专题01：导数的概念及其几何意义【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题01：导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：瞬时变化率与导数的概念】 【练方法】 知识点： 1.平均变化率：函数在区间上的平均变化率为 表示函数在该区间上“平均”的变化快慢 2.瞬时变化率：当时，平均变化率的极限 表示函数在处的瞬时变化快慢 3.导数的定义：函数在处的导数 是瞬时变化率的数学表达 4.导函数：若在区间内每一点都可导，则是定义在上的新函数，称为导函数 考点： 平均变化率的计算（直接代入公式） 瞬时变化率的实际意义（如速度、加速度、增长率） 导数定义的辨析：的趋近方式、极限存在性、导数与函数值的区别 导函数与在某点处导数的区别（是函数，是常数） 解题思路： 1.先写出，再求平均变化率 2.令，代入极限式，化简得到 3.若题目给出“平均变化率趋近于某值”，直接将该值理解为导数，反推的条件 4.辨析“平均变化率”刻画区间整体变化，“瞬时变化率”刻画某点处的变化快慢 （25-26高二上·陕西渭南·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ）经典例题1例题 A． B．-1 C． D．1 【答案】C 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可得. 故选：C. （25-26高二上·江苏无锡·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导，将代入导函数中即可求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 则质点在时的瞬时速度为. 故选：B. （25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．-2 C．4 D． 【答案】D 【分析】由导数的定义运算即可. 【详解】由题意得，. 故选：D （25-26高二上·安徽·期末）若函数在处可导，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与极限的定义求解即可． 【详解】. 故选：C. （25-26高二上·河南商丘·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义可得出结果. 【详解】. 故选：D. 【题型2：导数的概念与导数的运算法则】 【练方法】 知识点： 1.导数定义： 2.基本初等函数导数公式： ， ， ， 3.四则运算法则： 4.复合函数求导：若，则（“由外向内，逐层求导”） 考点： 直接用定义求简单函数的导数 基本初等函数导数的直接计算 四则运算与复合函数求导的综合（如、） 导数运算的符号与系数处理（易错点） 解题思路： 1.先判断函数结构：是“基本初等函数”“四则运算”还是“复合函数” 2.若为四则运算：先拆分为，分别求，再套积商法则 3.若为复合函数：先识别“外层函数”与“内层函数”，由外向内逐层求导，注意每一层的导数 4.化简导数表达式，合并同类项，注意符号（如） （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数，则（   ）经典例题1例题 A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解． 【详解】函数，则， 所以， 故选：C． （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】先利用导数的定义转化目标式，再利用基本初等函数的导数公式结合导数的运算法则得到，最后得到结果即可. 【详解】由导数的定义得 因为，所以， 则，可得，即. 故答案为： （25-26高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. （25-26高二上·广东湛江·期末）已知函数，则（   ）小试牛刀2 A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先求得，结合导数的定义，即可求出的值． 【详解】由求导，可得， 则. 故选：D． （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数的导数为，则（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．-3 D．4 【答案】D 【分析】对函数求导，然后根据导数的定义计算即可. 【详解】，所以. 则. 故选:D. 【题型3：求曲线切线的斜率/倾斜角】 【练方法】 知识点： 1.导数的几何意义：函数在处的导数，就是曲线在点处的切线斜率 2.斜率与倾斜角的关系：，其中 对应（水平切线） 对应（上升切线） 对应（下降切线） 对应斜率不存在（垂直切线） 考点： 导数几何意义的直接应用：由求切线斜率 斜率与倾斜角的互化：已知求或已知求 倾斜角范围的判断：由的符号判断是锐角、直角还是钝角 解题思路： 1.求，代入，得到 2.若求倾斜角：由，结合求解 （锐角） （钝角） 3.若已知倾斜角求斜率：直接，注意时斜率不存在 （25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D （25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到倾斜角即可. 【详解】设，则， 设在处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义得， 而，可得，故C正确. 故选：C （25-26高二上·湖南郴州·期末）曲线在点处的切线倾斜角为（   ）小试牛刀1 A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】由于，所以, 则曲线在点处的切线斜率为1，则倾斜角为, 故选：A （25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，，结合基本不等式可得，再由导数的几何意义得到的范围即可． 【详解】解：由，得， ∵，∴，当且仅当，即时等号成立， 则，即，又， ∴的取值范围是． 故选：D． （25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 【题型4：求曲线在某点处的切线方程】 【练方法】 知识点： 1.导数的几何意义： 2.点斜式直线方程： 3.切线方程的两种情况： “在点处的切线”：该点是切点，唯一一条切线 “过点的切线”：该点不一定是切点，可能有多条切线（基础题一般只考“在某点处”） 考点： 由求斜率，再写切线方程 切线方程的规范书写（斜截式/一般式） 区分“在某点处”与“过某点”的切线（易错点） 解题思路： 1.确认点在曲线上，计算 2.求，得到斜率 3.代入点斜式：，整理为 4.检查切线是否只在该点与曲线相交（基础题一般满足），若有疑问可联立方程验证 （2026高三·北京·专题练习）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ）经典例题1例题 A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求出时函数的表达式，再对其求导，最后利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】设，则，所以， 因为为奇函数，所以， 所以， 当时，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： （2026高二·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程是 ；曲线在处的切线方程为 小试牛刀1 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故答案为：；. （25-26高三上·河北衡水·期末）函数的图象在点处的切线方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 故选：D. （25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，则在处的切线方程为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出斜率，再由直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】求导得，所以，又， 所以切线方程为，化简可得. 故答案为：. 【B·能力提升题型】 【题型1：两曲线的共切线问题】 【练方法】 知识点： 1.公切线的定义：同时与两条曲线相切的直线，满足： 斜率在两曲线的切点处相等： 切线方程一致：与为同一直线 2.方程组的建立与求解：由斜率相等和切线方程一致，建立含的方程组，消元求解 考点： 公切线的斜率相等条件 公切线在两曲线上的切点坐标满足同一方程 多变量方程组的消元与求解 解题思路： 1.设两曲线、上的切点分别为、 2.由斜率相等： 3.由切线方程一致：（截距相等） 4.联立上述两式，消元求解，再求公切线方程 5.若有多个解，对应多条公切线 （25-26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 经典例题1例题 【答案】1 【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出. 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 （25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数的图象在处的切线也是函数的图象的切线，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，设切点，求出函数在处的切线方程，对照两切线方程列式求解即得. 【详解】由可得，，则切线斜率为，故切线方程为，即， 设直线与函数的图象相切于点， 因，则，解得，且，代入解得. 故答案为：. （25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是 .小试牛刀1 【答案】e 【分析】紧抓切点既在曲线上，也在切线上，建立等量关系，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 令，则，所以，所以， 令，则，所以，解得， 所以，消去后得. 令，则， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 又，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以，即实数的最大值是e． 故答案为：e. （25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值. 【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 由可得，则 ，所以切线方程为， 由可得，则， 所以，即，解得， 切线方程为，即，所以. 故选：C （25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 小试牛刀3 【答案】或 【详解】根据切线的斜率相等求出切点坐标，从而求出切线方程. 【解答】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 【题型2：过某点的切线条数问题】 【练方法】 知识点： 1.切线方程的一般形式：设切点为，切线方程为 2.过点的切线：将代入切线方程，得到关于的方程 3.切线条数=该方程的实根个数（每个实根对应一条切线） 4.利用导数研究函数单调性、极值，判断方程根的个数（即切线条数） 考点： 过曲线外一点的切线条数判断 方程根的个数与切线条数的对应关系 分类讨论思想（根据参数或的范围） 解题思路： 1.设切点，写出切线方程 2.将已知点代入，得到关于的方程： 3.整理为的形式，求，研究的单调性、极值 4.根据极值符号判断的实根个数，即为切线条数 5.注意：若点在曲线上，一般只有1条切线（在该点处的切线） （26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. （25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设切点坐标为，曲线的切线方程为， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，，知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则满足题意． 此时， 对比可得， 故选:． （2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，．小试牛刀1 (1)当时，判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求出函数的极值； （2）设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程，根据题意得出，由此可解得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ∴函数的极小值为，无极大值． （2）∵，则， 设切点为，则，切线斜率， 切线方程为：， ∵切线过原点，则，整理得：， ∵满足条件的切线有两条，∴，解得或， ∴的取值范围是． 【多选题】（25-26高三上·广东江门·月考）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设曲线上一点，根据导数的几何意义，求曲线在该点处的切线方程，再由切线过点，得到关于的方程，由该方程无解求的取值范围，即可进行判断. 【详解】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得 ， 即，解得. 故选：BC 【多选题】（25-26高三上·福建福州·月考）过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设切线方程，代入，得到方程有唯一解，转化为直线与曲线只有一个交点，利用导数得到的单调区间，分析即可解决 【详解】，设切点为， 则切线方程为：， 因为切线经过点，将点代入得， 化简得， 故方程有一个根． 令，，转化为直线与曲线只有一个交点， ， 当时，；当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减，，． 根据直线与只有一个交点，则有或． 故选：AD． 【题型3：切线的平行垂直问题】 【练方法】 知识点： 1.两直线平行：斜率相等（斜率都存在时）；若一条斜率不存在，则另一条也斜率不存在 2.两直线垂直：（斜率都存在时）；若一条斜率为0，则另一条斜率不存在 3.切线斜率，将平行/垂直条件转化为关于的方程 考点： 利用斜率关系列方程，求解切点坐标 平行/垂直条件的转化与应用 斜率不存在的特殊情况（易错点） 解题思路： 1.平行： 已知直线斜率为，令，解方程求 若不存在（直线垂直x轴），则切线也垂直x轴，对应不存在，直接判断 2.垂直： 令，解方程求 若，则切线垂直x轴，对应不存在 3.由求切点，再写切线方程 （25-26高三上·山东菏泽·期末）已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】设两曲线交点为，曲线的斜率为，曲线的斜率为，求出两曲线交点，分别对曲线方程求导，由切线垂直，解得，联立求解与，相关的值，代入求解即可. 【详解】设两曲线交点为，曲线的斜率为，曲线的斜率为，则，解得，对求导可得，，对求导可得，， 因为两切线垂直，所以，所以，解得， 由，解得，所以， 由可得，所以. 故答案为：. （25-26高二上·江苏连云港·月考）已知曲线．经典例题2例题 (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. （25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程；小试牛刀1 （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． （25-26高三上·上海·月考）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分离常数法可求得的范围，即为的范围，从而得解. 【详解】当时,，， ，， 在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，， 所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， 两条切线互相垂直，，，， 令，， 设，， 因为在上单调递增，，即， 所以． 故答案为：. （25-26高三上·重庆·期中）已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点 ，若 ，则的取值范围为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】利用函数特征确定范围，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出并由其范围求出的范围. 【详解】函数， 依题意，点在曲线上，点在曲线上， 由，求导得，由，求导得， 由两条切线互相垂直，得，解得， 因此两条切线方程分别为， 联立解得，则， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 【C·拓展培优题型】 【题型1：利用切线解决方程的根问题】 【练方法】 知识点： 1.方程的根，等价于函数的零点，也等价于曲线与的交点横坐标 2.若，则交点问题可转化为“直线与曲线相交”，相切是“交点个数为1”的特殊情况 3.利用导数几何意义：将方程根的个数转化为“某直线与曲线的切线条数/交点个数” 考点： 方程根的个数与切线/交点个数的等价转化 利用导数研究函数单调性、极值，判断交点个数 数形结合思想（图像+导数） 解题思路： 1.将方程改写为，或改写为“与的交点” 2.若要判断“有几个根”，可先考虑“是否存在切线”：若是切线，则对应一个根；若相交则多个根 3.设切线方程，利用导数几何意义列方程，将根的个数转化为切线的条数或交点个数 4.结合函数单调性、极值，判断方程根的个数或范围 （25-26高二上·福建厦门·期末）若函数存在唯一零点，则的取值范围是 .经典例题1例题 【答案】 【分析】根据函数零点和方程解的关系，判断方程解的个数，进而根据方程解与函数图像交点间的关系，求出存在唯一零点时的情况，根据函数导数的几何意义，求出直线相切时的参数值，求出结果. 【详解】由题意可得， 可知方程存在唯一解，即射线与曲线和共有一个交点. 当时，与交于一点，与无公共点，符合题意； 当时，若与曲线或相切，有唯一公共点， 可知曲线的导函数为， 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 可知曲线的导函数为 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 综上，. （25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 .经典例题2例题 【答案】 1 【分析】根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. （25-26高三上·上海·月考）已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】作出与的图象，将问题转化为“只要时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负”，求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可求出结果． 【详解】令，直线过定点， 若的图象经过四个象限，则时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负； 当时，与轴的公共点为，， 当时，， 设与相切于，且， 所以，解得或(舍去)， 此时，即切线的斜率为， 由图象可知，即实数的取值范围是， 故答案为：. （25-26高三上·北京·月考）已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： （2021·全国·模拟预测）已知函数，关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【答案】 【分析】将条件转化为函数与的图像有且只有一个交点，利用数形结合思想求解. 【详解】方程有且只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根， 则，画出与的函数图像如图所示： ①当时： 直线过点、斜率为负值： 当时，，得， 由，得，此时根为，抛物线与直线相切. 当时，，直线，无交点. 故当时，方程仅有一个实根. ②当时，方程为，但，故无解. ③当时： 直线过点、斜率为正值： 当时，直线过点（因），解方程，当时，根为和，故至少2个交点，不符合条件. 当时： 当时，抛物线在上，直线（因为），故无交点. 当：结合图象，与直线只有一个交点. 时,函数在处的切线斜率为， 切线方程为,该切线恰好过点, 所以，当：结合图象直线在上与只有1个交点. 综上，则实数的取值范围为. 故答案为： 【题型2：切线问题与函数的奇偶性单调性综合】 【练方法】 知识点： 1.奇偶性与导数的关系： 若为奇函数，则为偶函数：，对称点处切线斜率相等 若为偶函数，则为奇函数：，对称点处切线斜率互为相反数 2.单调性与导数的关系：单调递增，切线斜率为正；单调递减，切线斜率为负 3.切线斜率的符号与函数单调性一致，可由单调性反推切线斜率的符号范围 考点： 奇偶性对切线斜率的影响 单调性与切线斜率符号的关系 综合条件下切点坐标的求解与范围判断 解题思路： 1.奇偶性： 奇函数：，若已知处斜率，可直接得处斜率 偶函数：，同理可得对称点斜率关系 2.单调性： 单调递增区间内，切线斜率；单调递减区间内， 可由斜率符号反推函数在该点附近的单调性 3.综合条件列方程，求解切点或切线方程，注意奇偶性、单调性的约束 （25-26高二上·江苏无锡·期末）若函数，在处的切线与轴交于，则当最大时的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义可计算出切线的方程，即可求出，从而可表示出，再构造相应函数，借助导数研究其单调性后计算即可得. 【详解】，，又， 则在处的切线方程为：， 令，则，可得， 即，则， 令，，则， 令，则，由，则， 故，即，故时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，最大. 故选：B. （25-26高三上·湖北襄阳·月考）若直线与曲线相切，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设切点为，进而求出的导数，可得切线的斜率，从而得出，再由切点也在切线方程上，并化简得出，从而得出，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出的最大值． 【详解】设直线与曲线相切于点， ，， 可得切线的斜率为，则，即， 又切点也在直线上，则， ， ， 设，， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 的最大值为，即的最大值为． 故选：B （25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，将该切线方程与函数的解析式联立，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，由可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】在曲线上取点，， 故曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 因为存在两条不同的直线同时与曲线和相切， 则关于的二次方程有两个不等的实根， 所以，可得， 所以关于的方程有两个不等的实根， 显然不满足方程，故，所以， 令，其中，则，列表如下： 减 减 极小值 增 且当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. 故选：B. （25-26高三上·河南周口·月考）已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质得，再根据几何意义求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即对恒成立 所以，解得， 所以，所以， 所以，， 所以，所求切线方程为，即． 故选：B （23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与，分别切于点，根据导数的几何意义，可得斜率，化简计算，可得，设，利用导数可得的单调区间和极值，分析即可得答案. 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 【题型3：切线的综合应用】 【练方法】 知识点： 1.切线的核心要素：斜率、切点、切线方程 2.切线与函数图像的交点：联立切线方程与曲线方程，判断交点个数 3.切线斜率与函数单调性、极值的联系：极值点处切线斜率为0（），单调性由符号决定 4.综合应用：切线条件下的参数范围、方程根的个数、函数性质的综合判断 考点： 切线与函数图像的交点问题 切线斜率与函数单调性的综合 切线条件下的参数范围求解 多知识点融合的综合应用（导数+函数性质+方程/不等式） 解题思路： 1.拆解综合问题：先明确“切线的核心条件”（斜率、切点、方程），再结合其他考点（单调性、极值、奇偶性等） 2.利用导数研究函数性质，结合切线方程建立不等式或方程 3.分类讨论参数或切点位置，结合单调性、极值判断解的合理性 4.必要时用数形结合，画出函数图像与切线，直观判断解的个数或范围 （25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C （25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为 ，经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： （2026高三·全国·专题练习）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 .小试牛刀1 【答案】/ 【分析】令，则的最小值为两个函数与的图象上的两点之间的距离的最小值的平方，设与直线平行且与曲线相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，最后利用两平行线间的距离即可求解. 【详解】令， 则的最小值为两个函数与的图象上的两点之间的距离的最小值的平方，所以， 设与直线平行且与曲线相切的切点为， 则，解得，可得切点， 切点到直线的距离， 的最小值为. 故答案为：. （24-25高二下·湖北荆州·期末）已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用切线不等式和不等式性质可得。结合条件可推得，从而可得点在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可. 【详解】易证，（）(后续提供证明)， 所以，， 由不等式的性质知，当且仅当时取等号， 结合已知可得，此时，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令得， 故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值． 下证：，（）. 证明：设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故，即得证. 又设，则，当时，， 当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减. 故，即得证. 故答案为：. （24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】2 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】分离系数，再根据导数定义即可得到答案. 【详解】由题意有：. 故选：D. 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的物理意义，运算公式和法则求解即可. 【详解】对函数求导得， 故该质点在时的瞬时速度为. 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】通过求函数的导数，得，再结合导数的定义即可求解. 【详解】由题意知，则， 所以． 故选：C. 4．（25-26高三上·辽宁·期末）若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由 所以，整理得 解得或（舍去）， 所以 . 故选：D 5．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 7．（25-26高三上·湖北武汉·期末）若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】设出切点，由题得曲线在处切线的斜率等于圆在处切线的斜率，求得与的关系，再将之代入到圆的方程，最终可解的值. 【详解】由题意，设切点为，圆的标准方程为，即圆心为，半径，， 且有曲线与圆有公切线，即两方程在切点处切线的斜率相同， 易得，则曲线在切点处的斜率为， 易得，则圆在的切线的斜率为， 则有，即， 同时切点在圆上，则有， 联立，得，解得， 因为，所以有，此时有， 故选：D. 二、填空题 8．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若直线与曲线相切，则 . 【答案】e 【分析】设切点为，利用导数的几何意义写出切线方程，与已知直线方程对照，解方程组即得. 【详解】设切点为，由求导得， 则切线方程为，即， 与直线对照，可得， 解得. 故答案为：e. 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）若曲线在点处的切线与直线平行，则此切线的方程为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，可得出点的坐标，再利用斜截式方程可得出所求切线的方程. 【详解】设点的坐标为，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线斜率为，由题意可得，解得， 故点的坐标为，故所求切线的方程为. 故答案为：. 10．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】-3 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 11．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是 . 【答案】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 12．（25-26高二上·安徽宣城·期末）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·湖南长沙·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在点的切线方程，再设曲线的切点，利用公切线斜率相等求出，得到切点代入即可求解. 【详解】对求导得：，当时， ， 在点处的切线方程为：, 设曲线的切点为， ，又切点在切线上， ，代入曲线方程得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数 . 【答案】2 【分析】设直线的方程为：与圆的方程联立，，求出直线的方程，利用导数的几何意义求出切点坐标，将切点代入直线方程即可求解. 【详解】设直线的方程为：， 与联立得 整理得， ，解得，. 所以直线的方程为：或. 故，所以切点为， 在或.上所以或， 又，所以. 故答案为： 15．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，线段AB的中点为N，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程并求出点的坐标，结合弦长公式及函数单调性求出最大值. 【详解】设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由求导得，则切线的方程为， 即，同理得切线的方程为， 由，解得，则，即， 因此，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选： 16．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 三、解答题 17．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且满足 (1)求的值． (2)求过原点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数运算法则求出，进而求出即可. （2）设所求切线切点为，利用导数几何意义结合两点间斜率公式求得方程，解方程求出即可求解. 【详解】（1）求导得：， 当时，，解得; （2）由（1）可得， 设所求切线切点为，由题， 所以所求切线斜率为，又切线过原点， 所以，解得，故切线斜率为， 所以切线方程为. 18．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知函数 (1)若点在的图象上，求曲线在点P处的切线方程； (2)若点不在的图象上，过点M且与的图象相切的直线与x轴平行，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据题意，先对函数进行求导，设过点的直线与的图象切于点，再通过直线与x轴平行求解即可. 【详解】（1）由点在的图象上，得，解得， 所以，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率. 因为直线与轴平行，所以的斜率为0， 得 解得，，所以的值为. 19．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对函数求导由计算可得，代入并利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）设出切点坐标，根据切线过点得出方程解得切点坐标，即可求出切线方程. 【详解】（1）易知的定义域为， 由可得， 又，可得，解得； 因此在点处的切线的斜率为，又此时， 所以切线方程为，即. （2）由（1）可得的定义域为，且，则； 设切点坐标为， 所以切线斜率为，此时切线方程为， 又点在切线上，即， 整理可得，即，解得或（舍）； 当时，切线方程为； 综上可得过点的切线方程为. 20．（25-26高二上·北京·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． 【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，通过导数的正负确定函数的单调区间； （2）①，先求出切线方程，得到点B的纵坐标，再构造新函数分析其单调性，证明纵坐标恒小于0； ②，分别求出、两点的横坐标，通过化简证明，从而得到. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）对于①：在点处，切线方程为， 令得，即， 令，则， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以 故，即，点在轴下方. 对于②：切线与轴交于点，令，得 即. 在处切线斜率为，切线方程为， 令，得，即， 因为，所以，所以 因为， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以在单调递增，所以，即， 又时，，所以，即，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题01：导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：瞬时变化率与导数的概念】 【练方法】 知识点： 1.平均变化率：函数在区间上的平均变化率为 表示函数在该区间上“平均”的变化快慢 2.瞬时变化率：当时，平均变化率的极限 表示函数在处的瞬时变化快慢 3.导数的定义：函数在处的导数 是瞬时变化率的数学表达 4.导函数：若在区间内每一点都可导，则是定义在上的新函数，称为导函数 考点： 平均变化率的计算（直接代入公式） 瞬时变化率的实际意义（如速度、加速度、增长率） 导数定义的辨析：的趋近方式、极限存在性、导数与函数值的区别 导函数与在某点处导数的区别（是函数，是常数） 解题思路： 1.先写出，再求平均变化率 2.令，代入极限式，化简得到 3.若题目给出“平均变化率趋近于某值”，直接将该值理解为导数，反推的条件 4.辨析“平均变化率”刻画区间整体变化，“瞬时变化率”刻画某点处的变化快慢 （25-26高二上·陕西渭南·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ）经典例题1例题 A． B．-1 C． D．1 （25-26高二上·江苏无锡·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．-2 C．4 D． （25-26高二上·安徽·期末）若函数在处可导，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·河南商丘·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：导数的概念与导数的运算法则】 【练方法】 知识点： 1.导数定义： 2.基本初等函数导数公式： ， ， ， 3.四则运算法则： 4.复合函数求导：若，则（“由外向内，逐层求导”） 考点： 直接用定义求简单函数的导数 基本初等函数导数的直接计算 四则运算与复合函数求导的综合（如、） 导数运算的符号与系数处理（易错点） 解题思路： 1.先判断函数结构：是“基本初等函数”“四则运算”还是“复合函数” 2.若为四则运算：先拆分为，分别求，再套积商法则 3.若为复合函数：先识别“外层函数”与“内层函数”，由外向内逐层求导，注意每一层的导数 4.化简导数表达式，合并同类项，注意符号（如） （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数，则（   ）经典例题1例题 A． B．1 C．2 D．3 （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则 .经典例题2例题 （25-26高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C． D．1 （25-26高二上·广东湛江·期末）已知函数，则（   ）小试牛刀2 A．0 B．2 C． D． （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数的导数为，则（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．-3 D．4 【题型3：求曲线切线的斜率/倾斜角】 【练方法】 知识点： 1.导数的几何意义：函数在处的导数，就是曲线在点处的切线斜率 2.斜率与倾斜角的关系：，其中 对应（水平切线） 对应（上升切线） 对应（下降切线） 对应斜率不存在（垂直切线） 考点： 导数几何意义的直接应用：由求切线斜率 斜率与倾斜角的互化：已知求或已知求 倾斜角范围的判断：由的符号判断是锐角、直角还是钝角 解题思路： 1.求，代入，得到 2.若求倾斜角：由，结合求解 （锐角） （钝角） 3.若已知倾斜角求斜率：直接，注意时斜率不存在 （25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南郴州·期末）曲线在点处的切线倾斜角为（   ）小试牛刀1 A． B． C．或 D． （25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：求曲线在某点处的切线方程】 【练方法】 知识点： 1.导数的几何意义： 2.点斜式直线方程： 3.切线方程的两种情况： “在点处的切线”：该点是切点，唯一一条切线 “过点的切线”：该点不一定是切点，可能有多条切线（基础题一般只考“在某点处”） 考点： 由求斜率，再写切线方程 切线方程的规范书写（斜截式/一般式） 区分“在某点处”与“过某点”的切线（易错点） 解题思路： 1.确认点在曲线上，计算 2.求，得到斜率 3.代入点斜式：，整理为 4.检查切线是否只在该点与曲线相交（基础题一般满足），若有疑问可联立方程验证 （2026高三·北京·专题练习）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ）经典例题1例题 A．0 B． C．1 D．2 （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 .经典例题2例题 （2026高二·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程是 ；曲线在处的切线方程为 小试牛刀1 （25-26高三上·河北衡水·期末）函数的图象在点处的切线方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，则在处的切线方程为 .小试牛刀3 【B·能力提升题型】 【题型1：两曲线的共切线问题】 【练方法】 知识点： 1.公切线的定义：同时与两条曲线相切的直线，满足： 斜率在两曲线的切点处相等： 切线方程一致：与为同一直线 2.方程组的建立与求解：由斜率相等和切线方程一致，建立含的方程组，消元求解 考点： 公切线的斜率相等条件 公切线在两曲线上的切点坐标满足同一方程 多变量方程组的消元与求解 解题思路： 1.设两曲线、上的切点分别为、 2.由斜率相等： 3.由切线方程一致：（截距相等） 4.联立上述两式，消元求解，再求公切线方程 5.若有多个解，对应多条公切线 （25-26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 经典例题1例题 （25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数的图象在处的切线也是函数的图象的切线，则 .经典例题2例题 （25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是 .小试牛刀1 （25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 小试牛刀3 【题型2：过某点的切线条数问题】 【练方法】 知识点： 1.切线方程的一般形式：设切点为，切线方程为 2.过点的切线：将代入切线方程，得到关于的方程 3.切线条数=该方程的实根个数（每个实根对应一条切线） 4.利用导数研究函数单调性、极值，判断方程根的个数（即切线条数） 考点： 过曲线外一点的切线条数判断 方程根的个数与切线条数的对应关系 分类讨论思想（根据参数或的范围） 解题思路： 1.设切点，写出切线方程 2.将已知点代入，得到关于的方程： 3.整理为的形式，求，研究的单调性、极值 4.根据极值符号判断的实根个数，即为切线条数 5.注意：若点在曲线上，一般只有1条切线（在该点处的切线） （26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，．小试牛刀1 (1)当时，判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若过原点存在两条直线与曲线相切，求实数a的范围． 【多选题】（25-26高三上·广东江门·月考）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·福建福州·月考）过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：切线的平行垂直问题】 【练方法】 知识点： 1.两直线平行：斜率相等（斜率都存在时）；若一条斜率不存在，则另一条也斜率不存在 2.两直线垂直：（斜率都存在时）；若一条斜率为0，则另一条斜率不存在 3.切线斜率，将平行/垂直条件转化为关于的方程 考点： 利用斜率关系列方程，求解切点坐标 平行/垂直条件的转化与应用 斜率不存在的特殊情况（易错点） 解题思路： 1.平行： 已知直线斜率为，令，解方程求 若不存在（直线垂直x轴），则切线也垂直x轴，对应不存在，直接判断 2.垂直： 令，解方程求 若，则切线垂直x轴，对应不存在 3.由求切点，再写切线方程 （25-26高三上·山东菏泽·期末）已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则 ．经典例题1例题 （25-26高二上·江苏连云港·月考）已知曲线．经典例题2例题 (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． （25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程；小试牛刀1 （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. （25-26高三上·上海·月考）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 .小试牛刀2 （25-26高三上·重庆·期中）已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点 ，若 ，则的取值范围为 .小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：利用切线解决方程的根问题】 【练方法】 知识点： 1.方程的根，等价于函数的零点，也等价于曲线与的交点横坐标 2.若，则交点问题可转化为“直线与曲线相交”，相切是“交点个数为1”的特殊情况 3.利用导数几何意义：将方程根的个数转化为“某直线与曲线的切线条数/交点个数” 考点： 方程根的个数与切线/交点个数的等价转化 利用导数研究函数单调性、极值，判断交点个数 数形结合思想（图像+导数） 解题思路： 1.将方程改写为，或改写为“与的交点” 2.若要判断“有几个根”，可先考虑“是否存在切线”：若是切线，则对应一个根；若相交则多个根 3.设切线方程，利用导数几何意义列方程，将根的个数转化为切线的条数或交点个数 4.结合函数单调性、极值，判断方程根的个数或范围 （25-26高二上·福建厦门·期末）若函数存在唯一零点，则的取值范围是 .经典例题1例题 （25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 .经典例题2例题 （25-26高三上·上海·月考）已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 .小试牛刀1 （25-26高三上·北京·月考）已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ．小试牛刀2 （2021·全国·模拟预测）已知函数，关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 .小试牛刀3 【题型2：切线问题与函数的奇偶性单调性综合】 【练方法】 知识点： 1.奇偶性与导数的关系： 若为奇函数，则为偶函数：，对称点处切线斜率相等 若为偶函数，则为奇函数：，对称点处切线斜率互为相反数 2.单调性与导数的关系：单调递增，切线斜率为正；单调递减，切线斜率为负 3.切线斜率的符号与函数单调性一致，可由单调性反推切线斜率的符号范围 考点： 奇偶性对切线斜率的影响 单调性与切线斜率符号的关系 综合条件下切点坐标的求解与范围判断 解题思路： 1.奇偶性： 奇函数：，若已知处斜率，可直接得处斜率 偶函数：，同理可得对称点斜率关系 2.单调性： 单调递增区间内，切线斜率；单调递减区间内， 可由斜率符号反推函数在该点附近的单调性 3.综合条件列方程，求解切点或切线方程，注意奇偶性、单调性的约束 （25-26高二上·江苏无锡·期末）若函数，在处的切线与轴交于，则当最大时的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖北襄阳·月考）若直线与曲线相切，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·河南周口·月考）已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：切线的综合应用】 【练方法】 知识点： 1.切线的核心要素：斜率、切点、切线方程 2.切线与函数图像的交点：联立切线方程与曲线方程，判断交点个数 3.切线斜率与函数单调性、极值的联系：极值点处切线斜率为0（），单调性由符号决定 4.综合应用：切线条件下的参数范围、方程根的个数、函数性质的综合判断 考点： 切线与函数图像的交点问题 切线斜率与函数单调性的综合 切线条件下的参数范围求解 多知识点融合的综合应用（导数+函数性质+方程/不等式） 解题思路： 1.拆解综合问题：先明确“切线的核心条件”（斜率、切点、方程），再结合其他考点（单调性、极值、奇偶性等） 2.利用导数研究函数性质，结合切线方程建立不等式或方程 3.分类讨论参数或切点位置，结合单调性、极值判断解的合理性 4.必要时用数形结合，画出函数图像与切线，直观判断解的个数或范围 （25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为 ，经典例题2例题 （2026高三·全国·专题练习）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 .小试牛刀1 （24-25高二下·湖北荆州·期末）已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．小试牛刀2 （24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高三上·辽宁·期末）若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A． B． C．3 D．5 5．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖北武汉·期末）若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 8．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若直线与曲线相切，则 . 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）若曲线在点处的切线与直线平行，则此切线的方程为 . 10．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 11．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是 . 12．（25-26高二上·安徽宣城·期末）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 13．（25-26高三上·湖南长沙·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 14．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数 . 15．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线，过点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，线段AB的中点为N，则的最大值为 ． 16．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 三、解答题 17．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且满足 (1)求的值． (2)求过原点的切线方程． 18．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知函数 (1)若点在的图象上，求曲线在点P处的切线方程； (2)若点不在的图象上，过点M且与的图象相切的直线与x轴平行，求a的值． 19．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知函数，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)设，求过点的切线方程. 20．（25-26高二上·北京·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $