG为二面角O-CE-B的平面角.…11分 【高一数学参考答案第3页（共6页）】 QB 在R△0CE中，由FG1CE知∠CFG=至故△C0B△CFG,.12分 因为CF=1,所以PG=停，CG=2 39 …14分 在△OBC中，由余弦定理得cos∠OCB=OC+CB一OE_CG+CB-BG2 2OC·CB 2CG·CB 所以3、 +4-BG 2×25×2 所以BG=号， …15分 3 18 在△BFG中，由余弦定理得OS∠BFG=BF土FG2-BC_3+了- 2BF·FG …16分 23× 3 所以二面角0-CE-B的余弦值为号· …17分 19.(1)证明：【法一】 因为(sinC-sinA)(c+a)=2bsin(C-A), 所以(sinC-sinA)(c+a)=2 bsin Ccos A-2 bsin Acos C,… …1分 由正弦定理得(c-a)(c十a)=2 bccos A一2 bacos C,… …2分 所以2-a2=2hc.+a-2ha.±2-2 2bc 2ba- …3分 整理得2=a2,所以c=a,所以△ABC是等腰三角形.… …4分 【法二】 因为(sinC-sinA)(c+a)=2bsin(C-A), 所以(sinC-sinA)(sinC+sinA)=2 sin Bsin(C-A),… …1分 所以sin2C-sin2A=2sin(C+A)sin(CA),…2分 所以sin2Csin2A=cos2A-cos2C=1-2sinA-(1-2sinC),…3分 所以sinC=sinA,因为0<A,C<π且0<A十C<π，所以C=A. 所以△ABC是等腰三角形.… …4分 (2)解：因为点D满足C市=2D3. 所以A市-AC+Ci=AC+号成=A心+号A成-A心O)=号A+号A心， …5分 所以亦=告女+号+号ams∠BAC 【法一】 在△ABC中，过点B作BE⊥AC,垂足为E,因为c=a, B AE号=ccos∠BAC. 【高一数学参考答案第4页（共6页）】 QB 所以A=++kms∠BAC-=音+， 99 因为5x=号BE·6=18,所以BE-9, …7分 在R△ABE中，由A形=BE+AE,得2=(2）+（台）广， 8分 所以a市=音+号6=号[（要》'+（台）'门+号-X+号≥2√×号=2. 当且仅当X36三4形，即b=6时，取“=”………9分 所以线段AD的最小值为4√2. …10分 【法二】 在△ABC中，由余弦定理可得a2=2+b-2 bccos∠BAC,又c=a, 所以2=c2+-2 bccos∠BAC, b 整理得2c0s∠BAC=b,c=2cos∠BAC,… 6分 因为S△e=2csin∠BAC=18,所以c= 36 in∠BAC' 所以B=72c0s∠BAC sin∠BAC, 7分 18 c=4os∠BAC-os∠BAC5n∠BAC… 8分 所市-青+古+告ms∠AC-8(黑C+)≥8X2√儒· =32, 因为6=a,所以∠BAC∈(O,登，当且仅当n∠BAC-25s∠BAC-号时，取=，9分 所以线段AD的最小值为4√2.…10分 (3)解：由(1)可知在△ABC中，A=C, sin A=cos M, 若△ABC为锐角三角形，则0<A,B,C<受，因为sinB=cosN,且0<M,N,P<x sin C=cos P, A+M=受， 所以B+N=受，此时A+B叶C=经-M+N+P)=否-x=受， 2 C+p=, 与A+B+C=x矛盾，即△ABC不存在伴随三角形； 【高一数学参考答案第5页（共6页）】 QB sin A=cos M, 若△ABC为直角三角形，则0<A,C<受=B,由sinB=cosN,且O<M,N,P<元， sin C=cos P, 知△ABC不存在伴随三角形： sin A=cos M, 若△ABC为钝角三角形，则0<A=C<受<B,因为sinB=osN,且0<M,N,P<, sin C=cos P, A+M=受， 所以B-N=受，所以A-B+C+M+N+P=乏， C+P=, 又A+B+C=π，M+N+P=π， 解得B=子x,所以A=C=吾 综上可知，若△ABC存在伴随三角形，则B=x,所以A=C=否. …13分 【注意：只写出最后这个结论，无过程，给1分；过程不完善酌情扣分。】 如图，过点D作ED⊥BD,交AB于点E, 过点A作HA⊥BD,垂足为H,连接HC. D 因为∠ABC=,BCLBD,BD=E, 所以∠EBD=于，ED,∥BC,故AE=ED=BD=/2,EB=2,即AB=2+√E, 由题可知HA∥ED,故兜-能=，得AH=BH=2十L,…14分 所以在Rt△BHC中，CH=/BC2十BH平=3(W2十1).……15分 在翻折后的图形中， 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, AH⊥BD,AHC平面ABD, 所以AH⊥平面BCD, 所以∠ACH即为直线AC与平面BCD所成角，…16分 所以，在△GH巾，∠cH号 直线AC与平面BCD所成角为30°.… …17分 【高一数学参考答案第6页（共6页）】 QB