5.1·导数的概念及其几何意义【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.1·导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点一：平均变化率（导数的铺垫，基础必记） 知识点：给定函数，设自变量x从变化到（），相应地，函数值从变化到，则函数在区间（或）上的平均变化率为： 核心含义：平均变化率表示函数在某一区间上的“平均变化快慢”，几何意义是连接曲线上两点和的割线PQ的斜率 易错辨析：①混淆与的含义，误将当作“x的取值”，忽略其是“自变量的增量”（可正可负，但不能为0）；②计算时分子、分母颠倒，误记为；③忽略的条件，当时，分式无意义，不存在平均变化率；④几何意义理解错误，误将平均变化率当作“切线斜率”，混淆割线与切线的区别；⑤计算时出错，如，误将算成（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“平均变化率，增量比一比，分子Δy差，分母Δx替”；②公式必记：，牢记“分子是函数值的增量，分母是自变量的增量”；③几何意义：割线斜率（连接曲线上两点的直线斜率），是后续理解导数几何意义的基础；④关键提醒：可正可负（正表示自变量增大，负表示自变量减小），但不能为0，否则分式无意义；⑤计算技巧：先化简分子，再与分母约分，减少计算误差 常考结论：①平均变化率的大小与和都有关，同一函数在不同区间上的平均变化率可能不同；②若为一次函数，则其平均变化率恒为k（与、无关），对应割线与直线本身重合，斜率不变；③平均变化率的绝对值越大，函数在该区间上的变化越快，绝对值越小，变化越慢；④常考简单计算：已知，则在上的平均变化率为（化简后结果，可直接套用） 2.知识点二：瞬时变化率与导数的概念（核心考点，重中之重） 知识点：当自变量的增量无限趋近于0（即）时，若函数在处的平均变化率无限趋近于一个确定的常数，这个常数就叫做函数在处的瞬时变化率，记作： 此时，称函数在处可导，这个确定的常数叫做函数在处的导数，记作或，即： 核心含义：瞬时变化率（导数）表示函数在处的“瞬时变化快慢”，是平均变化率的极限值 易错辨析：①忽略的条件，误将平均变化率当作导数，认为“平均变化率就是导数”；②导数定义中的极限表达式写错，漏写，或分子、分母颠倒；③误将“”理解为“”，导致分式无意义（趋近于0，但永远不等于0）；④导数符号书写不规范，如将写成，混淆导数符号的含义；⑤认为“所有函数在任意点处都可导”，忽略可导的前提（如在处不可导） 重点记忆：①核心口诀：“导数本质是极限，平均变化趋0时，确定常数是导数，瞬时快慢它表示”；②导数的两个核心定义（必记）：极限表达式和符号表示，牢记；③可导的隐含条件：函数在处连续（可导必连续，连续不一定可导），这是判断函数在某点是否可导的基础；④关键提醒：表示“自变量的增量无限接近于0”，可以从正方向趋近（），也可以从负方向趋近（），二者极限需相等，函数才在该点可导；⑤导数符号含义：表示“函数f(x)在x=x₀处的导数”，不是“f(x₀)的导数”（f(x₀)是常数，导数为0） 常考结论：①导数的几何意义（铺垫）：是曲线在点处的切线斜率（后续重点）；②若函数在处可导，则（可导必连续的核心依据）；③常考导数定义变形（高频考点）：（将换成h），或（令，则，等价于）；④常数函数的导数：若（C为常数），则在任意点处的导数（瞬时变化率为0，函数值不变） 3.知识点三：导数的几何意义（高频考点，实操性强） 知识点：函数在处的导数，几何意义是曲线在点处的切线斜率，即： 由此可推导曲线在点处的切线方程： ①若存在（函数在该点可导），则切线方程为：（点斜式）； ②若不存在（函数在该点不可导，但可能连续），则切线垂直于x轴，切线方程为：（如在处，切线方程为）； 补充：曲线的切线定义——当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，割线PQ无限趋近于的一条确定直线，即为曲线在点P处的切线（区别于初中“与曲线只有一个交点的直线是切线”的片面定义） 易错辨析：①沿用初中切线定义，误将“与曲线只有一个交点的直线”当作切线（如与直线只有一个交点，是切线；但直线与有两个交点，不是切线）；②混淆“切线斜率”与“导数”的关系，误将当作切线斜率，忽略导数是；③切线方程书写错误，漏代点，误写成且未求b，或点斜式写错（如写成）；④忽略“导数不存在但切线存在”的情况，认为“不可导的点一定没有切线”（如在处不可导，但有切线）；⑤计算切线方程时，导数计算错误，导致斜率出错，进而切线方程全部出错；⑥误将“曲线在点P处的切线”当作“过点P的切线”（过点P的切线可能不止一条，曲线在点P处的切线唯一） 重点记忆：①核心口诀：“导数几何意义妙，切线斜率它来表，点斜式写切线方，不可导时看垂直”；②必记公式：切线斜率，切线方程（可导时）；③关键区分：“曲线在点P处的切线”（唯一，切点为P）与“过点P的切线”（P可能不是切点，可能有1条或多条）；④特殊情况处理：当时，切线平行于x轴，切线方程为；当不存在时，切线垂直于x轴，切线方程为；⑤解题步骤（高频）：求导数→求切点处的导数（切线斜率）→代入点斜式，化简得到切线方程；⑥注意事项：切线方程需化简为一般式（如）或斜截式（如），适配教辅答题规范 常考结论：①高频切线方程结论：若，则切线方程为，化简后可整理为；②切线平行条件：若两条切线平行，则它们的斜率相等（即导数相等）；切线垂直条件：若两条切线垂直，则它们的斜率之积为-1（即），前提是两条切线的斜率都存在；③常考简单函数切线：在点处的切线斜率为，切线方程为（可直接套用）；④若曲线在点处有切线，则函数在该点不一定可导（如在处），但可导一定有切线 4.知识点四：导数的物理意义（辅助理解，基础考点） 知识点：导数的物理意义主要应用于“瞬时速度”“瞬时加速度”等运动问题，核心对应关系如下： ①瞬时速度：若物体的位移函数为（t为时间，s为位移），则位移函数在处的导数，表示物体在时刻的瞬时速度，即； ②瞬时加速度：若物体的速度函数为（t为时间，v为速度），则速度函数在处的导数，表示物体在时刻的瞬时加速度，即； 核心含义：物理中，导数表示“某一瞬时的变化率”，与几何意义中的“瞬时变化快慢”本质一致 易错辨析：①混淆“平均速度”与“瞬时速度”，误将位移的平均变化率当作瞬时速度（平均速度是，瞬时速度是）；②位移函数、速度函数的符号理解错误，误将“负导数”当作“负速度”，忽略负号表示“方向与正方向相反”，大小为绝对值；③物理量单位混淆，如将瞬时速度的单位写成“m”（正确为“m/s”），瞬时加速度的单位写成“m/s”（正确为“m/s²”）；④误将“瞬时加速度”当作“速度的变化量”，忽略加速度是速度的瞬时变化率，不是变化量；⑤认为“速度为0时，加速度也为0”（如竖直上抛运动的最高点，速度为0，但加速度为重力加速度g，不为0） 重点记忆：①核心口诀：“物理意义看瞬时，位移导数是速度，速度导数是加速，符号方向大小数”；②必记对应关系：位移s(t)→导数s’(t)=瞬时速度v(t)；速度v(t)→导数v’(t)=瞬时加速度a(t)；③关键区分：平均速度（区间上的平均变化率）vs瞬时速度（某一时刻的导数）；速度变化量（）vs瞬时加速度（导数，速度的瞬时变化率）；④符号含义：导数为正，说明瞬时速度/加速度方向与规定的正方向相同；导数为负，方向相反；绝对值表示大小；⑤注意事项：物理问题中，需先明确位移函数或速度函数，再求导数，结合实际运动场景判断方向和大小，单位需统一 常考结论：①若物体做匀速直线运动，则位移函数为（v为常数，s₀为初始位移），其导数（瞬时速度等于匀速速度，加速度为0）；②若物体做匀加速直线运动，则速度函数为（v₀为初速度，a为常数加速度），其导数（瞬时加速度等于匀加速加速度）；③常考简单物理模型：自由落体运动，位移函数（g为重力加速度），则瞬时速度，瞬时加速度；④瞬时速度的绝对值越大，物体运动的瞬时快慢程度越大；瞬时加速度的绝对值越大，物体速度的瞬时变化快慢程度越大 5.知识点五：函数的导函数（拓展核心，衔接后续导数运算） 知识点：若函数在区间I内的每一点x处都可导，则对于区间I内的每一个x值，都有唯一确定的导数与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个新函数叫做函数的导函数（简称导数），记作、或，即： 核心区别：导函数是关于x的函数，反映“函数f(x)在任意点x处的导数变化规律”；而是导函数在处的函数值，是一个常数（不是函数） 易错辨析：①混淆“导函数”与“某点处的导数”，误将当作“一个常数”，忽略其是关于x的函数；②导函数符号书写不规范，如将的导函数写成（正确，但常用或），或误写成；③求导函数时，误将x当作“常数”，忽略的极限条件，导致导函数求解错误；④认为“导函数的定义域与原函数的定义域一致”（导函数的定义域是原函数定义域中“所有可导点的集合”，可能比原函数定义域小，如，原定义域为R，导函数定义域为）；⑤误将当作“导函数在x₀处的导数”，忽略其是导函数在x₀处的函数值 重点记忆：①核心口诀：“导函数是新函数，区间可导才存在，每点导数对应它，x₀处值是常数”；②核心区别（必记）：导函数是函数（随x变化），是常数（导函数在x₀处的取值）；③求导函数的步骤：按导数定义，写出→化简该表达式→求时的极限，得到导函数；④关键提醒：导函数的定义域是原函数定义域的子集，需剔除原函数中“不可导的点”；⑤常考简单导函数（可直接记忆，衔接后续运算）：（常数），则；，则；，则 常考结论：①导函数的几何意义：表示曲线在任意点处的切线斜率，随x的变化而变化；②若为一次函数，则导函数（常数函数），对应曲线的切线斜率恒为k；③若在区间I上恒成立，则函数在区间I上单调递增；若在区间I上恒成立，则函数在区间I上单调递减（后续单调性知识点的铺垫，高频应用）；④导函数的连续性：若在区间I内可导，则其导函数在区间I内不一定连续，但一定不存在第一类间断点（拓展结论，适配教辅拓展模块） 6.知识点六：可导与连续的关系 知识点：可导与连续是函数的两个重要性质，二者的核心关系的是：可导必连续，连续不一定可导，具体阐释如下： ①可导必连续：若函数在处可导，则函数在处一定连续，数学表达式为：（即）； ②连续不一定可导：若函数在处连续，则函数在处不一定可导，典型例子：在处连续，但不可导（左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等） 易错辨析：①混淆二者关系，误记为“连续必可导，可导不一定连续”，这是高频易错点；②认为“函数在某点不连续，则一定可导”（不连续的点一定不可导，可导的前提是连续）；③判断函数在某点连续时，忽略“极限值等于函数值”的核心条件，仅判断“函数在该点有定义”；④判断函数在某点可导时，仅判断“函数在该点连续”，忽略“左右导数相等”的条件；⑤误将“左右极限相等”当作“左右导数相等”，混淆“函数连续”与“函数可导”的判断条件 重点记忆：①核心口诀：“可导必连续，连续不一定可导，不连续必不可导”；②必记判断步骤（高频）：判断函数在处是否可导，先判断是否连续（不连续则不可导），若连续，再判断左右导数是否相等（相等则可导，不相等则不可导）；③左右导数的定义（必记）：左导数（从负方向趋近），右导数（从正方向趋近）；函数可导的充要条件：左右导数都存在且相等；④关键提醒：“连续”是“可导”的必要不充分条件，不是充分必要条件；⑤典型例子（必记）：在处连续但不可导；在处连续且可导；在处不连续且不可导 常考结论：①高频判断题结论：“可导必连续”是真命题，“连续必可导”是假命题，“不连续必不可导”是真命题；②若函数在区间I内可导，则在区间I内一定连续；③左右导数不相等的常见情况：函数在该点处有“尖点”（如在处）、“折点”，或函数在该点处的切线方向突变；④若函数在处可导，则，反之，若该极限存在，则函数在该点可导（导数定义的逆用，用于判断可导性） 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.概念错误：混淆平均变化率与导数、导函数与某点导数、可导与连续的关系；2.公式错误：导数定义漏写极限符号、切线方程写错点斜式、左右导数表达式写错；3.几何意义错误：混淆割线与切线、误将f(x₀)当作切线斜率、忽略“不可导但切线存在”的情况；4.物理意义错误：混淆平均速度与瞬时速度、速度与加速度的导数关系、物理量单位混淆；5.计算错误：Δx与Δy计算出错、导数极限化简错误、切线方程化简错误 核心公式汇总：1.平均变化率： （） 2.导数的定义（两种形式）： ， 3.导函数的定义： 4.左右导数（可导充要条件）： 左导数： 右导数： 5.导数的几何意义与切线方程： 切线斜率：，切线方程：（可导时） 特殊切线：→；不存在→ 6.导数的物理意义： 瞬时速度：，瞬时加速度： 7.常考简单导函数： （常数）→；→ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平均变化率与瞬时变化率】 （24-25高二下·甘肃白银·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：B （24-25高二下·广东佛山·月考）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）．经典例题2例题 (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【分析】（1）根据平均速度的计算公式计算； （2）利用（1）代入求解即可； （3）求平均速度在时的极限即可. 【详解】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． （24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s．小试牛刀1 (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据的含义即可求解， （2）根据平均变化率的计算公式即可求解， （3）根据瞬时变化率的定义，利用极限即可求解.. 【详解】（1）表示航天飞机未发射时的高度，表示航天飞机发射后的高度． （2），即第内高度的平均变化率为． （3）， 即第末高度的瞬时变化率为． 它说明在第末附近，航天飞机的高度大约以的速度增加． （24-25高二上·全国·课后作业）车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为．小试牛刀2 (1)求时间段内车轮的平均角速度； (2)求时刻车轮的瞬时角速度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得，进而可求平均角速度； （2）利用可求瞬时角速度. 【详解】（1）车轮旋转4圈的角度，故， 故时间内车轮的平均角速度为． （2）时刻车轮的瞬时角速度为： ． （24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用瞬时变化率的定义求解瞬时速度即可. 【详解】由已知得运动方程为． 因为， 所以，当时，． 由题意知，， 所以，即子弹射出枪口时的瞬时速度为． 【题型2：导数定义与极限的简单计算】 （24-25高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C （24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义可得结果. 【详解】因为函数在处可导，则 . 故选：D. （24-25高二上·全国·课后作业）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】根据题意， 则． 故选:D． （24-25高二·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值：小试牛刀2 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【详解】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求．小试牛刀3 【答案】10 【分析】先求得，故可求题设的极限. 【详解】因为，所以: ， 故． 【题型3：导数的概念】 （24-25高二下·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ．经典例题1例题 【答案】4050 【分析】根据导数的定义得到. 【详解】. 故答案为：4050 （24-25高二下·陕西延安·期末）若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：B （23-24高二上·上海·课后作业）用导数的定义求函数的导数．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据导数的定义直接计算即可求解. 【详解】设， 则， 得， 即函数的导数为. （24-25高二下·安徽亳州·期中）若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念转化求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. （24-25高二·全国·课后作业）若，则 ．小试牛刀3 【答案】2 【分析】根据导数的概念，求出，又，求出即可得到答案. 【详解】因为， 根据导数的概念可得， ， 即，所以. 又，所以. 故答案为：2. 【题型4：导数的几何意义求切线的斜率】 （24-25高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C （24-25高二下·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： （24-25高二·全国·随堂练习）求函数在处切线的斜率．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用导数的几何意义即可求得在处的斜率. 【详解】因为， 所以，则， 所以在处的斜率为. （24-25高二下·全国·课前预习）若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】由条件，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角. 【详解】 因为函数在处的导数， 所以函数在点处的切线斜率， 所以，又， 所以倾斜角． 故答案为：. （23-24高二上·江苏·课前预习）已知，求及曲线在处的切线方程.小试牛刀3 【答案】1； 【分析】根据函数的导函数求切点横坐标再点斜式写出直线方程即可. 【详解】， 又，∴，即. 所以，故切线方程为. 【题型5：求在某点处的切线方程】 （24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）求过点且与曲线相切的直线方程．经典例题1例题 【答案】或 【分析】先对曲线求导，设出切点，写出切线方程，再代入已知点求解切点，最后得出切线方程. 【详解】设切点为，则切线的斜率为 ． 又， ，解得或． 当时，切线斜率，过点的切线方程为，即； 当时，切线斜率，过点的切线方程为，即． 故所求切线方程为或． （24-25高二上·全国·课后作业）求曲线在点处的切线方程．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据导数的定义，结合直线的点斜式方程、一般方程进行求解即可. 【详解】因为点在曲线上，过点的切线的斜率为 故所求切线方程为，即． （24-25高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程. 【详解】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. （24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线在横坐标为的点处的切线方程.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据导数几何意义求得直线斜率，点斜式写出直线方程即可. 【详解】将代入曲线的方程得， 切点. 曲线在点处的切线方程为， 即. （24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（    ）小试牛刀3 A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】求出，从而求出，根据导数的几何意义计算可得. 【详解】因为， 所以，． 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是． 故选：A 【题型6：求过某点的切线方程】 （24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线上一点，求：经典例题1例题 (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)4 (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义，求割线的斜率的极限，得到切线的斜率； （2）根据切线的斜率进而求得切线的方程. 【详解】（1） 曲线在点处的切线的斜率为4. （2）由（1）知曲线在点处的切线的斜率是4， 切线方程是，即. （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数．经典例题2例题 (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． （2024高二·全国·专题练习）求曲线过点的切线方程．小试牛刀1 【答案】或 【分析】设切点为，得切线斜率为2a，，由得，进而利用点斜式求得切线方程. 【详解】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，故， 解得，所求的切线方程为或, 所以所求的切线方程为或． （2024高二·全国·专题练习）已知曲线，求曲线上的点处的切线斜率及切线方程．小试牛刀2 【答案】； 【分析】计算得到曲线在点处的切线斜率是，再计算切线方程得到答案. 【详解】，当趋于0时，趋于5， 所以曲线在点处的切线斜率是. 所以切线方程为，即. （24-25高二下·安徽滁州·月考）已知函数．小试牛刀3 (1)用导数的定义，求函数在处的导数； (2)过点作的切线，求切线方程． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】（1）根据导数的定义即可求解； （2）根据导数的几何意义可求得切线的斜率，根据点斜式可写出方程，从而可解. 【详解】（1）因为， 所以， 则． （2）， 设切点，则切线的斜率为， 故切线方程为， 将点代入得， 即，得，解得或， 所以切线方程为或． 课后过关检测 一、单选题 1．（2024·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义可求极限值. 【详解】根据导数值的定义，. 故选：A. 4．（24-25高二下·河南·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算可得即可根据瞬时变化率的计算公式求解. 【详解】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 5．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则的值为（    ） A．-1 B．3 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 6．（24-25高二下·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据平均变换率的公式先计算，利用作差法比较大小即可. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高二下·广东东莞·月考）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】BC 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误． 故选：BC. 三、填空题 8．（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】设切点坐标为，然后对函数求导，则可求出切线的斜率，从而可表示出切线方程，然后将的坐标代入切线方程可求出，从而可求出切线方程. 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 9．（24-25高二·全国·课后作业）已知函数，则在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】应用导数定义求切线斜率，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 10．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据垂直得出斜率关系结合导数的几何意义得出导数值. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 11．（25-26高二上·山西·月考）已知函数在处可导，且，则 ． 【答案】10 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】由， 得， 所以． 故答案为：10 12．（25-26高三上·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 【答案】 【分析】由平均变化率的定义即可求解. 【详解】由平均变化率的定义可得：， 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可. 【详解】（1） ， 当时，， 所以函数的导函数为． （2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率， 则切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 从而切线方程为或． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用直线的斜率公式可求，利用导数的定义可求，可得结论； （2）利用导数的定义可求点处的切线斜率，进而求得切线方程，求得其在轴和轴的截距，从而可得，求解即可. 【详解】（1）易知，所以割线的斜率， 点处的切线斜率， 所以． （2）点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为，即， 其在轴和轴的截距分别为和， 所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.1·导数的概念及其几何意义】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.知识点一：平均变化率（导数的铺垫，基础必记） 知识点：给定函数，设自变量x从变化到（），相应地，函数值从变化到，则函数在区间（或）上的平均变化率为： 核心含义：平均变化率表示函数在某一区间上的“平均变化快慢”，几何意义是连接曲线上两点和的割线PQ的斜率 易错辨析：①混淆与的含义，误将当作“x的取值”，忽略其是“自变量的增量”（可正可负，但不能为0）；②计算时分子、分母颠倒，误记为；③忽略的条件，当时，分式无意义，不存在平均变化率；④几何意义理解错误，误将平均变化率当作“切线斜率”，混淆割线与切线的区别；⑤计算时出错，如，误将算成（正确为） 重点记忆：①核心口诀：“平均变化率，增量比一比，分子Δy差，分母Δx替”；②公式必记：，牢记“分子是函数值的增量，分母是自变量的增量”；③几何意义：割线斜率（连接曲线上两点的直线斜率），是后续理解导数几何意义的基础；④关键提醒：可正可负（正表示自变量增大，负表示自变量减小），但不能为0，否则分式无意义；⑤计算技巧：先化简分子，再与分母约分，减少计算误差 常考结论：①平均变化率的大小与和都有关，同一函数在不同区间上的平均变化率可能不同；②若为一次函数，则其平均变化率恒为k（与、无关），对应割线与直线本身重合，斜率不变；③平均变化率的绝对值越大，函数在该区间上的变化越快，绝对值越小，变化越慢；④常考简单计算：已知，则在上的平均变化率为（化简后结果，可直接套用） 2.知识点二：瞬时变化率与导数的概念（核心考点，重中之重） 知识点：当自变量的增量无限趋近于0（即）时，若函数在处的平均变化率无限趋近于一个确定的常数，这个常数就叫做函数在处的瞬时变化率，记作： 此时，称函数在处可导，这个确定的常数叫做函数在处的导数，记作或，即： 核心含义：瞬时变化率（导数）表示函数在处的“瞬时变化快慢”，是平均变化率的极限值 易错辨析：①忽略的条件，误将平均变化率当作导数，认为“平均变化率就是导数”；②导数定义中的极限表达式写错，漏写，或分子、分母颠倒；③误将“”理解为“”，导致分式无意义（趋近于0，但永远不等于0）；④导数符号书写不规范，如将写成，混淆导数符号的含义；⑤认为“所有函数在任意点处都可导”，忽略可导的前提（如在处不可导） 重点记忆：①核心口诀：“导数本质是极限，平均变化趋0时，确定常数是导数，瞬时快慢它表示”；②导数的两个核心定义（必记）：极限表达式和符号表示，牢记；③可导的隐含条件：函数在处连续（可导必连续，连续不一定可导），这是判断函数在某点是否可导的基础；④关键提醒：表示“自变量的增量无限接近于0”，可以从正方向趋近（），也可以从负方向趋近（），二者极限需相等，函数才在该点可导；⑤导数符号含义：表示“函数f(x)在x=x₀处的导数”，不是“f(x₀)的导数”（f(x₀)是常数，导数为0） 常考结论：①导数的几何意义（铺垫）：是曲线在点处的切线斜率（后续重点）；②若函数在处可导，则（可导必连续的核心依据）；③常考导数定义变形（高频考点）：（将换成h），或（令，则，等价于）；④常数函数的导数：若（C为常数），则在任意点处的导数（瞬时变化率为0，函数值不变） 3.知识点三：导数的几何意义（高频考点，实操性强） 知识点：函数在处的导数，几何意义是曲线在点处的切线斜率，即： 由此可推导曲线在点处的切线方程： ①若存在（函数在该点可导），则切线方程为：（点斜式）； ②若不存在（函数在该点不可导，但可能连续），则切线垂直于x轴，切线方程为：（如在处，切线方程为）； 补充：曲线的切线定义——当点Q沿着曲线无限趋近于点P时，割线PQ无限趋近于的一条确定直线，即为曲线在点P处的切线（区别于初中“与曲线只有一个交点的直线是切线”的片面定义） 易错辨析：①沿用初中切线定义，误将“与曲线只有一个交点的直线”当作切线（如与直线只有一个交点，是切线；但直线与有两个交点，不是切线）；②混淆“切线斜率”与“导数”的关系，误将当作切线斜率，忽略导数是；③切线方程书写错误，漏代点，误写成且未求b，或点斜式写错（如写成）；④忽略“导数不存在但切线存在”的情况，认为“不可导的点一定没有切线”（如在处不可导，但有切线）；⑤计算切线方程时，导数计算错误，导致斜率出错，进而切线方程全部出错；⑥误将“曲线在点P处的切线”当作“过点P的切线”（过点P的切线可能不止一条，曲线在点P处的切线唯一） 重点记忆：①核心口诀：“导数几何意义妙，切线斜率它来表，点斜式写切线方，不可导时看垂直”；②必记公式：切线斜率，切线方程（可导时）；③关键区分：“曲线在点P处的切线”（唯一，切点为P）与“过点P的切线”（P可能不是切点，可能有1条或多条）；④特殊情况处理：当时，切线平行于x轴，切线方程为；当不存在时，切线垂直于x轴，切线方程为；⑤解题步骤（高频）：求导数→求切点处的导数（切线斜率）→代入点斜式，化简得到切线方程；⑥注意事项：切线方程需化简为一般式（如）或斜截式（如），适配教辅答题规范 常考结论：①高频切线方程结论：若，则切线方程为，化简后可整理为；②切线平行条件：若两条切线平行，则它们的斜率相等（即导数相等）；切线垂直条件：若两条切线垂直，则它们的斜率之积为-1（即），前提是两条切线的斜率都存在；③常考简单函数切线：在点处的切线斜率为，切线方程为（可直接套用）；④若曲线在点处有切线，则函数在该点不一定可导（如在处），但可导一定有切线 4.知识点四：导数的物理意义（辅助理解，基础考点） 知识点：导数的物理意义主要应用于“瞬时速度”“瞬时加速度”等运动问题，核心对应关系如下： ①瞬时速度：若物体的位移函数为（t为时间，s为位移），则位移函数在处的导数，表示物体在时刻的瞬时速度，即； ②瞬时加速度：若物体的速度函数为（t为时间，v为速度），则速度函数在处的导数，表示物体在时刻的瞬时加速度，即； 核心含义：物理中，导数表示“某一瞬时的变化率”，与几何意义中的“瞬时变化快慢”本质一致 易错辨析：①混淆“平均速度”与“瞬时速度”，误将位移的平均变化率当作瞬时速度（平均速度是，瞬时速度是）；②位移函数、速度函数的符号理解错误，误将“负导数”当作“负速度”，忽略负号表示“方向与正方向相反”，大小为绝对值；③物理量单位混淆，如将瞬时速度的单位写成“m”（正确为“m/s”），瞬时加速度的单位写成“m/s”（正确为“m/s²”）；④误将“瞬时加速度”当作“速度的变化量”，忽略加速度是速度的瞬时变化率，不是变化量；⑤认为“速度为0时，加速度也为0”（如竖直上抛运动的最高点，速度为0，但加速度为重力加速度g，不为0） 重点记忆：①核心口诀：“物理意义看瞬时，位移导数是速度，速度导数是加速，符号方向大小数”；②必记对应关系：位移s(t)→导数s’(t)=瞬时速度v(t)；速度v(t)→导数v’(t)=瞬时加速度a(t)；③关键区分：平均速度（区间上的平均变化率）vs瞬时速度（某一时刻的导数）；速度变化量（）vs瞬时加速度（导数，速度的瞬时变化率）；④符号含义：导数为正，说明瞬时速度/加速度方向与规定的正方向相同；导数为负，方向相反；绝对值表示大小；⑤注意事项：物理问题中，需先明确位移函数或速度函数，再求导数，结合实际运动场景判断方向和大小，单位需统一 常考结论：①若物体做匀速直线运动，则位移函数为（v为常数，s₀为初始位移），其导数（瞬时速度等于匀速速度，加速度为0）；②若物体做匀加速直线运动，则速度函数为（v₀为初速度，a为常数加速度），其导数（瞬时加速度等于匀加速加速度）；③常考简单物理模型：自由落体运动，位移函数（g为重力加速度），则瞬时速度，瞬时加速度；④瞬时速度的绝对值越大，物体运动的瞬时快慢程度越大；瞬时加速度的绝对值越大，物体速度的瞬时变化快慢程度越大 5.知识点五：函数的导函数（拓展核心，衔接后续导数运算） 知识点：若函数在区间I内的每一点x处都可导，则对于区间I内的每一个x值，都有唯一确定的导数与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个新函数叫做函数的导函数（简称导数），记作、或，即： 核心区别：导函数是关于x的函数，反映“函数f(x)在任意点x处的导数变化规律”；而是导函数在处的函数值，是一个常数（不是函数） 易错辨析：①混淆“导函数”与“某点处的导数”，误将当作“一个常数”，忽略其是关于x的函数；②导函数符号书写不规范，如将的导函数写成（正确，但常用或），或误写成；③求导函数时，误将x当作“常数”，忽略的极限条件，导致导函数求解错误；④认为“导函数的定义域与原函数的定义域一致”（导函数的定义域是原函数定义域中“所有可导点的集合”，可能比原函数定义域小，如，原定义域为R，导函数定义域为）；⑤误将当作“导函数在x₀处的导数”，忽略其是导函数在x₀处的函数值 重点记忆：①核心口诀：“导函数是新函数，区间可导才存在，每点导数对应它，x₀处值是常数”；②核心区别（必记）：导函数是函数（随x变化），是常数（导函数在x₀处的取值）；③求导函数的步骤：按导数定义，写出→化简该表达式→求时的极限，得到导函数；④关键提醒：导函数的定义域是原函数定义域的子集，需剔除原函数中“不可导的点”；⑤常考简单导函数（可直接记忆，衔接后续运算）：（常数），则；，则；，则 常考结论：①导函数的几何意义：表示曲线在任意点处的切线斜率，随x的变化而变化；②若为一次函数，则导函数（常数函数），对应曲线的切线斜率恒为k；③若在区间I上恒成立，则函数在区间I上单调递增；若在区间I上恒成立，则函数在区间I上单调递减（后续单调性知识点的铺垫，高频应用）；④导函数的连续性：若在区间I内可导，则其导函数在区间I内不一定连续，但一定不存在第一类间断点（拓展结论，适配教辅拓展模块） 6.知识点六：可导与连续的关系 知识点：可导与连续是函数的两个重要性质，二者的核心关系的是：可导必连续，连续不一定可导，具体阐释如下： ①可导必连续：若函数在处可导，则函数在处一定连续，数学表达式为：（即）； ②连续不一定可导：若函数在处连续，则函数在处不一定可导，典型例子：在处连续，但不可导（左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等） 易错辨析：①混淆二者关系，误记为“连续必可导，可导不一定连续”，这是高频易错点；②认为“函数在某点不连续，则一定可导”（不连续的点一定不可导，可导的前提是连续）；③判断函数在某点连续时，忽略“极限值等于函数值”的核心条件，仅判断“函数在该点有定义”；④判断函数在某点可导时，仅判断“函数在该点连续”，忽略“左右导数相等”的条件；⑤误将“左右极限相等”当作“左右导数相等”，混淆“函数连续”与“函数可导”的判断条件 重点记忆：①核心口诀：“可导必连续，连续不一定可导，不连续必不可导”；②必记判断步骤（高频）：判断函数在处是否可导，先判断是否连续（不连续则不可导），若连续，再判断左右导数是否相等（相等则可导，不相等则不可导）；③左右导数的定义（必记）：左导数（从负方向趋近），右导数（从正方向趋近）；函数可导的充要条件：左右导数都存在且相等；④关键提醒：“连续”是“可导”的必要不充分条件，不是充分必要条件；⑤典型例子（必记）：在处连续但不可导；在处连续且可导；在处不连续且不可导 常考结论：①高频判断题结论：“可导必连续”是真命题，“连续必可导”是假命题，“不连续必不可导”是真命题；②若函数在区间I内可导，则在区间I内一定连续；③左右导数不相等的常见情况：函数在该点处有“尖点”（如在处）、“折点”，或函数在该点处的切线方向突变；④若函数在处可导，则，反之，若该极限存在，则函数在该点可导（导数定义的逆用，用于判断可导性） 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.概念错误：混淆平均变化率与导数、导函数与某点导数、可导与连续的关系；2.公式错误：导数定义漏写极限符号、切线方程写错点斜式、左右导数表达式写错；3.几何意义错误：混淆割线与切线、误将f(x₀)当作切线斜率、忽略“不可导但切线存在”的情况；4.物理意义错误：混淆平均速度与瞬时速度、速度与加速度的导数关系、物理量单位混淆；5.计算错误：Δx与Δy计算出错、导数极限化简错误、切线方程化简错误 核心公式汇总：1.平均变化率： （） 2.导数的定义（两种形式）： ， 3.导函数的定义： 4.左右导数（可导充要条件）： 左导数： 右导数： 5.导数的几何意义与切线方程： 切线斜率：，切线方程：（可导时） 特殊切线：→；不存在→ 6.导数的物理意义： 瞬时速度：，瞬时加速度： 7.常考简单导函数： （常数）→；→ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平均变化率与瞬时变化率】 （24-25高二下·甘肃白银·期中）函数在区间上的平均变化率为（   ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．3 D．4 （24-25高二下·广东佛山·月考）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）．经典例题2例题 (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． （24-25高二上·全国·课后作业）航天飞机发射后的一段时间内，第时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s．小试牛刀1 (1)分别表示什么？ (2)求第内高度的平均变化率； (3)求第末高度的瞬时变化率，并说明它的意义． （24-25高二上·全国·课后作业）车轮旋转的角度（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关系为，已知车轮旋转4圈所需时间为．小试牛刀2 (1)求时间段内车轮的平均角速度； (2)求时刻车轮的瞬时角速度． （24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度．小试牛刀3 【题型2：导数定义与极限的简单计算】 （24-25高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C． D． （24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二上·全国·课后作业）若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．1 D．2 （24-25高二·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值：小试牛刀2 (1)； (2)． （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，求．小试牛刀3 【题型3：导数的概念】 （24-25高二下·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ．经典例题1例题 （24-25高二下·陕西延安·期末）若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D．0 （23-24高二上·上海·课后作业）用导数的定义求函数的导数．小试牛刀1 （24-25高二下·安徽亳州·期中）若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二·全国·课后作业）若，则 ．小试牛刀3 【题型4：导数的几何意义求切线的斜率】 （24-25高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二下·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ．经典例题2例题 （24-25高二·全国·随堂练习）求函数在处切线的斜率．小试牛刀1 （24-25高二下·全国·课前预习）若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ．小试牛刀2 （23-24高二上·江苏·课前预习）已知，求及曲线在处的切线方程.小试牛刀3 【题型5：求在某点处的切线方程】 （24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）求过点且与曲线相切的直线方程．经典例题1例题 （24-25高二上·全国·课后作业）求曲线在点处的切线方程．经典例题2例题 （24-25高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线在横坐标为的点处的切线方程.小试牛刀2 （24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线斜率为（    ）小试牛刀3 A．9 B．6 C．3 D．1 【题型6：求过某点的切线方程】 （24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线上一点，求：经典例题1例题 (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数．经典例题2例题 (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． （2024高二·全国·专题练习）求曲线过点的切线方程．小试牛刀1 （2024高二·全国·专题练习）已知曲线，求曲线上的点处的切线斜率及切线方程．小试牛刀2 （24-25高二下·安徽滁州·月考）已知函数．小试牛刀3 (1)用导数的定义，求函数在处的导数； (2)过点作的切线，求切线方程． 课后过关检测 一、单选题 1．（2024·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25高二下·河南·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 5．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则的值为（    ） A．-1 B．3 C．8 D．16 6．（24-25高二下·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 二、多选题 7．（24-25高二下·广东东莞·月考）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 三、填空题 8．（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 9．（24-25高二·全国·课后作业）已知函数，则在处的切线方程为 . 10．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 11．（25-26高二上·山西·月考）已知函数在处可导，且，则 ． 12．（25-26高三上·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 四、解答题 13．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)设割线的斜率为，曲线在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由； (2)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $