专题02：导数的运算【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题02：导数的运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：导数的运算与导数的概念】 【练方法】 知识点： 1.导数的定义： 2.导数的本质：函数在某点处的瞬时变化率，是一个极限值 3.可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导 4.导数的几何意义：是曲线在处切线的斜率 考点： 利用定义求简单函数的导数 判断函数在某点是否可导（左右极限是否存在且相等） 导数概念的辨析（如平均变化率与瞬时变化率的区别） 解题思路： 1.写出 2.计算 3.令，求极限得到 4.若判断可导性，验证左右极限是否相等 （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数，则（   ）经典例题1例题 A． B．1 C．2 D．3 （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则 .经典例题2例题 （25-26高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C． D．1 （25-26高二上·广西贺州·期末）设函数，则 .小试牛刀2 （25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，则的值为（   ）小试牛刀3 A．0 B． C． D． 【题型2：导数的加减乘除运算】 【练方法】 知识点： 1.基本初等函数导数公式： ， ， ， 2.四则运算法则： 考点： 直接套用公式和法则计算导数 积商法则的符号处理（易错点） 混合运算的化简（如） 解题思路： 1.拆分函数为，分别求 2.对应套用加减乘除法则 3.化简结果，注意符号和系数 （24-25高二下·重庆·月考）若，则（   ）经典例题1例题 A．2 B． C．10 D． （25-26高二上·云南昆明·期末）已知，则 ．经典例题2例题 （25-26高二上·天津·期末）若，则 .小试牛刀1 （25-26高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·山东泰安·期末）已知函数，则（    ）小试牛刀3 A． B．0 C． D． 【题型3：简单复合函数的导数】 【练方法】 知识点： 1.复合函数定义：，其中为内层函数，为外层函数 2.复合函数求导法则：（“由外向内，逐层求导”） 3.常见复合结构：、、、 考点： 识别复合函数的内外层 逐层求导的顺序（易错点） 与四则运算的综合应用 解题思路： 1.识别外层函数和内层函数 2.先对关于求导，再对关于求导 3.两者相乘，得到 4.若有多层复合，重复“由外向内”的步骤 （2026高二·全国·专题练习）设，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数的导函数为，且满足，则 .（其中是自然对数的底数）经典例题2例题 （25-26高二上·浙江舟山·期末）函数的导数为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽六安·期末）（1）求下列函数的导数．小试牛刀2 （Ⅰ）；   （Ⅱ）； （2）已知函数．求在点处的切线方程； （25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数，则（   ）小试牛刀3 A．2 B．1 C． D． 【题型4：导数运算的综合】 【练方法】 知识点： 1.四则运算与复合函数求导的综合（如） 2.导数运算的优先级：先复合，再乘除，最后加减 3.化简技巧：通分、约分、三角恒等变换 考点： 多结构函数的导数计算 运算顺序的正确把握 化简结果的准确性 解题思路： 1.按“先内层后外层，先乘除后加减”的顺序拆解函数 2.逐层求导，注意每一步的法则应用 3.化简表达式，合并同类项，注意符号 【多选题】（25-26高二上·福建福州·期末）下列命题正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C．一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D．已知函数在上可导，且，则 【多选题】（25-26高二上·安徽合肥·期末）下列函数的导数运算正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·福建厦门·期末）下列求导运算正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江苏扬州·期末）下列说法中正确的有（   ）．小试牛刀2 A． B． C． D．已知函数在上可导，若，则 【多选题】（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【B·能力提升题型】 【题型1：导数运算与切线问题】 【练方法】 知识点： 1.导数的几何意义： 2.切线方程： 3.切线问题的核心：先求导数（斜率），再写方程 考点： 由导数求切线斜率/方程 已知切线条件反求参数 区分“在某点处”与“过某点”的切线 解题思路： 1.先求，代入得斜率 2.写出切线方程，代入已知条件（如过某点、平行/垂直） 3.解方程求参数或切点 （24-25高二下·广东肇庆·月考）曲线在点处的切线的倾斜角为 ．经典例题1例题 （2026·江西九江·一模）若直线是曲线的切线，则 .经典例题2例题 （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 .小试牛刀1 （25-26高三上·江西南昌·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．小试牛刀2 （25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ．小试牛刀3 【题型2：导数运算的逆用】 【练方法】 知识点： 1.导数运算法则的逆用： 若，则是的一个原函数 积商法则的逆用：如可用于构造 2.常见逆用形式： 考点： 构造辅助函数，利用导数性质解决问题 导数运算逆用与单调性、不等式的综合 解题思路： 1.观察已知式子的结构，匹配导数运算法则的形式 2.构造辅助函数，使其导数为已知式子 3.利用的单调性、极值等性质求解 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，若，且，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．0 D． （2026高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，若，，且，若 ，则满足条件的点在平面直角坐标系中构成的图象为（   ）小试牛刀2 A．圆 B．双曲线 C．一个点 D．不存在 （25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：抽象函数的导数】 【练方法】 知识点： 1.抽象函数：只给出函数性质（如），无具体解析式 2.抽象函数的导数：利用导数定义或已知性质推导 3.常见抽象函数模型： 指数函数型： 对数函数型： 考点： 利用定义或性质求抽象函数的导数 由导数性质反推函数类型 抽象函数导数与单调性的综合 解题思路： 1.利用导数定义： 2.代入已知函数方程，化简极限式 3.得到导数表达式，再结合单调性等性质求解 【多选题】（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）经典例题1例题 A． B．的图象关于直线对称 C． D． （25-26高三上·重庆·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 .经典例题2例题 【多选题】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，，为偶函数，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．4为的一个周期 C． D． 【多选题】（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则 ．小试牛刀2 【多选题】（2025·四川绵阳·一模）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（    ）小试牛刀3 A． B．的一个周期为8 C． D．的图象关于对称 【C·拓展培优题型】 【题型1：导数运算与数列求和】 【练方法】 知识点： 1.幂函数求导：，可用于构造数列求和的通项 2.常见数列求和与导数的联系： 3.等比数列求和公式：，其导数可用于求含的数列和 考点： 将数列求和转化为导数运算 利用导数求数列的和或通项 与等比数列、递推关系的综合 解题思路： 1.观察数列通项的结构，构造幂级数 2.对求导，使其导数与目标数列和对应 3.代入（或其他值），得到数列和的表达式 （25-26高三上·广东·月考）已知数列的前项和为，且，.经典例题1例题 (1)证明：数列是等差数列并求通项； (2)给定正整数，设函数，求. （25-26高三上·四川南充·月考）已知函数的导函数为，函数与的图象关于直线对称.经典例题2例题 (1)若数列的前项和，求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. （2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． （25-26高三上·江苏南京·月考）数列中，，，.小试牛刀2 (1)证明：是等差数列； (2)设，求. （25-26高三上·上海徐汇·月考）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为 . 小试牛刀3 【题型2：导数运算的新定义题型】 （24-25高二下·重庆·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（    ）经典例题1例题 A．0.323 B．0.325 C．0.327 D．0.329 （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ）经典例题2例题 A．2025 B．2026 C． D． （24-25高二下·北京东城·期中）牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程的根，选取作为r初始近似值．过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的1次近似值；过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列．这就是“牛顿迭代法”．小试牛刀1 （1）当时，r的次近似值与n次近似值的关系为： ． （2）若取作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，的2次近似值为 (用分数表示)． （24-25高三上·甘肃白银·月考）英国数学家布鲁克泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.利用上述公式，估计的值为（    ）（精确到0.01）小试牛刀2 A．0.36 B．0.37 C．0.38 D．0.39 （24-25高三上·重庆渝中·月考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位)小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山西运城·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（20-21高二上·广西·期末）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高二上·广东河源·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．64 C．-64 D．128 5．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则（    ） A． B． C． D．10 6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 7．（24-25高二下·辽宁·期末）运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知定义在R上的函数，是其导函数，若是偶函数，是奇函数，当时，关于a的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·福建泉州·期末）设定义在上的函数的导函数为，则（   ） A．若为奇函数，则为偶函数. B．若为偶函数，则为奇函数. C．若，则关于（1,0）对称. D．若关于（1,0）对称，则关于对称. 11．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知函数的定义域为R，的定义域为R，，且满足，．下列说法正确的是（    ）． A．的周期为4 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D． 三、填空题 12．（25-26高二上·广东深圳·期末）函数的导数是 ． 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）若，则 . 14．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）若曲线在处的切线斜率为，则 . 15．（25-26高二上·陕西渭南·期末），则 . 16．（25-26高二上·重庆·期末）已知数列的通项公式是，设，则 ． 17．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知，则 . 四、解答题 18．（25-26高二上·山西太原·期末）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（25-26高二上·湖北十堰·期末）（1）已知函数的导函数为，且求： （2）求过原点且与曲线相切的直线方程. 20．（25-26高二上·湖北武汉·期末）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的导数，并求出的解集. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【专题02：导数的运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：导数的运算与导数的概念】 【练方法】 知识点： 1.导数的定义： 2.导数的本质：函数在某点处的瞬时变化率，是一个极限值 3.可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导 4.导数的几何意义：是曲线在处切线的斜率 考点： 利用定义求简单函数的导数 判断函数在某点是否可导（左右极限是否存在且相等） 导数概念的辨析（如平均变化率与瞬时变化率的区别） 解题思路： 1.写出 2.计算 3.令，求极限得到 4.若判断可导性，验证左右极限是否相等 （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数，则（   ）经典例题1例题 A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解． 【详解】函数，则， 所以， 故选：C． （25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】先利用导数的定义转化目标式，再利用基本初等函数的导数公式结合导数的运算法则得到，最后得到结果即可. 【详解】由导数的定义得 因为，所以， 则，可得，即. 故答案为： （25-26高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ）小试牛刀1 A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. （25-26高二上·广西贺州·期末）设函数，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为： （25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知函数，则的值为（   ）小试牛刀3 A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出函数在3处的导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C 【题型2：导数的加减乘除运算】 【练方法】 知识点： 1.基本初等函数导数公式： ， ， ， 2.四则运算法则： 考点： 直接套用公式和法则计算导数 积商法则的符号处理（易错点） 混合运算的化简（如） 解题思路： 1.拆分函数为，分别求 2.对应套用加减乘除法则 3.化简结果，注意符号和系数 （24-25高二下·重庆·月考）若，则（   ）经典例题1例题 A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出即可. 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A （25-26高二上·云南昆明·期末）已知，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】由导数的求导法则求导，将代入求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. （25-26高二上·天津·期末）若，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入计算求解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. （25-26高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导，解出，进而求. 【详解】由题意得：，所以， 所以，所以， 故选：B. （25-26高二上·山东泰安·期末）已知函数，则（    ）小试牛刀3 A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据求导公式求出函数 的导数 ，再将 代入 中计算 的值即可. 【详解】由导数法则求导得： ， 代入 得：. 故选：B. 【题型3：简单复合函数的导数】 【练方法】 知识点： 1.复合函数定义：，其中为内层函数，为外层函数 2.复合函数求导法则：（“由外向内，逐层求导”） 3.常见复合结构：、、、 考点： 识别复合函数的内外层 逐层求导的顺序（易错点） 与四则运算的综合应用 解题思路： 1.识别外层函数和内层函数 2.先对关于求导，再对关于求导 3.两者相乘，得到 4.若有多层复合，重复“由外向内”的步骤 （2026高二·全国·专题练习）设，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单复合函数的求导法则求解. 【详解】. 故选：D. （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数的导函数为，且满足，则 .（其中是自然对数的底数）经典例题2例题 【答案】 【分析】根据导数的运算性质求导，令运算求解即可. 【详解】因为，则， 令，则，解得. 故答案为：. （25-26高二上·浙江舟山·期末）函数的导数为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用复合函数的求导法则求导. 方法2：转化为多项式函数的求导问题求解. 【详解】方法1： . 方法2：因为， 所以 . 故选：A （25-26高二上·安徽六安·期末）（1）求下列函数的导数．小试牛刀2 （Ⅰ）；   （Ⅱ）； （2）已知函数．求在点处的切线方程； 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（2） 【分析】（1）利用复合函数的求导法则可得答案； （2）求解导数值得到斜率，点斜式可求切线方程. 【详解】（1）（Ⅰ），. （Ⅱ），. （2）因为，所以， ，， 所以在点处的切线方程为，即. （25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数，则（   ）小试牛刀3 A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】求函数求导，令，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意得，所以， 可得． 故选：B． 【题型4：导数运算的综合】 【练方法】 知识点： 1.四则运算与复合函数求导的综合（如） 2.导数运算的优先级：先复合，再乘除，最后加减 3.化简技巧：通分、约分、三角恒等变换 考点： 多结构函数的导数计算 运算顺序的正确把握 化简结果的准确性 解题思路： 1.按“先内层后外层，先乘除后加减”的顺序拆解函数 2.逐层求导，注意每一步的法则应用 3.化简表达式，合并同类项，注意符号 【多选题】（25-26高二上·福建福州·期末）下列命题正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C．一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D．已知函数在上可导，且，则 【答案】AC 【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，瞬时速度是位移函数的导数：，所以，故C正确； 对于D，根据导数的定义可得：，故D错误； 故选：AC 【多选题】（25-26高二上·安徽合肥·期末）下列函数的导数运算正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则逐项判断. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 【多选题】（25-26高二上·福建厦门·期末）下列求导运算正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由导数运算公式结合题设可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 【多选题】（25-26高二上·江苏扬州·期末）下列说法中正确的有（   ）．小试牛刀2 A． B． C． D．已知函数在上可导，若，则 【答案】BCD 【分析】根据导数的概念结合导数的运算法则逐项验证即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，故D正确； 故选：BCD. 【多选题】（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则 ，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 【B·能力提升题型】 【题型1：导数运算与切线问题】 【练方法】 知识点： 1.导数的几何意义： 2.切线方程： 3.切线问题的核心：先求导数（斜率），再写方程 考点： 由导数求切线斜率/方程 已知切线条件反求参数 区分“在某点处”与“过某点”的切线 解题思路： 1.先求，代入得斜率 2.写出切线方程，代入已知条件（如过某点、平行/垂直） 3.解方程求参数或切点 （24-25高二下·广东肇庆·月考）曲线在点处的切线的倾斜角为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得结果 【详解】求导得到，则， 因此，切线的斜率， 设切线的倾斜角为 ，其中 则，所以. 故答案为：. （2026·江西九江·一模）若直线是曲线的切线，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】设切点为，进而根据题意有，即可求得切点，再代入直线方程即可得答案. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，直线的斜率为 所以，解得， 所以，即切点为 所以 故答案为： （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值. 【详解】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故答案为：. （25-26高三上·江西南昌·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. （25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ．小试牛刀3 【答案】1 【分析】利用切线过点求，求导，利用导数的几何意义求，进而合并求解． 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 【题型2：导数运算的逆用】 【练方法】 知识点： 1.导数运算法则的逆用： 若，则是的一个原函数 积商法则的逆用：如可用于构造 2.常见逆用形式： 考点： 构造辅助函数，利用导数性质解决问题 导数运算逆用与单调性、不等式的综合 解题思路： 1.观察已知式子的结构，匹配导数运算法则的形式 2.构造辅助函数，使其导数为已知式子 3.利用的单调性、极值等性质求解 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，若，且，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理构造，利用导数还原得到，再结合题意建立方程，求解参数，得到，最后求值即可. 【详解】设，则， 则，是常数， 因为，且，所以， 得到，解得，得到， 当时，得，故D正确. 故选：D （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. （24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. （2026高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，若，，且，若 ，则满足条件的点在平面直角坐标系中构成的图象为（   ）小试牛刀2 A．圆 B．双曲线 C．一个点 D．不存在 【答案】A 【分析】先确定函数的解析式，再分析函数的对称性，根据函数性质确定a，b的关系，可得问题答案. 【详解】因为， 所以. 又，所以. 所以. 因为. 又， ， 当时，，，所以， 当时，， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 所以. 所以点在平面直角坐标系中构成的图象为圆. 故选：A （25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 【题型3：抽象函数的导数】 【练方法】 知识点： 1.抽象函数：只给出函数性质（如），无具体解析式 2.抽象函数的导数：利用导数定义或已知性质推导 3.常见抽象函数模型： 指数函数型： 对数函数型： 考点： 利用定义或性质求抽象函数的导数 由导数性质反推函数类型 抽象函数导数与单调性的综合 解题思路： 1.利用导数定义： 2.代入已知函数方程，化简极限式 3.得到导数表达式，再结合单调性等性质求解 【多选题】（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ）经典例题1例题 A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合平移得出A，应用复合函数求导再应用赋值法计算判断B，D，根据对称性得出周期再计算函数值判断C； 【详解】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则. 因为，则，所以， 令，得，则，所以，即，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称，即，， 所以，则，所以的周期； 所以，，所以， 所以 ，C选项正确； 又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反， 且，令，得，所以，，D选项正确， 故选:ACD. （25-26高三上·重庆·月考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】通过偶函数、奇函数的条件推导函数等式，求导后得到导数的对称与周期性质，利用周期性化简目标值并求和. 【详解】由为偶函数，得， 整理得，两边求导得①. 由为奇函数，得，令， 则， 两边求导得， 即，故. 将代入①，得， 由此得，即周期为4. ，， 由，得. 故答案为：2 【多选题】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，，为偶函数，若，则（    ）小试牛刀1 A． B．4为的一个周期 C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得周期判断A、B、C；利用周期性求函数值判断D； 【详解】因为，所以，所以关于对称， 又为偶函数，所以，所以，所以， 所以，选项A正确； 因为，又，所以， 所以，所以4为的一个周期，选项B正确； 因为为偶函数，所以，选项C正确； 因为4为的一个周期，，， 所以， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 【多选题】（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】对条件等式左右求导可判断出的对称中心，然后根据对称性可计算出结果. 【详解】因为，所以， 所以的对称中心为， 又因为， 所以， 所以 ， 故答案为：. 【多选题】（2025·四川绵阳·一模）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（    ）小试牛刀3 A． B．的一个周期为8 C． D．的图象关于对称 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 令，可得，解得，A错误； 因为是偶函数，则，且， 用代替可得，即. 又，则，所以，从而有， 所以的一个周期为8，B正确； 因为是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，所以，C正确； 由，两边同时对求导得， 即，所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD 【C·拓展培优题型】 【题型1：导数运算与数列求和】 【练方法】 知识点： 1.幂函数求导：，可用于构造数列求和的通项 2.常见数列求和与导数的联系： 3.等比数列求和公式：，其导数可用于求含的数列和 考点： 将数列求和转化为导数运算 利用导数求数列的和或通项 与等比数列、递推关系的综合 解题思路： 1.观察数列通项的结构，构造幂级数 2.对求导，使其导数与目标数列和对应 3.代入（或其他值），得到数列和的表达式 （25-26高三上·广东·月考）已知数列的前项和为，且，.经典例题1例题 (1)证明：数列是等差数列并求通项； (2)给定正整数，设函数，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题设结合与的关系可得，再利用等差数列的定义即可求证以及求出； （2）由（1）得，求导得，进而利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 则， 则， 则，即，， 又，所以，， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. （2）由（1）得， 所以， 故， 可得①， 所以②， 由①②得： ， 所以. （25-26高三上·四川南充·月考）已知函数的导函数为，函数与的图象关于直线对称.经典例题2例题 (1)若数列的前项和，求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，根据 可求得数列的通项公式； （2）由函数与的图象关于直线对称，知点列在的图象上，所以；通过求，求得，进而求得数列的通项公式，利用裂项相消求和法可求得. 【详解】（1）由题意知. 当时，； 当时，， 所以 故. （2），即点在的图象上， 因为与的图象关于直线对称，所以点在的图象上， 即，所以. 又，所以 . 所以， 于是 即. （2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． （25-26高三上·江苏南京·月考）数列中，，，.小试牛刀2 (1)证明：是等差数列； (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得的表达式. 【详解】（1）对任意的，， 等式两边同时除以得，即， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，所以， 因为，则， 对任意的，， 所以. （25-26高三上·上海徐汇·月考）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为 . 小试牛刀3 【答案】 【分析】通过求导得到，数列是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， ，所以， ，所以， 以此类推，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 记数列前项的和为， 则. 故答案为：. 【题型2：导数运算的新定义题型】 （24-25高二下·重庆·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（    ）经典例题1例题 A．0.323 B．0.325 C．0.327 D．0.329 【答案】C 【分析】对求导可得，继而将代入，近似计算，即得答案. 【详解】由题意知， 两边求导可得，即， 则， 故选：C （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ）经典例题2例题 A．2025 B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】先由函数有两个零点求得和的解析式，进而求得数列的递推公式，从而得到数列的前n项和，即可求得的值． 【详解】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 即， 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 前n项和，则. 故选：D． （24-25高二下·北京东城·期中）牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程的根，选取作为r初始近似值．过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的1次近似值；过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列．这就是“牛顿迭代法”．小试牛刀1 （1）当时，r的次近似值与n次近似值的关系为： ． （2）若取作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，的2次近似值为 (用分数表示)． 【答案】 / 【分析】（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分别计算即可得解. 【详解】（1）由，令，解得，同理可得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为； （2）设，是的正根，且， ， 当时，，， 故答案为：； （24-25高三上·甘肃白银·月考）英国数学家布鲁克泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.利用上述公式，估计的值为（    ）（精确到0.01）小试牛刀2 A．0.36 B．0.37 C．0.38 D．0.39 【答案】D 【分析】对所给公式两边求导数可得，结合诱导公式求结果. 【详解】由已知， 两边求导可得， 即， 故， 故. 故选：D. （24-25高三上·重庆渝中·月考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位)小试牛刀3 【答案】0.84 【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解. 【详解】令， 则，，，， 故， 由麦克劳林公式得，， 所以. 故答案为：0.84. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·山西运城·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可. 【详解】对于选项A：，，两者不相等，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在处的切线平行于直线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由函数，得， 因为函数在处的切线平行于直线， 所以，得. 3．（20-21高二上·广西·期末）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】对于A：因为，则，故A错误； 对于B：因为，则，所以，故B错误； 对于C：因为，则，故C错误； 对于D：因为，则，故D正确. 故选：D 4．（25-26高二上·广东河源·期末）已知函数，则（   ） A．0 B．64 C．-64 D．128 【答案】B 【分析】根据题目条件构造函数，根据函数的求导法则，求出函数导数，求出导数值即可. 【详解】令，其中； 则， 代入，可得. 故选：B. 5．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为计算可得. 【详解】因为，所以， 曲线在处的切线的斜率， 又直线的斜率为， 依题意可得，解得． 故选：A 6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据牛顿数列的定义通过函数求导化简得数列递推式，即得等比数列，求出数列的通项与前项和，利用数列的增减性即可求得答案. 【详解】由可得，根据牛顿数列的定义，， 将和代入上式，得， 则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是， 则，，则等价于，即， 因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为. 故选：C. 7．（24-25高二下·辽宁·期末）运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同时取对数，即可根据复合函数的求导法则求解. 【详解】由可得，两边同时求导可得， 故， 故选：C 8．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知定义在R上的函数，是其导函数，若是偶函数，是奇函数，当时，关于a的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得和，联立方程组，求得函数，结合的解集，即可得到的解集. 【详解】因为是偶函数，所以，即， 又因为是奇函数，所以， 即， 联立方程组，解得， 因为，所以， 又由，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 9．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，根据导数的运算公式可求出及，再根据求出，最后解不等式即可. 【详解】由题易知不满足不等式，当时，令， 则，，，（为常数）， 故，又，，解得，. 不等式，即，得，解得或. 故选：A 二、多选题 10．（25-26高二上·福建泉州·期末）设定义在上的函数的导函数为，则（   ） A．若为奇函数，则为偶函数. B．若为偶函数，则为奇函数. C．若，则关于（1,0）对称. D．若关于（1,0）对称，则关于对称. 【答案】ACD 【分析】应用奇偶性及对称性定义结合复合函数求导判断A，C，D，应用特殊函数判断B. 【详解】函数的导函数为， 对于A：因为为奇函数，定义在上，则，两边求导得，所以得，所以得出为偶函数，A选项正确； 对于B：若为偶函数，则不为奇函数，B选项错误； 对于C：若，两边求导得，则关于对称，C选项正确； 对于D：若关于对称，则，两边积分得，C为常数， 当时，，因此常数C为零； 即得，则关于对称，D选项正确； 故选：ACD. 11．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知函数的定义域为R，的定义域为R，，且满足，．下列说法正确的是（    ）． A．的周期为4 B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】由，得出，判断出关于对称，由，得出 对称，得到的周期为4，得出A正确，C错误；由周期性以及对称性得出关于对称，得到B正确；由，得到一个周期的函数值，从而计算出D正确. 【详解】由，得到， ，将替换为，则有， 故，则， 故关于对称； 由， 故对任意成立，令可得， 则，将替换为，故， 所以关于对称； 对于选项A：， 则， 将替换为，所以， 故，故的周期为4，故A正确； 对于选项B：由，将替换为， 则， 故的图象关于对称，故B正确; 对于选项C：，故关于对称，故C错误； 对于选项D：由， ，周期为, 令，，, 令，，, 由，令，, 又关于对称，故， 故, 所以， 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·广东深圳·期末）函数的导数是 ． 【答案】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则即可求解. 【详解】 ， 故答案为：. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）若，则 . 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入计算求出导数值. 【详解】因为， 所以， 令，所以，即得， 所以， 则. 故答案为：. 14．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）若曲线在处的切线斜率为，则 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以，则， 所以 . 故答案为： 15．（25-26高二上·陕西渭南·期末），则 . 【答案】20 【分析】对给定等式两边求导，再利用赋值法求解. 【详解】由，求导得， 令，得. 故答案为：20 16．（25-26高二上·重庆·期末）已知数列的通项公式是，设，则 ． 【答案】 【分析】先求导函数，再计算，利用裂项相消化简. 【详解】，则， 又，所以， 则. 故答案为： 17．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知，则 . 【答案】/-0.5 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高二上·山西太原·期末）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本初等函数的求导公式，导数的运算法则，复合函数的求导法则即可一一求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 19．（25-26高二上·湖北十堰·期末）（1）已知函数的导函数为，且求： （2）求过原点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的运算法则可得答案； （2）利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得答案. 【详解】（1）， 两边求导， 当时，， 解得， 所以， 所以. （2）, 设切点为, 故切线的斜率， 切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 即, 解得或 所以切线方程为， 即切线方程为. 20．（25-26高二上·湖北武汉·期末）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的导数，并求出的解集. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）先求出导函数，代入计算得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再代入结合定义域解不等式即可. 【详解】（1），. 在点处的切线斜率为1， ∴所求切线方程为，即. （2）∵的定义域为，∴， 由，得， ∵，解得，∴的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $