专题03：导数研究单调性【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题03：导数研究单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求不含参数的函数的单调性】 【练方法】 核心知识点 导数与单调性的充要条件：⇔单调递增；⇔单调递减 基本求导法则：基本初等函数导数、四则运算、复合函数求导 一元不等式解法：一次、二次、分式、根式不等式的求解 解题方法提炼 1.明确定义域：优先写出函数定义域，避免区间范围出错 2.求导化简：计算并整理为便于分析符号的形式（如因式分解、通分） 3.解不等式：分别求解和，结合定义域得到单调区间 4.规范表达：用“在区间上单调递增/递减”表述，端点可包含时需注明 易错警示 忽略定义域导致区间范围错误 导数符号判断失误，导致单调区间方向颠倒 （25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为 ．小试牛刀1 （2026高三·北京·专题练习）已知函数，求的单调区间.小试牛刀2 （2026高三·北京·专题练习）已知函数（）.若，求函数的单调区间.小试牛刀3 【题型2：由函数在某个区间上单调性求参数范围】 【练方法】 核心知识点 单调性必要条件：在区间上单调递增⇔在上恒成立；单调递减⇔在上恒成立 恒成立问题转化：分离参数法（恒成立⇔）、最值法（二次函数恒正/恒负判定） 端点效应：区间为闭区间时，需验证端点处导数符号 解题方法提炼 1.求导，转化为（或）在区间上恒成立 2.分离参数或构造函数求最值 分离参数：恒成立⇒；恒成立⇒ 构造函数：若为二次函数，结合开口方向、判别式、区间端点值分析 3.验证等号：若仅在有限个点成立，函数仍单调，等号可取；若恒成立，函数为常函数，需排除 易错警示 混淆“单调递增”与“严格单调递增”，错误转化为恒成立 忽略区间端点的导数符号验证 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 经典例题2例题 （25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆·期末）函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：由函数在某个区间上存在增减区间求参数范围】 【练方法】 核心知识点 存在性与恒成立的区别：存在递增区间⇔有解；存在递减区间⇔有解 存在性问题转化：有解⇔；有解⇔ 解题方法提炼 1.求导，转化为（或）在区间上有解 2.分离参数或构造函数求最值 分离参数：有解⇒；有解⇒ 构造函数：分析在区间内的符号变化，若存在子区间使异号，则存在增减区间 3.验证解的存在性：排除在区间内恒正/恒负的情况 易错警示 误将“存在增减区间”转化为恒成立问题 忽略导函数零点分布，导致存在性判断失误 （25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .经典例题1例题 （25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ．经典例题2例题 （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 .小试牛刀1 （25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数.小试牛刀3 (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【题型4：由变量的关系得到函数的单调性求参数范围】 【练方法】 核心知识点 单调性定义：，⇔单调递增；⇔单调递减 变量关系等价转化：⇔（），即单调递增 解题方法提炼 1.由变量关系转化为函数单调性：如⇒单调递增 2.求导，转化为恒成立 3.求参数范围，验证等号是否成立（若不恒成立，等号可取） 易错警示 变量关系转化错误，未正确构造辅助函数 忽略定义域限制，导致参数范围扩大 （25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B．1 C． D． （25-26高一上·山东烟台·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）．小试牛刀2 (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 .小试牛刀3 【题型5：由单调性识别图像】 【练方法】 核心知识点 导数符号与图像升降：⇒递增；⇒递减 极值点特征：且左右导数符号变化的点（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点） 特殊点对应：函数端点值、零点、极值点与图像的对应关系 解题方法提炼 1.分析的符号变化，确定的单调区间和极值点 2.结合极值点、端点值、特殊点的函数值，逐一排除不符合特征的图像选项 3.若已知二阶导数符号，可进一步判断图像的凹凸方向，辅助排除 易错警示 混淆导数图像与原函数图像，误将的零点当作的零点 忽略极值点的左右导数符号变化，导致极值类型判断错误 （25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·安徽淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ）小试牛刀1 A．   B．   C．   D．   （广东省肇庆市2026届高三上学期二模数学试题）函数在上的图象大致为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：讨论含参数函数的单调性】 【练方法】 核心知识点 分类讨论思想：根据参数对符号的影响分类（二次项系数、判别式、根的大小与定义域的关系） 含参不等式解法：可因式分解型、不可因式分解型一元二次不等式的求解 指对型导函数分析：如等超越函数的单调性讨论 解题方法提炼 1.明确定义域：优先写出函数定义域，避免分类讨论时区间出错 2.求导化简：计算并整理为便于分析的形式（如二次函数、指对型） 3.分类讨论 一次函数型：，按、、分类 二次函数型：先看二次项系数（为一次函数，为二次函数），再看判别式（时恒正/恒负，时求根并比较根的大小与定义域的关系） 指对型：，按（恒正）和（的根为）分类 4.写单调区间：每类讨论下解和，结合定义域写出单调区间 （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． （2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间；经典例题2例题 （25-26高二·全国·假期作业）讨论函数 的单调性.小试牛刀1 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性；小试牛刀2 （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.讨论的单调性.小试牛刀3 【题型2：根据函数的单调性解抽象不等式】 【练方法】 核心知识点 单调性“去壳”：⇔递增时，递减时 定义域限制：内层函数必须在的定义域内奇偶性与单调性结合：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反 解题方法提炼 1.分析函数性质：确定的单调性（递增/递减）、奇偶性、定义域 2.转化不等式：利用单调性将转化为与的大小关系（如递增时，递减时） 3.满足定义域限制：列出的不等式组 4.解不等式组：结合奇偶性化简不等式（如奇函数，可将转化为） 易错警示 忽略定义域限制（如的定义域为，解不等式时需保证） 奇偶性与单调性结合错误（如偶函数在上递增，在上递减，解不等式时需分情况讨论） （25-26高三上·河南·期末）已知函数，则不等式的解集为 ．经典例题1例题 （25-26高一上·河北雄安·期末）已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为 .经典例题2例题 （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ．小试牛刀1 （25-26高三上·江苏徐州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为 ．小试牛刀2 （25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 .小试牛刀3 【题型3：根据函数的单调性比较大小】 【练方法】 核心知识点 构造辅助函数：将比较的两个数（或式子）转化为同一函数的函数值 导数判断构造函数的单调性：求导，分析的单调区间 单调性与函数值大小的对应关系：递增时⇒，递减时⇒ 解题方法提炼 1.观察结构：找到比较对象的共同特征，构造辅助函数（如比较与，构造） 2.求导分析：求导，判断的单调区间 3.转化比较：将比较的数转化为和，利用单调性比较大小 易错警示 构造函数错误（如比较与，应构造，而非） 单调区间判断错误，导致函数值大小比较颠倒 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知，，，，则下面结论正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·四川攀枝花·一模）已知函数，若，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【C·拓展培优题型】 【题型1：由导函数构建原函数解不等式】 【练方法】 核心知识点 导数的积、商法则：， 常见导数结构与原函数的对应 ⇒（导数为） ⇒（导数为） ⇒（导数为） 利用单调性解不等式：构造的原函数的单调性决定了的符号 解题方法提炼 1.观察导数结构，匹配常见导数模型，构造对应的原函数 2.求导，判断的单调性 3.找到特殊点：找到的特殊点（如） 4.解不等式：利用单调性解（或），转化为原不等式的解 易错警示 导数结构匹配错误（如，应构造，而非） 忽略特殊点的函数值，导致不等式求解出错 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：构建函数比较大小】 （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二上·湖南长沙·期末）设则的大小关系为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南·期中）已知，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏无锡·月考）设，则下列关系正确的是（    ）小试牛刀4 A． B． C． D． （2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ）小试牛刀5 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 ,则的大小关系为（    ）小试牛刀6 A． B． C． D． 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东烟台·期末）函数在上的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·福建福州·月考）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江西·月考）设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 14．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为 . 15．（25-26高一上·上海·期末）已知实数x，y满足，，则 ． 16．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 三、解答题 17．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数，其中为实常数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 18．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 19．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 20．（23-24高二下·云南丽江·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题03：导数研究单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求不含参数的函数的单调性】 【练方法】 核心知识点 导数与单调性的充要条件：⇔单调递增；⇔单调递减 基本求导法则：基本初等函数导数、四则运算、复合函数求导 一元不等式解法：一次、二次、分式、根式不等式的求解 解题方法提炼 1.明确定义域：优先写出函数定义域，避免区间范围出错 2.求导化简：计算并整理为便于分析符号的形式（如因式分解、通分） 3.解不等式：分别求解和，结合定义域得到单调区间 4.规范表达：用“在区间上单调递增/递减”表述，端点可包含时需注明 易错警示 忽略定义域导致区间范围错误 导数符号判断失误，导致单调区间方向颠倒 （25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C （26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C （25-26高二上·上海普陀·期末）函数的单调递增区间为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： （2026高三·北京·专题练习）已知函数，求的单调区间.小试牛刀2 【答案】增区间为和；减区间为 【分析】先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可. 【详解】，的定义域为， 则， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 所以的增区间为和；减区间为. （2026高三·北京·专题练习）已知函数（）.若，求函数的单调区间.小试牛刀3 【答案】单调递增区间为，无单调递减区间 【分析】求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； 【详解】当时，，函数定义域为， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，此时，故 当时，，此时，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 【题型2：由函数在某个区间上单调性求参数范围】 【练方法】 核心知识点 单调性必要条件：在区间上单调递增⇔在上恒成立；单调递减⇔在上恒成立 恒成立问题转化：分离参数法（恒成立⇔）、最值法（二次函数恒正/恒负判定） 端点效应：区间为闭区间时，需验证端点处导数符号 解题方法提炼 1.求导，转化为（或）在区间上恒成立 2.分离参数或构造函数求最值 分离参数：恒成立⇒；恒成立⇒ 构造函数：若为二次函数，结合开口方向、判别式、区间端点值分析 3.验证等号：若仅在有限个点成立，函数仍单调，等号可取；若恒成立，函数为常函数，需排除 易错警示 混淆“单调递增”与“严格单调递增”，错误转化为恒成立 忽略区间端点的导数符号验证 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：利用导数的运算法则得，根据函数单调时导数恒正或恒负，分离参数后求函数最值确定的取值范围；解法二：利用补集思想，先求函数不单调时的取值范围，再取补集得到单调时的取值范围. 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. （25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 经典例题2例题 【答案】 【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可. 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： （25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B （25-26高二上·重庆·期末）函数（）在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在定义域上单调递增，可得恒成立，结合“三个二次”关系求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以方程至多一个实根，所以， 解得，即实数的取值范围是， 故选：A. （25-26高二上·湖南长沙·月考）设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的性质，结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D 【题型3：由函数在某个区间上存在增减区间求参数范围】 【练方法】 核心知识点 存在性与恒成立的区别：存在递增区间⇔有解；存在递减区间⇔有解 存在性问题转化：有解⇔；有解⇔ 解题方法提炼 1.求导，转化为（或）在区间上有解 2.分离参数或构造函数求最值 分离参数：有解⇒；有解⇒ 构造函数：分析在区间内的符号变化，若存在子区间使异号，则存在增减区间 3.验证解的存在性：排除在区间内恒正/恒负的情况 易错警示 误将“存在增减区间”转化为恒成立问题 忽略导函数零点分布，导致存在性判断失误 （25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .经典例题1例题 【答案】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. （25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】求导，利用函数在区间内的单调性转化为不等式能成立问题，结合基本不等式求解． 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. （25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性的关系：函数的单调递增区间对应导数大于的区间，单调递减区间对应导数小于的区间. 【详解】对于函数，求导得：， 区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解， 令，其对称轴为，在区间内， 计算端点值：， 所以在上的最大值为， 因为在内有解，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. （25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数.小试牛刀3 (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【题型4：由变量的关系得到函数的单调性求参数范围】 【练方法】 核心知识点 单调性定义：，⇔单调递增；⇔单调递减 变量关系等价转化：⇔（），即单调递增 解题方法提炼 1.由变量关系转化为函数单调性：如⇒单调递增 2.求导，转化为恒成立 3.求参数范围，验证等号是否成立（若不恒成立，等号可取） 易错警示 变量关系转化错误，未正确构造辅助函数 忽略定义域限制，导致参数范围扩大 （25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在上单调递减，求出其导数，分离参数，结合函数的最值，即可求得答案. 【详解】等价于， 即等价于，即等价于． 令， 则条件等价于，当时，， 即函数在上单调递减，即，则． 又，，所以， 所以实数的取值范围是． 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先对已知不等式进行变形，得到，再构造函数，利用导数分析函数的单调区间即可得解． 【详解】因为，， 所以，即． 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 故时满足题意，所以的最大值为1． 故选：B． （25-26高一上·山东烟台·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，条件，通过整理得到，构造函数，得到在上的单调性，求出，分别按照，，讨论求解. 【详解】，，， ， ，， ，， 设，则， ，，在上是增函数， ，， 当时，，满足在上是增函数，符合题意； 当时，在上是增函数，开口向上， 又对称轴为，，； 当时，在上是增函数，开口向下， 又对称轴为，，； 综上可知，的取值范围为. 故选：B （25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）．小试牛刀2 (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合导数，分及进行讨论即可得； （2）将不等式化简后可令，可得在上单调递增，结合导数正负与单调性的关系求导后参变分离计算即可得. 【详解】（1），， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. （2025高二·全国·专题练习）若对都有成立，则的最大值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由，得，构造函数 ，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到a的取大值. 【详解】由，得， 则，即 ， 有，令 ， 所以，令， 当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为. 故答案为：. 【题型5：由单调性识别图像】 【练方法】 核心知识点 导数符号与图像升降：⇒递增；⇒递减 极值点特征：且左右导数符号变化的点（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点） 特殊点对应：函数端点值、零点、极值点与图像的对应关系 解题方法提炼 1.分析的符号变化，确定的单调区间和极值点 2.结合极值点、端点值、特殊点的函数值，逐一排除不符合特征的图像选项 3.若已知二阶导数符号，可进一步判断图像的凹凸方向，辅助排除 易错警示 混淆导数图像与原函数图像，误将的零点当作的零点 忽略极值点的左右导数符号变化，导致极值类型判断错误 （25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的奇偶性和时，，排除选项求解. 【详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A； 当时，，故排除选项C； 又，，故排除选项D， 故选：B （25-26高二上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行判断. 【详解】由题可知函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 又，故排除D； 又， 所以， ， 即在上存在零点， 所以函数在内存在极值点，故排除C， 故选：A （2026·安徽淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ）小试牛刀1 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出排除选项BD，利用导数法求出的单调性得到结论. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数， ， ， ，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数； 则选项A符合. 故选：A. （广东省肇庆市2026届高三上学期二模数学试题）函数在上的图象大致为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】因为，且， 所以是奇函数，排除选项B； 当时，，排除选项C； 因为，所以，排除选项D． 故选：A （25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，得到单调递增，再分析各选项中与的距离变化情况是否符合的单调即可. 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 【B·能力提升题型】 【题型1：讨论含参数函数的单调性】 【练方法】 核心知识点 分类讨论思想：根据参数对符号的影响分类（二次项系数、判别式、根的大小与定义域的关系） 含参不等式解法：可因式分解型、不可因式分解型一元二次不等式的求解 指对型导函数分析：如等超越函数的单调性讨论 解题方法提炼 1.明确定义域：优先写出函数定义域，避免分类讨论时区间出错 2.求导化简：计算并整理为便于分析的形式（如二次函数、指对型） 3.分类讨论 一次函数型：，按、、分类 二次函数型：先看二次项系数（为一次函数，为二次函数），再看判别式（时恒正/恒负，时求根并比较根的大小与定义域的关系） 指对型：，按（恒正）和（的根为）分类 4.写单调区间：每类讨论下解和，结合定义域写出单调区间 （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数．经典例题1例题 (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． （2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间；经典例题2例题 【答案】答案见解析 【分析】求导，分与讨论即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （25-26高二·全国·假期作业）讨论函数 的单调性.小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得， ， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性；小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． （25-26高二·全国·假期作业）已知函数.讨论的单调性.小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【详解】， ， ， ， ， ， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得，， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 【题型2：根据函数的单调性解抽象不等式】 【练方法】 核心知识点 单调性“去壳”：⇔递增时，递减时 定义域限制：内层函数必须在的定义域内奇偶性与单调性结合：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反 解题方法提炼 1.分析函数性质：确定的单调性（递增/递减）、奇偶性、定义域 2.转化不等式：利用单调性将转化为与的大小关系（如递增时，递减时） 3.满足定义域限制：列出的不等式组 4.解不等式组：结合奇偶性化简不等式（如奇函数，可将转化为） 易错警示 忽略定义域限制（如的定义域为，解不等式时需保证） 奇偶性与单调性结合错误（如偶函数在上递增，在上递减，解不等式时需分情况讨论） （25-26高三上·河南·期末）已知函数，则不等式的解集为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】先利用导数法判断在上单调递增，利用单调性性质判断在上单调递增，然后利用单调性性质可得在R上单调递增，进而得在R上单调递增，将不等式可化为，最后利用单调性求解即可. 【详解】当时，，所以， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 因为在上单调递减，在定义域内单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以； 所以在R上单调递增. 令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以在R上单调递增，且， 故不等式可化为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： （25-26高一上·河北雄安·期末）已知函数（为常数）为上的偶函数，则不等式的解集为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求得，进而判断函数的单调性，然后根据函数单调性即可求解不等式. 【详解】因为函数（为常数）为上的偶函数， 所以， 所以，则， 对于，， 当时，， 所以，单调递增， 且单调递增，所以在上单调递增， 所以， 平方得，解得或. 故答案为： （25-26高二上·重庆·期末）已知函数，则不等式的解集为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用导数法和定义法分别判断函数的奇偶性和单调性，然后利用这两个性质解不等式即可. 【详解】函数定义域为，恒成立， 所以是增函数， 又， 所以是奇函数， 由得， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. （25-26高三上·江苏徐州·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，判断出单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】， 令，则，， 所以， 所以为偶函数， 故的图象关于直线对称，所以， 又， 当时，，即，所以，即， 所以在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减. 所以等价于或， 解得，或，又，所以或. 故实数的取值范围为. 故答案为：． （25-26高三上·辽宁·月考）已知函数，则不等式的解集为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 【题型3：根据函数的单调性比较大小】 【练方法】 核心知识点 构造辅助函数：将比较的两个数（或式子）转化为同一函数的函数值 导数判断构造函数的单调性：求导，分析的单调区间 单调性与函数值大小的对应关系：递增时⇒，递减时⇒ 解题方法提炼 1.观察结构：找到比较对象的共同特征，构造辅助函数（如比较与，构造） 2.求导分析：求导，判断的单调区间 3.转化比较：将比较的数转化为和，利用单调性比较大小 易错警示 构造函数错误（如比较与，应构造，而非） 单调区间判断错误，导致函数值大小比较颠倒 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知，，，，则下面结论正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以 （当且仅当时取等号）， 所以函数在上单调递增. 又 ，即，所以， 即. 故选：B （25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断的单调性，利用单调性判断大小. 【详解】由，则，， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 又，所以，即. 故选：D. （25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、周期性化简，再由对数的性质比较大小，根据导数求出函数的单调性得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数， 又，所以是以为周期的周期函数， 所以， ， ， ，即， 因为，， 所以，综上可知， 因为， 所以当时，，则，单调递减. 所以，即. 故选：D （2026·四川攀枝花·一模）已知函数，若，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数，指数函数单调性可比较大小，然后由单调性可得答案. 【详解】注意到，，，则. 当，易得在R上单调递增. 则，从而在上单调递增，则. 又注意到当时，在上单调递减，则. 综上可得. 故选：B （25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导数确定函数单调性，再根据单调性比较大小即可． 【详解】， 当时，，， 所以， 则在单调递减， ∵， 则， ∵，即， ∴，则，即， 同理可证：， 所以， 又在单调递减， 所以，即． 故选：A． 【C·拓展培优题型】 【题型1：由导函数构建原函数解不等式】 【练方法】 核心知识点 导数的积、商法则：， 常见导数结构与原函数的对应 ⇒（导数为） ⇒（导数为） ⇒（导数为） 利用单调性解不等式：构造的原函数的单调性决定了的符号 解题方法提炼 1.观察导数结构，匹配常见导数模型，构造对应的原函数 2.求导，判断的单调性 3.找到特殊点：找到的特殊点（如） 4.解不等式：利用单调性解（或），转化为原不等式的解 易错警示 导数结构匹配错误（如，应构造，而非） 忽略特殊点的函数值，导致不等式求解出错 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由构造函数，由其单调性求解不等式. 【详解】因为，即，构造函数，因为， 所以函数是减函数，又由可得，且， 所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. （25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，因为，所以，在上单调递减， ，的解为， 即的解为，即的解为， 解为. 故选：D （2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，将原不等式转化为，结合的单调性即可得解. 【详解】当时，，则， 令，， 当时， 所以函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即是上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又， 不等式，即， 即，所以， 由解得，所以由，即，解得， 综上，所以不等式的解集为， 故选：D 【题型2：构建函数比较大小】 （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，用导数得出函数的单调性，然后利用函数的单调性比较大小. 【详解】设，，当时，，所以在 上单调递增， 当时，，所以在 上单调递减. 又因为，，， 所以，即. 故选：A （24-25高二上·湖南长沙·期末）设则的大小关系为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得. 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. （2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线放缩比较即可. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：D． （25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. （25-26高三上·湖南·期中）已知，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数、，结合导数讨论两函数单调性即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，故在上单调递减， 则，即，故， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 则当时，，则在上单调递增， 则， 即，故，故有. 故选：A. （25-26高三上·江苏无锡·月考）设，则下列关系正确的是（    ）小试牛刀4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解． 【详解】设函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 故，即， 所以，即， 设函数，则， 所以在上单调递减，当时，， 故当时，， 即，所以， 设函数（令）， ， 当时，，故在上单调递增， 所以， 而， 所以， 综上所述，可得． 故选：A． （2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ）小试牛刀5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. （25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 ,则的大小关系为（    ）小试牛刀6 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求导利用函数单调性可得答案. 【详解】令， 则， ， 而， 所以，故，又易知在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以， 故，故. 故选：A 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高三上·甘肃白银·期末）若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据减区间求. 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 3．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后利用导数解不等式. 【详解】设，因为， 所以，所以单调递增， 又，所以的解集为， 即的解集为， 故选：D. 4．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【详解】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B 5．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究的单调性可得，利用对数函数的单调性可得，综合可得结论. 【详解】，则，由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∵，∴， ， 而，则，可得， 则，即， 综上，. 故选：A. 6．（24-25高二下·山东烟台·期末）函数在上的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出函数的奇函数，再利用导数判断出函数在上的单调性，求出的值，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以函数为上的奇函数； 当时， ， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 故只有A选项才满足. 故选：A. 7．（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，即可求解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 8．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数，当时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得到，构建函数，在单调递增，等价转换，利用导数可得结果. 【详解】当时，，即， 所以函数在单调递增，所以在恒成立， 则在恒成立，所以在恒成立，所以. 故选：A 9．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 10．（25-26高三上·福建福州·月考）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 11．（25-26高三上·江西·月考）设函数的导函数为，若函数在区间D上是减函数，且函数在区间D上是增函数，称在区间D上是“缓减函数”，区间D称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导数法求得的单调递减区间为，再利用导数法求得函数的单调递增区间为，进而利用“缓减区间”的定义得的“缓减区间”为，逐项判断即可． 【详解】由题意得， 又，由，得，解得， 即的单调递减区间为． 设， 则. 由得，即， 又，则，解得， 即的单调递增区间为． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”． 故选：B 二、填空题 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将题设等价于在上恒成立即可求解. 【详解】由题可得在上恒成立， 因为的图像是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】设，对函数求导，判断时的单调性，然后将不等式进行转化为，从而得出此时不等式的解集，然后根据函数奇偶性得出时不等式的解集，最后将解集求并集即可. 【详解】设，则， 当时，，则， 所以函数在上单调递减， 因为是定义在上的偶函数，所以， 又，所以， 当时，， 当时，不等式等价于即， 由函数在上单调递减，所以， 解得：，又，所以不等式的解集为：， 当时，令，则， 所以要使即，所以的解集为： 即， 所以当时，的解集为， 综上所述：的解集为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·上海·期末）已知实数x，y满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以， 令函数，则，所以函数在上单调递增， 则有，所以，即，则. 故答案为：. 16．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数及题目信息证明函数在上单调递增，所求不等式可化为，利用单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 三、解答题 17．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数，其中为实常数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）先求出，得出切点坐标，再求出，得到切线的斜率，从而得到切线方程. （2）先求出，对进行分类讨论即可. 【详解】（1）函数的定义域为 当时，函数，，． 曲线在处切线方程为：，即． （2）因为，令，可得，即， 当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 当，即时，的解为，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 18．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）利用求导法则计算即可； （2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间. 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 19．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 20．（23-24高二下·云南丽江·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若任意的，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，接着对函数进行求导，令，得到临界点和，最后根据与的大小关系，分四种情况讨论在不同区间的符号，从而确定的单调性.      （2）根据，构造函数，由条件得出在上单调递增，所以在上恒成立，变形得到在上恒成立，最后求的最大值即可得到的取值范围． 【详解】（1）的定义域为． 若，则． ①若，当时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增； ②若，当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增； ④若，当或时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）不妨设，则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以对恒成立， 所以对恒成立， 又，所以当时，取最大值， 所以，解得，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $