5.2.3·简单复合函数的导数【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.2.3·简单复合函数的导数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点1：复合函数的定义 知识点：设函数（外层函数）和（内层函数），其中的值域是定义域的子集，则由这两个函数复合而成的函数，叫做复合函数，记作，其中叫做中间变量 核心含义：复合函数是“函数套函数”，自变量为，通过中间变量传递变化，简单复合函数仅含一次或两次复合 常见示例：①（外层，内层，一次复合）；②（外层，内层，一次复合）；③（外层，内层，一次复合） 易错辨析：①混淆复合函数与简单函数，误将（四则运算）当作复合函数，或将（复合函数）当作简单函数；②中间变量识别错误，如，误将中间变量设为（遗漏常数项-2）；③复合层数判断错误，简单复合函数仅含一次复合，误将（三次复合）当作简单复合函数；④忽略复合条件，如（）与（），无法复合却强行判定为复合函数；⑤符号错误，中间变量设为，求导时误将算成1（正确为-1） 重点记忆：①核心口诀：“复合函数套一套，外层内层分清楚，中间变量当桥梁”；②关键识别技巧：看函数是否存在“函数套函数”（而非加减乘除），简单复合函数只有“外层+内层”两层，无更多嵌套；③必记示例：常见简单复合函数类型（幂复合、三角复合、指数复合、对数复合）；④关键提醒：中间变量需完整，包含内层函数的所有项（如，不可漏），且需满足外层函数的定义域要求 常考结论：①简单复合函数的四种常见类型（高频）：幂复合（）、三角复合（、）、指数复合（、）、对数复合（、）；②基本初等函数本身不是复合函数（无中间变量）；③复合函数的定义域，是内层函数定义域与“外层函数定义域对应内层函数值域”的交集 2.知识点2：简单复合函数的识别技巧 知识点：识别简单复合函数的核心是“拆分外层函数与内层函数”，核心步骤：①找“最外层函数”（最后一步运算对应的函数，且为基本初等函数）；②剩余部分即为“内层函数”（中间变量）；③验证：内层函数的值域是否为外层函数定义域的子集，若是则为有效复合函数 核心技巧：拆分时遵循“基本初等函数优先”，外层函数必须是基本初等函数（幂、三角、指数、对数、常数），内层函数可为一次函数、二次函数 易错辨析：①拆分错误，外层函数不是基本初等函数，如，误将外层拆分为（非基本初等函数），正确拆分应为外层，内层；②拆分不彻底，如，拆分为外层，内层（遗漏+3）；③过度拆分，简单复合函数无需拆分多次，如，无需拆分为、、；④混淆拆分与四则运算，如，拆分时误将纳入内层函数 重点记忆：①核心口诀：“拆分复合看外层，外层必是基本型，剩余部分当内层，验证值域才可行”；②必练拆分示例（高频）： ：外层，内层； ：外层，内层； ：外层，内层； ③关键提醒：拆分的目的是“应用基本初等函数导数公式”，因此外层必须是基本初等函数，便于求导；④技巧：遇到复杂形式，先整理为“基本初等函数+内层函数”的形式，再拆分 常考结论：①高频可拆分复合函数（直接识别）：、、、、、；②不可拆分（非复合）：、、（均为简单函数或四则运算）；③拆分后，内层函数越简单，求导越便捷，优先拆分出一次或二次内层函数 模块二：简单复合函数的导数法则 3.知识点3：简单复合函数的导数法则 知识点：设简单复合函数，中间变量，若在点处可导，在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且其导数为： （读作：y对x的导数，等于y对u的导数乘以u对x的导数） 核心含义：复合函数的导数，遵循“从外层到内层”的顺序，先求外层函数对中间变量的导数，再求内层函数对自变量的导数，最后将两个导数相乘，即“链式相乘，层层求导” 易错辨析：①链式法则漏层（最高频错误），如，仅求外层导数，漏求内层导数，误写为（正确为）；②导数符号混淆，误将写成（颠倒求导顺序）；③乘法误写为加法，如（混淆复合法则与加减法则）；④求导后未代回中间变量，如、，求导得，未代回（正确为）；⑤内层导数计算错误，如，误求导为（常数项导数为0，正确为）；⑥法则应用条件忽略，内层或外层函数不可导时，强行应用链式法则 重点记忆：①核心口诀：“复合求导链式套，外层求导乘内层，层层递进不遗漏，最后代回原变量”；②必记公式（两种写法，适配不同教辅排版）：、；③关键求导步骤（高频实操）：第一步，设中间变量，拆分外层；第二步，求外层导数；第三步，求内层导数；第四步，相乘得；第五步，代回，化简结果；④关键提醒：求导顺序必须是“外层→内层”，不可颠倒，漏层是最致命的错误，求导后务必代回中间变量，化为仅含的表达式 常考结论：①链式法则可简单推广到二次复合（教材拓展，高频）：若、、（简单二次复合），则；②高频逆用结论：若，则原函数可设为（C为常数，适配简单积分铺垫）；③链式法则与基本导数公式结合，是所有复合函数求导的基础，无例外；④若内层函数导数为1（如），则，即复合函数导数等于外层函数对中间变量的导数 4.知识点4：一次复合函数的求导 知识点：一次复合函数特指“内层函数为一次函数（），外层函数为基本初等函数”的复合函数，形式为，其导数可直接套用链式法则推导： 设，则，由链式法则得： ①：； ②：； ③：； ④：（） 易错辨析：①漏乘内层导数（最高频），如，误写为（正确为）；②内层导数计算错误，如，误求导为（正确为），导致符号错误；③幂函数复合求导，漏减指数，如，误写为（正确为）；④对数复合求导，分母错误，如，误写为（正确为）；⑤指数复合求导，多乘，如，误写为（多余，） 重点记忆：①核心口诀：“一次复合最简单，内层导数是a，外层求导乘a，公式直接套不差”；②必记高频公式： ； ； （重点记负号）； ； （）； ③关键提醒：内层函数的导数恒为，无论为多少（常数项导数为0），重点关注的符号；④技巧：记忆时，先记外层函数的导数，再直接乘，简化计算步骤 常考结论：①高频特殊情况（可直接记忆）： 当时，（内层导数为1，直接求外层导数）； 当时，（无常数项，仍乘）； 当时，（注意负号）； ②一次复合函数的导数，与外层函数的类型一致（如外层为幂函数，导数仍为幂函数；外层为三角函数，导数仍为三角函数）；③常考计算结果（直接套用）：、（余弦偶函数性质）、（） 5.知识点5：二次复合函数的求导 知识点：二次复合函数特指“内层函数为二次函数或幂函数（非一次），外层函数为基本初等函数”的简单复合函数，形式为、等，核心求导思路：仍遵循链式法则，先拆分外层、内层，再层层求导，最后相乘化简 高频示例（逐题校验，公式美观）： ①：设，则，； ②：设，则，； ③：设，则， 易错辨析：①链式法则漏层（高频），如，仅求外层导数，漏求内层导数，误写为（正确为）；②内层导数计算错误，如，误求导为（漏求的导数2，正确为）；③符号错误，如，内层导数的导数为，漏写负号，误写为；④求导后未化简，如，求导得，未提取公因式2化简；⑤混淆二次复合与一次复合，误将当作一次复合，乘内层导数（错误） 重点记忆：①核心口诀：“二次复合不复杂，外层内层照样拆，内层求导要仔细，相乘化简才完美”；②必练高频示例（掌握步骤）： ：； ：； ：； ③关键提醒：二次复合的内层函数不是一次函数，求导时需严格按照基本初等函数或四则运算求导，不可直接乘；④技巧：求导后，优先提取公因式、整理符号，化为最简形式，适配教辅答题规范 常考结论：①高频二次复合函数导数（直接套用）： ； （，定义域为R）； ； ； ②二次复合函数的导数，通常是“两个函数的乘积”（外层导数×内层导数），形式比一次复合复杂；③若内层函数为偶函数（如），外层函数为偶函数（如），则复合函数为偶函数，其导数为奇函数（符号随变化） 模块三：复合函数与四则运算结合的求导 6.知识点6：复合函数与加减运算结合的求导 知识点：若两个复合函数（或复合函数与简单函数）进行加减运算，其导数遵循“加减法则+链式法则”，核心公式： 核心思路：先分别求每个复合函数（或简单函数）的导数，再保持原式的加减符号，最后化简结果 易错辨析：①漏用链式法则，仅求加减法则，漏求复合函数的内层导数，如，误写为（正确为）；②符号错误，如，误写为（正确为，余弦导数为负，负负得正）；③遗漏其中一项的导数，如，漏求的导数，误写为；④化简错误，加减后未提取公因式，如，未提取公因式3 重点记忆：①核心口诀：“复合加减求导数，各自求导再加减，复合用链式，加减守符号”；②必记步骤：第一步，拆分加减项，区分每个项是复合函数还是简单函数；第二步，对每个项分别求导（复合函数用链式法则，简单函数用基本导数公式）；第三步，保持原式的加减符号，将导数相加或相减；第四步，化简结果（提取公因式、整理符号）；③关键提醒：加减法则与链式法则并行，不可混淆，每个复合项都要完整应用链式法则，不可漏层；④技巧：先分别求每个项的导数，标注清楚，再进行加减，避免符号错误 常考结论：①高频示例导数（直接套用）： ； （导数为，负负得正）； ； ②若加减项中有简单函数（非复合），直接用基本导数公式求导，无需用链式法则；③加减后的导数，符号与原式加减项一致，若某一项为负，其导数也为负（需结合复合函数导数的符号） 7.知识点7：复合函数与乘除运算结合的求导 知识点：若两个复合函数（或复合函数与简单函数）进行乘除运算，其导数遵循“乘除法则+链式法则”，核心公式（适配微软word，逐题校验）： ①乘法结合： 即： ②除法结合： 即：（） 核心思路：先应用乘除法则，再对每个复合函数应用链式法则求导，最后化简结果，优先级：先乘除，后复合，再化简 易错辨析：①漏用链式法则，仅应用乘除法则，漏求复合函数的内层导数，如，误写为（正确为）；②乘除法则应用错误，如乘法漏项、除法分子顺序颠倒、漏写分母平方；③符号错误，除法分子中减号误写为加号，或复合函数内层导数符号错误；④计算量过大导致化简错误，如多项相乘后未提取公因式；⑤忽略分母不为0的条件，如，误在（）处计算导数 重点记忆：①核心口诀：“复合乘除求导数，先用法则再链式，乘法两项加一起，除法分子差分母方”；②必练高频示例（掌握步骤）： 乘法：，求导得； 除法：，求导得； 复合乘复合：，求导得； ③关键提醒：乘除法则与链式法则结合时，先对每个因子（或分子、分母）求导（复合因子用链式法则），再代入乘除法则公式，避免漏项；④技巧：优先提取公因式化简，减少计算量，如乘法求导后，提取公共复合因子，整理为最简形式 常考结论：①高频示例导数（直接套用）： ； （）； ； ②复合函数与简单函数相乘，简单函数的导数直接用基本公式，无需链式法则；③除法求导后，分母恒为原分母的平方，分子需严格遵循“分子导数×分母-分子×分母导数”的顺序，符号不可颠倒 模块四：复合函数导数的拓展应用 8.知识点8：复合函数导数的几何意义 知识点：复合函数在点处的导数，其几何意义是：曲线在点处的切线斜率 核心延伸：结合切线方程公式，曲线在该点的切线方程为：（可导时） 高频示例：求在处的切线方程，步骤：①求导；②求切线斜率；③求切点；④切线方程，即 易错辨析：①切线斜率计算错误，漏用链式法则，导致斜率出错，进而切线方程错误；②切点求解错误，误将代入内层函数作为切点纵坐标（正确为代入复合函数）；③切线方程书写错误，点斜式符号错误，如误写为；④忽略复合函数的定义域，在不可导点处求切线方程；⑤混淆“曲线在点处的切线”与“过点的切线”，导致切线方程求解错误 重点记忆：①核心口诀：“复合导数几何意，切线斜率它来替，链式求导得斜率，点斜式写切线方”；②必记步骤（求切线方程）：第一步，求复合函数的导数；第二步重点记忆：①核心口诀：“复合导数几何意，切线斜率它来替，链式求导得斜率，点斜式写切线方”；②必记步骤（求切线方程）：第一步，求复合函数的导数；第二步，将代入导数，计算切线斜率；第三步，将代入复合函数，求切点坐标；第四步，代入点斜式，整理为斜截式；③关键提醒：求斜率时必须完整应用链式法则，不可漏层，否则斜率错误会导致整个切线方程出错；④技巧：若切线斜率为0，切线方程为（水平切线）；若导数不存在（但函数连续），切线方程为（垂直切线） 常考结论：①高频示例（切线方程求解，直接参考）：求在处的切线方程，步骤：导数，斜率，切点，切线方程；②若，则切线斜率，切线为水平直线，此时无论为何值（不为无穷），斜率均为0；③若且，则切线斜率，同样为水平切线；④切线方程化简后，需整理为或 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：简单复合函数的求导法则】 （24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：经典例题1例题 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由复合函数的求导法则求解即可； 【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以 （3）函数可以看作函数和的复合函数， ， 所以. （24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：经典例题2例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则和复合函数的导数法则即可求解. 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. （24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式及运算法则逐个求解即可. 【详解】（1）结合题意可得：． （2）结合题意可得：． （3） ． 所以． （24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数．小试牛刀2 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复合函数求导法则及商的求导法则计算可得； （2）根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； （3）首先利用诱导公式及二倍角公式化简，再根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； 【详解】（1）∵， ∴ ． （2） ． （3）∵ ， ∴ ． （24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数．小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导法则求导即可. 【详解】（1）设，， 则 ． （2）设，，， 则 ． （3）设，，， 则 ． （4）设，， 则 ． 【题型2：简单复合函数与四则运算法则综合】 【多选题】（24-25高二下·贵州铜仁·月考）下列求导的运算中，正确的是（ ）经典例题1例题 A． B． C．= D． 【答案】BC 【分析】根据基本函数导数公式与复合函数导数运算法则求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 【多选题】（2025高二下·全国·专题练习）下列求导正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用导数的运算法则及复合函数的导数法则求解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC 【多选题】（24-25高二下·江西·月考）下列求导运算正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由基本初等函数的导数公式结合复合函数的导数的运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 【多选题】（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）下列求导数的运算正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据导数的求导法则和复合函数求导的方法即可得到答案. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：AC. 【多选题】（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）下列求导正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 【题型3：由复合函数求有关切线方程】 （25-26高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】求出切点，由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解. 【详解】由题，， 所以切点为，在切点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值. 【详解】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故答案为：. （25-26高二上·湖南·期末）曲线的一条切线的斜率为4，则该切点的横坐标为 ．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】对函数求导，设出切点，根据斜率，即可求得横坐标. 【详解】设切线的切点坐标为， ，， ，所以切点横坐标为． 故答案为：. （2026·江苏南通·一模）已知曲线在处的切线方程为，则 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】由导数的几何意义及切点处的函数值求解. 【详解】由已知切点坐标为，因为，切线方程为， 则由导数的几何意义可得，解得， 又切点在曲线上，所以，解得. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围. 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 【题型4：由复合函数求公切线问题】 （25-26高三上·江苏南通·月考）已知直线是曲线和的公切线，则实数 .经典例题1例题 【答案】3 【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 （25-26高三上·安徽·期中）若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 .经典例题2例题 【答案】1 【分析】根据题意结合导数的几何意义计算即可. 【详解】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即. 故答案为：1. （2025·广东肇庆·一模）已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 .小试牛刀1 【答案】2 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解. 【详解】设，则，又，所以， 则切线方程为， 设，则，令，解得， 所以. 故答案为：2 （2025·陕西西安·模拟预测）函数在处的切线与函数的图象相切，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，则，该切线方程为， 不妨设其与相切于点， 因为，则，所以，解得. 故答案为： （25-26高三上·江苏南通·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，设两曲线上的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导函数为，的导函数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，且切线为， 可得，解得， 所以. 故答案为： 【题型5：抽象复合函数求导】 （25-26高三上·福建三明·月考）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 .经典例题1例题 【答案】0 【分析】根据为偶函数，得出关于中心对称，再根据为偶函数，得出关于对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可. 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得， ，将看作整体得①， 将图象向右平移2个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故，即的周期为4， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】解法一：根据奇函数和函数平移关系得到函数的图象关于点对称，进而得到 ．化简函数求导计算切线的斜率，最后得到切线方程； 解法二：根据奇函数定义和换元法得到，对函数进行化简求导计算切线的斜率，进而求得切线方程. 【详解】解法一：因为函数是奇函数，所以的图象关于原点中心对称． 将函数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 可得函数的图象，因此函数的图象关于点对称． 由图象的对称性知， ． 设曲线在处的切线斜率为，切点为，当时，，， 所以，所以 ， 故曲线在点处的切线方程为． 解法二：因为函数是奇函数，所以， 即，则． 当时，，所以，， 所以，故曲线在点处的切线方程为． 故答案为： 【多选题】（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知定义在上的偶函数满足，记的导函数为，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数，且，函数和是周期为4的函数即可依次分析判断ABC，由题设利用赋值法依次求出即可求解判断D. 【详解】由，且，得， 所以，故， 所以得，即的周期为4， 对两边求导可得，即，所以的周期为4， 对两边求导可得，即，故函数是R上的奇函数，且， 对于A，由两边求导可得，即，无法确定，故A错误； 对于B，因为的周期为4，所以， 又，可得，所以，故B正确； 对于C，因为的周期为4，所以，故C正确； 对于D，由，令，得， 令，得，所以， 令，得，又，所以， 因为的周期为4，， 所以 ，故D正确. 故选：BCD. 【多选题】（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）小试牛刀2 A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合平移得出A，应用复合函数求导再应用赋值法计算判断B，D，根据对称性得出周期再计算函数值判断C； 【详解】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则. 因为，则，所以， 令，得，则，所以，即，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称，即，， 所以，则，所以的周期； 所以，，所以， 所以 ，C选项正确； 又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反， 且，令，得，所以，，D选项正确， 故选:ACD. 【多选题】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由B知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 故选：ACD. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河北·期中）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由导数的定义和运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线（为实数）为曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义及导数的运算法则一一判定选项即可. 【详解】对于A，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故A错误； 对于B，易知，可知使得，故B正确； 对于C，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故C错误； 对于D，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故D错误. 故选：B 3．（25-26高三上·全国·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】求导得，由直线与切线垂直可得，解方程得正实数的值即可. 【详解】， 则， 因为直线的斜率为， 所以，整理得，解得或， 故正实数的值为. 故选：D. 4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 【答案】B 【分析】由对数的性质求出函数的定义域，再根据解析式得，并应用求导法则得，即可求值. 【详解】由或，则函数的定义域为， 又， 所以，则， 综上，. 故选：B 5．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 6．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知曲线在，处的切线斜率分别为，，则（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用导数的几何意义，求得，结合指数幂的运算法则，进行计算，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 即，所以. 故选：D. 二、多选题 7．（25-26高三上·江西·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 【答案】AC 【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D. 【详解】对于A，设，定义域为， 则，故为奇函数，A正确； 对于B，，则， 故，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，设，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，即，D错误. 故选：AC 8．（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则 ，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 9．（25-26高二上·云南昭通·月考）以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据导数的计算依次求出每个函数的导数即可. 【详解】A：，故选项A正确； B：，故选项B错误； C：，故选项C正确； D：当时，，当时，，故选项D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 【答案】BC 【分析】利用复合函数的导数、导数的几何意义及平均变化率、瞬时变化率等知识逐项判断即可. 【详解】对于A：由，故A错误； 对于B：因为，故，故B正确； 对于C：由在上的平均变化率为，故C正确； 对于D：因为，当时，，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高三上·安徽·月考）已知可导函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数一定为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由为偶函数得，由为奇函数得，即，进而得的周期，最后利用偶函数的定义逐一验证即可求解. 【详解】∵为偶函数，∴，∴关于对称， 又∵为奇函数，∴， 即，∴关于点对称， 由得， 又， 所以， 所以，即， 所以，∴的周期， 由，又， ∴，即， ∴为偶函数，为偶函数，∴为偶函数，∴AB均正确； 由，两边同时求导得，， 即，，∴为偶函数，∴D正确； 对于C项，取，满足关于点对称， 关于直线对称，但不为偶函数，C错误， 故选：ABD. 12．（24-25高二下·云南楚雄·月考）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 13．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数的定义域为，为其导函数，若为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，可逐步推出函数及导函数的对称性以及周期性，逐项判断即可. 【详解】对于A：若为偶函数，则，以代换，则，即的图象关于对称，故A错误； 对于B：由A可得，对等式两边同时求导，得，即， 即函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C：若，则有. 又由A可知，，则， 因此有，故的周期， 故，故C正确； 对于D：若，则， 又由B可知，，则， 即的周期，故，故D正确. 故选：BCD. 14．（25-26高三上·安徽·月考）设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．是周期函数 C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】选项A：由，两边求导可得答案； 选项B：由，得，从而证得是周期函数； 选项C：结合的奇偶性和周期性可判断； 选项D：结合的周期性即可求. 【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得： 即， 故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确; 选项B：由，替换为得： 故，则的周期为4， 替换为得：， 故可设 又由， 设, 故，由是奇函数，得 易得，替换为得： ， 故， 故的周期为4, 故选项B正确； 选项C：当时，， 令，则， 由选项B知，且是奇函数， 得， 故，则： ， 故选项C错误； 选项D：由周期为4，即，替换为得： 则，由选项B知， 故， 又， 故， 由，得，则： ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 15．（24-25高二下·四川绵阳·月考）若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则 . 【答案】/ 【分析】由导数几何意义列式求解即可. 【详解】设与和的切点分别为， 由导数的几何意义可得，得， 再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得， 从而得出. 故答案为： 16．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）设.若曲线在处的切线斜率依次成等比数列，则 . 【答案】 【分析】由导数的几何意义及等比中项求解. 【详解】因为 所以， 因为在处的切线斜率依次成等比数列， 所以，即， 解得. 故答案为：. 17．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先利用导数的运算法则求得，再代入计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 18．（25-26高三上·江苏盐城·月考）设， 已知(e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则   . 【答案】 【分析】由函数奇偶性的定义可得，然后结合导数的几何意义列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是偶函数，即， 即， 整理可得， 即对成立， 因为不恒为，所以，即. 即，且， 则曲线在点处的切线斜率为， 其中直线的斜率为， 由切线与直线垂直可得， 化简可得， 令，则，即，化简可得， 即或（舍）， 即，两边取对数可得. 故答案为： 19．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】先求导，当时，代入求得，则，再求即可． 【详解】， 则， 当时，，解得， 所以， ， 故答案为：． 20．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的性质与切化弦公式化简函数，根据导数除法运算公式与复合函数求导，从而可得所求. 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.2.3·简单复合函数的导数】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点1：复合函数的定义 知识点：设函数（外层函数）和（内层函数），其中的值域是定义域的子集，则由这两个函数复合而成的函数，叫做复合函数，记作，其中叫做中间变量 核心含义：复合函数是“函数套函数”，自变量为，通过中间变量传递变化，简单复合函数仅含一次或两次复合 常见示例：①（外层，内层，一次复合）；②（外层，内层，一次复合）；③（外层，内层，一次复合） 易错辨析：①混淆复合函数与简单函数，误将（四则运算）当作复合函数，或将（复合函数）当作简单函数；②中间变量识别错误，如，误将中间变量设为（遗漏常数项-2）；③复合层数判断错误，简单复合函数仅含一次复合，误将（三次复合）当作简单复合函数；④忽略复合条件，如（）与（），无法复合却强行判定为复合函数；⑤符号错误，中间变量设为，求导时误将算成1（正确为-1） 重点记忆：①核心口诀：“复合函数套一套，外层内层分清楚，中间变量当桥梁”；②关键识别技巧：看函数是否存在“函数套函数”（而非加减乘除），简单复合函数只有“外层+内层”两层，无更多嵌套；③必记示例：常见简单复合函数类型（幂复合、三角复合、指数复合、对数复合）；④关键提醒：中间变量需完整，包含内层函数的所有项（如，不可漏），且需满足外层函数的定义域要求 常考结论：①简单复合函数的四种常见类型（高频）：幂复合（）、三角复合（、）、指数复合（、）、对数复合（、）；②基本初等函数本身不是复合函数（无中间变量）；③复合函数的定义域，是内层函数定义域与“外层函数定义域对应内层函数值域”的交集 2.知识点2：简单复合函数的识别技巧 知识点：识别简单复合函数的核心是“拆分外层函数与内层函数”，核心步骤：①找“最外层函数”（最后一步运算对应的函数，且为基本初等函数）；②剩余部分即为“内层函数”（中间变量）；③验证：内层函数的值域是否为外层函数定义域的子集，若是则为有效复合函数 核心技巧：拆分时遵循“基本初等函数优先”，外层函数必须是基本初等函数（幂、三角、指数、对数、常数），内层函数可为一次函数、二次函数 易错辨析：①拆分错误，外层函数不是基本初等函数，如，误将外层拆分为（非基本初等函数），正确拆分应为外层，内层；②拆分不彻底，如，拆分为外层，内层（遗漏+3）；③过度拆分，简单复合函数无需拆分多次，如，无需拆分为、、；④混淆拆分与四则运算，如，拆分时误将纳入内层函数 重点记忆：①核心口诀：“拆分复合看外层，外层必是基本型，剩余部分当内层，验证值域才可行”；②必练拆分示例（高频）： ：外层，内层； ：外层，内层； ：外层，内层； ③关键提醒：拆分的目的是“应用基本初等函数导数公式”，因此外层必须是基本初等函数，便于求导；④技巧：遇到复杂形式，先整理为“基本初等函数+内层函数”的形式，再拆分 常考结论：①高频可拆分复合函数（直接识别）：、、、、、；②不可拆分（非复合）：、、（均为简单函数或四则运算）；③拆分后，内层函数越简单，求导越便捷，优先拆分出一次或二次内层函数 模块二：简单复合函数的导数法则 3.知识点3：简单复合函数的导数法则 知识点：设简单复合函数，中间变量，若在点处可导，在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且其导数为： （读作：y对x的导数，等于y对u的导数乘以u对x的导数） 核心含义：复合函数的导数，遵循“从外层到内层”的顺序，先求外层函数对中间变量的导数，再求内层函数对自变量的导数，最后将两个导数相乘，即“链式相乘，层层求导” 易错辨析：①链式法则漏层（最高频错误），如，仅求外层导数，漏求内层导数，误写为（正确为）；②导数符号混淆，误将写成（颠倒求导顺序）；③乘法误写为加法，如（混淆复合法则与加减法则）；④求导后未代回中间变量，如、，求导得，未代回（正确为）；⑤内层导数计算错误，如，误求导为（常数项导数为0，正确为）；⑥法则应用条件忽略，内层或外层函数不可导时，强行应用链式法则 重点记忆：①核心口诀：“复合求导链式套，外层求导乘内层，层层递进不遗漏，最后代回原变量”；②必记公式（两种写法，适配不同教辅排版）：、；③关键求导步骤（高频实操）：第一步，设中间变量，拆分外层；第二步，求外层导数；第三步，求内层导数；第四步，相乘得；第五步，代回，化简结果；④关键提醒：求导顺序必须是“外层→内层”，不可颠倒，漏层是最致命的错误，求导后务必代回中间变量，化为仅含的表达式 常考结论：①链式法则可简单推广到二次复合（教材拓展，高频）：若、、（简单二次复合），则；②高频逆用结论：若，则原函数可设为（C为常数，适配简单积分铺垫）；③链式法则与基本导数公式结合，是所有复合函数求导的基础，无例外；④若内层函数导数为1（如），则，即复合函数导数等于外层函数对中间变量的导数 4.知识点4：一次复合函数的求导 知识点：一次复合函数特指“内层函数为一次函数（），外层函数为基本初等函数”的复合函数，形式为，其导数可直接套用链式法则推导： 设，则，由链式法则得： ①：； ②：； ③：； ④：（） 易错辨析：①漏乘内层导数（最高频），如，误写为（正确为）；②内层导数计算错误，如，误求导为（正确为），导致符号错误；③幂函数复合求导，漏减指数，如，误写为（正确为）；④对数复合求导，分母错误，如，误写为（正确为）；⑤指数复合求导，多乘，如，误写为（多余，） 重点记忆：①核心口诀：“一次复合最简单，内层导数是a，外层求导乘a，公式直接套不差”；②必记高频公式： ； ； （重点记负号）； ； （）； ③关键提醒：内层函数的导数恒为，无论为多少（常数项导数为0），重点关注的符号；④技巧：记忆时，先记外层函数的导数，再直接乘，简化计算步骤 常考结论：①高频特殊情况（可直接记忆）： 当时，（内层导数为1，直接求外层导数）； 当时，（无常数项，仍乘）； 当时，（注意负号）； ②一次复合函数的导数，与外层函数的类型一致（如外层为幂函数，导数仍为幂函数；外层为三角函数，导数仍为三角函数）；③常考计算结果（直接套用）：、（余弦偶函数性质）、（） 5.知识点5：二次复合函数的求导 知识点：二次复合函数特指“内层函数为二次函数或幂函数（非一次），外层函数为基本初等函数”的简单复合函数，形式为、等，核心求导思路：仍遵循链式法则，先拆分外层、内层，再层层求导，最后相乘化简 高频示例（逐题校验，公式美观）： ①：设，则，； ②：设，则，； ③：设，则， 易错辨析：①链式法则漏层（高频），如，仅求外层导数，漏求内层导数，误写为（正确为）；②内层导数计算错误，如，误求导为（漏求的导数2，正确为）；③符号错误，如，内层导数的导数为，漏写负号，误写为；④求导后未化简，如，求导得，未提取公因式2化简；⑤混淆二次复合与一次复合，误将当作一次复合，乘内层导数（错误） 重点记忆：①核心口诀：“二次复合不复杂，外层内层照样拆，内层求导要仔细，相乘化简才完美”；②必练高频示例（掌握步骤）： ：； ：； ：； ③关键提醒：二次复合的内层函数不是一次函数，求导时需严格按照基本初等函数或四则运算求导，不可直接乘；④技巧：求导后，优先提取公因式、整理符号，化为最简形式，适配教辅答题规范 常考结论：①高频二次复合函数导数（直接套用）： ； （，定义域为R）； ； ； ②二次复合函数的导数，通常是“两个函数的乘积”（外层导数×内层导数），形式比一次复合复杂；③若内层函数为偶函数（如），外层函数为偶函数（如），则复合函数为偶函数，其导数为奇函数（符号随变化） 模块三：复合函数与四则运算结合的求导 6.知识点6：复合函数与加减运算结合的求导 知识点：若两个复合函数（或复合函数与简单函数）进行加减运算，其导数遵循“加减法则+链式法则”，核心公式： 核心思路：先分别求每个复合函数（或简单函数）的导数，再保持原式的加减符号，最后化简结果 易错辨析：①漏用链式法则，仅求加减法则，漏求复合函数的内层导数，如，误写为（正确为）；②符号错误，如，误写为（正确为，余弦导数为负，负负得正）；③遗漏其中一项的导数，如，漏求的导数，误写为；④化简错误，加减后未提取公因式，如，未提取公因式3 重点记忆：①核心口诀：“复合加减求导数，各自求导再加减，复合用链式，加减守符号”；②必记步骤：第一步，拆分加减项，区分每个项是复合函数还是简单函数；第二步，对每个项分别求导（复合函数用链式法则，简单函数用基本导数公式）；第三步，保持原式的加减符号，将导数相加或相减；第四步，化简结果（提取公因式、整理符号）；③关键提醒：加减法则与链式法则并行，不可混淆，每个复合项都要完整应用链式法则，不可漏层；④技巧：先分别求每个项的导数，标注清楚，再进行加减，避免符号错误 常考结论：①高频示例导数（直接套用）： ； （导数为，负负得正）； ； ②若加减项中有简单函数（非复合），直接用基本导数公式求导，无需用链式法则；③加减后的导数，符号与原式加减项一致，若某一项为负，其导数也为负（需结合复合函数导数的符号） 7.知识点7：复合函数与乘除运算结合的求导 知识点：若两个复合函数（或复合函数与简单函数）进行乘除运算，其导数遵循“乘除法则+链式法则”，核心公式（适配微软word，逐题校验）： ①乘法结合： 即： ②除法结合： 即：（） 核心思路：先应用乘除法则，再对每个复合函数应用链式法则求导，最后化简结果，优先级：先乘除，后复合，再化简 易错辨析：①漏用链式法则，仅应用乘除法则，漏求复合函数的内层导数，如，误写为（正确为）；②乘除法则应用错误，如乘法漏项、除法分子顺序颠倒、漏写分母平方；③符号错误，除法分子中减号误写为加号，或复合函数内层导数符号错误；④计算量过大导致化简错误，如多项相乘后未提取公因式；⑤忽略分母不为0的条件，如，误在（）处计算导数 重点记忆：①核心口诀：“复合乘除求导数，先用法则再链式，乘法两项加一起，除法分子差分母方”；②必练高频示例（掌握步骤）： 乘法：，求导得； 除法：，求导得； 复合乘复合：，求导得； ③关键提醒：乘除法则与链式法则结合时，先对每个因子（或分子、分母）求导（复合因子用链式法则），再代入乘除法则公式，避免漏项；④技巧：优先提取公因式化简，减少计算量，如乘法求导后，提取公共复合因子，整理为最简形式 常考结论：①高频示例导数（直接套用）： ； （）； ； ②复合函数与简单函数相乘，简单函数的导数直接用基本公式，无需链式法则；③除法求导后，分母恒为原分母的平方，分子需严格遵循“分子导数×分母-分子×分母导数”的顺序，符号不可颠倒 模块四：复合函数导数的拓展应用 8.知识点8：复合函数导数的几何意义 知识点：复合函数在点处的导数，其几何意义是：曲线在点处的切线斜率 核心延伸：结合切线方程公式，曲线在该点的切线方程为：（可导时） 高频示例：求在处的切线方程，步骤：①求导；②求切线斜率；③求切点；④切线方程，即 易错辨析：①切线斜率计算错误，漏用链式法则，导致斜率出错，进而切线方程错误；②切点求解错误，误将代入内层函数作为切点纵坐标（正确为代入复合函数）；③切线方程书写错误，点斜式符号错误，如误写为；④忽略复合函数的定义域，在不可导点处求切线方程；⑤混淆“曲线在点处的切线”与“过点的切线”，导致切线方程求解错误 重点记忆：①核心口诀：“复合导数几何意，切线斜率它来替，链式求导得斜率，点斜式写切线方”；②必记步骤（求切线方程）：第一步，求复合函数的导数；第二步重点记忆：①核心口诀：“复合导数几何意，切线斜率它来替，链式求导得斜率，点斜式写切线方”；②必记步骤（求切线方程）：第一步，求复合函数的导数；第二步，将代入导数，计算切线斜率；第三步，将代入复合函数，求切点坐标；第四步，代入点斜式，整理为斜截式；③关键提醒：求斜率时必须完整应用链式法则，不可漏层，否则斜率错误会导致整个切线方程出错；④技巧：若切线斜率为0，切线方程为（水平切线）；若导数不存在（但函数连续），切线方程为（垂直切线） 常考结论：①高频示例（切线方程求解，直接参考）：求在处的切线方程，步骤：导数，斜率，切点，切线方程；②若，则切线斜率，切线为水平直线，此时无论为何值（不为无穷），斜率均为0；③若且，则切线斜率，同样为水平切线；④切线方程化简后，需整理为或 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：简单复合函数的求导法则】 （24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：经典例题1例题 (1)； (2)； (3). （24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：经典例题2例题 (1)； (2)． （24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． （24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数．小试牛刀2 (1)； (2)； (3)． （24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数．小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2：简单复合函数与四则运算法则综合】 【多选题】（24-25高二下·贵州铜仁·月考）下列求导的运算中，正确的是（ ）经典例题1例题 A． B． C．= D． 【多选题】（2025高二下·全国·专题练习）下列求导正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·江西·月考）下列求导运算正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）下列求导数的运算正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）下列求导正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：由复合函数求有关切线方程】 （25-26高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程为 .经典例题1例题 （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 .经典例题2例题 （25-26高二上·湖南·期末）曲线的一条切线的斜率为4，则该切点的横坐标为 ．小试牛刀1 （2026·江苏南通·一模）已知曲线在处的切线方程为，则 ．小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．小试牛刀3 【题型4：由复合函数求公切线问题】 （25-26高三上·江苏南通·月考）已知直线是曲线和的公切线，则实数 .经典例题1例题 （25-26高三上·安徽·期中）若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 .经典例题2例题 （2025·广东肇庆·一模）已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 .小试牛刀1 （2025·陕西西安·模拟预测）函数在处的切线与函数的图象相切，则 ．小试牛刀2 （25-26高三上·江苏南通·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .小试牛刀3 【题型5：抽象复合函数求导】 （25-26高三上·福建三明·月考）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 .经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．经典例题2例题 【多选题】（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知定义在上的偶函数满足，记的导函数为，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）小试牛刀2 A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【多选题】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·河北·期中）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线（为实数）为曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2025 5．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知曲线在，处的切线斜率分别为，，则（   ） A． B．1 C． D．4 二、多选题 7．（25-26高三上·江西·月考）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 8．（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高二上·云南昭通·月考）以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数，的导函数是，则（    ） A． B．在点处的切线斜率为 C．在上的平均变化率为 D．在处的瞬时变化率为 11．（25-26高三上·安徽·月考）已知可导函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数一定为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·云南楚雄·月考）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数的定义域为，为其导函数，若为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．若，则 D．若，则 14．（25-26高三上·安徽·月考）设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．是周期函数 C．当时， D． 三、填空题 15．（24-25高二下·四川绵阳·月考）若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则 . 16．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）设.若曲线在处的切线斜率依次成等比数列，则 . 17．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 18．（25-26高三上·江苏盐城·月考）设， 已知(e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则   . 19．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知函数，则 ． 20．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $