7.1.1-7.1.2`数系的扩充和复数的概念与复数的几何意义【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【7.1.1-7.1.2`数系的扩充和复数的概念与复数的几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：数系的扩充 1.知识点1：数系扩充的脉络与原因 知识点：数系的扩充是为了满足实际运算需求，解决“无解运算”的矛盾，核心脉络： 自然数集→整数集（解决“减法无解”，如）→有理数集（解决“除法无解”，如）→实数集（解决“开方无解”，如）→复数集（解决“负数开方无解”，引入虚数单位） 核心原因：每一次扩充都保留原有数集的运算性质（如加法交换律、乘法结合律），同时新增元素，使原本无解的运算有解，复数集是目前中学阶段数系的最终扩充 易错辨析：①数系扩充脉络混淆，如误将“有理数集→自然数集”颠倒，或遗漏整数集；②误解扩充目的，认为数系扩充是“人为添加元素”，忽略“解决运算无解”的核心需求；③错误认为“复数集包含实数集，实数集包含虚数集”（虚数集与实数集是并列关系，无包含）；④混淆数集符号，如将自然数集记为、整数集记为；⑤误将“无理数”归为虚数（无理数属于实数集，与虚数无关） 重点记忆：①核心口诀：“自然生整数，整数生有理，有理生实数，实数生复数，层层扩运算，无解变有解”；②必记数集脉络（精准符号）：；③关键提醒：数系扩充的核心原则——保留原有运算性质，新增元素解决对应无解运算；④技巧：结合“运算矛盾”记忆脉络，每个数集对应解决一种运算无解问题 常考结论：①高频数集关系（直接应用）：自然数集是整数集的真子集，实数集是复数集的真子集，虚数集与实数集无公共元素；②复数集的构成：复数集=实数集∪虚数集，虚数集包含纯虚数集；③数系扩充后，所有实数的运算性质（加减乘除、乘方、开方）在复数集中仍成立（除实数外，复数不能比较大小）；④虚数单位的引入是数系扩充到复数集的关键，核心定义 2.知识点2：虚数单位的定义与性质 知识点：为解决“负数开方无解”的问题，引入虚数单位，核心定义与性质： ①核心定义：（重中之重，所有复数运算的基础）； ②运算性质（高频）：，，，，周期为4（即，，，，）； ③运算规则：可与实数进行加减乘运算，遵循实数的运算性质，如、、； ④开方性质：（），如， 易错辨析：①混淆的值，误写为或（唯一值为-1）；②虚数单位周期错误，如误写、；③开方性质错误，如（教辅规范中，算术平方根仅为正的虚数，即）；④错误认为是实数（是纯虚数，不属于实数集）；⑤运算时违背实数运算性质，如（正确为）；⑥周期应用错误，如，误算为（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“虚数单位i，平方是-1，周期四循环，1、i、-1、-i”；②必记性质：，周期为4的运算性质，（）；③关键提醒：不能单独比较大小，如“”“”均错误；④技巧：计算（）时，先将n除以4，求余数，再根据余数对应周期结果（余数1→i，余数2→-1，余数3→-i，余数0→1） 常考结论：①高频计算结果（直接套用）：，，，，，，；②与实数的乘积仍是虚数（除0外），如、均为纯虚数；③的负指数幂：（因），，，同样遵循周期为4的规律；④，这是虚数单位引入的核心初衷 模块二：复数的概念 3.知识点3：复数的定义与表示形式 知识点：复数的核心定义：设、都是实数，形如的数叫做复数，其中： ①虚数单位：（满足）； ②实部：（记作）； ③虚部：（记作，注意：虚部是实数，不是）； ④复数集：全体复数所构成的集合，记作； ⑤常用表示：复数通常用字母表示，即（），这种形式叫做复数的代数形式（唯一标准形式） 易错辨析：①虚部判断错误（最高频），如复数，误将虚部记为（正确为3）；②忽略复数代数形式的条件，如误将中的当作任意数（必须为实数）；③错误表示复数，如（虽正确，但教辅规范中，需写为，实部在前，虚部在后）；④混淆“复数”与“虚数”，认为复数就是虚数（复数包含实数和虚数）；⑤虚部为0时，误将复数归为虚数（虚部为0时，复数是实数） 重点记忆：①核心口诀：“复数形式a+bi，a实b虚要分清，i的平方是-1，a,b必须是实数”；②必记定义：复数（），实部、虚部（均为实数）；③关键提醒：虚部是“实数b”，不含虚数单位i；复数的代数形式必须满足“实部在前，虚部在后”，系数标准化（如，不写）；④技巧：判断一个数是否为复数，只需看其能否化为（）的形式，所有实数、虚数都是复数 常考结论：①高频复数示例（实部、虚部辨析）： ：实部5，虚部2（不是）； ：可化为，实部-3，虚部0； ：可化为，实部0，虚部4； ：可化为，实部0，虚部0； ②复数的代数形式是唯一的，即一个复数只有一种（）的表示方法；③所有实数都是复数（虚部为0），所有虚数都是复数（虚部不为0） 4.知识点4：复数的分类 知识点：根据复数（）中实部、虚部的取值，将复数分类： ①实数：当且仅当时，复数是实数（即所有实数都可看作虚部为0的复数）； ②虚数：当且仅当时，复数是虚数； ③纯虚数：当且仅当且时，复数是纯虚数； 分类脉络：复数 易错辨析：①纯虚数条件错误（最高频），如误认为“的复数是纯虚数”（忽略，若且，是实数0）；②非纯虚数判断错误，如，误归为纯虚数（实部不为0，是非纯虚数）；③虚数与纯虚数混淆，认为“虚数就是纯虚数”（纯虚数是虚数的子集）；④实数判断错误，如，误归为实数（虚部不为0，是纯虚数）；⑤0的分类错误，误将归为纯虚数（，虚部为0，是实数）；⑥非纯虚数条件错误，误认为“就是非纯虚数”（需满足且） 重点记忆：①核心口诀：“复数分类看b，b=0是实数，b≠0是虚数，a=0且b≠0是纯虚，a≠0且b≠0非纯虚”；②必记分类条件（精准无遗漏）： 实数：（）； 虚数：（）； 纯虚数：且（）； 非纯虚数：且（）； ③关键提醒：0是实数，不是虚数，更不是纯虚数；纯虚数一定是虚数，虚数不一定是纯虚数；④技巧：判断复数类型时，先将复数化为标准代数形式，再看实部、虚部的取值，逐一对照条件 常考结论：①高频分类示例（直接参考）： 实数：（）、、、； 纯虚数：（）、、； 非纯虚数：、常考结论：①高频分类示例（直接参考）： 实数：（）、、、； 纯虚数：（）、、； 非纯虚数：、、； ②纯虚数的等价表述：复数（）是纯虚数⇔且； ③实数的等价表述：复数（）是实数⇔； ④虚数的等价表述：复数（）是虚数⇔； ⑤0是唯一既是实数又是纯虚数对立面的复数，无其他复数同时属于实数和虚数 5.知识点5：复数相等的条件 知识点：设两个复数，（其中），则复数相等的充要条件是“实部相等且虚部分别相等”，即： 且； 特殊情形：①复数（）等于0的充要条件是且（即）；②两个纯虚数、（）相等的充要条件是 易错辨析：①忽略复数相等的前提条件，未强调（若系数不是实数，相等条件不成立）；②错误认为“实部相等或虚部相等即可使复数相等”（需同时相等，缺一不可）；③复数等于0的条件错误，如误写为或（需同时为0）；④混淆“复数相等”与“复数模相等”，如认为则（模相等是复数相等的必要不充分条件）；⑤求解含参数的复数相等问题时，漏求其中一个参数（如只求实部对应参数，忽略虚部） 重点记忆：①核心口诀：“复数相等看实虚，实部虚部都相等，系数必须是实数，缺一不可记分明”；②必记条件：且（）；③关键提醒：复数相等的前提是两个复数均为代数形式且系数为实数，否则无法用此条件；④技巧：求解含参数的复数相等问题时，分别列出实部、虚部对应相等的方程，解方程组即可求出参数值 常考结论：①高频解题示例：若（），则，解得，；②复数（）与实数相等的充要条件是且；③含参数的复数相等问题，核心是“分离实部、虚部，列方程组求解”，是复数入门计算的核心题型；④若两个复数不能化为代数形式（或系数非实数），则无法判断是否相等 模块三：复数的几何意义 6.知识点6：复平面的概念（几何意义基础） 知识点：为了直观表示复数，引入复平面（又称高斯平面），核心定义： ①复平面的构成：复平面是由两条互相垂直的数轴组成，水平数轴叫做实轴（x轴），垂直数轴叫做虚轴（y轴），两轴交点为原点； ②实轴用途：实轴上的点仅表示实数，即对应复数（），实轴上的点的坐标为； ③虚轴用途：虚轴上的点（除原点外）仅表示纯虚数，即对应复数（），虚轴上的点的坐标为； ④原点性质：原点既在实轴上，也在虚轴上，对应复数（） 易错辨析：①混淆实轴与虚轴的用途，如认为“虚轴上的点都表示虚数”（原点在虚轴上，对应实数0）；②错误认为“复平面就是平面直角坐标系”（复平面的实轴、虚轴有特定含义，平面直角坐标系无“实轴、虚轴”区分）；③虚轴上点的对应错误，如将纯虚数对应到点（正确为）；④实轴上点的对应错误，如将实数对应到点（正确为）；⑤忽略“虚轴上除原点外都是纯虚数”，误将原点归为纯虚数对应点 重点记忆：①核心口诀：“复平面有两轴，水平实轴垂直虚轴，实轴对应实数点，虚轴（除原点）纯虚数，原点对应数0”；②必记对应关系：实轴→实数，虚轴（除原点）→纯虚数，原点→0；③关键提醒：复平面与平面直角坐标系的区别的是“坐标轴的含义不同”，其余几何性质一致；④技巧：记忆复平面时，可类比平面直角坐标系，实轴对应x轴、虚轴对应y轴，点的坐标与复数实部、虚部一一对应 常考结论：①复平面内，实轴上的所有点构成实数集，虚轴上的所有点（除原点）构成纯虚数集；②原点是复平面内唯一既对应实数又在虚轴上的点；③复平面内的点与复数是一一对应的（每个复数对应唯一一点，每个点对应唯一复数）；④实轴与虚轴互相垂直，交点为原点，构成的平面即为复平面，适配平面直角坐标系的所有坐标规律 7.知识点7：复数与复平面内点的对应关系 知识点：复数的代数形式（）与复平面内的点是一一对应的，即： （）； 核心对应规律：①复数的实部对应点的横坐标；②复数的虚部对应点的纵坐标；③不同复数对应不同的点，不同的点对应不同的复数（一一对应关系）； 高频对应示例：，，， 易错辨析：①点的坐标与复数实部、虚部对应错误（最高频），如将对应到点（正确为）；②忽略一一对应关系，认为“多个复数可对应同一个点”或“一个复数可对应多个点”；③纯虚数对应点的坐标错误，如对应到（正确为）；④实数对应点的坐标错误，如对应到（正确为）；⑤混淆“复数”与“点”，误将两者等同（两者是对应关系，不是同一概念） 重点记忆：①核心口诀：“复数对应复平面点，实部横坐标，虚部纵坐标，一一对应不混乱”；②必记对应关系：（）↔点，实部→横坐标，虚部→纵坐标；③关键提醒：点的坐标顺序不可颠倒，实部在前、虚部在后，与复数代数形式的顺序一致；④技巧：已知复数求对应点的坐标，直接提取实部、虚部作为横、纵坐标；已知点的坐标求对应复数，直接将横坐标作为实部、纵坐标作为虚部，写成形式 常考结论：①高频对应示例（直接参考）： ↔点； ↔原点； 点↔复数； 点↔纯虚数； ②复平面内，第一象限的点对应“实部正、虚部正”的非纯虚数，第二象限对应“实部负、虚部正”的非纯虚数，第三象限对应“实部负、虚部负”的非纯虚数，第四象限对应“实部正、虚部负”的非纯虚数；③实轴上的点对应实数（虚部为0），虚轴上的点对应纯虚数（除原点，实部为0、虚部不为0） 8.知识点8：复数与平面向量的对应关系 知识点：复数（）、复平面内的点与平面向量（以原点为起点，点为终点）三者是一一对应的，即： （）； 核心说明：①向量的坐标与点的坐标一致，均为；②向量的横坐标对应复数的实部，纵坐标对应复数的虚部；③复数的相关性质可转化为向量的性质研究，向量的运算可转化为复数的运算（后续复数运算基础）； 特殊情形：向量（零向量）对应复数和原点 易错辨析：①混淆“向量与复数的对应关系”，认为“所有平面向量都对应复数”（仅以原点为起点的向量与复数一一对应，非原点起点的向量不直接对应）；②向量坐标与复数对应错误，如将对应到向量（正确为）；③忽略三者的一一对应关系，如认为“一个向量可对应多个复数”；④错误将“向量”与“点”“复数”等同（三者是对应关系，不是同一概念）；⑤非原点起点的向量，误直接对应复数（需平移至原点起点，坐标不变，再对应复数） 重点记忆：①核心口诀：“复数、点、向量，三者一一对应好，原点起点向量，坐标对应实虚部”；②必记对应关系：↔↔（）；③关键提醒：仅以原点为起点的向量与复数一一对应，非原点起点的向量需平移后再对应；④技巧：已知复数可直接写出对应向量坐标（实部、虚部分别为横、纵坐标）；已知向量坐标（以原点为起点），可直接写出对应复数 常考结论：①高频对应示例（直接参考）： 复数↔点↔向量； 向量↔点↔复数； 零向量↔原点↔复数； ②向量的方向由复数的实部、虚部符号决定（与复平面内点的位置一致）；③复数的几何意义核心是“代数形式与几何图形（点、向量）的转化”，是后续复数模、复数运算几何意义的基础；④不同起点但坐标相同的向量，平移至原点起点后对应同一个复数 9.知识点9：复数的模（绝对值）的定义与计算 知识点：设复数（），其模（又称绝对值）记作，核心定义与计算： ①几何定义：复数的模是复平面内对应点到原点的距离，也是对应向量的模（长度）； ②代数计算公式（适配微软word，精准无错）：（平方根结果非负，符合距离定义）； ③特殊情形： 当为实数时，，则（与实数的绝对值定义一致）； 当为纯虚数时，（），则； 零复数的模； ④常用表示：（模的值恒为非负数） 易错辨析：①模的计算公式错误（最高频），如误写为、或（正确为）；②混淆“复数的模”与“复数的实部、虚部”，如认为“”或“”；③模的结果为负数（忽略模是距离，恒为非负）；④实数的模计算错误，如误算为；⑤纯虚数的模计算错误，如（正确为4，模是实数，不含虚数单位）；⑥计算模时，漏算平方，如（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“复数模，距离找，原点到点距离妙，代数计算平方根，a方加b方再开方，结果非负要记牢”；②必记公式：（）；③关键提醒：复数的模是一个非负实数，与复数本身不同（复数可为虚数，模必为实数）；实数的模与实数绝对值一致，纯虚数的模是虚部的绝对值；④技巧：计算模时，先分别计算实部、虚部的平方，求和后再开算术平方根，避免漏算平方和符号错误 常考结论：①高频模的计算结果（直接套用）： ；；；；； ；； ②模的常用性质（高频考点，直接应用）： （复数为0的充要条件是模为0）； （复数乘积的模等于模的乘积）； （，复数商的模等于模的商）； （为复数的共轭复数，后续将学，提前铺垫）； ③若（，常数），则复平面内复数对应点的轨迹是“以原点为圆心，r为半径的圆”（几何意义延伸，高频考点） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：虚数单位及其性质】 （25-26高三上·湖北·月考）（   ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． （24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ）经典例题2例题 A．1 B．2 C． D． （24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ）小试牛刀1 A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. （24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 小试牛刀2 （23-24高一·上海·课堂例题）已知两个复数的和为4、积为6，求这两个复数．小试牛刀3 【题型2：复数的基本概念】 （25-26高三上·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 （25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 .经典例题2例题 （24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知复数，．小试牛刀1 (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． （24-25高一下·浙江湖州·月考）实数取什么值时，复数是下列数？小试牛刀2 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. （24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：复数的实部与虚部】 （2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ）经典例题1例题 A．2 B． C．3 D． （25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为 .经典例题2例题 （25-26高三上·青海西宁·月考）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D．3 （25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ）小试牛刀2 A． B．2 C．1 D． （25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ）小试牛刀3 A． B．3 C． D．1 【题型4：复数相等的条件】 （24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）经典例题1例题 A．3 B．4 C． D． （23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值．经典例题2例题 （23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值．小试牛刀1 （23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值．小试牛刀2 （23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值：小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4). 【题型5：复数的分类及求参数】 （24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中，经典例题1例题 ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ （25-26高二上·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ）经典例题2例题 A．0 B．1 C．2 D．3 （25-26高三上·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）小试牛刀1 A． B．1 C．3 D．或1 （25-26高三上·天津河东·期中）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则 ．小试牛刀2 （25-26高三上·甘肃甘南·月考）已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为：小试牛刀3 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【题型6：复数的坐标表示】 （2026届高三上学期期末考试数学）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·四川广安·月考）若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·广东·月考）已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：象限的点与对应复数的特征】 （23-24高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？经典例题1例题 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. （2025高三·全国·专题练习）已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围．经典例题2例题 （24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，为虚数单位，复数.小试牛刀1 (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； （24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（）小试牛刀3 (1)若，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【题型8：判断复数所在象限】 （2026高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （24-25高二下·云南昆明·月考）复数，则复数在复平面内对应的点在第几象限（   ）．小试牛刀1 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （25-26高三上·山东·月考）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2025高三·全国·专题练习）设复数，则对应的点在（    ）小试牛刀3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型9：由复数的坐标写出对应复数】 （2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；经典例题1例题 （2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是， 求点D对应的复数． （24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为 .经典例题2例题 （24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ．小试牛刀1 （23-24高一·上海·课堂例题）设复数与在复平面上所对应的向量分别为与（为坐标原点），求向量及所对应的复数．小试牛刀2 （2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求：小试牛刀3 (1)向量对应的复数； (2)点对应的复数． 【题型10：求复数的模长】 （25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）复数，其中i为虚数单位，则（   ）经典例题1例题 A．0 B．1 C． D．2 （25-26高三上·云南曲靖·期末）已知复数，则（    ）经典例题2例题 A．1 B． C． D．2 （25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，其中，是实数，则（    ）小试牛刀1 A．4 B． C． D．2 （2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）．小试牛刀2 A．5 B．7 C．9 D．25 （2026·陕西西安·一模）复数的虚部为（   ）小试牛刀3 A．2 B． C．0 D． 【题型11：与复数模长有关的轨迹问题】 （24-25高二上·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是 .经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ．经典例题2例题 （25-26高二上·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C．3 D．2 （2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　）小试牛刀3 A． B． C．2 D． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 4．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 5．（25-26高三上·湖北·月考）在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 7．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（22-23高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 9．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 10．（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 12．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 二、多选题 13．（2023高一·全国·专题练习）以下四个关于复数的结论，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比大小 B． C． D．复数且 14．（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 三、填空题 15．（24-25高一下·海南海口·月考）已知在复平面内复数，，对应的点分别为，.若复数是实数，则实数a的值为 . 16．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 17．（25-26高三上·广东·月考）在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，.若，，则的面积 . 四、解答题 18．（24-25高一下·安徽·月考）（1）设复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是什么图形？请求出该图形的面积． （2）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 19．（24-25高一下·天津武清·月考）复平面内表示复数 的点为Z. (1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数； (2)当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； (3)当点Z位于直线上时，求实数m的值. 20．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【7.1.1-7.1.2`数系的扩充和复数的概念与复数的几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：数系的扩充 1.知识点1：数系扩充的脉络与原因 知识点：数系的扩充是为了满足实际运算需求，解决“无解运算”的矛盾，核心脉络： 自然数集→整数集（解决“减法无解”，如）→有理数集（解决“除法无解”，如）→实数集（解决“开方无解”，如）→复数集（解决“负数开方无解”，引入虚数单位） 核心原因：每一次扩充都保留原有数集的运算性质（如加法交换律、乘法结合律），同时新增元素，使原本无解的运算有解，复数集是目前中学阶段数系的最终扩充 易错辨析：①数系扩充脉络混淆，如误将“有理数集→自然数集”颠倒，或遗漏整数集；②误解扩充目的，认为数系扩充是“人为添加元素”，忽略“解决运算无解”的核心需求；③错误认为“复数集包含实数集，实数集包含虚数集”（虚数集与实数集是并列关系，无包含）；④混淆数集符号，如将自然数集记为、整数集记为；⑤误将“无理数”归为虚数（无理数属于实数集，与虚数无关） 重点记忆：①核心口诀：“自然生整数，整数生有理，有理生实数，实数生复数，层层扩运算，无解变有解”；②必记数集脉络（精准符号）：；③关键提醒：数系扩充的核心原则——保留原有运算性质，新增元素解决对应无解运算；④技巧：结合“运算矛盾”记忆脉络，每个数集对应解决一种运算无解问题 常考结论：①高频数集关系（直接应用）：自然数集是整数集的真子集，实数集是复数集的真子集，虚数集与实数集无公共元素；②复数集的构成：复数集=实数集∪虚数集，虚数集包含纯虚数集；③数系扩充后，所有实数的运算性质（加减乘除、乘方、开方）在复数集中仍成立（除实数外，复数不能比较大小）；④虚数单位的引入是数系扩充到复数集的关键，核心定义 2.知识点2：虚数单位的定义与性质 知识点：为解决“负数开方无解”的问题，引入虚数单位，核心定义与性质： ①核心定义：（重中之重，所有复数运算的基础）； ②运算性质（高频）：，，，，周期为4（即，，，，）； ③运算规则：可与实数进行加减乘运算，遵循实数的运算性质，如、、； ④开方性质：（），如， 易错辨析：①混淆的值，误写为或（唯一值为-1）；②虚数单位周期错误，如误写、；③开方性质错误，如（教辅规范中，算术平方根仅为正的虚数，即）；④错误认为是实数（是纯虚数，不属于实数集）；⑤运算时违背实数运算性质，如（正确为）；⑥周期应用错误，如，误算为（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“虚数单位i，平方是-1，周期四循环，1、i、-1、-i”；②必记性质：，周期为4的运算性质，（）；③关键提醒：不能单独比较大小，如“”“”均错误；④技巧：计算（）时，先将n除以4，求余数，再根据余数对应周期结果（余数1→i，余数2→-1，余数3→-i，余数0→1） 常考结论：①高频计算结果（直接套用）：，，，，，，；②与实数的乘积仍是虚数（除0外），如、均为纯虚数；③的负指数幂：（因），，，同样遵循周期为4的规律；④，这是虚数单位引入的核心初衷 模块二：复数的概念 3.知识点3：复数的定义与表示形式 知识点：复数的核心定义：设、都是实数，形如的数叫做复数，其中： ①虚数单位：（满足）； ②实部：（记作）； ③虚部：（记作，注意：虚部是实数，不是）； ④复数集：全体复数所构成的集合，记作； ⑤常用表示：复数通常用字母表示，即（），这种形式叫做复数的代数形式（唯一标准形式） 易错辨析：①虚部判断错误（最高频），如复数，误将虚部记为（正确为3）；②忽略复数代数形式的条件，如误将中的当作任意数（必须为实数）；③错误表示复数，如（虽正确，但教辅规范中，需写为，实部在前，虚部在后）；④混淆“复数”与“虚数”，认为复数就是虚数（复数包含实数和虚数）；⑤虚部为0时，误将复数归为虚数（虚部为0时，复数是实数） 重点记忆：①核心口诀：“复数形式a+bi，a实b虚要分清，i的平方是-1，a,b必须是实数”；②必记定义：复数（），实部、虚部（均为实数）；③关键提醒：虚部是“实数b”，不含虚数单位i；复数的代数形式必须满足“实部在前，虚部在后”，系数标准化（如，不写）；④技巧：判断一个数是否为复数，只需看其能否化为（）的形式，所有实数、虚数都是复数 常考结论：①高频复数示例（实部、虚部辨析）： ：实部5，虚部2（不是）； ：可化为，实部-3，虚部0； ：可化为，实部0，虚部4； ：可化为，实部0，虚部0； ②复数的代数形式是唯一的，即一个复数只有一种（）的表示方法；③所有实数都是复数（虚部为0），所有虚数都是复数（虚部不为0） 4.知识点4：复数的分类 知识点：根据复数（）中实部、虚部的取值，将复数分类： ①实数：当且仅当时，复数是实数（即所有实数都可看作虚部为0的复数）； ②虚数：当且仅当时，复数是虚数； ③纯虚数：当且仅当且时，复数是纯虚数； 分类脉络：复数 易错辨析：①纯虚数条件错误（最高频），如误认为“的复数是纯虚数”（忽略，若且，是实数0）；②非纯虚数判断错误，如，误归为纯虚数（实部不为0，是非纯虚数）；③虚数与纯虚数混淆，认为“虚数就是纯虚数”（纯虚数是虚数的子集）；④实数判断错误，如，误归为实数（虚部不为0，是纯虚数）；⑤0的分类错误，误将归为纯虚数（，虚部为0，是实数）；⑥非纯虚数条件错误，误认为“就是非纯虚数”（需满足且） 重点记忆：①核心口诀：“复数分类看b，b=0是实数，b≠0是虚数，a=0且b≠0是纯虚，a≠0且b≠0非纯虚”；②必记分类条件（精准无遗漏）： 实数：（）； 虚数：（）； 纯虚数：且（）； 非纯虚数：且（）； ③关键提醒：0是实数，不是虚数，更不是纯虚数；纯虚数一定是虚数，虚数不一定是纯虚数；④技巧：判断复数类型时，先将复数化为标准代数形式，再看实部、虚部的取值，逐一对照条件 常考结论：①高频分类示例（直接参考）： 实数：（）、、、； 纯虚数：（）、、； 非纯虚数：、常考结论：①高频分类示例（直接参考）： 实数：（）、、、； 纯虚数：（）、、； 非纯虚数：、、； ②纯虚数的等价表述：复数（）是纯虚数⇔且； ③实数的等价表述：复数（）是实数⇔； ④虚数的等价表述：复数（）是虚数⇔； ⑤0是唯一既是实数又是纯虚数对立面的复数，无其他复数同时属于实数和虚数 5.知识点5：复数相等的条件 知识点：设两个复数，（其中），则复数相等的充要条件是“实部相等且虚部分别相等”，即： 且； 特殊情形：①复数（）等于0的充要条件是且（即）；②两个纯虚数、（）相等的充要条件是 易错辨析：①忽略复数相等的前提条件，未强调（若系数不是实数，相等条件不成立）；②错误认为“实部相等或虚部相等即可使复数相等”（需同时相等，缺一不可）；③复数等于0的条件错误，如误写为或（需同时为0）；④混淆“复数相等”与“复数模相等”，如认为则（模相等是复数相等的必要不充分条件）；⑤求解含参数的复数相等问题时，漏求其中一个参数（如只求实部对应参数，忽略虚部） 重点记忆：①核心口诀：“复数相等看实虚，实部虚部都相等，系数必须是实数，缺一不可记分明”；②必记条件：且（）；③关键提醒：复数相等的前提是两个复数均为代数形式且系数为实数，否则无法用此条件；④技巧：求解含参数的复数相等问题时，分别列出实部、虚部对应相等的方程，解方程组即可求出参数值 常考结论：①高频解题示例：若（），则，解得，；②复数（）与实数相等的充要条件是且；③含参数的复数相等问题，核心是“分离实部、虚部，列方程组求解”，是复数入门计算的核心题型；④若两个复数不能化为代数形式（或系数非实数），则无法判断是否相等 模块三：复数的几何意义 6.知识点6：复平面的概念（几何意义基础） 知识点：为了直观表示复数，引入复平面（又称高斯平面），核心定义： ①复平面的构成：复平面是由两条互相垂直的数轴组成，水平数轴叫做实轴（x轴），垂直数轴叫做虚轴（y轴），两轴交点为原点； ②实轴用途：实轴上的点仅表示实数，即对应复数（），实轴上的点的坐标为； ③虚轴用途：虚轴上的点（除原点外）仅表示纯虚数，即对应复数（），虚轴上的点的坐标为； ④原点性质：原点既在实轴上，也在虚轴上，对应复数（） 易错辨析：①混淆实轴与虚轴的用途，如认为“虚轴上的点都表示虚数”（原点在虚轴上，对应实数0）；②错误认为“复平面就是平面直角坐标系”（复平面的实轴、虚轴有特定含义，平面直角坐标系无“实轴、虚轴”区分）；③虚轴上点的对应错误，如将纯虚数对应到点（正确为）；④实轴上点的对应错误，如将实数对应到点（正确为）；⑤忽略“虚轴上除原点外都是纯虚数”，误将原点归为纯虚数对应点 重点记忆：①核心口诀：“复平面有两轴，水平实轴垂直虚轴，实轴对应实数点，虚轴（除原点）纯虚数，原点对应数0”；②必记对应关系：实轴→实数，虚轴（除原点）→纯虚数，原点→0；③关键提醒：复平面与平面直角坐标系的区别的是“坐标轴的含义不同”，其余几何性质一致；④技巧：记忆复平面时，可类比平面直角坐标系，实轴对应x轴、虚轴对应y轴，点的坐标与复数实部、虚部一一对应 常考结论：①复平面内，实轴上的所有点构成实数集，虚轴上的所有点（除原点）构成纯虚数集；②原点是复平面内唯一既对应实数又在虚轴上的点；③复平面内的点与复数是一一对应的（每个复数对应唯一一点，每个点对应唯一复数）；④实轴与虚轴互相垂直，交点为原点，构成的平面即为复平面，适配平面直角坐标系的所有坐标规律 7.知识点7：复数与复平面内点的对应关系 知识点：复数的代数形式（）与复平面内的点是一一对应的，即： （）； 核心对应规律：①复数的实部对应点的横坐标；②复数的虚部对应点的纵坐标；③不同复数对应不同的点，不同的点对应不同的复数（一一对应关系）； 高频对应示例：，，， 易错辨析：①点的坐标与复数实部、虚部对应错误（最高频），如将对应到点（正确为）；②忽略一一对应关系，认为“多个复数可对应同一个点”或“一个复数可对应多个点”；③纯虚数对应点的坐标错误，如对应到（正确为）；④实数对应点的坐标错误，如对应到（正确为）；⑤混淆“复数”与“点”，误将两者等同（两者是对应关系，不是同一概念） 重点记忆：①核心口诀：“复数对应复平面点，实部横坐标，虚部纵坐标，一一对应不混乱”；②必记对应关系：（）↔点，实部→横坐标，虚部→纵坐标；③关键提醒：点的坐标顺序不可颠倒，实部在前、虚部在后，与复数代数形式的顺序一致；④技巧：已知复数求对应点的坐标，直接提取实部、虚部作为横、纵坐标；已知点的坐标求对应复数，直接将横坐标作为实部、纵坐标作为虚部，写成形式 常考结论：①高频对应示例（直接参考）： ↔点； ↔原点； 点↔复数； 点↔纯虚数； ②复平面内，第一象限的点对应“实部正、虚部正”的非纯虚数，第二象限对应“实部负、虚部正”的非纯虚数，第三象限对应“实部负、虚部负”的非纯虚数，第四象限对应“实部正、虚部负”的非纯虚数；③实轴上的点对应实数（虚部为0），虚轴上的点对应纯虚数（除原点，实部为0、虚部不为0） 8.知识点8：复数与平面向量的对应关系 知识点：复数（）、复平面内的点与平面向量（以原点为起点，点为终点）三者是一一对应的，即： （）； 核心说明：①向量的坐标与点的坐标一致，均为；②向量的横坐标对应复数的实部，纵坐标对应复数的虚部；③复数的相关性质可转化为向量的性质研究，向量的运算可转化为复数的运算（后续复数运算基础）； 特殊情形：向量（零向量）对应复数和原点 易错辨析：①混淆“向量与复数的对应关系”，认为“所有平面向量都对应复数”（仅以原点为起点的向量与复数一一对应，非原点起点的向量不直接对应）；②向量坐标与复数对应错误，如将对应到向量（正确为）；③忽略三者的一一对应关系，如认为“一个向量可对应多个复数”；④错误将“向量”与“点”“复数”等同（三者是对应关系，不是同一概念）；⑤非原点起点的向量，误直接对应复数（需平移至原点起点，坐标不变，再对应复数） 重点记忆：①核心口诀：“复数、点、向量，三者一一对应好，原点起点向量，坐标对应实虚部”；②必记对应关系：↔↔（）；③关键提醒：仅以原点为起点的向量与复数一一对应，非原点起点的向量需平移后再对应；④技巧：已知复数可直接写出对应向量坐标（实部、虚部分别为横、纵坐标）；已知向量坐标（以原点为起点），可直接写出对应复数 常考结论：①高频对应示例（直接参考）： 复数↔点↔向量； 向量↔点↔复数； 零向量↔原点↔复数； ②向量的方向由复数的实部、虚部符号决定（与复平面内点的位置一致）；③复数的几何意义核心是“代数形式与几何图形（点、向量）的转化”，是后续复数模、复数运算几何意义的基础；④不同起点但坐标相同的向量，平移至原点起点后对应同一个复数 9.知识点9：复数的模（绝对值）的定义与计算 知识点：设复数（），其模（又称绝对值）记作，核心定义与计算： ①几何定义：复数的模是复平面内对应点到原点的距离，也是对应向量的模（长度）； ②代数计算公式（适配微软word，精准无错）：（平方根结果非负，符合距离定义）； ③特殊情形： 当为实数时，，则（与实数的绝对值定义一致）； 当为纯虚数时，（），则； 零复数的模； ④常用表示：（模的值恒为非负数） 易错辨析：①模的计算公式错误（最高频），如误写为、或（正确为）；②混淆“复数的模”与“复数的实部、虚部”，如认为“”或“”；③模的结果为负数（忽略模是距离，恒为非负）；④实数的模计算错误，如误算为；⑤纯虚数的模计算错误，如（正确为4，模是实数，不含虚数单位）；⑥计算模时，漏算平方，如（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“复数模，距离找，原点到点距离妙，代数计算平方根，a方加b方再开方，结果非负要记牢”；②必记公式：（）；③关键提醒：复数的模是一个非负实数，与复数本身不同（复数可为虚数，模必为实数）；实数的模与实数绝对值一致，纯虚数的模是虚部的绝对值；④技巧：计算模时，先分别计算实部、虚部的平方，求和后再开算术平方根，避免漏算平方和符号错误 常考结论：①高频模的计算结果（直接套用）： ；；；；； ；； ②模的常用性质（高频考点，直接应用）： （复数为0的充要条件是模为0）； （复数乘积的模等于模的乘积）； （，复数商的模等于模的商）； （为复数的共轭复数，后续将学，提前铺垫）； ③若（，常数），则复平面内复数对应点的轨迹是“以原点为圆心，r为半径的圆”（几何意义延伸，高频考点） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：虚数单位及其性质】 （25-26高三上·湖北·月考）（   ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚数单位i的性质求解，即得答案. 【详解】. 故选：C （24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ）经典例题2例题 A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用，可求值. 【详解】. 故选：A. （24-25高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ）小试牛刀1 A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A （24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 小试牛刀2 【答案】0 【分析】根据的运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：0 （23-24高一·上海·课堂例题）已知两个复数的和为4、积为6，求这两个复数．小试牛刀3 【答案】和 【分析】由韦达定理可知，这两个数是方程的两个根，解方程即可得解. 【详解】设这两个数分别是，则， 由韦达定理可知，这两个数是方程的两个根， 解得， 所以这两个数是和． 【题型2：复数的基本概念】 （25-26高三上·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C （25-26高三上·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 .经典例题2例题 【答案】 【分析】借助纯虚数定义列不等式组计算即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. （24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知复数，．小试牛刀1 (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【详解】（1）由z为实数，得，所以. （2）由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. （3）由z为纯虚数，得且，所以. （24-25高一下·浙江湖州·月考）实数取什么值时，复数是下列数？小试牛刀2 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)或; (2)且； (3). 【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】（1）当复数是实数时，，解得或； （2）当复数是虚数时，，解得且； （3）当复数是纯虚数时，则，解得. （24-25高一下·重庆·月考）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 【题型3：复数的实部与虚部】 （2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ）经典例题1例题 A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C （25-26高三上·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得复数的虚部为. 故答案为： （25-26高三上·青海西宁·月考）若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意得，的虚部是3． 故选：D． （25-26高二上·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ）小试牛刀2 A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B （25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ）小试牛刀3 A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 【题型4：复数相等的条件】 （24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ）经典例题1例题 A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. （23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值．经典例题2例题 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． （23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值．小试牛刀1 【答案】或或或 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． （23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值．小试牛刀2 【答案】或 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得， 解得：或． （23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值：小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)，或 (4) 【分析】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可 （2）令实部为0且虚部为0解方程即可； （3）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （4）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【详解】（1）由，可得 （2）由，可得 （3）由，可得，或 （4）由，可得 【题型5：复数的分类及求参数】 （24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中，经典例题1例题 ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D （25-26高二上·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ）经典例题2例题 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. （25-26高三上·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）小试牛刀1 A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】依题意，，解得． 故选：B． （25-26高三上·天津河东·期中）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则 ．小试牛刀2 【答案】2 【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 故答案为：2. （25-26高三上·甘肃甘南·月考）已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为：小试牛刀3 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在 【分析】（1）根据z为实数，得到，求出； （2）根据z为虚数，有且有意义，求出答案； （3）根据z为纯虚数，有，得到答案. 【详解】（1）z为实数时，有， 由得或6，由得， 综上，当时，z为实数； （2）z为虚数时，则有且有意义，解得且且， 所以当时，z为虚数； （3）z为纯虚数时，则有， 由得且，由得， 故不存在实数m使z为纯虚数. 【题型6：复数的坐标表示】 （2026届高三上学期期末考试数学）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义及共轭复数的概念求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，所以， 故选：C. （25-26高三上·广西柳州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则 . 故选：B. （2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. （24-25高一下·四川广安·月考）若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的虚部解得参数，即可依次确定，再结合复数的几何意义，即可得解. 【详解】的虚部为， ，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为， 故选：A. （25-26高二上·广东·月考）已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 【题型7：象限的点与对应复数的特征】 （23-24高一下·云南楚雄·月考）在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？经典例题1例题 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【答案】(1)或. (2). (3). 【分析】（1）令复数的实部为零，解方程即可求得结果； （2）根据第二象限点坐标特征解不等式可得结果； （3）依题意可得复数的实部与虚部相等，解方程即可. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. （2025高三·全国·专题练习）已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围．经典例题2例题 【答案】 【分析】依题意，化简得，再根据所对应的点在第二象限，列不等式求解即可. 【详解】由，即， 由于对应的点在第二象限，，解得 又， ，即． 又 ． （24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，为虚数单位，复数.小试牛刀1 (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的分类求解即可； （2）根据复数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得； （2）因为复数对应的点在第三象限， 所以，解得. （24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． （24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数（）小试牛刀3 (1)若，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围； (3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)-1 (2) (3) 【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案； （2）由求出答案； （3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案. 【详解】（1），故为实数， ，解得； （2）z为虚数，故，所以； （3）由题意得，解得 【题型8：判断复数所在象限】 （2026高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. （2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义求出. 【详解】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． （24-25高二下·云南昆明·月考）复数，则复数在复平面内对应的点在第几象限（   ）．小试牛刀1 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义写出对应点坐标可判断. 【详解】复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D （25-26高三上·山东·月考）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数在复平面内对应的点来求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以， 则复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D （2025高三·全国·专题练习）设复数，则对应的点在（    ）小试牛刀3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义先求，由，利用复数的几何意义即可求解. 【详解】由有： ， 又，所以对应的点在第三象限， 故选：C. 【题型9：由复数的坐标写出对应复数】 （2025高三·全国·专题练习）（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数；经典例题1例题 （2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是， 求点D对应的复数． 【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析；（3） 【分析】（1）由复数的向量表示可得；（2）由复数的坐标表示可得；（3）设，由复数的向量和坐标表示计算可得. 【详解】（1）表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为． （2）设复数1对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中． 如图所示： （3）记为复平面的原点，由题意得． 设，则，． 由题意知，，所以即 故点D对应的复数为． （24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，其对应的复数为. 故答案为：. （24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出的坐标，则答案可求． 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． （23-24高一·上海·课堂例题）设复数与在复平面上所对应的向量分别为与（为坐标原点），求向量及所对应的复数．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据复数的向量表示，结合向量的坐标运算求出向量及的坐标，即可得答案. 【详解】由题意知， 故， 故向量及所对应的复数分别为. （2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求：小试牛刀3 (1)向量对应的复数； (2)点对应的复数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平移可得到，从而得到向量对应的复数； （2）首先得到点平移后所对应的点，即可得到点的坐标，从而得到其所对应的复数. 【详解】（1）由向量平移可知， ∴向量对应的复数为． （2）依题意，将向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 即，故点对应的复数为． 【题型10：求复数的模长】 （25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）复数，其中i为虚数单位，则（   ）经典例题1例题 A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用复数的模公式，可得答案. 【详解】复数. 故选：C. （25-26高三上·云南曲靖·期末）已知复数，则（    ）经典例题2例题 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的模计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. （25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，其中，是实数，则（    ）小试牛刀1 A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数相等求出、的值，代入求模即可. 【详解】由得，，所以，， 解得，，所以. 故选：C. （2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）．小试牛刀2 A．5 B．7 C．9 D．25 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念和复数的模的公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A （2026·陕西西安·一模）复数的虚部为（   ）小试牛刀3 A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】，的虚部为， 故选：B. 【题型11：与复数模长有关的轨迹问题】 （24-25高二上·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是 .经典例题1例题 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.   表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：1 （2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ．经典例题2例题 【答案】3 【分析】设，利用模的几何意义求解即可. 【详解】设，由的几何意义知， z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即， 因为的几何意义为点到坐标原点的距离， 所以. 故答案为：3. （25-26高二上·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的定义，代入计算即可求出在复平面内对应点的轨迹方程. 【详解】, , 即， 所以的轨迹方程为. 故选：D （25-26高三上·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B．    （2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　）小试牛刀3 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数. 【详解】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 2．（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设为虚数单位，复数的虚部是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用虚部的概念求解即可. 【详解】根据虚部的概念知，复数的虚部是. 故选：A 4．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【分析】根据复数的概念求解. 【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 5．（25-26高三上·湖北·月考）在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，设点对应的复数为，列出方程组，即可求解. 【详解】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 6．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【答案】C 【分析】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确； B：，因此本选项说法不正确； C：，，因此本选项说法正确； D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确， 故选：C 7．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 8．（22-23高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 【答案】B 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 9．（2025·陕西西安·一模）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【分析】根据的幂次运算法则对化简，根据虚部定义确定的虚部. 【详解】 ， 则的虚部是2. 故选：D 10．（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 11．（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得出向量的坐标，由此可得出向量的坐标，进而可得对应的复数. 【详解】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为， 故选：C. 12．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B 二、多选题 13．（2023高一·全国·专题练习）以下四个关于复数的结论，正确的是（    ） A．任意两个复数不能比大小 B． C． D．复数且 【答案】CD 【分析】根据复数的有关定义与性质分别判断即可. 【详解】对于A，当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以A错误； 对于B，当则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以由可以得到，故C正确； 对于D，若复数，则且，故D正确. 故选：CD. 14．（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当 ，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题 15．（24-25高一下·海南海口·月考）已知在复平面内复数，，对应的点分别为，.若复数是实数，则实数a的值为 . 【答案】1 【分析】首先可通过对应的点得出，再根据实数的定义得出. 【详解】因为复平面内复数，，对应的点分别为，， 所以复数，则，因为复数是实数， 所以，解得； 故答案为：1. 16．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 17．（25-26高三上·广东·月考）在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，.若，，则的面积 . 【答案】或 【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向时、线段在的内部时的面积，即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可得： ，即， 在中，由余弦定理可得： ，即， 当与反向时，； 当线段在的内部时，即如图所示的位置时，， 所以的面积为或. 故答案为：或. 四、解答题 18．（24-25高一下·安徽·月考）（1）设复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是什么图形？请求出该图形的面积． （2）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）点的集合是以为圆心，分别以为半径的两个圆所形成的圆环（含边界），面积；（2） 【分析】（1）根据题意，结合复数的几何意义，得到不等式表示两个圆所形成的圆环，结合圆的面积公式，即可求解； （2）根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求得的取值范围． 【详解】（1）由复数满足，即为， 方程表示的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 方程表示的点的集合是以为圆心，1为半径的圆． 故不等式表示的点的集合是以为圆心，分别以为半径的两个圆所形成的圆环（含边界）． 该圆环的面积． （2）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则满足，即，解得或， 所以的取值范围是． 19．（24-25高一下·天津武清·月考）复平面内表示复数 的点为Z. (1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数； (2)当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围； (3)当点Z位于直线上时，求实数m的值. 【答案】(1)时，复数是纯虚数 (2)时，点位于第四象限 (3)或时，点位于直线上 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部； （2）根据复数的几何意义列式计算； （3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求. 【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数． （2）依题意得且，解得． 所以当时，点位于第四象限． （3）依题意得当，即或时，点位于直线上． 20．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系式求解， （2）根据为实数且小于0即可求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $