5.2.1-5.2.2·基本初等函数的导数与导数的四则运算法则【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.2.1-5.2.2·基本初等函数的导数与导数的四则运算法则】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点1：常数函数的导数 知识点：设常数函数（其中C为任意常数），则其导数为： （或记作） 核心含义：常数函数的函数值不随自变量x的变化而变化，其瞬时变化率为0，几何意义是常数函数图像（水平直线）上任意一点的切线斜率为0 易错辨析：①误将常数函数的导数记为C，忽略“常数的导数为0”，如误写；②认为“只有C=0时，导数才为0”，忽略所有常数（正数、负数、0）的导数均为0；③混淆“常数函数”与“常系数函数”，如误将当作常数函数，错用公式得 重点记忆：①核心口诀：“常数导数等于0，不管正负和零值”；②必记公式：（C为常数）；③关键提醒：常数函数的本质是“函数值恒不变”，与自变量x无关，因此瞬时变化率为0；④区分技巧：判断函数是否为常数函数，看是否不含自变量x（如、均为常数函数） 常考结论：①任意常数的导数均为0，如、；②常数与函数乘积的导数，需用后续四则运算法则（），不可直接用常数导数公式，如；③常数函数的导函数仍为常数函数0 2.知识点2：幂函数的导数 知识点：设幂函数（其中n为任意实数，n∈R），则其导数为： （或记作） 核心含义：幂函数的导数，等于指数n乘以底数x的（n-1）次幂，适用于所有实数指数的幂函数，包括正整数、负整数、分数、无理数指数 易错辨析：①漏写指数“减1”，这是高频易错点，如误写（正确为）、（正确为）；②负指数幂导数计算错误，如误写后化简错误，或直接写成；③分数指数幂导数混淆，如误写（正确为）；④误将幂函数与指数函数混淆，错用公式，如将误写成（指数函数导数公式） 重点记忆：①核心口诀：“幂函数求导，指数提前，指数减1”；②必记公式：（n∈R）；③关键提醒：计算时先将幂函数化为的标准形式，再求导，如、；④常见变形求导（必练）：、、 常考结论：①高频幂函数导数（可直接套用）：（n=1时，）、、、、；②当n=0时，（x≠0），导数为，与常数函数导数公式一致；③幂函数导数的次数比原函数次数低1，即若原函数为x的n次幂，导数为x的（n-1）次幂 3.知识点3：正弦函数与余弦函数的导数 知识点：正弦函数、余弦函数的导数是高频考点，核心公式如下： ①正弦函数：； ②余弦函数：； 核心含义：正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数，记忆时重点区分符号，几何意义对应正弦、余弦曲线各点的切线斜率变化规律 易错辨析：①混淆两个函数的导数符号，这是最高频错误，如误写（漏写负号）、（多写负号）；②自变量混淆，如误写（未考虑复合函数，后续会学，此处易错）；③误将角度制与弧度制混淆，导数公式仅适用于弧度制下的正弦、余弦函数，若为角度制，导数需额外换算；④计算时忽略符号，如（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“正弦求导得余弦，余弦求导负正弦”；②必记公式：、（重点记余弦导数的负号）；③关键提醒：导数公式的前提是自变量x为弧度制，教材中导数运算均默认弧度制；④技巧：结合图像记忆，正弦曲线在x=0处切线斜率为1（），余弦曲线在x=0处切线斜率为0（），可验证公式正确性 常考结论：①高频变形求导（可直接套用）：、、（a、b为常数）；②正弦、余弦函数的导数仍为正弦、余弦函数（符号或函数名变化），具有周期性；③与互为导数变形，即 4.知识点4：指数函数的导数 知识点：指数函数分为自然指数函数（底数为e）和一般指数函数（底数为a>0且a≠1），核心导数公式如下： ①自然指数函数：（e为自然常数，e≈2.718）； ②一般指数函数：（a>0且a≠1）； 核心含义：自然指数函数的导数等于其本身，一般指数函数的导数等于其本身乘以底数a的自然对数，记忆时重点区分是否为自然指数函数 易错辨析：①混淆自然指数与一般指数函数的导数公式，如误写（多余，因）、（漏乘）；②底数混淆，如将误写成是正确的，但误写成（混淆自然对数与常用对数）；③误将指数函数与幂函数混淆，错用公式，如将误写成（幂函数公式）；④计算时忽略常数系数，如正确，误写成虽结果对，但步骤错误 重点记忆：①核心口诀：“自然指数导数自身，一般指数乘ln a”；②必记公式：、（a>0且a≠1）；③关键提醒：，因此自然指数函数是一般指数函数的特殊情况（a=e时）；④区分技巧：看底数是否为e，e为自然指数，其余为一般指数，公式核心差异在“是否乘ln a” 常考结论：①高频指数函数导数（可直接套用）：、、；②指数函数的导数仍为同类型指数函数，单调性与原函数一致（a>1时递增，0<a<1时递减）；③（k为常数）可结合后续复合函数法则，结果为（高频拓展，提前铺垫） 5.知识点5：对数函数的导数 知识点：对数函数分为自然对数函数（底数为e）和一般对数函数（底数为a>0且a≠1），核心导数公式如下： ①自然对数函数：（x>0）； ②一般对数函数：（a>0且a≠1，x>0）； 核心含义：自然对数函数的导数等于自变量x的倒数，一般对数函数的导数等于自变量x与底数a的自然对数的乘积的倒数，记忆时重点区分分母差异 易错辨析：①混淆自然对数与一般对数函数的导数公式，如误写（多余）、（漏除以）；②分母混淆，如将误写成（顺序错误，不影响结果，但规范写法为）；③误将对数函数与幂函数混淆，错用公式，如将误写成；④忽略定义域，对数函数的导数仅在x>0时存在，误将x≤0代入公式计算；⑤常用对数与自然对数混淆，如将（常用对数，底数为10）误写成（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“自然对数导数1/x，一般对数除以x乘ln a”；②必记公式：（x>0）、（a>0且a≠1，x>0）；③关键提醒：对数函数的导数定义域与原函数一致（x>0），计算时需先保证x>0；④换算技巧：一般对数可通过换底公式化为自然对数，即，再求导可验证公式正确性；⑤常见变形：（常用对数，高频考点） 常考结论：①高频对数函数导数（可直接套用）：、、、；②对数函数的导数单调性：在x>0时单调递减；③若x<0，（拓展结论，适配含绝对值的对数函数求导，高频应用） 6.知识点6：基本初等函数导数的综合说明（衔接四则运算） 知识点：基本初等函数的导数公式是导数运算的基础，后续导数的四则运算、复合函数求导均需依托这些公式，核心说明如下：①所有基本初等函数的导数均为初等函数；②公式适用于定义域内的可导点（除特殊点外，基本初等函数在定义域内均可导）；③需熟练掌握公式的正用、逆用，如已知导数求原函数（简单积分铺垫，高频题型） 易错辨析：①混淆不同类型基本初等函数的导数公式，如将幂函数与指数函数、对数函数公式混用；②记忆公式时遗漏符号（如余弦函数、一般对数函数负号相关变形）；③忽略公式的适用条件（如对数函数x>0，幂函数x的取值范围随指数n变化）；④不会逆用公式，如已知，无法推出（C为常数） 重点记忆：①核心口诀：“基本导数记牢固，四则运算靠它们，符号次数别混淆，定义域要记心间”；②必记技巧：每天默写1遍所有基本初等函数导数公式，重点标注易错公式（如余弦、一般指数、一般对数）；③逆用提醒：已知导数求原函数，需结合基本导数公式逆向推导，注意常数项的补充（常数导数为0）；④优先级：自然指数、自然对数、正弦、余弦、幂函数的导数公式优先记忆，应用频率最高 常考结论：①高频逆用结论（已知导数求原函数）：若，则（C为常数）；若，则；若，则（n≠-1）；若，则；②基本初等函数的导数不会出现“超越函数”（如指数函数导数仍为指数函数，对数仍为对数） 模块二：导数的四则运算法则 说明：设函数、在某区间内均可导，C为常数，导数的四则运算法则包括加减、乘、除法则，及常数乘函数的导数推论，是复合函数求导的基础 7.知识点7：常数乘函数的导数 知识点：若函数可导，C为常数，则常数与函数乘积的导数为： 核心含义：常数与函数乘积的导数，等于常数乘以该函数的导数，即“常数不变，只对函数求导”，本质是乘法法则的特殊情况（u=C，C’=0） 易错辨析：①误将常数与函数乘积的导数记为，忽略，如误写（正确为）；②漏乘常数，如误写（正确为）；③常数为负数时，符号错误，如误写（正确为）；④多个常数相乘时，计算错误，如，误写成 重点记忆：①核心口诀：“常数乘函数，导数常数乘函数导”；②必记公式：（C为常数，u可导）；③关键提醒：常数仅参与“相乘”，不参与求导，求导时只需对函数u求导，再乘以常数C；④技巧：当常数为分数、负数时，可先将常数提出，再求导，减少计算误差，如 常考结论：①高频应用：（k为常数）、、、；②若C=0，，与常数函数导数公式一致；③多个常数相乘时，先合并常数，再求导，如 8.知识点8：函数和、差的导数法则 知识点：若函数、均可导，则函数和、差的导数为： 核心含义：两个可导函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），可推广到多个函数的和、差，即 易错辨析：①符号错误，这是高频易错点，如误写（将减号写成加号）、（v的导数符号错误）；②多个函数和差求导时，遗漏部分函数的导数，如（漏求的导数）；③混淆和差法则与乘法法则，如误写（多余乘法项）；④常数项参与和差时，误将常数项导数算成自身，如（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“函数和差求导数，各自求导再加减，符号跟着原式走”；②必记公式：（u、v可导）；③关键提醒：和差法则可直接推广到任意多个可导函数的和差，符号与原式保持一致；④技巧：求导时可先将函数拆分为单个基本初等函数的和差，再分别求导，避免遗漏，如 常考结论：①高频应用：、、；②多个函数和差求导，符号依次对应，如；③函数和差的导数单调性，与各函数导数的单调性相关（拓展，适配综合题型） 9.知识点9：函数积的导数法则 知识点：若函数、均可导，则函数积的导数为： 核心含义：两个可导函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，记忆时重点区分“导数位置”，不可混淆 易错辨析：①误将积的导数记为（最高频错误），如误写（正确为）；②漏写一项，如误写或；③符号错误，如误写（正确为，此处符号正确，但易误写成）；④多个函数乘积求导时，不会分步应用法则，如误写成（正确为）；⑤常数与函数乘积求导，错用积的法则（虽结果正确，但繁琐），如，应直接用常数乘函数法则 重点记忆：①核心口诀：“函数乘积求导数，前导后不导，后导前不导，两者相加错不了”；②必记公式：（u、v可导）；③关键提醒：积的导数是“两项之和”，不可漏项，也不可写成两项之积；④多个函数乘积求导技巧：分步应用法则，先将两个函数看作一个整体，再与第三个函数相乘求导，如；⑤优先级：优先用常数乘函数法则，再用积的法则，简化计算 常考结论：①高频应用：、、；②若u、v中有一个为常数C，积的法则退化为常数乘函数法则，即；③多个函数乘积求导，结果的项数与函数个数一致，如3个函数乘积的导数有3项 10.知识点10：函数商的导数法则 知识点：若函数、均可导，且，则函数商的导数为： 核心含义：两个可导函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方，记忆时重点区分分子的两项顺序和符号，及分母的平方 易错辨析：①分子两项顺序颠倒，这是最高频错误，如误写（符号完全相反）；②漏写分母的平方，如误写或；③符号错误，如误将分子的减号写成加号，即；④分母为常数时，错用商的法则，如（虽正确，但繁琐，应化为，用常数乘函数法则求导）；⑤忽略分母不为0的条件，如，误在x=1处计算导数 重点记忆：①核心口诀：“函数商的导数，分子前导后不导减后导前不导，分母平方要记牢”；②必记公式：（u、v可导，）；③关键提醒：分子的顺序的是“分子导数乘分母-分子乘分母导数”，符号不可颠倒，分母必须平方；④简化技巧：若分母为常数，优先将商化为“常数乘分子”，再用常数乘函数法则求导，简化计算，如（C为常数，C≠0）；⑤分母不为0是前提，求导后需标注定义域（剔除使分母为0的点） 常考结论：①高频应用（可直接套用）：（与幂函数导数公式一致）、（正切函数导数，高频拓展）；②若u为常数C，；③商的导数定义域，是u、v可导定义域与v≠0的交集 11.知识点11：导数四则运算法则的综合应用 知识点：实际求导中，常需同时应用多个四则运算法则和基本初等函数导数公式，核心思路：①先将函数化简（如合并同类项、拆分分式、整理幂函数形式）；②再根据函数结构，选择合适的四则运算法则（优先常数乘、加减，再乘除）；③最后结合基本初等函数导数公式，分步求导，化简结果 易错辨析：①函数未化简就盲目求导，增加计算量且易出错，如（x≠0），未化简为，直接用商的法则求导；②混合运算时，法则应用顺序错误，如先求乘除，再求加减，忽略括号优先；③计算过程中，符号化简错误，如负号与分式、平方结合时出错；④求导后未化简结果，如，未整理为，不符合教辅答题规范；⑤遗漏定义域限制，如分式求导后，未标注使原分母为0的点 重点记忆：①核心口诀：“求导先化简，法则按顺序，公式记牢固，结果要化简”；②解题步骤（高频适配）：化简函数→判断函数结构（加减、乘除、常数乘）→应用对应法则→代入基本导数公式→化简结果→标注定义域（必要时）；③关键技巧：拆分分式（如，x≠0）、合并同类项，减少运算法则的应用；④常见化简方向：提取公因式（如）、整理幂次（如） 常考结论：①高频综合求导结论（可直接套用）：、、；②求导结果需化为最简形式，避免出现分式、幂次混合且可化简的情况；③若函数为多项式函数，其导数仍为多项式函数，次数比原函数低1 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.公式错误：基本初等函数导数公式记错（幂函数漏减1、余弦漏负号、指数对数漏乘ln a）；2.法则错误：积的导数漏项、商的导数顺序/符号/分母平方错误、加减导数符号错误；3.混淆错误：幂函数与指数/对数函数、自然指数与一般指数、自然对数与一般对数混淆；4.计算错误：常数乘函数漏乘常数、混合运算顺序错误、求导后未化简、符号错误；5.定义域错误：忽略对数函数x>0、分式分母≠0的条件 核心公式汇总：1.基本初等函数导数公式： （C为常数） （n∈R） （a>0且a≠1） （x>0） （a>0且a≠1，x>0） 2.导数四则运算法则： （C为常数，u可导） （u、v可导） （u、v可导） （u、v可导，） 3.高频拓展公式（可直接套用）： 、、、 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本初等函数的导数】 （江苏宿迁市2025-2026学年第一学期高二年级质量监测数学试题）已知函数，则的值为（   ）经典例题1例题 A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出函数在3处的导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，求（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】因为函数，所以， 根据导数的定义可得：. 故选：B. （25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. （25-26高二上·贵州黔南·月考）下列求导运算正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本函数求导法则计算出答案 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D （25-26高三上·河南·期中）已知函数，则 ．小试牛刀3 【答案】8 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：8 【题型2：用导数公式求某点处的切线方程】 （25-26高三上·河北沧州·期中）曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则正实数 .经典例题1例题 【答案】 【分析】先求，利用导数的几何意义得切线方程，进而求三角形面积，利用对数的换底公式结合指数与对数的互化即可求解. 【详解】由题意有：，，， 所以切线方程为：，令，令， 所以切线与坐标轴的交点为：， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为：， 故答案为：. （25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据导数求斜率，再利用点斜式求出. 【详解】由题意得，，， 由导数的几何意义得切线斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为： （25-26高三上·安徽浙江·月考）若直线是曲线的切线，则 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合给定切线列式求解. 【详解】设切点为，由求导得，由直线是曲线的切线， 得，则，所以. 故答案为： （25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 .小试牛刀2 【答案】或 【分析】设出切点坐标，利用导数结合已知求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为， 由，可得曲线在点处的切线斜率为， 由切线与直线平行，得，解得， 当时，切点为，此时切线方程为，即； 当时，切点为，此时切线方程为，即， 故所求切线方程为或. 故答案为：或 （2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】求导即可求解. 【详解】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为， 故答案为： 【题型3：用导数公式求过某点（未知切点）的切线】 （24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 .经典例题1例题 【答案】/0.25 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 故答案为： （24-25高二下·浙江台州·期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故答案为：. （2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据直线方程特点可得恒过定点，设切点为，求出切线方程代入定点求出可得答案． 【详解】直线变形为， 所以直线恒过点，设切点为， 因为，所以，故切线方程为． 因为切线恒过点，所以， 解得，所以切线方程为， 即，得，所以． 故答案为：． （24-25高二下·山东青岛·期中）已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解. 【详解】因为，所以， 设与相切与点Q， 则，令，解得，则切点为， 代入，得，即直线方程为， 所以直线与直线间的距离， 即为到直线的最小距离. 故答案为：. （24-25高二下·四川凉山·期中）已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】首先求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义可得切点以及斜率，根据点斜式即可求解. 【详解】由，则， 设切点为， 所以，解得， 所以切点为，切线的斜率 所以过原点的切线方程为：，即. 故答案为： 【题型4：导数的加法法则】 （25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. （2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则求解即可. 【详解】由， 则. 故答案为：. （24-25高二下·四川资阳·期末）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度大小为. 故选：B. （24-25高二下·广西·月考）函数，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，再将代入导函数求出的值，进而得到函数的表达式，最后将代入函数求出的值. 【详解】对求导可得：. 将代入可得： 即.移项可得：，即，解得. 将代入可得：. 将代入可得： . . 故选： A. （24-25高二下·北京朝阳·期中）函数的导数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用自然对数和常数求导即可求解. 【详解】求导得：， 故选：A. 【题型5：导数的乘法除法法则】 （24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用基本初等函数求导公式和积的求导法则求解即可 （2）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 （3）利用基本初等函数求导公式和商的求导法则求解即可 （4）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 【详解】（1）（1） （2）因为， 所以 （3） （4） （24-25高二下·天津·期中）函数的导数是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：D （24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数．小试牛刀1 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的四则运算法则求导即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． （24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，利用初等函数的导数，以及导数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由导数的运算法则，可得. 故答案为：. 【多选题】（23-24高二下·河南·开学考试）下列求导数运算正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的运算法则依次判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确； 对于，故C正确； 对于，故D正确. 故选：BCD. 【题型6：导数的四则混合运算法则】 【多选题】（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列式子求导正确的有（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 【多选题】（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【详解】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD （25-26高二·全国·假期作业）（多选）下列求导运算不正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用求导公式及导数运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：ACD 【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的四则运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 【多选题】（24-25高二下·陕西·月考）下列求导不正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由基本初等函数的求导公式以及求导法则，可得答案. 【详解】. 故选：ABD. 【题型7：用导数的四则运算求在某点处的切线】 （25-26高三上·云南昭通·期末）函数，则曲线在处的切线方程为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】对求导，令可求出，进而求得导函数解析式，再求出，由导数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为， 所以，则，解得：， 所以， 则切线斜率， 又，所以. 则曲线在处的切线方程为：. 故答案为：. （25-26高二上·江苏南京·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是， 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以. 故答案为： （2026·辽宁大连·一模）已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设，利用导数的几何意义建立方程计算即可. 【详解】易知，设， 所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意可知，解之得或， 当时，，此时切点在x轴上，不合题意；当时，； 所以. 故答案为： （2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】由导数的几何意义和导数的运算公式求解即可. 【详解】由，得，所以， 又因为，则切点坐标为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： （25-26高三上·山东淄博·期末）若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由得 设，则，解得， 又，所以点的坐标为， 故答案为：. 【题型8：用导数四则运算法则求过某点的切线】 （25-26高三上·河南·月考）若直线（为实数）是曲线的一条切线，则 .经典例题1例题 【答案】 【分析】求得，设切点为，得到，得出切点为，代入切线方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点为，可得， 因为直线是曲线的一条切线，所以， 解得，所以切点为， 代入切线方程为，可得，解得. 故答案为：. （2024·山西晋中·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值． 【详解】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． （25-26高三上·山东菏泽·期中）若直线是曲线的切线，则 .小试牛刀1 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】设，则， 设直线与图象相切的切点为A， 则，解得， 所以，代入方程， 得，解得. 故答案为：1 （25-26高三上·山东泰安·期中）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 .小试牛刀2 【答案】1 【分析】利用导数来求函数在某点处的切线，可得，再利用代换法，即可由均值不等式来求最小值. 【详解】设直线与曲线相切的切点横坐标为， 由，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简得：， 根据题意可得：， 因为，所以， 当且仅当时，上式取等号，所以的最小值是, 故答案为： （25-26高三上·福建宁德·期中）若直线是曲线的切线，则 .小试牛刀3 【答案】 【分析】设切点为，根据导数求切线斜率，进而求出切线方程，即可建立的关系式. 【详解】设切点为， 因，则斜率为，则切线方程为， 即， 又切线方程为，则，，得，. 故答案为： 【题型9：用导数的四则运算法则求公切线】 （25-26高三上·湖北武汉·月考）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．经典例题1例题 【答案】1 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：1 （25-26高三上·河北石家庄·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则 .经典例题2例题 【答案】11 【分析】由直线是曲线的切线，求解得，可得切线方程，再设直线与曲线相切的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【详解】由，得， 由题意可得，解得，， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得， 设切点为，则，且， 联立得，即，解得，所以． ∴． 故答案为：11. （25-26高三上·河南·月考）已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设，求导，结合两函数在处的切线重合，可得，求解即可. 【详解】设，得， 因为在处的切线重合， 则，解得，所以. 故答案为：. （25-26高三上·福建莆田·月考）写出与曲线和都相切直线的方程： ， .（写出两条直线的方程）小试牛刀2 【答案】 【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程. 【详解】因为，，所以，， 设直线与曲线和分别切于点，， 所以切线方程分别为，， 即，， 因此，则， 又， 所以， 化简得， 解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为. 故答案为：，. （24-25高二下·江苏南通·月考）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 ．小试牛刀3 【答案】2 【分析】求得曲线在处的切线方程为，根据题意得也是曲线的一条切线，设切点为，列方程组求得即可. 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为， 因为曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，且的图象呈上凸递增的趋势， 所以说明也是曲线的一条切线， 对求导得， 设切点为， 所以，解得，满足. 故答案为：2. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的极限定义，借助于导数公式即可求解. 【详解】由求导，可得， 则. 故选：D. 2．（25-26高二上·江西·月考）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先将函数求导，再代入，即可求解． 【详解】由题知，则， 所以， 故选：C． 3．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到在时的导数值，即可得到答案. 【详解】由函数，可得，则，即该质点的瞬时速度为. 故选：A. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得 ，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得 ，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则 ， 所以 ，解得． 解法二：，而， 所以 ，解得． 故选：A 5．（25-26高三上·广东湛江·月考）曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程，即可求得直线经过的定点. 【详解】令函数，则，故， 所以l的方程为，整理得， 所以l经过定点． 故选：D． 6．（25-26高二上·山西·月考）已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切点处切线斜率与导数之间的关系求解. 【详解】因为函数的图象与轴相交于点， 所以令，得，即点的坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为：，即． 故选：B. 7．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 8．（24-25高二上·山西太原·月考）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出导函数，再赋值得出，最后代入计算求值. 【详解】因为函数，则， 所以，即，所以， 则. 故选：C. 9．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】计算函数在处的导数值，先求出的导函数，然后将代入导函数计算. 【详解】导函数为，则. 故选：B. 10．（25-26高三上·江苏扬州·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 11．（25-26高二上·山西·月考）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算求解即可. 【详解】，A错误． ，B错误． ，C正确． 错误． 故选; C. 12．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 二、多选题 13．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据基本初等函数的导数逐项判断即可. 【详解】，A错误；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：CD. 三、填空题 14．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 15．（25-26高三上·湖北·月考）函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】对函数求导，求出切线的斜率，然后根据直线垂直求出结果即可. 【详解】对函数求导得，那么， 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，得． 故答案为：1. 16．（25-26高三上·云南昆明·月考）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，可求得切线的斜率k，代入方程，整理即可得答案. 【详解】，切线的斜率为， 切线方程为，即． 故答案为： 17．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数，若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【分析】设切点为，求得，得到，再由函数为增函数，结合，求得切点为，进而求得的值. 【详解】由函数，可得， 设切点为，则， 因为直线与曲线相切， 可得，即， 又因为函数和在上都是增函数， 所以函数在上是增函数，且， 所以由，可得唯一解，所以切点为， 则，解得. 故答案为：. 18．（25-26高三上·贵州遵义·月考）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 【答案】 【分析】求导代入得到切线斜率，从而得到切线方程，再求出与坐标轴交点即可计算出面积. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率，切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为， 令，则，令，则， 则该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：. 19．（25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 【答案】或 【详解】根据切线的斜率相等求出切点坐标，从而求出切线方程. 【解答】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 四、解答题 20．（24-25高二下·吉林·月考）（1）已知函数，求函数在点（0，1）处的切线方程； （2）已知函数满足．若直线是曲线的切线，且经过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求得，利用点斜式计算； （2）假设切点，利用导数的几何意义，求得，然后求得切线方程代入点计算即可. 【详解】（1），， 所以函数在点（0，1）处的切线方程为，即. （2），， 所以. 设切点坐标为，，则， 所以切线方程为，又切线经过点， 代入得到，求得或， 所以的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.2.1-5.2.2·基本初等函数的导数与导数的四则运算法则】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点1：常数函数的导数 知识点：设常数函数（其中C为任意常数），则其导数为： （或记作） 核心含义：常数函数的函数值不随自变量x的变化而变化，其瞬时变化率为0，几何意义是常数函数图像（水平直线）上任意一点的切线斜率为0 易错辨析：①误将常数函数的导数记为C，忽略“常数的导数为0”，如误写；②认为“只有C=0时，导数才为0”，忽略所有常数（正数、负数、0）的导数均为0；③混淆“常数函数”与“常系数函数”，如误将当作常数函数，错用公式得 重点记忆：①核心口诀：“常数导数等于0，不管正负和零值”；②必记公式：（C为常数）；③关键提醒：常数函数的本质是“函数值恒不变”，与自变量x无关，因此瞬时变化率为0；④区分技巧：判断函数是否为常数函数，看是否不含自变量x（如、均为常数函数） 常考结论：①任意常数的导数均为0，如、；②常数与函数乘积的导数，需用后续四则运算法则（），不可直接用常数导数公式，如；③常数函数的导函数仍为常数函数0 2.知识点2：幂函数的导数 知识点：设幂函数（其中n为任意实数，n∈R），则其导数为： （或记作） 核心含义：幂函数的导数，等于指数n乘以底数x的（n-1）次幂，适用于所有实数指数的幂函数，包括正整数、负整数、分数、无理数指数 易错辨析：①漏写指数“减1”，这是高频易错点，如误写（正确为）、（正确为）；②负指数幂导数计算错误，如误写后化简错误，或直接写成；③分数指数幂导数混淆，如误写（正确为）；④误将幂函数与指数函数混淆，错用公式，如将误写成（指数函数导数公式） 重点记忆：①核心口诀：“幂函数求导，指数提前，指数减1”；②必记公式：（n∈R）；③关键提醒：计算时先将幂函数化为的标准形式，再求导，如、；④常见变形求导（必练）：、、 常考结论：①高频幂函数导数（可直接套用）：（n=1时，）、、、、；②当n=0时，（x≠0），导数为，与常数函数导数公式一致；③幂函数导数的次数比原函数次数低1，即若原函数为x的n次幂，导数为x的（n-1）次幂 3.知识点3：正弦函数与余弦函数的导数 知识点：正弦函数、余弦函数的导数是高频考点，核心公式如下： ①正弦函数：； ②余弦函数：； 核心含义：正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数，记忆时重点区分符号，几何意义对应正弦、余弦曲线各点的切线斜率变化规律 易错辨析：①混淆两个函数的导数符号，这是最高频错误，如误写（漏写负号）、（多写负号）；②自变量混淆，如误写（未考虑复合函数，后续会学，此处易错）；③误将角度制与弧度制混淆，导数公式仅适用于弧度制下的正弦、余弦函数，若为角度制，导数需额外换算；④计算时忽略符号，如（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“正弦求导得余弦，余弦求导负正弦”；②必记公式：、（重点记余弦导数的负号）；③关键提醒：导数公式的前提是自变量x为弧度制，教材中导数运算均默认弧度制；④技巧：结合图像记忆，正弦曲线在x=0处切线斜率为1（），余弦曲线在x=0处切线斜率为0（），可验证公式正确性 常考结论：①高频变形求导（可直接套用）：、、（a、b为常数）；②正弦、余弦函数的导数仍为正弦、余弦函数（符号或函数名变化），具有周期性；③与互为导数变形，即 4.知识点4：指数函数的导数 知识点：指数函数分为自然指数函数（底数为e）和一般指数函数（底数为a>0且a≠1），核心导数公式如下： ①自然指数函数：（e为自然常数，e≈2.718）； ②一般指数函数：（a>0且a≠1）； 核心含义：自然指数函数的导数等于其本身，一般指数函数的导数等于其本身乘以底数a的自然对数，记忆时重点区分是否为自然指数函数 易错辨析：①混淆自然指数与一般指数函数的导数公式，如误写（多余，因）、（漏乘）；②底数混淆，如将误写成是正确的，但误写成（混淆自然对数与常用对数）；③误将指数函数与幂函数混淆，错用公式，如将误写成（幂函数公式）；④计算时忽略常数系数，如正确，误写成虽结果对，但步骤错误 重点记忆：①核心口诀：“自然指数导数自身，一般指数乘ln a”；②必记公式：、（a>0且a≠1）；③关键提醒：，因此自然指数函数是一般指数函数的特殊情况（a=e时）；④区分技巧：看底数是否为e，e为自然指数，其余为一般指数，公式核心差异在“是否乘ln a” 常考结论：①高频指数函数导数（可直接套用）：、、；②指数函数的导数仍为同类型指数函数，单调性与原函数一致（a>1时递增，0<a<1时递减）；③（k为常数）可结合后续复合函数法则，结果为（高频拓展，提前铺垫） 5.知识点5：对数函数的导数 知识点：对数函数分为自然对数函数（底数为e）和一般对数函数（底数为a>0且a≠1），核心导数公式如下： ①自然对数函数：（x>0）； ②一般对数函数：（a>0且a≠1，x>0）； 核心含义：自然对数函数的导数等于自变量x的倒数，一般对数函数的导数等于自变量x与底数a的自然对数的乘积的倒数，记忆时重点区分分母差异 易错辨析：①混淆自然对数与一般对数函数的导数公式，如误写（多余）、（漏除以）；②分母混淆，如将误写成（顺序错误，不影响结果，但规范写法为）；③误将对数函数与幂函数混淆，错用公式，如将误写成；④忽略定义域，对数函数的导数仅在x>0时存在，误将x≤0代入公式计算；⑤常用对数与自然对数混淆，如将（常用对数，底数为10）误写成（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“自然对数导数1/x，一般对数除以x乘ln a”；②必记公式：（x>0）、（a>0且a≠1，x>0）；③关键提醒：对数函数的导数定义域与原函数一致（x>0），计算时需先保证x>0；④换算技巧：一般对数可通过换底公式化为自然对数，即，再求导可验证公式正确性；⑤常见变形：（常用对数，高频考点） 常考结论：①高频对数函数导数（可直接套用）：、、、；②对数函数的导数单调性：在x>0时单调递减；③若x<0，（拓展结论，适配含绝对值的对数函数求导，高频应用） 6.知识点6：基本初等函数导数的综合说明（衔接四则运算） 知识点：基本初等函数的导数公式是导数运算的基础，后续导数的四则运算、复合函数求导均需依托这些公式，核心说明如下：①所有基本初等函数的导数均为初等函数；②公式适用于定义域内的可导点（除特殊点外，基本初等函数在定义域内均可导）；③需熟练掌握公式的正用、逆用，如已知导数求原函数（简单积分铺垫，高频题型） 易错辨析：①混淆不同类型基本初等函数的导数公式，如将幂函数与指数函数、对数函数公式混用；②记忆公式时遗漏符号（如余弦函数、一般对数函数负号相关变形）；③忽略公式的适用条件（如对数函数x>0，幂函数x的取值范围随指数n变化）；④不会逆用公式，如已知，无法推出（C为常数） 重点记忆：①核心口诀：“基本导数记牢固，四则运算靠它们，符号次数别混淆，定义域要记心间”；②必记技巧：每天默写1遍所有基本初等函数导数公式，重点标注易错公式（如余弦、一般指数、一般对数）；③逆用提醒：已知导数求原函数，需结合基本导数公式逆向推导，注意常数项的补充（常数导数为0）；④优先级：自然指数、自然对数、正弦、余弦、幂函数的导数公式优先记忆，应用频率最高 常考结论：①高频逆用结论（已知导数求原函数）：若，则（C为常数）；若，则；若，则（n≠-1）；若，则；②基本初等函数的导数不会出现“超越函数”（如指数函数导数仍为指数函数，对数仍为对数） 模块二：导数的四则运算法则 说明：设函数、在某区间内均可导，C为常数，导数的四则运算法则包括加减、乘、除法则，及常数乘函数的导数推论，是复合函数求导的基础 7.知识点7：常数乘函数的导数 知识点：若函数可导，C为常数，则常数与函数乘积的导数为： 核心含义：常数与函数乘积的导数，等于常数乘以该函数的导数，即“常数不变，只对函数求导”，本质是乘法法则的特殊情况（u=C，C’=0） 易错辨析：①误将常数与函数乘积的导数记为，忽略，如误写（正确为）；②漏乘常数，如误写（正确为）；③常数为负数时，符号错误，如误写（正确为）；④多个常数相乘时，计算错误，如，误写成 重点记忆：①核心口诀：“常数乘函数，导数常数乘函数导”；②必记公式：（C为常数，u可导）；③关键提醒：常数仅参与“相乘”，不参与求导，求导时只需对函数u求导，再乘以常数C；④技巧：当常数为分数、负数时，可先将常数提出，再求导，减少计算误差，如 常考结论：①高频应用：（k为常数）、、、；②若C=0，，与常数函数导数公式一致；③多个常数相乘时，先合并常数，再求导，如 8.知识点8：函数和、差的导数法则 知识点：若函数、均可导，则函数和、差的导数为： 核心含义：两个可导函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），可推广到多个函数的和、差，即 易错辨析：①符号错误，这是高频易错点，如误写（将减号写成加号）、（v的导数符号错误）；②多个函数和差求导时，遗漏部分函数的导数，如（漏求的导数）；③混淆和差法则与乘法法则，如误写（多余乘法项）；④常数项参与和差时，误将常数项导数算成自身，如（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“函数和差求导数，各自求导再加减，符号跟着原式走”；②必记公式：（u、v可导）；③关键提醒：和差法则可直接推广到任意多个可导函数的和差，符号与原式保持一致；④技巧：求导时可先将函数拆分为单个基本初等函数的和差，再分别求导，避免遗漏，如 常考结论：①高频应用：、、；②多个函数和差求导，符号依次对应，如；③函数和差的导数单调性，与各函数导数的单调性相关（拓展，适配综合题型） 9.知识点9：函数积的导数法则 知识点：若函数、均可导，则函数积的导数为： 核心含义：两个可导函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，记忆时重点区分“导数位置”，不可混淆 易错辨析：①误将积的导数记为（最高频错误），如误写（正确为）；②漏写一项，如误写或；③符号错误，如误写（正确为，此处符号正确，但易误写成）；④多个函数乘积求导时，不会分步应用法则，如误写成（正确为）；⑤常数与函数乘积求导，错用积的法则（虽结果正确，但繁琐），如，应直接用常数乘函数法则 重点记忆：①核心口诀：“函数乘积求导数，前导后不导，后导前不导，两者相加错不了”；②必记公式：（u、v可导）；③关键提醒：积的导数是“两项之和”，不可漏项，也不可写成两项之积；④多个函数乘积求导技巧：分步应用法则，先将两个函数看作一个整体，再与第三个函数相乘求导，如；⑤优先级：优先用常数乘函数法则，再用积的法则，简化计算 常考结论：①高频应用：、、；②若u、v中有一个为常数C，积的法则退化为常数乘函数法则，即；③多个函数乘积求导，结果的项数与函数个数一致，如3个函数乘积的导数有3项 10.知识点10：函数商的导数法则 知识点：若函数、均可导，且，则函数商的导数为： 核心含义：两个可导函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方，记忆时重点区分分子的两项顺序和符号，及分母的平方 易错辨析：①分子两项顺序颠倒，这是最高频错误，如误写（符号完全相反）；②漏写分母的平方，如误写或；③符号错误，如误将分子的减号写成加号，即；④分母为常数时，错用商的法则，如（虽正确，但繁琐，应化为，用常数乘函数法则求导）；⑤忽略分母不为0的条件，如，误在x=1处计算导数 重点记忆：①核心口诀：“函数商的导数，分子前导后不导减后导前不导，分母平方要记牢”；②必记公式：（u、v可导，）；③关键提醒：分子的顺序的是“分子导数乘分母-分子乘分母导数”，符号不可颠倒，分母必须平方；④简化技巧：若分母为常数，优先将商化为“常数乘分子”，再用常数乘函数法则求导，简化计算，如（C为常数，C≠0）；⑤分母不为0是前提，求导后需标注定义域（剔除使分母为0的点） 常考结论：①高频应用（可直接套用）：（与幂函数导数公式一致）、（正切函数导数，高频拓展）；②若u为常数C，；③商的导数定义域，是u、v可导定义域与v≠0的交集 11.知识点11：导数四则运算法则的综合应用 知识点：实际求导中，常需同时应用多个四则运算法则和基本初等函数导数公式，核心思路：①先将函数化简（如合并同类项、拆分分式、整理幂函数形式）；②再根据函数结构，选择合适的四则运算法则（优先常数乘、加减，再乘除）；③最后结合基本初等函数导数公式，分步求导，化简结果 易错辨析：①函数未化简就盲目求导，增加计算量且易出错，如（x≠0），未化简为，直接用商的法则求导；②混合运算时，法则应用顺序错误，如先求乘除，再求加减，忽略括号优先；③计算过程中，符号化简错误，如负号与分式、平方结合时出错；④求导后未化简结果，如，未整理为，不符合教辅答题规范；⑤遗漏定义域限制，如分式求导后，未标注使原分母为0的点 重点记忆：①核心口诀：“求导先化简，法则按顺序，公式记牢固，结果要化简”；②解题步骤（高频适配）：化简函数→判断函数结构（加减、乘除、常数乘）→应用对应法则→代入基本导数公式→化简结果→标注定义域（必要时）；③关键技巧：拆分分式（如，x≠0）、合并同类项，减少运算法则的应用；④常见化简方向：提取公因式（如）、整理幂次（如） 常考结论：①高频综合求导结论（可直接套用）：、、；②求导结果需化为最简形式，避免出现分式、幂次混合且可化简的情况；③若函数为多项式函数，其导数仍为多项式函数，次数比原函数低1 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.公式错误：基本初等函数导数公式记错（幂函数漏减1、余弦漏负号、指数对数漏乘ln a）；2.法则错误：积的导数漏项、商的导数顺序/符号/分母平方错误、加减导数符号错误；3.混淆错误：幂函数与指数/对数函数、自然指数与一般指数、自然对数与一般对数混淆；4.计算错误：常数乘函数漏乘常数、混合运算顺序错误、求导后未化简、符号错误；5.定义域错误：忽略对数函数x>0、分式分母≠0的条件 核心公式汇总：1.基本初等函数导数公式： （C为常数） （n∈R） （a>0且a≠1） （x>0） （a>0且a≠1，x>0） 2.导数四则运算法则： （C为常数，u可导） （u、v可导） （u、v可导） （u、v可导，） 3.高频拓展公式（可直接套用）： 、、、 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本初等函数的导数】 （江苏宿迁市2025-2026学年第一学期高二年级质量监测数学试题）已知函数，则的值为（   ）经典例题1例题 A．0 B． C． D． （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，求（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·贵州黔南·月考）下列求导运算正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·河南·期中）已知函数，则 ．小试牛刀3 【题型2：用导数公式求某点处的切线方程】 （25-26高三上·河北沧州·期中）曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则正实数 .经典例题1例题 （25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为 ．经典例题2例题 （25-26高三上·安徽浙江·月考）若直线是曲线的切线，则 ．小试牛刀1 （25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 .小试牛刀2 （2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 .小试牛刀3 【题型3：用导数公式求过某点（未知切点）的切线】 （24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 .经典例题1例题 （24-25高二下·浙江台州·期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则 ．经典例题2例题 （2025·甘肃白银·三模）已知直线与曲线相切，则 ．小试牛刀1 （24-25高二下·山东青岛·期中）已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为 ．小试牛刀2 （24-25高二下·四川凉山·期中）已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 .小试牛刀3 【题型4：导数的加法法则】 （25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为 .经典例题2例题 （24-25高二下·四川资阳·期末）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·广西·月考）函数，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·北京朝阳·期中）函数的导数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：导数的乘法除法法则】 （24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数经典例题1例题 (1)； (2)； (3)； (4). （24-25高二下·天津·期中）函数的导数是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数．小试牛刀1 (1)； (2)； (3)； (4)． （24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则 ．小试牛刀2 【多选题】（23-24高二下·河南·开学考试）下列求导数运算正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：导数的四则混合运算法则】 【多选题】（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列式子求导正确的有（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二·全国·假期作业）（多选）下列求导运算不正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导结果正确的有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·陕西·月考）下列求导不正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：用导数的四则运算求在某点处的切线】 （25-26高三上·云南昭通·期末）函数，则曲线在处的切线方程为 .经典例题1例题 （25-26高二上·江苏南京·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ．经典例题2例题 （2026·辽宁大连·一模）已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为 .小试牛刀1 （2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．小试牛刀2 （25-26高三上·山东淄博·期末）若曲线在点处的切线斜率为2，则点的坐标是 ．小试牛刀3 【题型8：用导数四则运算法则求过某点的切线】 （25-26高三上·河南·月考）若直线（为实数）是曲线的一条切线，则 .经典例题1例题 （2024·山西晋中·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则 ．经典例题2例题 （25-26高三上·山东菏泽·期中）若直线是曲线的切线，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·山东泰安·期中）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 .小试牛刀2 （25-26高三上·福建宁德·期中）若直线是曲线的切线，则 .小试牛刀3 【题型9：用导数的四则运算法则求公切线】 （25-26高三上·湖北武汉·月考）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．经典例题1例题 （25-26高三上·河北石家庄·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则 .经典例题2例题 （25-26高三上·河南·月考）已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·福建莆田·月考）写出与曲线和都相切直线的方程： ， .（写出两条直线的方程）小试牛刀2 （24-25高二下·江苏南通·月考）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 ．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数，则（   ） A．0 B．2 C． D． 2．（25-26高二上·江西·月考）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 5．（25-26高三上·广东湛江·月考）曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山西·月考）已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山西太原·月考）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 9．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 10．（25-26高三上·江苏扬州·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 11．（25-26高二上·山西·月考）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则 ． 15．（25-26高三上·湖北·月考）函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 16．（25-26高三上·云南昆明·月考）曲线在点处的切线方程是 ． 17．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函数，若直线与曲线相切，则 . 18．（25-26高三上·贵州遵义·月考）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 . 19．（25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 四、解答题 20．（24-25高二下·吉林·月考）（1）已知函数，求函数在点（0，1）处的切线方程； （2）已知函数满足．若直线是曲线的切线，且经过点，求的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $